S U C E S I O N E S N U M É R I C A S

Transcripción

1 S U C E S I O N E S N U M É R I C A S. S U C E S I O N E S D E N Ú M E R O S R E A L E S Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,... Los elemetos de l sucesió se llm térmios y se suele desigr medite u letr co los subídices correspodietes los lugres que ocup e l sucesió:,, 3,... Por ejemplo, so sucesioes ls siguietes lists de úmeros:,, 3, 4, 5,..., 4, 8, 6, 3,... -3, 3, -3, 3, -3,... E lgus ocsioes es posible expresr el térmio -ésimo (térmio que ocup el lugr ) e fució de. Este térmio se llm térmio geerl de l sucesió, y se simboliz co. Por ejemplo, e l sucesió, 4, 9, 6, 5,... cd térmio es el cudrdo del lugr que ocup e l sucesió, co lo que el térmio geerl ². Cudo se cooce el térmio geerl de u sucesió se puede ecotrr culquier térmio. Por ejemplo, e l sucesió terior, sbemos que el décimo térmio es 00, el que ocup el lugr 0 es 0² 400, el que ocup el lugr 5 es 5² 65,... No tods ls sucesioes tiee térmio geerl. Por ejemplo, l sucesió de los úmeros primos:, 3, 5, 7,, 3, 7,... E otrs sucesioes, pr hllr u térmio es ecesrio operr co dos o más de los teriores y se llm sucesioes recurretes. Pr hllr u térmio cocreto hy que obteer, previmete, todos los teriores. Por ejemplo, l sucesió de Fibocci es u sucesió recurrete dode cd térmio se obtiee sumdo los dos teriores:,,, 3, 5, 8, 3,.... P R O G R E S I O N E S A R I T M É T I C A S U progresió ritmétic es u sucesió e l que se ps de cd térmio l siguiete sumdo u ctidd fij, llmd difereci de l progresió (d). El térmio geerl,, de u progresió ritmétic cuyo primer térmio es y cuy difereci es d se obtiee sí: + (-)d Sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic: ( + ) S Mtemátics I: Tem. Sucesioes -

2 Ejemplo: L sucesió, 5, 8,,... es u progresió ritmétic de difereci 3. El térmio geerl lo clculremos sí: +(-) L sum de los 5 primeros térmios de l progresió es: S ( + ) 5 ( + 44) P R O G R E S I O N E S G E O M É T R I C A S U progresió geométric es u sucesió e l que se ps de cd térmio l siguiete multiplicdo por u ctidd fij, llmd rzó de l progresió (r). Por ejemplo, l sucesió,, 4, 8, 6, 3, es u progresió geométric porque: Es u progresió geométric de rzó r. El térmio geerl de u progresió geométric es r - Sum de térmios e u progresió geométric (si r ): L sum, S, de térmios de u progresió geométric de rzó r, es: S ( ) r - r - o r - r - S Ejemplo: Clcul l sum de los diez primeros térmios de l sucesió: -, -, - 4, - 8,... S 0 0 (- ) ( -) Sum de ifiitos térmios de u progresió geométric e l que r < : S - r Por ejemplo, e l progresió 8, 6,, /3,..., l sum de ifiitos térmios es: 6 r S Mtemátics I: Tem. Sucesioes -

3 EJERCICIOS:. E u progresió geométric, 5, y 40, 96. Clcul su rzó y el térmio 5. Escribe su térmio geerl.. Dd u progresió geométric e l que 5 e r, ) Clcul el térmio geerl. b) Hll l sum de los 8 primeros térmios. c) Cuátos térmios de l progresió teemos que sumr pr obteer 37,08? 3. Sum todos los térmios de u progresió geométric sbiedo que el primer térmio es 3 y l rzó es 4. S U C E S I Ó N D E F I B O N A C C I Como y se h dicho tes, se llm sí l sucesió e l que cd térmio es l sum de los dos teriores, empezdo por, :,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, y que +; 3+; 5+3; 83+5; 35+8; etc. L histori dice que Fibocci se fijó e est secueci medite l reproducció de los coejos. Plteó el siguiete problem, cuy solució es l serie terior: Cuáts prejs de coejos tedremos fi de ño, si comezmos co u prej que produce cd mes otr prej que procre su vez los dos meses de vid? Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 3

