SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:

Transcripción

1 UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número atural llamado ídice. Térmio i-ésimo de la sucesió. Térmio geeral de la sucesió. La colecció de úmeros que defie a ua sucesió permite clasificar a éstas e: ucesió moótoa creciete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es moótoa creciete cuado cada uo de los térmios que la forma es meor o igual que el térmio siguiete. a a +1 N* ucesió estrictamete creciete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es estrictamete creciete cuado cada uo de los térmios que la forma es meor que el térmio siguiete. a < a +1 N* ucesió moótoa decreciete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es moótoa decreciete cuado cada uo de los térmios que la forma es mayor o igual que el térmio siguiete. a a +1 N* ucesió estrictamete decreciete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es estrictamete decreciete cuado cada uo de los térmios que la forma es mayor que el térmio siguiete. a > a +1 N* ucesió acotada ucesió acotada superiormete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales está acotada superiormete si existe u úmero real, kr, tal que todos los térmios de la sucesió so meores o iguales que dicho úmero real. a k N* El úmero real, kr, es ua cota superior de la sucesió, (a ). Cualquier úmero real, k R, co, k >k, es tambié ua cota superior de la sucesió, (a ). sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 198

2 ucesió acotada iferiormete Ua sucesió, (a ), de úmeros reales está acotada iferiormete si existe u úmero real, kr, tal que todos los térmios de la sucesió so mayores o iguales a dicho úmero real. a k N* El úmero real, kr, es ua cota iferior de la sucesió, (a ). Cualquier úmero real, k R, co, k <k, es tambié ua cota iferior de la sucesió, (a ). Ua sucesió, (a ), de úmeros reales está acotada si lo está superior e iferiormete. Co las sucesioes, (a ), de úmeros reales se defie las siguietes operacioes: Producto de ua sucesió, (a ), de úmeros reales por u úmero real ea kr Número real. (a ) ucesió de úmeros reales. El producto del úmero real, kr, por la sucesió, (a ), de úmeros reales es otra sucesió, (k.a ), de úmeros reales e la que su térmio geeral se obtiee multiplicado el térmio geeral de la sucesió, (a ), de úmeros reales por el úmero real, kr. k.a umar y restar sucesioes de úmeros reales ea (a ), (b ) ucesioes de úmeros reales. La suma de dos sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales es otra sucesió, (s ), de úmeros reales e la que su térmio geeral se obtiee sumado los térmios geerales de las sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales. (s )= (a +b ) s = a +b La resta de dos sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales es otra sucesió, (r ), de úmeros reales e la que su térmio geeral se obtiee restado los térmios geerales de las sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales. (r )= (a +b ) r = a +b Producto y cociete de sucesioes de úmeros reales ea (a ), (b ) ucesioes de úmeros reales. El producto de dos sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales es otra sucesió, (p ), de úmeros reales e la que su térmio geeral se obtiee multiplicado los térmios geerales de las sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales. sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 199

