CAPÍTULO 3: SUCESIONES 1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

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1 3 CAPÍTULO 3: SUCESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u secueci orded de úmeros. Ls siguietes secuecis so sucesioes: ),, 3, 4, 5, 6, b), 4, 6, 8, 0,, c),,,,,, Se llm térmio de u sucesió cd uo de los elemetos que costituye l sucesió. Pr represetr los diferetes térmios de u sucesió se us u mism letr co distitos subídices. Estos subídices idic el lugr que ocup ese térmio e l sucesió. E l sucesió ) tedrímos que: 5 = 5, y que es el térmio de l sucesió que ocup el quito lugr. E l sucesió b), el tercer térmio, se deotrí b 3 y correspoderí l 6 E l sucesió c), por ejemplo c = Lo relmete importte l hor de ombrr los térmios de u sucesió es el subídice porque deot el lugr que ocup e l sucesió. Ls letrs co ls que se desig l sucesió so distits pr sucesioes distits y suele ser letrs miúsculs. Se llm térmio geerl de u sucesió l térmio que ocup el lugr -ésimo y se escribe co l letr que deote l sucesió (por ejemplo ) co subídice : ( ) E los csos que estmos cosiderdo, los térmios geerles de ls sucesioes serí:, b y c. Si os fijmos, los vlores que tom los subídices so úmeros turles, pero los térmios de l sucesió o tiee por qué serlo, es decir, los vlores que tom l sucesió so úmeros reles. Por eso, podemos defiir sucesió de úmeros reles de form más riguros como: Defiició: Se llm sucesió de úmeros reles u plicció que hce correspoder cd úmero turl u úmero rel. E ls sucesioes teriores, observmos que: 003 = 003, b = 4 y c 37 = 37. Escribe los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ),, 3, 4, b), 4, 9, 6, c), 3, 5, 7,. Escribe el térmio que ocup el lugr 00 de cd u de ls sucesioes teriores. 3. Sbemos que u cuerpo co desidd suficiete que ce libremete sobre l Tierr tiee u velocidd que umet 9,8 m/s. Si e el primer segudo su velocidd es de 5 m/s, escribe e tu cudero l velocidd e los segudos idicdos e l tbl. Observs lgu regl que te permit coocer l velocidd l cbo de 0 segudos? Represet gráficmete est fució. Tiempo e segudos 3 Velocidd e m/s 5.. Forms de defiir u sucesió Existe vris forms de defiir u sucesió: Ddo u propiedd que cumpl los térmios de es sucesió Sucesió de los úmeros pres:, 4, 6, 8, 0, Sucesió de los úmeros primos:, 3, 5, 7,,.. Sucesió de los úmeros turles cbdos e 9: 9, 9, 9, 39,... Sucesió de los cudrdos de los úmeros turles:, 4, 9, 6, Ddo su térmio geerl o térmio -ésimo: Es u expresió lgebric e fució de.

2 3 = + 3 Sbiedo esto, podemos costruir los térmios de l sucesió si más que sustituir por los úmeros turles. Así, tedrímos: = + 3 = 4; = + 3 = 7; 3 = = ; 4 = = 9; d = () : d = () = ; d = () = ; d3 = () 3 = ; d4 = () 4 = Por u ley de recurreci: Es u expresió que permite obteer u térmio prtir de los teriores L sucesió:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, coocid como sucesió de Fibocci se obtiee co l siguiete ley de recurreci: = =, = + Es decir, cd térmio, slvo los dos primeros, se obtiee como sum de los dos teriores. Se l sucesió de térmio geerl: = + 3. Sus cico primeros térmios so: = 5, = 7, 3 = 9, 4 =, 5 = 3 Dd l sucesió e form recurrete: =, = + 3 Sus cutro primeros térmios so: = (y viee ddo), = + 3 = 4, 3 = = 7, 4 = = 0 4. Escribe los cutro primeros térmios de ls siguietes sucesioes: 4 ) = + b = c =, c = 3c + 5 d =, d =5, d = d + d 3 5. Escribe l expresió del térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ) {,,,,,,,, } b) {0, 3, 8, 5, 4, 35, } c) {, 4, 6, 8, 0, } d),,,,, E u sucesió el primer térmio es y los demás se obtiee sumdo 4 l térmio terior. Hllr los 6 primeros térmios de l sucesió. 7. U stélite rtificil se puso e órbit ls 7 hors y 30 miutos. Trd e dr u vuelt complet su órbit 87 miutos. A) Complet e tu cudero l tbl djut. B) Escribe u expresió geerl que te permit coocer l hor e que h completdo l vuelt -ésim. C) Busc u expresió que te permit coocer l hor e fució de l hor de l órbit terior. D) Busc u expresió que te permit coocer l hor e fució de l primer. E) Cuáts vuelts complets hbrá ddo 0 dís más trde ls 4 hors? Nº de órbits Hor e l que l h completdo. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Alici tiee e siete dís u exme de Mtemátics. Decide preprrlo hciedo cd dí tres ejercicios más que el dí terior. Empiez hoy hciedo dos ejercicios. Si escribimos los ejercicios que v hciedo Alici medid que ps los dís, so:, 5, 8,, 4, Observmos que los térmios de l sucesió v umetdo e u ctidd costte: 3. Este tipo de sucesioes se llm progresioes ritmétics. U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros reles e l que l difereci etre dos térmios cosecutivos de l sucesió es costte. A est costte se le llm difereci de l progresió y se suele deotr co l letr d. De otr form, e u progresió ritmétic se verific: i+ i = d siedo i culquier úmero turl Es decir, cd térmio se obtiee sumdo l terior l difereci, d: i+ = i + d

3 33 L sucesió formd por los úmeros turles: {,, 3, 4, 5, } es u progresió ritmétic, y que cd térmio se obtiee sumdo l térmio terior. Si = 3 y d =, vmos ver cómo se escribe los cico primeros térmios de l progresió ritmétic: = 3, = + d = 3 + = 5 3 = + d = 5 + = 7 4 = 3 + d = 7 + = 9 5 = 4 + d = 9 + = 8. Señl rzodmete si l siguiete sucesió es u progresió ritmétic: {, 0, 00, 000, 00000,.}. 9. Clcul los tres primeros térmios de u progresió ritmétic sbiedo que el primero es y l difereci es... Térmio geerl de u progresió ritmétic U progresió ritmétic, l igul que ocurre co tods ls sucesioes, qued perfectmete defiid si coocemos su térmio geerl. Vmos clculrlo utilizdo l defiició que hemos visto de progresió ritmétic y supoiedo coocidos el primer térmio y l difereci de l sucesió, d. ddo = + d 3 = + d = + d + d = + d 4 = 3 + d = + d + d = + 3d 5 = 4 + d = + 3d + d = + 4d. De form geerl: = + d = + ( ) d + d = + ( ) d Por tto, el térmio geerl de u progresió ritmétic es: = + ( ) d Geerlizdo este resultdo, podemos clculr el térmio geerl de u progresió ritmétic coociedo d y otro térmio de l progresió, o ecesrimete el primero: Más geerl, el térmio geerl de u progresió ritmétic es: = k + ( k) d Siedo k el térmio de l progresió que ocup el lugr k. NOTAS. Depediedo del vlor de d, os podemos ecotrr co distitos tipos de progresioes ritmétics: ) Si d > 0, l progresió es creciete, es decir, cd térmio es myor que los teriores. Por ejemplo: {, 4, 6, 8, } b) Si d < 0, l progresió es decreciete, es decir, cd térmio es meor que los teriores. Por ejemplo: {, 9, 6, 3, } c) Si d = 0, l progresió es costte, es decir, todos sus térmios so igules. Por ejemplo: {4, 4, 4, 4, }. Depediedo de los dtos que tegmos, clculremos el térmio geerl de u progresió ritmétic de u form u otr:. Si coocemos y d, hemos visto que: = + ( ) d b. Si coocemos u térmio culquier i y d, sbemos que: = k + ( k) d c. Si coocemos dos térmios culesquier r y s, os fltrí l difereci d pr poder plicr l fórmul terior. Pero, como sbemos que: = r + ( r) d y que = s + ( s) d r s podemos despejr d e fució de r, s, r y s y os qued: d = Hllr el térmio geerl de u progresió ritmétic cuyo primer térmio es 7 y su difereci tmbié es 7. Bst co sustituir e l fórmul dd: = + ( ) d = 7 + ( )7 = = 7. Clcul el térmio que ocup el lugr 5 e u progresió ritmétic cuyo primer térmio es y l difereci es 3. E este cso, 5 = + (5 ) d = = + 4 = 44. Clcul el primer térmio de u progresió ritmétic co 5 = 6 y d =. 5 = + (5 ) d. Despejmos = 5 4d = 6 4 () = Dd u progresió ritmétic dos de cuyos térmios so: 3 = 4 y 0 = 8. A) Clcul su difereci.. B) Clcul su térmio geerl.. Clcul el primer térmio de u progresió ritmétic co difereci y 30 = 60. r s

4 34. Cuál es el térmio geerl de u progresió ritmétic co = 45 y d = 3? 3. Los ldos de u petágoo está e progresió ritmétic de difereci 5. Sbiedo demás que su perímetro es 65, clcul el vlor de los ldos. 4. Clcul los 5 primeros térmios de u progresió ritmétic de primer térmio y de difereci 3. Represétlos gráficmete. Observ que su represetció gráfic es u cojuto de putos isldos que está sobre u rect. 5. Clcul l expresió geerl de ls progresioes ritmétics: ) De difereci d =,5 y de primer térmio. b) De difereci d = y de primer térmio 0. c) De difereci d = /3 y de segudo térmio 5. d) De difereci d = 4 y de quito térmio. 