4 L sucesió formd por los cocietes de úmeros cosecutivos de l sucesió de Fibocci se cerc rápidmete hci el úmero de oro, Los griegos y recetists estb fscidos co este úmero y lo cosiderb el idel de l bellez. 3,5 5,6 3 ) 8,6 5 3,65 8, , , , , , L sucesió de Fibocci prece costtemete e l turlez. L podemos observr por ejemplo, cotdo ls escms de u piñ, e ls piñs del girsol, e ls rms de los árboles, e l flor de l lcchof, e el rreglo de u coo o e l disposició de ls hojs e el tllo, el úmero de espirles e umeross flores y frutos, e los hurces, lgus glxis, ls cochs tipo trilobites, e prtes corporles de seres humos y imles S U C E S I O N E S M O N Ó T O N A S Y A C O T A D A S U sucesió ( ) es moóto creciete si pr todo se verific que +, es decir, cd térmio es meor o igul que el siguiete. U sucesió ( ) es moóto decreciete si pr todo se verific que +, es decir, cd térmio es myor o igul que el siguiete. Si ls desigulddes so estricts se dice que ls sucesioes so estrictmete crecietes o estrictmete decrecietes. Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 4

5 Por ejemplo, l sucesió ( ), 4, 6, 8, 0,,... es estrictmete creciete y l sucesió (b ), 9, 6, 3, 0, -3,... es estrictmete decreciete. L sucesió (c ), -, 3, -4, 5, -6,... o es moóto creciete i decreciete b c U sucesió ( ) está cotd superiormete si existe u úmero rel M tl que M pr todo. Decimos que el úmero M es u cot superior de l sucesió. U sucesió ( ) está cotd iferiormete si existe u úmero rel M tl que M pr todo. Decimos que el úmero M es u cot iferior de l sucesió. U sucesió ( ) está cotd si lo está superior e iferiormete. E este cso, existe u úmero rel M tl que M pr todo. E los ejemplos teriores, l sucesió ( ) está cotd iferiormete por y (b ) está cotd superiormete por. Ejemplo: Pr estudir l mootoí de l sucesió de térmio geerl -, restmos dos térmios cosecutivos culesquier y mirmos el sigo: ( -) - ( - )( + ) ² - - ² ( + ) ( + ) ( + ) -. Por tto, l sucesió es estrictmete creciete. 0 + ( + ) > - Además, - <, co lo que es u sucesió cotd superiormete por. Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 5

6 6. L Í M I T E D E U N A S U C E S I Ó N Cosidermos, por ejemplo, l sucesió de térmio geerl 4 + vrí los térmios de est sucesió pr úmeros cd vez myores:. Vemos cómo Si sustituimos por 000, 0 000, , obteemos: ,994..., , , , , , A medid que umet el vlor de, los vlores de se proxim cd vez más 4. Decimos que 4 es el límite de l sucesió ( ) y se escribe: lim 4 lim + 4 Si represetmos gráficmete l sucesió terior, vemos que los elemetos de l sucesió se cerc cd vez más 4: El úmero rel L es el límite de u sucesió ( ) si sus térmios se proxim cd vez más L medid que tom vlores cd vez más myores. Se escribe: lim L Observció: El límite de u sucesió, si existe, es úico. Cosideremos hor l sucesió b : Si sustituimos por 000, 0 000, , obteemos: Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 6

7 b 000 b , b , b A medid que umet el vlor de, los vlores de b se hce cd vez más grdes. Esto lo expresmos sí: lim b + U sucesió es covergete si tiee como límite u úmero rel, y será divergete si tiee como límite + o -. Culquier sucesió moóto creciete y cotd superiormete tiee límite, que es l meor de sus cots superiores. Del mismo modo, culquier sucesió moóto decreciete y cotd iferiormete tiee límite, que es l myor de sus cots superiores. Ejemplos: ) 4+0 es u sucesió covergete, pues tiee límite : , , , , , Así sucesivmete, podemos observr que los térmios de l sucesió se proxim cd vez más, cuto myor es el vlor de. Es decir, lim. Se puede clculr el límite de l sucesió terior dividiedo todo etre : 4 +0 lim lim lim 4 Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 7

8 Si el umerdor y deomidor so del mismo grdo, el límite es igul l cociete etre los 4 térmios de myor grdo:. ) b es u sucesió divergete, pues lim b : b , b b b b Si el umerdor es de myor grdo que el deomidor, el límite es o -, segú los sigos de los coeficietes priciples. Si el umerdor es de meor grdo que el deomidor, el límite es cero. Ls sucesioes que o tiee límite se llm sucesioes osciltes. Puede drse dos csos: Si l sucesió o tiee límite y es cotd, etoces l sucesió tiee oscilció fiit. Por ejemplo,, -,, -,, -, -,... Si l sucesió o tiee límite y o es cotd, etoces l sucesió tiee oscilció ifiit. Por ejemplo,, -,, -, 3, -3, 4, -4, E L N Ú M E R O e Cosideremos l sucesió de térmio geerl æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ç +, ç +, ç +, ç +,..., ç +,... è ø è ø è 3 ø è 4 ø è 00 ø æ ö ç +. Sus primeros térmios so: è ø Relizdo esos cálculos obteemos: ;,5;, ;, ;...;, Se trt de u sucesió creciete y cotd superiormete, porque todos los térmios so meores que 3. Vmos clculr más térmios, pero pr vlores de cd vez más grdes: Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 8