3 (p )= (a.b ) p = a.b El cociete de dos sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales es otra sucesió, (c ), de úmeros reales e la que su térmio geeral se obtiee dividiedo los térmios geerales de las sucesioes, (a ), y, (b ), de úmeros reales. (p )= (a :b ) p = a :b Límite de ua sucesió de úmeros reales e dice que la sucesió, (a ), de úmeros reales tiee por límite el úmero real, ar, cuado a medida que el ídice, N, toma valores cada vez mayores, los térmios correspodiete a ese ídice de la sucesió, (a ), de úmeros reales se aproxima cada vez más al úmero real, ar. La defiició matemática de la idea ituitiva aterior es. Ua sucesió, (a ), de úmeros reales tiee por límite el úmero real, ar, cuado para todo úmero real positivo, R, existe u úmero atural, *N, tal que para todo úmero atural mayor que él, >*, se verifica, a -a<. R, >0, *N/>*, a -a< El límite de ua sucesió se deota lim a a se puede coseguir que, a -a, sea ta pequeño como se quiera, si más que darle al ídice, N, valores ta grades como sea ecesario. Esto sigifica que, si se quiere que los térmios de la sucesió de úmeros reales se separe del úmero real, ar, meos que ua cierta distacia, R, esto se produce para los térmios de la sucesió de úmeros reales, posteriores a u cierto úmero atural, *N. Cuato más pequeño sea el valor de, R, más grade tedrá que ser el valor del ídice, *N. E el esquema gráfico se observa que, R, es la achura de ua bada o rectágulo alrededor del valor del límite, ar, detro de la cual está todos los térmios de la sucesió a partir de uo que viee dado por, a *. Cuato más estrecha sea la bada, más avazado estará el térmio a partir del cual todos cae detro de ella. E fució del valor del límite, ar, de ua sucesió,(a ), de úmeros reales éstas se clasifica e: ucesió covergete ucesió, (a ), de úmeros reales que tiee por límite, ar, u úmero real fiito. Teorema de covergecia Toda sucesió, (a ), de úmeros reales moótoa decreciete y acotada iferiormete es covergete. Toda sucesió, (a ), de úmeros reales moótoa creciete y acotada superiormete es covergete. sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 200

4 ucesió divergete ucesió, (a ), de úmeros reales que tiee por límite el ifiito. El límite, ar, de ua sucesió verifica los siguietes teoremas: Teorema de uicidad El límite de ua sucesió, (a ), de úmeros reales es úico. Teorema sobre las operacioes co sucesioes de úmeros reales ea (a ) ucesió de úmeros reales que tiee por límite, ar. lim (b ) ucesió de úmeros reales que tiee por límite, br. lim se verifica: lim a b lim a lim b a b lim a lim a a lim k. a k.lim a k. a lim a. b lim a.lim b a. b a lim a a lim b lim b b lim k k lim kr costate lim b b b a lim a a Estas relacioes se verifica siempre que tega setido las operacioes defiidas co úmeros reales o las defiidas al añadir los úmeros, ±. Cuado lo dicho o es posible se dice que el cálculo del límite es idetermiado pues o se puede aplicar directamete las expresioes ateriores. Los casos e que se da la idetermiació so: La resolució de estas idetermiacioes tiee su propio procedimieto: e da e el cociete de sucesioes de úmeros reales. El térmio geeral de la misma es el cociete de expresioes algebraicas o poliomios, pudiedo teer e su desarrollo a b a b sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 201

5 radicales. La idetermiació desaparece dividiedo el umerador y el deomiador de la expresió del térmio geeral de la sucesió de úmeros reales por la potecia literal de mayor grado que haya e su expresió. 0-0 e da e sucesioes de úmeros reales co radicales y la idetermiació desaparece multiplicado y dividiedo el térmio geeral de la sucesió de úmeros reales por la expresió radical cojugada. 1 e da e potecias de sucesioes de úmeros reales y la idetermiació desaparece itetado escribir la expresió del térmio geeral de la misma e la forma 1 f 1 f puesto que lim 1 f 1 f = e Detro de las sucesioes se estudia: Progresió aritmética ucesió ordeada de úmeros tales que cada uo de ellos se obtiee sumádole al aterior ua catidad costate , 5, 8, 11, 14, e llama: Térmio A cada uo de los úmeros que forma la progresió aritmética. e represeta co ua letra, geeralmete A, a la que se le añade u subídice umérico que idica la posició de ese térmio e el total. 2, 5, 8, 11, 14, A 1 = 2 El primer térmio, A 1, tiee el valor, 2 A 2 = 5 El segudo térmio, A 2, tiee el valor, 5 A 3 = 8 El tercer térmio, A 3, tiee el valor, 8 Diferecia A la catidad costate, d, que se le suma a cualquier térmio para obteer el siguiete. Ua progresió aritmética tiee ua expresió geeral siedo A 1, A 2, A 3,..., A sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 202