6. Cuátos múltiplos de 7 está compredidos etre el 4 y el 893?.. Sum de los térmios de u progresió ritmétic E u progresió ritmétic, l sum de dos térmios equidisttes es costte. Es decir, si los subídices turles p, q, r y s verific que p + q = r + s, etoces: p + q = r + s L demostrció de est propiedd es muy secill: p + q = + d (p ) + + d (q ) = + d (p + q ) r + s = + d (r ) + + d (s ) = + d (r + s ) Y como: p + q = r + s, etoces: p + q = r + s Queremos clculr l sum de los térmios de u progresió ritmétic, S. Es decir: S = Aplicdo l propiedd comuttiv de l sum, teemos que: S = Sumdo ests dos igulddes térmio térmio obteemos: S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) ( + 3 ) + ( + ) + ( + ) Como se observ, los subídices correspodietes cd pr de térmios etre prétesis sum +, por lo que l sum de sus térmios será siempre l mism, etoces: S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) ( + 3 ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) ( ) Despejdo S : S L sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic viee dd por: S ( ). Sum los 30 primeros térmios de l progresió ritmétic: = {7, 3, 9, 5,, }. Observmos que d = 4. Pr plicr l fórmul de l sum teemos que clculr primero el térmio que ocup el lugr 30, 30 : 30 = + ( )d = 7 +(30 ) (4) = (4) = 99 7 ( 99) Etoces: S 30 = Hll l sum de los úmeros impres meores que 000. Teemos que teer e cuet que los úmeros impres form u progresió ritmétic de difereci y demás: 999 =, = 500, 500 = 999. Etoces: S 500 = 500 = Sum los 0 primeros térmios de l progresió ritmétic: {5, 4, 3,, 3, 40, } 8. Hll l sum de los 50 primeros múltiplos de E u sucesió ritmétic de u úmero impr de térmios el cetrl vle, cuáto vldrá l sum del primero más el último? 0. El dueño de u pozo cotrt u zhorí pr coocer l profudidd l que se ecuetr el gu y éste dictmi que 5 m hy gu e budci. Pide u presupuesto u cotrtist, que le dice que el primer metro le costrá 50 euros y por cd medio metro más 6 euros más que por el medio terior. Cuáto le costrá el pozo si se cumple ls prediccioes?. Atoio se h comprdo u móvil, pero o puede pgrlo l cotdo. Pg 60 euros cd sem, pero el vededor le sube 5 euros cd sem e cocepto de pgo plzdo. Logr pgrlo e 0 sems. Cuáto le costó? Cuáto pgó de más? Qué porcetje supoe este recrgo sobre el precio de vet?. U ddor se etre e u pisci de 50 m y quiere cotrolr ls pérdids de velocidd por cscio. Croometr e cico dís cosecutivos los tiempos que trd e hcer, 5, 8,, 4 lrgos. A) Hll el térmio geerl de l sucesió que d los metros recorridos e el dí. B) Cuátos metros hbrá ddo e dichos croometrjes?

5 35 3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS U pdre ple meter e u huch el dí que su hijo recié cido cumpl u ño y duplicr l ctidd e cd uo de sus cumpleños. Es decir, l sucesió cuyos térmios so el diero que mete e l huch cd ño es: {,, 4, 8, 6, }. Observmos que los térmios de l sucesió v umetdo de form que cd térmio es el terior multiplicdo por. Este tipo de sucesioes se llm progresioes geométrics. U progresió geométric es u sucesió de úmeros reles e l que el cociete etre cd térmio y el terior es i costte. A est costte se deomi rzó de l progresió y se suele deotr co l letr r. Es decir, r siedo i u úmero turl y siempre que i se distito de cero. O lo que es lo mismo, cd térmio se obtiee multiplicdo el terior por l rzó r: i+ = i r L sucesió: {, 3, 9, 7, 8, } es u progresió geométric, y que tomdo dos térmios culesquier cosecutivos, siempre se obtiee el mismo cociete, que es 3, rzó de l progresió. 3 : = 9 : 3 = 7 : 9 = 8 : 7 = Térmio geerl de u progresió geométric U progresió geométric, por ser u sucesió, qued totlmete defiid si coocemos su térmio geerl. Vmos obteerlo si más que plicr l defiició de progresió geométric: = r 3 = r = r r = r 4 = 3 r = r r = r 3 5 = 4 r = r 3 r = r 4 = r = r r = r Por tto, el térmio geerl de u progresió geométric es: = r Geerlizdo este resultdo, podemos clculr el térmio geerl de u progresió geométric coociedo r y otro térmio de l progresió, o ecesrimete el primero: Más geerl, el térmio geerl de u progresió geométric es: = k r k siedo k el térmio de l progresió que ocup el lugr k. L sucesió = 3 5 es u progresió geométric. NOTAS. Depediedo del vlor de r, os podemos ecotrr co distitos tipos de progresioes geométrics: ) Si r >, l progresió es creciete, es decir, cd térmio es myor que los teriores. Por ejemplo: {, 4, 8, 6, } b) Si 0 < r <, l progresió es decreciete, es decir, cd térmio es meor que los teriores. Por ejemplo: {90, 30, 0, 0/3, 0/9, } c) Si r < 0, l progresió es lterd, es decir, sus térmios v cmbido de sigo segú el vlor de. Por ejemplo: {, 4, 8, 6, } d) Si r = 0, l progresió es l progresió formd por ceros prtir del segudo térmio. Por ejemplo: {7, 0, 0, 0, } e) Si r =, l progresió es l progresió costte formd por el primer térmio: {,,,, }. Depediedo de los dtos que tegmos, clculremos el térmio geerl de u progresió geométric de u form u otr: ) Si coocemos y r, hemos visto que: = r. b) Si coocemos u térmio culquier k y r, sbemos que: = k r k c) Si coocemos dos térmios culesquier p y q, co p o ulo, os flt coocer l rzó r pr poder plicr l fórmul terior. Pero, como sbemos que: = p r p y que = q r q podemos despejr r e fució de p, q, p y q y os qued: r = q p q P i

6 36 Hllr el térmio geerl de u progresió geométric cuyo primer térmio es 7 y su rzó tmbié es 7. Bst co sustituir e l fórmul dd: = r = 7 7 = 7. Clcul el térmio que ocup el lugr 5 e u progresió geométric cuyo primer térmio es y rzó 3. E este cso, 5 = r = 3 5 = 3 4 = 6. Clcul el primer térmio de u progresió geométric co 3 = 6 y r =. Despejmos de = r y teemos: =. Pr = 3, teemos: = r 6 ( ) 3. Averigu l rzó de u progresió geométric cuyo primer térmio es 7 y el curto es El curto térmio de u progresió geométric es /9 y l rzó /3. Hll el primer térmio. 5. Hll el sexto térmio de l siguiete progresió geométric: {,,, 4, } 6. Dd u progresió geométric dos de cuyos térmios so: 3 = 8 y 6 = 048. A) Clcul su rzó. B) Clcul su térmio geerl. 7. Ciert clse de lg, llmd clorell, se reproduce dobldo su ctidd cd dos hors y medi. Al cbo de otrs dos hors y medi vuelve doblr su ctidd, y sí sucesivmete. Si se tiee e el mometo iicil u kilo, l cbo de dos hors y medi hy dos kilos. A) Hz u tbl de vlores e l que idiques pr cd periodo de reproducció el úmero de kilos de clorell. B) Idic el térmio geerl. C) Al cbo de 4 dís, h trscurrido 40 periodos, cosiders posible este crecimieto? 3.. Producto de los térmios de u progresió geométric E u progresió geométric, el producto de dos térmios equidisttes es costte. Es decir, si los subídices turles p, q, t y s verific que p + q = t + s, etoces: p q = t s L demostrció de est propiedd es muy secill: p q = r p r q = r p r q = r p+q t s = r t r s = r t r s = r t+s Y como: p + q = t + s, etoces: p q = t s Queremos clculr el producto de los térmios de u progresió geométric, P. Es decir: P = 3.. Aplicdo l propiedd comuttiv del producto, teemos que: P =.. 3 Multiplicdo ests dos igulddes: P = ( 3.. ) (.. 3 ) P = ( ) ( ) ( 3 ).. ( 3 ) ( ) ( ) Como se observ, los subídices correspodietes cd pr de térmios etre prétesis sum +, por lo que el producto será siempre el mismo e cd fctor, etoces: P = ( ) Despejdo P : El sigo será positivo o egtivo depediedo de l progresió. El producto de los primeros térmios de u progresió geométric viee ddo por: P = P = Hll el producto de los siete primeros térmios de u progresió geométric cuyo primer térmio es = /8 y rzó r = Observmos que todos los térmios de l sucesió so todos egtivos, por lo que el producto de u úmero pr de térmios es positivo y que el producto de u úmero impr es egtivo. Clculmos 7 pr poder utilizr l fórmul deducid teriormete: 7 = r = 7 = (/8) 6 = 8. Etoces: P 7 = 7 7 / = 8. El primer térmio de u progresió geométric es 3 y el octvo 384. Hll l rzó y el producto de los 8 primeros térmios. 9. Clcul el producto de los 5 primeros térmios de l progresió: 3, 6,, 4, r

7 Sum de los térmios de u progresió geométric A) Sum de u úmero limitdo de térmios cosecutivos de u progresió geométric Ju h comprdo 0 libros, por el º h pgdo, por el º,, por el 3º, 4, por el 4º, 8 y sí sucesivmete. Cómo podemos sber lo que h pgdo e totl si ecesidd de hcer l sum? Se trt de u progresió geométric co = y r =. Se trtrí de clculr: Vmos verlo e geerl, pr u progresió geométric culquier: Queremos clculr: S = Pr ello, multiplicmos est iguldd por r: r S = r + r + r r + r Pero como: = r 3 = r 4 = r 3. = r L iguldd terior qued: r S = r Restdo: r S = r S = r S S = + r r (r ) S = r S = siempre que r, y como = r r Etoces: ( r ) S = siempre que r. r L sum de los primeros térmios de u progresió geométric viee dd por: r ( r ) S = = siempre que r. r r Se cosider r y que si r = l progresió es l progresió costte formd por el primer térmio: {,,,, } y S = Alicemos l sum segú los distitos vlores de r: ) Si r >, los térmios e vlor bsoluto crece idefiidmete y el vlor de S viee ddo por l fórmul terior. b) Si r <, l sum de sus térmios cudo es grde se proxim S, y que si e S = elevmos l rzó r < u poteci, cuto myor se el expoete, meor será el vlor de r y si es suficietemete grde, r se proxim 0. Por eso, S ( ) r r c) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos:{,,,, } y S es igul cero si es pr, e igul si es impr. L sum de l serie oscil etre esos dos vlores. Hllr l sum de los primeros térmios de u progresió geométric sbiedo que el primer térmio es y l rzó 3. r S = = r 3 Hllr l sum de los 7 primeros térmios de u progresió geométric sbiedo que el séptimo térmio es 0480, el primero es 5 y l rzó es 4. r r Ahor utilizmos l fórmul: S =. Sustituyedo: S 7 = r r U gricultor e su grj tiee litros de gu pr dr de beber los imles. U dí utilizó l mitd del coteido, l siguiete l mitd de lo que le quedb y sí sucesivmete cd dí. Cuátos litros de gu utilizó hst el sexto dí? 3. Sum los quice primeros térmios de u progresió geométric e l que = 5 y r = ½ r ( r r )

8 38 B) Sum de u úmero ilimitdo de térmios cosecutivos de u progresió geométric Qué ocurrirá si repetimos el proceso terior idefiidmete? Es decir, qué ocurrirá si summos u úmero ilimitdo de térmios? Depediedo del vlor de r será posible o o obteer l sum de u úmero ilimitdo de térmios: ) Si r =, l progresió es l progresió costte formd por el primer térmio: {,,,, } y si es positivo l sum de los térmios será cd vez myor (si fuer egtivo serí l sum cd vez myor e vlor bsoluto, pero egtiv). Por tto, si el úmero de térmios es ilimitdo, est sum será ifiit. b) Si r >, los térmios crece idefiidmete y el vlor de S pr u úmero ilimitdo de térmios, tmbié será ifiito. c) Si r <, l sum de sus térmios se proxim cudo es grde S. r Observmos que l sum o depede del úmero de térmios, y que l hcerse cd vez más pequeños, lleg u mometo e que o se cosider. d) Si r =, los térmios cosecutivos so opuestos: {,,,, } y S es igul cero si es pr, e igul si es impr. L sum de l serie oscil etre esos dos vlores pr u úmero fiito de térmios. Pr u úmero de térmios ilimitdo o sbemos si es pr o impr, co lo que l sum o se puede relizr o ser que 0, cso e que S 0. E el resto de los csos decimos que l sum de ifiitos térmios o existe pues su vlor r es oscilte. e) Si r <, los térmios oscil etre vlores positivos y egtivos, creciedo e vlor bsoluto. L sum de sus ifiitos térmios o existe pues su vlor tmbié es oscilte. E resume, L sum de u úmero ilimitdo de térmios de u progresió geométric sólo tom u vlor fiito si r <, y etoces viee dd por: S E el resto de los csos, o vle ifiito, o o existe pues oscil. r Clcul l sum de todos los térmios de l progresió geométric cuyo primer térmio es 4 y l rzó /. 4 S = = 8 r E u progresió geométric l rzó es /4 y l sum de todos sus térmios es 8. Cuáto vle el primer térmio? Despejmos de: S y: = S ( r) = 8 ( /4) = 6 r 3. Clcul l sum de los ifiitos térmios de l sucesió: 6, 3, 3/, 3/4, 33. Teemos e l mo u cudrdo de áre. Cortmos ls cutro esquis por los putos medios de los ldos. El uevo cudrdo, qué áre tiee? Dejmos los recortes ecim de l mes. Qué áre de recortes hy sobre l mes? Co el uevo cudrdo que teemos e l mo efectumos l mism operció de cortr ls cutro esquis y dejrls sobre l mes, y sí sucesivmete. Qué áre tiee los sucesivos cudrdos que tego e l mo? Y los recortes que qued sobre l mes? Hll l sum de ls ifiits áres de recortes sí obteids. 34. De uevo teemos u cudrdo de áre e l mo, y lo cortmos por ls líes de putos como idic l figur. El trozo myo lo dejmos sobre l mes y os quedmos e l mo co el cudrdo, l que volvemos cortr de l mism form. Y sí sucesivmete. Qué áre tiee los sucesivos cudrdos que tego e l mo? Crece o dismiuye? Escribe el térmio geerl de l sucesió de áres que teemos e l mo. Y los recortes que qued sobre l mes? Crece el áre o dismiuye? Vmos sumdo áres, clcul l sum de ests áres si hubiérmos hecho ifiitos cortes.