9 æ ö æ ö ç +, ç +, è 0000 ø è ø æ ö æ ö ç +, ç +, è ø è ø æ ö ç +, è ø æ ö ç +, è ø Como vemos, los térmios muy vzdos se proxim l mismo úmero, el úmero e. Por tto, se defie el úmero e como: æ ö lim ç + e è ø Hy sucesioes similres l terior cuyos límites está relciodos co el úmero e. So tods quells sucesioes de potecis e ls que l bse tiede y el expoete. Por ejemplo: 4-5 æ 3 - ö lim ç è ø, que o sbemos exctmete qué equivle. Pr clculr el límite trsformremos l sucesió terior e otr similr Summos y restmos de l siguiete form: æ ö ç +. è ø æ 3 - ö æ 3 - ö æ ö æ -9 ö ç ç + - ç + ç + è ø è ø è ø è ø Dividimos umerdor y deomidor de l frcció etre -9 y cotiució trsformmos el expoete pr que os quede idético l deomidor: (4-5) 4-5 (4-5) é ù æ ö æ ö 4-5 êæ ö ú æ -9 ö ç ç êç ú ç + ç ç ç è + ø + + ê + ú ç ç êç ú è -9 ø è -9 ø ê è -9 ø ë úû (4-5) é ù êæ ö ú ç lim (4-5) lim æ 3 - ö lim lim ê ú ç ç + e e e è + ø ê + ú êç ú ê è -9 ø ë úû - Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 9

10 E J E R C I C I O S. Di el criterio por el que se form ls sucesioes siguietes y ñde dos térmios cd u: ) 3, 8, 3, 8, 3,... b), 8, 7, 64, 5,... c), 0, 00, 000, 0 000,... d) 8; 4; ; ; 0,5;... e), 3, 4, 7,, 8,... f) 8, 3, 5,, 7, 9,... g),, 3, 4, 5, 6,... h) 0, 3, 6,, 8,.... Escribe los cutro primeros térmios de ls siguietes sucesioes: 3. El quito térmio de u progresió geométric es 48 y el primero es 3. Hll los cico primeros térmios de dich progresió. 4. Form u sucesió recurrete,, co estos dtos:, 3, Cuáles de ls siguietes sucesioes so progresioes geométrics? E cd u de ells di su rzó y ñde dos térmios más: ), 3, 9, 7, 8,... b) 00; 50; 5;,5;... c),,,,... d) 5, 5, 5, 5, 5, 5,... e) 90, 30, 0, 0/3, 0/9, Clcul l sum de los 0 primeros térmios de cd u de ls progresioes geométrics del ejercicio terior. E cuáles de ells puedes clculr l sum de sus ifiitos térmios? Hálll. 7. Hll el térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ), 3/4, 5/9, 7/6,... b), 5, 0, 7, 6,... c) 0, 6, 50, 8,... d) -/, /5, 3/8, 5/,... e) -, 4, -8, 6, Hll los tres primeros úmeros de u progresió ritmétic sbiedo que su sum es 58 6 y l sum de sus cudrdos es. 9 (Soluc: /3,, /3 o /3,, /3) 9. Se dej cer u bol de gom desde l zote de u edificio que tiee u ltur de 43 m. Cd vez que toc el suelo, rebot y recorre hci rrib u distci igul ls dos tercers prtes de l ltur desde l que h cído l últim vez. De qué ltur h cído l bol cudo h tocdo el suelo por sext vez? (Soluc: 3 m) Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 0