6 A El térmio geeral se verifica por la propia defiició de progresió aritmética que: A 2 = A 1 +d A 3 = A 2 +d= (A 1 +d)+d= A 1 +2d... A = A -1 +d=...= A 1 +(-1)d e puede geeralizar la expresió aterior para el caso de que se coozca dos térmios cualesquiera, p, y, q, de la progresió aritmética. e tiee A p = A 1 + (p - 1).d A q = A 1 + (q - 1).d restado ambas ecuacioes miembro a miembro A p = A 1 + (p - 1).d A q = A 1 + (q - 1).d A p -A q = [A 1 +(p-1)d] [A 1 +(q-1)d]=(p-1)d (q-1)d= [(p-1)-(q-1)].d= [p-1-q+1].d= (p-q)d de dode despejado el térmio, A p, se tiee A p = A q +(p-q)d De la expresió geeral de ua progresió aritmética se deduce: La suma de los térmios equidistates de los extremos de ua progresió aritmética limitada permaece costate. A 1 A 2 A 3... A progresió aritmética limitada de -térmios La suma de los térmios equidistates de los extremos viee dada por las expresioes A 1 +A A 2 +A -1 = (A 1 +d)+(a -d)= A 1 +A A 3 +A -2 = (A 1 +2d)+(A -2d)= A 1 +A... el valor de todas estas sumas es el mismo e todas. Permaece costate. i la progresió aritmética tiee u úmero impar de térmios la suma de los térmios equidistates de los extremos toma u valor doble del valor que tiee su térmio del medio. 2, 5, 8, 11, 14 A 1 +A 5 = = 16 A 2 +A 4 = = 16 A 3 +A 3 = 2. A 3 = 2.8= 16 uma de los -primeros térmios de ua progresió aritmética. A 1 A 2 A 3... A progresió aritmética si se suma sus -primeros térmios se verifica: sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 203

7 = A 1 + A 2 + A A esta misma suma se obtiee si sus térmios se suma e setido cotrario = A + A -1 + A A 1 sumado estas dos últimas expresioes miembro a miembro A A A... A A A a. A A A... A A A = (A 1 +A )+(A 2 +A -1 )+(A 3 +A -2 )+....+(A +A 1 ) como todos los parétesis del segudo miembro de esta expresió suma lo mismo, puede escribirse 2 = (A 1 +A )+ (A 1 +A )+....+(A 1 +A )= (A 1 +A ). de dode A A , 5, 8, 11, 14 Progresió aritmética limitada de cico térmios. La suma de sus cuatro primeros térmios es: = 26. Valor que se puede obteer a través de la expresió: A A E ua progresió aritmética, A 10 = 32 y d= 5. Hallar el valor del térmio A 25. Hallar la suma de los 10 primeros térmios. A = A 1 +(-1).d A 10 = 32= A = A A 1 = 32-45= -13 A = -13+(-1).5= = 5-18 A 25 = A 1 +(25-1).d= = 107 A A Hallar el térmio geeral de la sucesió, -2, 3, 8, 13,... y calcula la suma de los 20 primeros térmios. A = A 1 +(-1).d= -2+(-1).5= = 5-7 A 20 = = -2+95= 93 A A sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 204

8 Media aritmética de dos úmeros, A, y, B La media aritmética de dos úmeros, a, y, B, es otro úmero, C, que itercalado etre ambos forma co ellos ua progresió aritmética. A, C, B la diferecia de esta progresió aritmética así formada se obtiee mediate las expresioes d= C-A= B-C de dode 2C= A+B C= A B 2 Iterpolar m-medios aritméticos etre dos úmeros, A, y, B Es itercalar etre ambos m-úmeros que forma co ellos ua progresió aritmética de, m+2, térmios cuyos extremos sea los úmeros, A, y, B. A, c 2, c 3,..., c m-1, c m, B Teiedo e cueta la expresió del térmio geeral de ua progresió aritmética, y que el térmio de valor, B, es el que ocupa la posició, m+2, e dicha progresió B= A+(m+2-1)d= A+(m+1)d Expresió de la que se deduce otra que permite determiar el valor de la diferecia de esta progresió aritmética así formada d B A m 1 Itercalar etre 3 y 27 cico úmeros aturales de tal forma que todos forme ua progresió aritmética = 3+6.d d Progresió geométrica ucesió ordeada de úmeros tales que cada uo de ellos se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad costate , 4, 8, 16, 32, e llama: sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 205