9 Apliccioes de ls progresioes geométrics Frcció geertriz El curso psdo estudiste cómo psr de u deciml periódico puro o periódico mixto u frcció. Ahor vmos utilizr ls progresioes geométrics pr que compreds mejor el proceso. Si teemos u úmero deciml periódico puro, lo podemos escribir como:,37 = + 0,37 + 0, , O lo que es lo mismo: dode los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <, cuy sum ifiit vle: S 00 r Por tto: + 00 = = + = + = Si teemos u úmero deciml periódico mixto, se utiliz u proceso similr:,38 =,3 + 0, , O lo que es lo mismo:, E este cso, los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <. Por tto: , = + 0,3 + = + + = Not Co este proceso estmos ilustrdo el cocepto de frcció geertriz como plicció de ls progresioes geométrics, pero efectos prácticos, es más cómodo efecturlo segú el proceso visto. Cpitlizció compuest El iterés compuesto lo estudirás deteidmete e el cpítulo 6, pero hor es itereste que seps que etoces vs usr ls progresioes geométrics pr clculrlo, y que tiees u hoj de cálculo pr hcer ls opercioes. Si depositmos e u etidd ficier u ctidd de diero C 0 durte u tiempo t y u rédito r ddo e tto por uo, obtedremos u beeficio: I = C 0 r t llmdo iterés. L pricipl crcterístic de l cpitlizció compuest es que los itereses que se geer e u ño, ps formr prte del cpitl iicil y produce itereses e los periodos siguietes. Etoces: Al fil del primer ño, el cpitl será el cpitl iicil C 0 juto co los itereses producidos durte ese ño. Es decir: o C = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C 0 ( + r) Al fil del segudo ño, el cpitl que tedremos será el cpitl que teímos l filizr el primer ño más los itereses producidos ese segudo ño. Es decir: C = C + C r = C ( + r) = C 0 ( + r) ( + r) = C 0 ( + r) Observdo los cpitles obteidos: C, C,, C cocluimos que se trt de u progresió geométric de rzó ( + r). Por tto: El ño -ésimo, tedremos: El cpitl fil obteido después de ños ddo u cpitl iicil C 0 y u rédito r ddo e tto por uo, es: C = C 0 ( + r)

10 40 Vemos l frcció geertriz de 3, 45 como plicció de ls progresioes geométrics. 3, 45 = 3 + 0,45 + 0, , O lo que es lo mismo: dode los sumdos prtir del segudo form u progresió geométric de rzó r = <, cuy sum ifiit vle: S. Por tto: 00 r = = 3 + = + = = Depositmos e u bco 500 l 3,5 % de cpitlizció compuest durte tres ños. Cuáto diero tedrímos l filizr el tercer ño? Utilizmos l expresió: C t = C 0 ( + r) t dode C 0 = 500, r = 0,035 pues es el tto por uo y t = 3 ños. Por tto: C t = C 0 ( + r) t = 500( + 0,035) 3 = 663, Clcul l frcció geertriz del úmero 4, U empresrio cude u etidd ficier pr iformrse sobre cómo ivertir los 6000 de beeficios que h teido e u mes. Le plte dos opcioes. ) Mteer ese cpitl durte 5 ños l 3,5 % ul o b) Recibir el 5 % del cpitl durte los dos primeros ños y el 3 % los tres ños resttes. Qué opció le iteres más? Progresió ritmétic RESUMEN Es u sucesió de úmeros reles e l que l difereci etre dos térmios cosecutivos de l sucesió es costte. A est costte se le llm difereci de l progresió y se suele deotr co l letr d., 5, 8,, 4, 7, Térmio geerl = k + ( k) siedo k el térmio que ocup el lugr k = + 3 Sum de los ( ) S S 8 = (8/) ( + ( + 3 8)) = primeros térmios 4 (4 + 4) = 4 8 = Progresió geométric Es u sucesió de úmeros reles e l que el cociete etre cd térmio y el terior es costte. A est costte se deomi rzó de l progresió y se suele deotr co l letr r. Es decir, i r siedo i u úmero turl. i 3, 6,, 4,, /, /4, /8 Térmio geerl = k r -k siedo k el térmio de l sucesió que ocup el lugr k = 3 - = (/) Sum - Pr r, y u úmero fiito de térmios: r (r ) S = = r r - Pr r, y u ctidd ilimitd de térmios: S r S 8 = 3( 8 )/( ) = 3(56 ) = 3(55) = 765. S = /( /) = Producto de los primeros térmios P = 8 9 P 9 = + ( 3 3 ) =(3 4 ) 9

