Polinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma:

Transcripción

1 Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomio de ua sola variable a0; a; a;...; a úmeros reales y N 0, llamaremos poliomio de la variable a toda epresió algebraica etera de la forma: a0 a a... a Los poliomios se ombra co letras mayúsculas idicado la variable etre parétesis. (). a a... a a 0 El poliomio será de grado si el termio de mayor grado es A a se lo llama termio idepediete y su grado es 0. 0 A a se lo llama coeficiete pricipal del poliomio de grado. Ejemplos: es u poliomio de grado 4 a co 0 es u poliomio de grado a. T es u poliomio de grado 0 El poliomio se lo llama poliomio ulo. Adició y sustracció de poliomios Operacioes co poliomios La adició o sustracció etre poliomios da como resultado u uevo poliomio. y dos poliomios, e estas operacioes el resultado se obtiee operado térmios que comparta el mismo grado. : 4 4 Hallar

2 Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomios iguales y opuestos y Si al sumarlos se obtiee el poliomio ulo, etoces so poliomios opuestos Si al restarlos se obtiee el poliomio ulo, etoces so poliomios iguales. roductos de poliomios Cuado se multiplica dos poliomios, el resultado es poliomio y su grado es igual a la suma de los grados de los poliomios factores, si ellos o so ulos. ara calcular el producto multiplicamos cada uo de los térmios (moomios) de u poliomio por cada uo de los térmios del otro poliomio y operamos fialmete etre los térmios de igual grado (moomios semejates). ( ). ( ) ( ).( ) Divisió de poliomios Dados dos poliomios y R tales que: Siedo el grado de, co 0, eiste úicos poliomios C R. el divisor, R meor que el grado de Recibe el ombre de dividedo, de resto o residuo. Los poliomios C y mediate el siguiete procedimieto: a) Ordear y completar los poliomios C el de cociete y R se obtiee al efectuar la divisió de y. por C y R es b) Se divide el térmio de mayor grado del dividedo por el térmio de mayor grado del divisor, el resultado es u sumado del cociete. c) Se multiplica el sumado del cociete obteido e el paso aterior por el divisor, y el resultado se resta del dividedo, obteiedo u resto parcial. d) Si el grado del resto obteido e el paso aterior es meor que el grado del divisor, se termia el procedimieto, e caso cotrario, se repite los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomado como dividedo el resto obteido e el paso aterior. 4 ( ) 6 Hallar :

3 Semiario Uiversitario de Igreso El cociete es C 5 y el resto es R 8 4 Se observa que el grado del cociete es la diferecia etre el grado del poliomio dividedo y el grado del poliomio divisor. Cuado el resto es igual a cero (poliomio ulo) el cociete resulta eacto y e esas codicioes decimos que es divisible por, es divisor de o es múltiplo de. Raíces de u poliomios U úmero real a es raíz de u poliomio, si se aula para E símbolos: a es raíz de ( a) 0 a. ( ) () es raíz de () Regla de Ruffii La regla de Ruffii es u procedimieto abreviado para determiar el cociete y el resto que se obtiee al dividir u poliomio por u poliomio de la forma a, co a R, a partir de los coeficietes de y el cero o raíz de a. A través de u ejemplo eplicaremos el mecaismo de cálculo de la Regla de Ruffii y a) Colocamos los coeficietes de ua fila. (divisor), ordeado y completo, e 4 5 b) Se determia la raíz o cero de geeramos la siguietes estructura: (divisor). Co esta iformació

4 Semiario Uiversitario de Igreso c) Se repite el proceso y el último valor que se obtiee es el resto de la divisió. Cero de 4 5 coef. de Coef de C resto C R Teorema del resto Si se realiza la divisió de u poliomio resto sea ulo o de grado cero. por a, puede ocurrir que el or lo tato: C R Si R r y a. Si a, reemplazado e la igualdad aterior. ( a a) C r r ( a) ( a) ( a) Se puede hallar el resto de la divisió, si hacer el algoritmo de la operació, basta co hallar el valor de e a. 4

