Práctica 3 Sucesiones y series

Transcripción

1 Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la mayoría de los casos, calcular el límite de ua sucesió y la suma de ua serie, respectivamete. Asimismo el programa Mathematica os facilita el estudio de sucesioes recurretes..- Sucesioes de úmeros reales Ejemplo 3. Estudiar la sucesió de térmio geeral Defiimos la sucesió a =. + Geeramos ua tabla co los 0 primeros térmios de la sucesió Los visualizamos gráficamete Tambié podemos hallar u térmio cualquiera de la sucesió:

2 Gráficamete se observa que la sucesió es decreciete ( a > ), acotada ( 0 a < ) y que + a < lim a = 0. Veamos como podemos estudiar estos aspectos co Mathematica. Crecimieto: El programa o os da iformació sobre si la desigualdad plateada es cierta. Esto es debido, etre otras cosas, a que el programa o recooce a la variable como u úmero atural. La siguiete istrucció resuelve este problema. Acotació: Límite: Tambié podemos utilizar el símbolo (véase la paleta BasicIput) para deotar el ifiito e lugar de Ifiity. Tambié podemos utilizar variables como subídices. De esta forma, la sucesió aterior podría defiirse como Esto os permite utilizar la misma termiología que habitualmete usamos e Matemáticas. Ejemplo 3. Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral c = + 3 Defiimos la sucesió

3 Calculamos su límite Como podemos comprobar, e este ejemplo, Mathematica o es capaz de calcular el límite de determiadas expresioes. Esto suele depeder de la versió del programa que estemos utilizado. Si embargo, podemos ampliar el repertorio de expresioes para las cuales el programa puede calcular el valor del límite cargado el paquete Calculus`Limit`. Dicho paquete debería cargarse previamete siempre que ecesitemos calcular límites de sucesioes y/o de fucioes. Ejemplo 3.3 Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral Defiimos la sucesió d = ( ) + Calculamos su límite Mathematica o puede calcular el límite de la sucesió. E este caso es debido a que se trata de ua sucesió oscilate que tiee dos subsucesioes co distito límite (por tato, la sucesió o es covergete). Estudiemos la sucesió de térmios pares: Observemos que Mathematica o idetifica (-) =, esto se debe a que, como hemos cometado ateriormete, el programa o recooce a la variable como u úmero atural. Para ello debemos utilizar la istrucció: Ahora tambié podemos calcular su límite

4 Estudiemos ahora la sucesió de térmios impares: La sucesió {d } admite dos parciales que tiee distito límite. Por tato la sucesió es oscilate..- Sucesioes recurretes Ejemplo 3.4 Estudiar la sucesió recurrete dada por x =, x = + x, N Defiimos la sucesió Ahora podemos determiar cualquier térmio de la sucesió O u valor aproximado Visualizar gráficamete los térmios de la sucesió

5 Gráficamete se observa que la sucesió es estrictamete creciete ( x x acotada ( 0 < x < ) y, por tato, será covergete. < + ) y está Si tratamos de calcular el límite de la sucesió {x } mediate la istrucció Limit el programa queda imerso e u proceso recursivo ifiito y o es capaz de daros el valor del límite. E estos casos, para calcular el límite de la sucesió hemos de seguir el procedimieto seguido e clase. Si llamamos L al límite de la sucesió, etoces deberá cumplirse que L = + L. Ahora podemos pedirle a Mathematica que os resuelva esta ecuació. Ejemplo 3.5 Estudiar la sucesió de Fiboacci dada por x =, x =, x = x + x + +, N Defiimos la sucesió Calculamos alguos térmios Se trata de ua sucesió estrictamete creciete ( x < x + ) y o está acotada, por lo que será divergete. Esto puede comprobarse fácilmete si represetamos gráficamete los térmios de la sucesió.

6 .- Series de úmeros reales Ejemplo 3.6 Probar que la serie es covergete. Calcular su suma Defiimos el térmio geeral de la serie Se trata de ua serie de térmios positivos. Para estudiar su covergecia procedemos como sigue. Codició ecesaria de covergecia La serie puede ser covergete. Criterio del cociete Estamos ate u caso dudoso. Para resolverlo aplicamos el criterio de Raabe. Criterio de Raabe Como el límite obteido es mayor que la serie es covergete. Calculamos su suma. Mathematica puede calcula el valor exacto de la suma de diferetes tipos de series mediate la istrucció Sum Tambié podemos utilizar el símbolo que figura e la paleta BasicImput.