11 4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Clcul el térmio que ocup el lugr 00 de u progresió ritmétic cuyo primer térmio es igul 4 y l difereci es 5.. El décimo térmio de u progresió ritmétic es 45 y l difereci es 4. Hll el primer térmio. 3. Sbiedo que el primer térmio de u progresió ritmétic es 4, l difereci 7 y el térmio -ésimo 88, hll. 4. Hll el primer térmio de u progresió ritmétic y l difereci, sbiedo que 3 = 4 y 0 = El térmio sexto de u progresió ritmétic es 4 y l difereci /. Hll el térmio Clcul los ldos de u triágulo rectágulo sbiedo que sus medids, expresds e metros, está e progresió ritmétic de difereci Hll tres úmeros que esté e progresió ritmétic y tles que, umetdos e 5, 4 y 7 uiddes respectivmete, se proporcioles 5, 6 y Clcul l sum de los múltiplos de 59 compredidos etre 000 y El producto de tres térmios cosecutivos de u progresió ritmétic es 80 y l difereci es 3. Hll dichos térmios. 0. Cuátos térmios hy que sumr de l progresió ritmétic, 8, 4,... pr obteer como resultdo 064?. L sum de úmeros turles cosecutivos tomdos prtir de es 75. Cuátos térmios hemos sumdo?. Sbiedo que el quito térmio de u progresió ritmétic es 8 y l difereci es, hll l sum de los ueve primeros térmios de l sucesió. 3. L sum de tres úmeros e progresió ritmétic es 33 y su producto 87. Hll estos úmeros. 4. Tres úmeros e progresió ritmétic tiee por producto 6640; el más pequeño vle 0. Hll los otros dos. 5. El producto de cico úmeros e progresió ritmétic es 30 y su sum 40. Hll estos úmeros sbiedo que so eteros. 6. Clcul tres úmeros sbiedo que está e progresió ritmétic, que su sum es 8 y que l sum del primero y del segudo es igul l tercero dismiuido e dos uiddes. 7. L sum de los oce primeros térmios de u progresió ritmétic es 76 y l difereci de los extremos es 30. Hll los térmios de l progresió. 8. Hll cutro úmeros e progresió ritmétic, coociedo su sum, que es, y l sum de sus cudrdos, L difereci de u progresió ritmétic es 4. El producto de los cutro primeros térmios es 585. Hll los térmios. 0. Hll los seis primeros térmios de u progresió ritmétic sbiedo que los tres primeros sum 3 y los tres últimos 4.. E u progresió ritmétic el ocevo térmio excede e uiddes l octvo, y el primero y el oveo sum 6. Clcul l difereci y los térmios meciodos.. E u progresió ritmétic, los térmios segudo y tercero sum 9, y los térmios quito y séptimo sum 40. Hálllos. 3. Sbiedo que ls medids de los tres águlos de u triágulo está e progresió ritmétic y que uo de ellos mide 00º, clcul los otros dos. 4. Hll ls dimesioes de u ortoedro sbiedo que está e progresió ritmétic, que sum 78 m y que el volume del ortoedro es de 5470 m. 5. Los seis águlos de u hexágoo está e progresió ritmétic. L difereci etre el myor y el meor es 60º. Clcul el vlor de cd águlo. 6. Ls logitudes de los tres ldos de u triágulo rectágulo está e progresió ritmétic y sum 36 metros. Cuáto mide cd ldo? 7. U coroel md 5050 solddos y quiere formr co ellos u triágulo pr u exhibició, de modo que l primer fil teg u solddo, l segud dos, l tercer tres, etc. Cuáts fils tiee que hber? 8. Por el lquiler de u cs se cuerd pgr 800 euros l mes durte el primer ño, y cd ño se umetrá el lquiler e 50 euros mesules. Cuáto se pgrá mesulmete l cbo de ños? 9. Ls eddes de cutro hermos form u progresió ritmétic, y su sum es 3 ños. El myor tiee 6 ños más que el meor. Hll ls eddes de los cutro hermos. 30. U esquidor comiez l pretempord de esquí hciedo pess e u gimsio durte u hor. Decide icremetr el etremieto 0 miutos cd dí. Cuáto tiempo deberá etrer l cbo de 5 dís? Cuáto tiempo e totl hbrá dedicdo l etremieto lo lrgo de todo u mes de 30 dís? 3. E u sl de cie, l primer fil de butcs dist de l ptll 86 dm, y l sext, 34 dm. E qué fil estrá u perso si su distci l ptll es de 30 dm? 3. Clcul el térmio ocevo de u progresió geométric cuyo primer térmio es igul y l rzó es. 33. El quito térmio de u progresió geométric es 8 y el primero es. Hll los cico primeros térmios de dich progresió.