9 Térmio A cada uo de los úmeros que forma la progresió geométrica. e represeta co ua letra, geeralmete A, a la que se le añade u subídice umérico que idica la posició de ese térmio e el total. 2, 4, 8, 16, 32, A 1 = 2 El primer térmio, A 1, tiee el valor, 2 A 2 = 4 El segudo térmio, A 2, tiee el valor, 4 A 3 = 8 El tercer térmio, A 3, tiee el valor, 8 Razó A la catidad costate, r, que se le multiplica a cualquier térmio para obteer el siguiete. se verifica: Ua progresió geométrica e la que cada térmio es mayor que el aterior se llama creciete y se caracteriza porque su razó es positiva y mayor que la uidad. r> 1 Ua progresió geométrica e la que cada térmio es meor que el aterior se llama decreciete y se caracteriza porque su razó es positiva y meor que la uidad. 0<r<1 Ua progresió geométrica e que la razó es egativa se dice oscilate porque crece y decrece cotiuamete al ir cambiado de sigo. Ua progresió geométrica tiee ua expresió geeral A 1, A 2, A 3,..., A siedo A el térmio geeral se verifica por la propia defiició de progresió geométrica que: A 2 = A 1.r A 3 = A 2.r= (A 1.r).r= A 1.r 2... A = A -1.r=...= A 1.r -1 e puede geeralizar la expresió aterior para el caso de que se coozca dos térmios cualesquiera, p, y, q, de la progresió geométrica. e tiee A p = A 1.r p-1 A q = A 1.r q-1 dividiedo ambas ecuacioes miembro a miembro A A A. r p1 p 1 p1 ( q1) pq r r q1 q A1. r sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 206

10 de dode despejado el térmio, A p, se tiee A p = A 1.r p-q De la expresió geeral de ua progresió geométrica se deduce: El producto de los térmios equidistates de los extremos de ua progresió geométrica limitada permaece costate. A 1, A 2, A 3,..., A progresió geométrica limitada de -térmios El producto de los térmios equidistates de los extremos viee dado por las expresioes A 1.A A ( A. r). A. A r 2 A ( A1. r ). A 2 1. A r A 2.A -1 = 1 1 A 3.A -2 = (... El valor de todas estos productos es el mismo e todas las multiplicacioes. Permaece costate i la progresió geométrica tiee u úmero impar de térmios el producto de los térmios equidistates de los extremos toma u valor igual al cuadrado del valor que tiee su térmio del medio. 2, 4, 8, 16, 32 A 1.A 5 = 2. 32= 64 A 2.A 4 = 4. 16= 64 A 3.A 3 = A 3 2 = 8 2 = 64 Producto de los -primeros térmios de ua progresió geométrica. A 1, A 2, A 3,..., A progresió geométrica i se multiplica sus -primeros térmios se verifica: P = A 1.A 2. A 3....A Este mismo producto se obtiee si sus térmios se multiplica e setido cotrario P = A.A -1.A A 1 multiplicado estas dos últimas expresioes miembro a miembro P A. A. A... A. A. A a P A. A. A... A. A. A P 2 = (A 1.A ).(A 2.A -1 ).(A 3.A -2 )..(A.A 1 ) como todos los parétesis del segudo miembro de esta expresió toma el mismo valor se puede escribir sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 207

