PROGRESIONES. y el término general de la progresión es: a1 an Obtención del término general en función de otro cualquiera.

Transcripción

1 I.E.S. Rmó Girlo PROGRESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS.. Defiició U progresió ritmétic (oriri) es u serie e úmeros e form que c uo e ellos se obtiee el terior sumáole u cti costte que llmmos ifereci, es ecir, si,,...,,... es u progresió ritmétic, etoces l ifereci es y el térmio geerl e l progresió es: ) El térmio geerl e l sucesió 5, 8,, 4, 7, 0, es 3 Se trt e u progresió ritmétic co ifereci 3, y que c térmio e l mism es igul l terior más tres. Así, 53 ) L sucesió e los úmeros pres, 4, 6, 8, 0, tmbié es u progresió ritmétic e ifereci, y que c térmio e l mism es igul l terior más os. Así,.. Obteció el térmio geerl e fució e otro culquier Si es u progresió ritmétic, se tiee que y, por tto k k Despejmos e () y (), obteemos: k k Igulo, result: k k e oe k k k k k.3. Sum e térmios cosecutivos e u progresió ritmétic Aemás, l sum e térmios se puee clculr por l fórmul: k ipri Progresioes

2 S ) Cosiermos l sucesió ritmétic e ifereci 3: 5, 8,, 4, 7, 0, y vmos sumr los 0 primero térmios: S ) Cosiermos l sucesió ritmétic e ifereci :, 4, 6, 8, 0, y vmos sumr los 00 primero térmios: 00 S Iterpolció e térmios e u progresió ritmétic Iterpolr m térmios etre os úmeros os y b es formr u progresió ritmétic co m térmios e form que el primero y el último se los úmeros que os, esto es, hy que hllr m úmeros,,..., m tles que,,,..., m, b se u progresió ritmétic e m térmios. E este cso se tiee que l ifereci es: b m Ejemplo: Iterpolr 5 meios ritméticos etre 8 y 5. L progresió ritmétic es: 8,,, 3, 4, 5,5. Como 8 y b 5, l ifereci es y, por tto, Así, l progresió ritmétic busc es: 8,,,,,, Mtemátics I

3 I.E.S. Rmó Girlo.5. U curiosi históric De iño Guss ( ) sistió l escuel locl, irigi por u mestro e costumbres rutiris. U í, co objeto e teer l clse tre y e silecio urte u bue rto, el mestro tuvo l ie e hcer sumr sus lumos toos los úmeros el l 00, oreáoles emás que, segú fuer termio c uo est áre, eberí colocr su pizrr sobre l mes el mestro. Csi imeitmete colocó Guss su pizrr sobre l mes, icieo: y está ; el mestro lo miró eseñosmete mietrs los emás trbjb co híco. Cuo toos hubiero termio y el mestro revisó l fi los resultos obteios, se ecotró co l sorpres otble e que l úic pizrr e l que precí l respuest correct, 5050, si igú cálculo ccesorio, er l e Guss. El muchchito e 0 ños hbí hecho evietemete el cálculo metl e sumr l progresió ritmétic,, 3, 4,..., 99, 00 socio prejs e térmios igulmete lejos e los m extremos, es ecir, esecilmete utilizo l fórmul m. No es pues extrño que hor se le coozc como el Prícipe e ls Mtemátics.. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.. Defiició U progresió geométric es u serie e úmeros e form que c uo e ellos se obtiee el terior multiplico por u cti costte llm rzó, es ecir, si,,...,,... es u progresió geométric, etoces l rzó es r y el térmio geerl e l progresió es: r ) L sucesió,, 4, 8, 6, 3, es u progresió geométric e rzó r, y que c térmio e l mism es igul l terior multiplico por os. Así, ) L sucesió,,,,,,... es u progresió geométric e rzó r, y que c térmio e l mism es igul l terior multiplico por meos uo. Así, 3) L sucesió 4,,,,,... 4 es u progresió geométric e rzó r, y que c térmio e l mism es igul l terior multiplico por meos u meio. Así, 4 ipri Progresioes 3

4 .. Sum y proucto e térmios cosecutivos e u progresió geométric El proucto e térmios e u progresió geométric es: P (tomremos + cuo P 0 y e cso cotrrio) y l sum e térmios es: r S r o lo que es lo mismo r S y si r, etoces S r ) El proucto e los 0 primeros térmios e progresió geométric,, 4, 8, 6, 3,, es: P 0 5 L sum e los 0 primeros térmios es: 0r 5 9 S r 5 ) El proucto e los 00 primeros térmios e progresió geométric,,,,,,..., es: P L sum e los 00 primeros térmios es: 00r S r Sum e toos los térmios e u progresió geométric Se tiee que r r (es sum ifiit, sigific que estmos clculo el límite e l sucesió e cuyo cso S r r Ejemplo: L sum e toos los térmios e l progresió geométric: r ) Mtemátics I 4

5 I.E.S. Rmó Girlo es: 4,,,,, S 3.4. Iterpolció e térmios e u progresió geométric Iterpolr m térmios etre os úmeros os y b es formr u progresió geométric co m térmios e form que el primero y el último se los úmeros os. E este cso se tiee que l rzó es: r m b Ejemplo: Iterpolr 4 meios geométricos etre 8 y 4. L progresió geométric es: 8,,, 3, 4,4. Como 8 y b 4, l rzó es 4 r 4 8 y, por tto, Así, l progresió ritmétic busc es: 8, 64, 3, 6, 8, 4.5. L leye el Ajerez U leye cuet que el ivetor el jerez presetó su iveto u prícipe e l Ii que estb muy peo por l péri e uo e sus hijos e u btll. El prícipe queó t impresioo que quiso premirle geerosmete, pr lo cul le ijo: Píeme lo que quiers, que te lo ré. El ivetor el jerez formuló su petició el moo siguiete: Deseo que me etregues u gro e trigo por l primer csill el tblero, os por l segu, cutro por l tercer, ocho por l curt, ieciséis por l quit, y sí sucesivmete hst l csill 64. L sorpres fue cuo el secretrio el prícipe clculó l cti e trigo que represetb l petició el ivetor, porque to l Tierr sembr e trigo er isuficiete pr obteer el trigo que peí el ivetor. Cuátos trilloes e gros e trigo peí proximmete? Utiliz l clculor pr hllr el totl e gros e trigo: ipri Progresioes 5

6 Es ecir, gros e trigo! El rey queó boquibierto, jmás porí hber imgio que lo que el sbio le peí er imposible e pgr icluso co sus eormes riquezs! No obstte, stisfecho por hber coseguio que el rey volvier estr feliz y por l lecció mtemátic que le hbí o l reio, el ivetor reució l presete. 3. Resume Defiició: Form recurrete Progresioes ritmétics Térmio geerl Sum e térmios Sum e toos los térmios Progresioes geométrics S r r r S r S r siempre que r Proucto e térmios P Mtemátics I 6