12 4 34. E u progresió geométric de primer térmio 7 y rzó, u cierto térmio es 867. Qué lugr ocup dicho térmio? 35. Sbiedo que el séptimo térmio de u progresió geométric es y l rzó /, hll el primer térmio. 36. E u progresió geométric se sbe que el térmio decimoquito es igul 5 y que el térmio décimo es igul 6. Hll el primer térmio y l rzó. 37. Descompó el úmero 4 e tres sumdos que forme progresió geométric, siedo 96 l difereci etre el myor y el meor. 38. El volume de u ortoedro es de 3375 cm 3. Hll l logitud de sus rists, sbiedo que está e progresió geométric y que l rist itermedi mide 0 cm más que l meor. 39. Hll el producto de los ocho primeros térmios de l progresió 3, 6,, 4, Hll l sum de los diez primeros térmios de l progresió geométric 3, 6,, 4, L sum de los ocho primeros térmios de u progresió geométric es 7 veces l sum de los cutro primeros. Hll el vlor de l rzó. 4. Hll l sum de los térmios de l progresió ilimitd: 8, 4,,, Hll tres úmeros e progresió geométric sbiedo que su sum es 6 y su producto Clcul el producto de los oce primeros térmios de u progresió geométric sbiedo que el térmio cetrl vle. 45. Tres úmeros e progresió geométric sum 55 y su producto vle u milló. Clcul dichos úmeros. 46. Determi cutro úmeros e progresió geométric de mer que los dos primeros sume 0,5 y los dos últimos 0, Cuátos térmios se h tomdo e u progresió geométric, sbiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su sum 889? 48. L sum de los siete primeros térmios de u progresió geométric de rzó 3 es 765. Hll los térmios primero y séptimo. 49. Hll tres úmeros e progresió geométric cuyo producto es 38509, sbiedo que el myor excede e 5 l sum de los otros dos. 50. Tres úmeros está e progresió geométric; el segudo es 3 uiddes myor que el primero, y el tercero, 96 uiddes myor que el segudo. Hll los úmeros. 5. Hll los cutro primeros térmios de u progresió geométric, sbiedo que el segudo es 0 y l sum de los cutro primeros es Hll los águlos de u cudrilátero, si se sbe que está e progresió geométric y que el myor es 7 veces el meor. 53. Ls dimesioes de u ortoedro está e progresió geométric. Clcul ests dimesioes sbiedo que su perímetro es 40 m y su volume 8000 m Divide el úmero e tres prtes eters que form u progresió geométric tl que el tercer térmio sobreps l primero e L sum de tres úmeros e progresió geométric es 48 y l difereci etre los extremos 9. Hll dichos úmeros. 56. Hll cutro úmeros e progresió geométric sbiedo que l sum de los dos primeros es 8 y l sum de los dos últimos E u progresió geométric, los térmios primero y decimoquito so 6 y 54, respectivmete. Hll el térmio sexto. 58. U progresió geométric tiee cico térmios, l rzó es igul l curt prte del primer térmio y l sum de los dos primeros térmios es 4. Hll los cico térmios. 59. Hll x pr que x, x +, (x + ) esté e progresió geométric. 60. A u cuerd de 700 m de logitud se le d dos cortes, de modo que uo de los trozos extremos tiee u logitud de 00 m. Sbiedo que ls logitudes de los trozos está e progresió geométric, determi l logitud de cd trozo. 6. Hll l frcció geertriz del úmero deciml 0, , como sum de los térmios de u progresió geométric ilimitd. 6. Se tiee u cub de vio que cotiee 04 litros. El de octubre se vció l mitd del coteido; l dí siguiete se volvió vcir l mitd de lo que quedb, y sí sucesivmete todos los dís. Qué ctidd de vio se scó el dí 0 de octubre? 63. Ddo u cudrdo de m de ldo, uimos dos dos los putos medios de sus ldos; obteemos u uevo cudrdo, e el que volvemos efectur l mism operció, y sí sucesivmete. Hll l sum de ls ifiits áres sí obteids.

13 Tres úmeros cuy sum es 36 está e progresió ritmétic. Hll dichos úmeros sbiedo que si se les sum, 4 y 43, respectivmete, los resultdos form u progresió geométric. 65. Triágulo de Sierspiky: Vmos costruir u frctl. Se prte de u triágulo equilátero. Se ue los putos medios de los ldos y se form cutro triágulos. Se elimi el triágulo cetrl. E cd uo de los otros tres triágulos se repite el proceso. Y sí sucesivmete. A l figur formd por iterció ifiit se l deomi Triágulo de Sierspiky, y es u frctl. Imgi que el primer triágulo tiee u áre A. Cudo plicmos l primer iterció, el áre es (3/4)A. Y e l segud? Escribe l sucesió de ls áres. Es creciete o decreciete? Imgi hor que l logitud de cd ldo del triágulo iicil es L. Escribe l sucesió de ls logitudes. Es creciete o decreciete? AUTOEVALUACIÓN. Cuál es l rzó de l siguiete progresió geométric: 5 3? ) 5 b) 3 c) d) No es u progresió geométric. E l sucesió de múltiplos de 3, el 69 ocup el lugr: ) b) c) 3 d) L sum de los diez primeros térmios de l progresió ritmétic: 7, 3, 9, 3, es: ) 70 b) 34 c) 9 d) L sucesió 5, 5, 45, 35, 405, 5...: ) Es u progresió geométric de rzó 5 b) Es u progresió ritmétic de difereci 5 c) Es u progresió geométric de rzó 3 d) Es u progresió ritmétic de difereci Se l sucesió:, 0, 50, 50, su térmio geerl es: ) = 5 - b) = - c) = d) = 5-6. Cuáto sum ls potecis de compredids etre y 0? ) 0 b) 046 c) 04 d) L progresió ritmétic cuyo primer térmio es y su difereci, tiee como térmio geerl: ) = b) = + c) = d) = 8. Cuál es el vlor de l sum: ? ) b) c) d) Mrí está preprdo el exme de selectividd. Pr o dejr tod l mteri pr el fil h decidido estudir cd dí el doble de págis que el dí terior. Si el primer dí estudió tres págis, cuáts hbrá estudido l cbo de 7 dís? ) 38 b) 9 c) 765 d) A Roberto le h tocdo 6000 e l loterí y decide depositrlos e el bco u tipo de iterés compuesto del 4 %. Cuáto diero tedrá l cbo de 5 ños? ) 640 b) 604 c) 783,04 d) 799,9