11 0.U cocurso de televisió cosiste e propoer l cocurste u sucesió de preguts hst que dé u respuest icorrect y quede elimido. Los premios de cd respuest se cumul y so de u euro por l primer, dos por l segud, cutro por l tercer y sí sucesivmete. ) Si se respode diez preguts correctmete, cuáto diero se cosigue? b) Cuál es el míimo úmero de preguts que hy que respoder pr coseguir 6000? (Soluc: ) 03, b) 3 preguts).demuestr, por el método de iducció complet, que l sum de los primeros (+)( +) cudrdos es. Este método cosiste e: º) Probr que l iguldd es 6 ciert pr,, 3,... º) Probr que, si l iguldd fuer ciert pr u, lo serí pr el siguiete, +..Demuestr, por el método de iducció complet, que l sum de los primeros cubos (+) es. 4 3.Demuestr, por el método de iducció complet, que el producto de los primeros térmios de u progresió geométric es P ( ). 4.Se hce u depósito de 5000 e u bco que pg u iterés del 4% ul. Cuátos ños se h de dejr pr superr los 8000? (Soluc: ños) 5.L mquiri de u fábric pierde cd ño u 0% de su vlor. Si costó 4 milloes de euros, e cuáto se vlorrá después de 0 ños de fuciomieto? (Soluc: ,73 ) 6.E u cie, l segud fil de butcs está 0 m de l ptll y l séptim fil está 6 m. E qué fil debe setrse u perso que le guste ver l ptll u distci de 8 m? (Soluc: Fil 7) 7.L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric es igul 4 y. Clcul y l rzó. (Soluc:, r/) 8.Durte 5 ños depositmos e u bco 000 l 4% co pgo ul de itereses. Qué ctidd de diero hemos cumuldo durte esos 5 ños? Mtemátics I: Tem. Sucesioes -

12 (Soluc: 65,95 ) 9.El de eero depositmos e u cuet bcri u iterés ul del 6% co pgo mesul de itereses. Cuál será el vlor de uestro diero u ño después? (Soluc: 5308,39 ) 0.Averigu cuál es l difereci e vlor bsoluto etre el límite de l sucesió de térmio geerl 3+ y el vlor de Represet l sucesió ( ) ( ) y di de qué tipo es. Tiee límite?.represet l sucesió b ( ) y describe su comportmieto. Tiee límite? 3.Represet l sucesió c ² 4 +3 y sig u vlor su límite. 4.Clcul el límite de ls sucesioes siguietes, y di de qué tipo so: ²+3 +, b ²+3 7 ², c 3 ³+, ²+3 d Clcul el límite de ls sucesioes siguietes, y di de qué tipo so: 6.Clcul el límite de ls siguietes sucesioes, si es que lo tiee: 7.Clcul el límite de ls siguietes sucesioes, si es que lo tiee: 8.Estudi l mootoí de l sucesió de térmio geerl +. Mtemátics I: Tem. Sucesioes -

13 9.Prueb que l sucesió del ejercicio terior es cotd. 30.Hll, cudo exist, u cot superior de cd u de ls sucesioes siguietes. Idic qué tipo so: ) 3 ²+ b) b +3 c) c 6 3 d) d ( ) 3.Estudi l mootoí y cotció de l sucesió de térmio geerl 3 ² ²+3. 3.Hll el térmio geerl de cd u de ls siguietes sucesioes: ) 3, 8 7, 5, 5,... b) 3 7, 7, 5 7, 39 7,... c), 5, 0 3, 7 5, Clcul el límite de ls siguietes sucesioes e idic de qué tipo so: ) 8 ² ² 00 b) b ( ) 3 + c) c 5 +7 ( ) ²+4 d) d + 34.Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: 35.Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: 36.Costruye dos sucesioes cuys leyes de recurrecis se ls siguietes: 37.Busc u ley de recurreci pr defiir ls siguietes sucesioes: ) 4, 7, 3, -4, -7,... b),3, 3,, Clcul l sum de todos los térmios compredidos etre el 0 y el 0, mbos iclusive, de ests sucesioes dds por recurreci: ) 0, - +4 b) b 7, b 3, b b c) c 0,65 ; c c - d) d 4, d 6, d d - 4 Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 3

14 39.E u progresió ritmétic sbemos que d3, k 34 y S k 33. Clcul k y. 40.Se ( ) u progresió ritmétic co d>0. Cuál es su límite? 4. Cuáto vle l sum de los 00 primeros múltiplos de 7? 4.L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric es igul 4 y. Clcul y l rzó. 43.Clcul el límite de ls sucesioes siguietes: 44.Demuestr por el método de iducció complet ls siguietes igulddes: ) (-) ², pr todo turl. b) ( )² ³ + ³ + 3³ ³ 45.L mquiri de u fábric pierde cd ño u 0% de su vlor. Si costó 4 milloes de euros, e cuáto se vlorrá después de 0 ños de fuciomieto? (Soluc: 49496,73 ) 46.Crme está preprdo el exme de reválid. Pr o dejr tod l mteri pr el fil h decidido estudir cd dí el doble de págis que el dí terior. Si el primer dí estudió dos págis, cuáts hbrá estudido l cbo de 8 dís? Mtemátics I: Tem. Sucesioes - 4