5 Semiario Uiversitario de Igreso 07 Factorizació de poliomios Represeta epresar u poliomio como u producto. a) Factor comú: rocedimieto Buscamos el factor o los factores comues que se ecuetre e todos los térmios del poliomio. Se epresa el poliomio dado como el producto del factor comú por el poliomio que resulta de dividir cada térmio del poliomio origial por el factor comú ( 4 ) b) Factor comú e grupo: rocedimieto: Se forma grupos de igual catidad de térmios que tega factor comú, se sustrae dicho factor comú e cada ua de los grupos. Debe quedar térmios co u parétesis (factor) comú. Se etrae dicho parétesis como factor comú c) Diferecia de cuadrados: Se preseta la resta de dos térmios y cada uo de ellos está elevado a ua potecia par. rocedimieto: Se debe idetificar la resta (debe haber u solo sigo egativo) y los cuadrados perfectos. Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciedo la raíz cuadrada de cada uo) Trasformo la diferecia de cuadrados e u producto de biomios cojugados, formado por dichas base. 9 5 d) Triomio cuadrado perfecto: 9 etoces rocedimieto: Recordado que: a a a 5

6 Semiario Uiversitario de Igreso 07 Se recooce los cuadrados perfectos, los cuales o puede ser egativos. Se calcula el doble producto de las bases y se verifica que ese resultado se ecuetre e el triomio dado. Si el doble producto figura e el triomio dado, etoces es u triomio cuadrado perfecto. Se epresa como el cuadrado de u biomio es u triomio cuadrado perfecto 6 Etoces : e) Cuadriomio cubo perfecto Recordado que: a a a a rocedimieto: Se recooce los cubos perfectos Calcular: El triple producto del cuadrado de la primera base por la seguda. El triple producto de la primera base por el cuadrado de la seguda. Si estos cálculos so parte del cuatriomio dado, etoces decimos que u cuatriomio cubo perfecto, y luego se epresa como el cubo de u biomio. 8 6a 54a 7a 8 7a a es u cuatriomio cubo perfecto a 6a a 54a 6

7 Semiario Uiversitario de Igreso 07 Etoces a a a a : f) Suma o diferecia de potecias de igual grado Se busca ua raíz del poliomio y se factoriza utilizado la regla de Ruffii a 5 5 a Es raíz del poliomio () a a a a a a a a a a a a a a a a Divisibilidad: E este caso cosiste e hallar los divisores del poliomio dado. Esto lo efectuamos mediate la siguiete propiedad: ( a) Si u úmero a es raíz de u poliomio, dicho poliomio es divisible por, es decir, al dividir por a, el resto de la divisió es cero or el teorema del resto teemos que: ( a) 0 0 ( a) C ( a) C Este tipo de divisió la podemos realizar co la regla de Ruffii. Cálculo de las raíces de u poliomio: ara calcular las raíces de u poliomio se iguala a 0 la epresió y se resuelve la ecuació. Ejemplos: 0 tiee solucio 7

8 Semiario Uiversitario de Igreso b b 4ac a a siedo e uestro caso b 7 c Epresioes algebraicas fraccioarias Dados dos poliomios y, tal que sea distito del ulo, se deomia epresió algebraica fraccioaria a toda epresió de la forma: : 0 ^ ( ) ( ) Ua epresió algebraica es irreducible si o eiste e ella factores comues el umerador y el deomiador. Simplificació de epresioes algebraicas fraccioarias: ara simplificar ua epresió algebraica fraccioaria se debe factorizar el umerador y deomiador, y simplificar los factores comues presetes e ambos; de esta maera se obtiee ua epresió irreducible equivalete a la origial. El objeto de simplificar, es reducir la epresió y poder efectuar operacioes e forma más secilla. ( ) ( ) Suma y resta de epresioes algebraicas fraccioarias: Si las epresioes tiee igual deomiador, se suma o se resta sus umeradores, segú correspoda. ara epresioes de distito deomiador, estas se debe trasformar e otras, equivaletes a las dadas, que tega el mismo deomiador. 8

9 Semiario Uiversitario de Igreso 07 Este deomiador (deomiador comú) es el mcm de los deomiadores de las epresioes. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) : ^ Multiplicació de epresioes algebraicas fraccioarias: El resultado de multiplicar dos epresioes algebraicas fraccioarias es otra epresió algebraica fraccioaria cuyo umerador y deomiador so el producto de los umeradores y deomiadores de las epresioes dadas: T T S S Divisió de epresioes algebraicas fraccioarias: El resultado de dividir dos epresioes algebraicas fraccioarias es otra epresió algebraica fraccioaria que se obtiee multiplicado la primera epresió por la reciproca de la seguda: T S : S T 9