11 P 2 = (A 1.A ). (A 1.A )....(A 1.A )= (A 1.A ) de dode P A A. 1 2, 4, 8, 16, 32 Progresió geométrica limitada de cico térmios El producto de los tres primeros térmios es: = 64 Valor que se puede obteer a través de la expresió aterior A A P. (2.8) E ua progresió geométrica, a 4 = 12 y r= 3. Hallar el producto de los 4 primeros térmios. A = A 1.r -1 A 4 = 12= A = 27.A A P uma de los -primeros térmios de ua progresió geométrica. A 1, A 2, A 3,..., A progresió geométrica i se suma sus -primeros térmios se verifica: = A 1 +A 2 +A A multiplicado la expresió aterior por la razó, r, de la progresió geométrica se tiee.r= A 1.r+A 2.r+A 3.r+...+A.r= A 2 +A A.r restado las dos últimas expresioes miembro a miembro. r A A... A A. r 2 3 A A A... A r- = A.r- A 1 sacado,, factor comú se escribe.(r-1)= A.r- A 1 de dode A. r A1 r 1 teiedo e cueta la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica se puede escribir sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 208

12 A. r A. r A r 1 r A1. r 1 aplicado e el umerador de esta expresió la propiedad del producto de potecias de igual base A. r. r A A. r. A r 1 r sacado factor comú, A 1, e esta última expresió A1.( r 1) r 1 uma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica ilimitada y decreciete. La suma de los -primeros térmios de ua progresió geométrica viee dada por la expresió: A1.( r 1) r 1 expresió que se puede escribir como resta de las fraccioes A1. r A1 A1. r A1 r 1 r 1 r 1 1 r tomado límites e esta expresió haciedo que el úmero de térmios se haga ifiito, por ser ua progresió ilimitada, y que la razó es positiva e iferior a la uidad, por ser la progresió decreciete, se tiee. A1 r lim 0 r 1 0<r<1 A1. r A1 A1 A1 lim lim 0 r 1 1 r 1 r 1 r E ua progresió geométrica, A 4 = 12, y, r= 1/2. Hallar la suma de los, 4, primeros térmios, y la suma de sus ifiitos térmios. A = A 1.r -1 A 4 = 12= 3 1 A1 A A 1 = 12.8= ' sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 209

13 Qué se debe de verificar e ua progresió geométrica para poder hacer la suma de sus ifiitos térmios?. La progresió geométrica ha de ser decreciete, es decir su razó ha de ser: 0 < r < 1 Media geométrica de dos úmeros, A, y, B La media geométrica de dos úmeros, A, y, B, es otro úmero, C, que itercalado etre ambos forma co ellos ua progresió geométrica. A C B la razó de esta progresió geométrica así formada se obtiee mediate las expresioes C B r A C de dode C 2 = A.B C AB Iterpolar m-medios geométricos etre dos úmeros, A, y, B Es itercalar etre ambos m-úmeros que forma co ellos ua progresió geométrica de, m+2, térmios cuyos extremos sea los úmeros, A, y, B. A, c 2, c 3,..., c m-1, c m, B Teiedo e cueta la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica, y que el térmio de valor, B, es el que ocupa la posició, m+2, e dicha progresió B= A.r m+2-1 = A.r m+1 Expresió de la que se deduce otra que permite determiar el valor de la razó de esta progresió geométrica así formada r m1 B A Ua aplicació de las progresioes geométricas es el estudio de itereses y aualidades de capitalizació. Iterés El iterés ecoómico de u préstamo fiaciero puede ser: Iterés simple Depediedo de cómo esté expresado el tiempo e que se ha de devolver el préstamo sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 210

14 ecoómico, se tiee Iterés simple co el tiempo expresado e años ea u capital, C, colocado a u iterés, R%, e u año. El valor, R, idica lo que pagaría por cada,, e u año. Mediate ua simple regla de proporció se deduce que por u euro pagaría R etoces por el capital, C, e u año pagará R C. E, t, años el beeficio obteido será R C.. t Esta catidad es el iterés que produce u capital de, C, a u iterés simple del, R%, durate, t años. C. R. t I El capital fial que se obtiee al cabo de, t años, es la suma del capital iicial más los itereses que se ha producido C. R. t C C. R. t C.( R. t) Ct C I C Iterés simple co el tiempo expresado e meses Los itereses que u euro produce e u año so R mediate ua simple proporció se deduce que los itereses que produce e u mes será R R : El iterés simple que produce u capital de, C, e, m meses, a u iterés del, R%, es C. R. m I 1200 El capital fial que se obtiee al cabo de, m meses, es la suma del capital iicial más los itereses que se ha producido sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 211