7 Ejemplo 3.7 Probar que la serie sumas parciales. Defiimos el térmio geeral de la serie es covergete. Calcular su suma a partir de la sucesió de Se trata de ua serie de térmios positivos. Codició ecesaria de covergecia La serie puede ser covergete. Criterio del cociete Como el límite es meor que la serie es covergete. Sucesió de sumas parciales. Mathematica os facilita, e este caso, ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {S } de sumas parciales. Ahora podemos calcular el valor de la suma de la serie estudiado el límite de la sucesió {S }. Suma de la serie El valor de la suma tambié podría haberse obteido directamete:

8 Ejemplo 3.8 Probar que la serie (log ) es covergete. Calcular su suma. Defiimos el térmio geeral de la serie Se trata de ua serie de térmios positivos. Codició ecesaria de covergecia La serie puede ser covergete. Criterio de la raíz Como el límite es meor que la serie es covergete. Sucesió de sumas parciales. E este caso, Mathematica o ha sido capaz de daros ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió {S } de sumas parciales. Suma de la serie El programa Mathematica tampoco ha podido daros el valor exacto de la suma. Si embargo, podemos pedirle que os de u valor aproximado usado el comado N.

9 Tambié podemos pedirle que os dé el valor de la suma co ua cierta precisió. Si bie el comado N puede serviros, e la mayoría de los casos, para obteer u valor aproximado de la suma de ua serie, el programa Mathematica icorpora dos istruccioes específicas para este propósito: NSum y EulerSum. La istrucció NSum os da u valor aproximado de la serie co ua precisió de 6 dígitos. Por su parte la istrucció EulerSum o forma parte del repertorio básico de istruccioes dispoibles e el úcleo del programa Mathematica. Para poder utilizar esta istrucció hay que cargar el paquete NumericalMath`Nlimit`. La istrucció EulerSum utiliza algoritmos matemáticos más complejos para calcular la suma de la serie y, e la mayoría de los casos, el resultado obteido es bastate más fiable. Opera co bastate eficiecia, por ejemplo, cuado se trata de sumar series del tipo p ( ) r dode p() es u poliomio y 0<r< y cuado se trata de sumar series alteradas. Ejemplo 3.9 Calcular u valor aproximado de la suma de las siguietes series: a) ( 3 + ) b) = ( ) = c) = + 3.! a) Defiimos el térmio geeral de la serie y calculamos u valor aproximado de la suma b) Defiimos el térmio geeral de la serie y calculamos u valor aproximado de la suma

10 c) Defiimos el térmio geeral de la serie y calculamos u valor aproximado de la suma Auque hemos utilizado la istrucció EulerSum, e los tres casos ateriores podríamos haber obteido u valor aproximado de la suma de la serie utilizado tambié la istrucció NSum o el comado N[ ]. Tambié, e cualquiera de los tres casos, Mathematica os facilita el valor exacto de la suma. 3.- Ejercicios propuestos.- Dada la sucesió de térmio geeral a = 3. Se pide: 4 a) escribir los 0 primeros térmios y represetarlos gráficamete, b) estudiar el crecimieto y la acotació, c) calcular el límite..- Probar que la sucesió de térmio geeral b = cos( π ) es oscilate, estudiado las subsucesioes {b } y {b - }. 3.- Obteer la suma de: a) los primeros úmeros aturales b) los primeros úmeros impares. 4.- Probar que lim L+ ( ) + = + 3

11 5.- Estudiar la sucesió recurrete dada por x = a, x+ = + x, N, para los valores de a =, a = y a = Probar que las siguietes series so covergetes. Calcular el valor de la suma o, e su caso, u valor aproximado. ( ) a) b) = = c) 3 =!. 7.- Comprobar que la serie es hipergeométrica. Calcular su suma: (4 )(4 + 3) a) utilizado la fórmula para sumar ua serie hipergeométrica b) directamete co el programa Mathematica π 8.- Probar que la serie ( ) se es covergete. Hallar el valor de su suma o, e su caso, u valor aproximado.