15 C. R. m 1200 C C. R. m C.(1200 R. m) Ct C I C Iterés simple co el tiempo expresado e días Los itereses que u euro produce e u año so R mediate ua simple proporció se deduce que los itereses que produce e u día será R R : El iterés simple que produce u capital de, C, e, d días, a u iterés del, R%, es C. R. d I El capital fial que se obtiee al cabo de, d dias, es la suma del capital iicial más los itereses que se ha producido C. R. d C C. R. d C.(36000 R. d) Ct C I C Iterés compuesto ea u capital, C, colocado a u iterés, R%, e u año. Geeralmete los itereses que se produce e u año o se retira, sio que se acumula al capital para producir uevos beeficios. El capital, C, produce el primer años uos beeficios C. R R I1 C C. r R r= tato por uo, capital que produce u euro e u año. El capital al fializar el primer año es C 1 = C + I 1 = C + Cr= C(1+r) Al fializar el segudo año los itereses producidos será I 2 = C 1.r= C.(1+r)r y el capital resultate será C 2 = C 1 + I 2 = C(1+r) + C(1+r)r= C(1+r).[1+r]= C(1+r) 2 Geeralizado el proceso a, t años, se deduce que el capital fial al cabo de ese tiempo es sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 212

16 Aualidad C t = C(1+r) t o los pagos que se hace cada año, bie para formar u capital, aualidades de capitalizació, o bie para amortizar ua deuda, aualidades de amortizació. Aualidad de capitalizació e quiere formar u capital, C, e, t años. Para ello se etrega cada año ua aualidad, a. Los primeros, a, que se etrega para formar el capital, C, está colocadas durate, t años, produciedo itereses compuestos del, R%, se covierte e a(1+r) t R r= Al fial del primer año se etrega otra aualidad, a, que está produciedo itereses compuestos durate, t-1 años, por lo que al fial de este tiempo se covierte e a(1+r) t-1 La última aualidad, a, produce itereses durate u año por lo que al fial del mismo se covierte e a(1+r) El capital que se forma al cabo de los, t años, es C= a(1+r) + a(1+r) a(1+r) t El segudo miembro de esta ecuació se correspode co la suma de, t térmios, de ua progresió geométrica cuya razó es, (1+r), y cuyo primer térmio es, a(1+r). Aplicado la expresió que os da esta suma de los,, térmios de ua progresió geométrica limitada se tiee A. r A1 r 1 t t a. 1 r.(1 r) a.(1 r) a.(1 r). 1 r 1 C (1 r) 1 r Aualidad de amortizació e tiee ua deuda, D, a pagar e, t años. Para ello se etrega al fial de cada año ua aualidad, a. Los primeros, a, que se etrega para pagar la deuda, D, está colocadas durate, t-1 años, produciedo itereses compuestos del, R%, se covierte e a(1+r) t-1 R r= Al fial del segudo año se etrega otra aualidad, a, que está produciedo itereses sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 213

17 compuestos durate, t-2 años, por lo que al fial de este tiempo se covierte e a(1+r) t-2 La última aualidad, a, o produce itereses porque e ese istate se salda la deuda. La deuda, D, juto co los itereses que ese diero produce e, t años, al tato por uo, r, debe ser igual a la suma de las aualidades etregadas juto co los itereses que éstas ha producido. D(1+r) t = a+a(1+r)+...+a(1+r) t-1 El segudo miembro de esta ecuació se correspode co la suma de, t térmios, de ua progresió geométrica cuya razó es, (1+r), y cuyo primer térmio es, a. Aplicado la expresió que os da esta suma de los,, térmios de ua progresió geométrica limitada se tiee A. r A r 1 1 t 1 t t. (1 ) 1 t a. 1 r.(1 r) a a.(1 r) a a r D.(1 r) (1 r) 1 r r sucesió Departameto Matemáticas CPR Jorge Jua Xuvia 214