ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES.

Transcripción

1 ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Cosideraremos como ua matriz cuadrada de orde. Determiate es el valor umérico úico asociado a toda matriz cuadrada. Propiedades de los determiates Las propiedades más importates de los determiates so:. El determiate de ua matriz cuadrada es igual al determiate de su matriz traspuesta. Es decir:. El determiate de la matriz ula es igual a cero. Es decir O 0. Si todos los elemetos de ua fila o columa so iguales a cero, el valor del determiate es igual a cero.. Si e u determiate existe multiplicidad de filas co filas o de columas co columas el valor del determiate es igual a cero.. Si e u determiate existe dos filas iguales o dos columas iguales, el valor del determiate es igual a cero.. Para que u escalar multiplique a u determiate, basta co que multiplique a ua sola fila o ua sola columa.. Si todas las filas de ua matriz de orde está multiplicadas por u mismo escalar el determiate de la matriz queda multiplicado por Es decir: A A. Si A es ua matriz diagoal o ua matriz triagular superior o triagular iferior el determiate se calcula como el producto de los elemetos de la diagoal pricipal. Así: A a a a a a) Si e ua matriz cuadrada se itercambia ua fila co otra fila, el valor del determiate cambia de sigo por cada itercambio. b) Si e ua matriz cuadrada se itercambia ua columa co otra columa el valor del determiate cambia de sigo por cada itercambio. 0. a) Si a los elemetos de ua fila de ua matriz cuadrada se les suma ua veces los elemetos de otra fila el valor de su determiate o varia. Para idicar la operació simbólicamete escribimos: Fi Fr Fi b) Si a los elemetos de ua columa de ua matriz cuadrada se les suma ua veces los elemetos de otra columa el valor de su determiate o varia. Para idicar la operació simbólicamete escribimos: Cj Cw Cj. El determiate de la matriz idetidad es igual a uo. Es decir: I. El determiate del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determiates de ambas matrices:

2 . Si e u determiate ua fila o columa está formada por k sumados, etoces el determiate puede expresarse como la suma de k determiates, e dode el primero está formado por los primeros sumados y el resto de filas o columas; el segudo está formado por los segudos sumados y el resto de filas o columas y así sucesivamete hasta el k-ésimo que está formado por los k-ésimos sumados y el resto de filas o columas. Ejemplo: a b c a a a a a b b b c c c a b c a a a a a b b b c c c a b c a a a a a b b b c c c. Sea las matrices A m x y B m x, co m etoces el valor del determiate del producto de A por B es igual a cero. Es decir: Si A m x y B m x co m etoces AB 0. Si A es ua matriz ati simétrica y de orde impar, etoces el valor de sus determiate es igual a cero. Es decir: es decir Si t A A co impar etoces A 0 EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES. MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA ADJUNTA Y MATRIZ INVERSA POR GAUSS. Ej ) Haciedo uso de las propiedades de determiates y el método de cofactores, ecuetre el valor del siguiete determiate: A 0 9 Cambiemos la fila por la fila, simbólicamete lo deotamos como: F F A Colocamos u meos afuera del determiate para compesar el cambio de fila por la fila, ya que al realizar el itercambio de fila, cambia de sigo el valor del determiate. F F F () () ( ) () 0 0 A F F F

3 A () () 9 ( ) () 0 0 Utilizado el método de cofactores, segú columa : A F F : A 0 Note que colocamos u dos afuera del determiate para compesar el producto de la fila por el escalar, ya que al multiplicar el determiate por el escalar el valor del determiate quedará multiplicado por el escalar.. F F A x 0 Hemos multiplicado la fila por el escalar y ote que para compesar tal operació debemos de colocar otros afuera del determiate, ya que al multiplicar el determiate por el escalar valor del determiate quedará multiplicado por. el F F A ( )( )(x) 0 0 Note que hemos multiplicado la fila por el escalar - y ote que para compesar tal operació debemos de colocar u (-) afuera del determiate, ya que al multiplicar el determiate por el escalar - el valor del determiate quedará multiplicado por-, es decir que si o realizamos tal compesació, el valor dele determiate cambiará de sigo.. Para calcular el determiate por el método de cofactores es coveiete hacer dos ceros e la misma fila o columa, para ellos podemos hacer F F F, por lo que teemos:

4 A () () () F Ahora haremos F F : A Evaluado el determiate utilizado el método de cofactores, segú columa tedremos: A 0 ( ) [( 9) ( )] 9 x x 0 9 Ej ) Haciedo uso de las propiedades de determiates y el método de Chio, ecuetre el valor del siguiete determiate: A 0 9 Utilizado propiedades, cambiamos la fila por la fila : A 0 9 : A 0 9 Note que como hemos multiplicado la fila por, el valor del determiate quedará dividido etre, or lo que para o alterar el valor del determiate, multiplicamos afuera por. Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemeto pivote, el elemeto a : A ( ) 0 ( ) 9 ( ) ( 9) () 0 0

5 Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemeto pivote, al elemeto pivote a = :. ) Demuestre la propiedad Partimos de Por defiició de matriz iversa Aplicado determiates a ambos miembros de la ecuació: Por propiedades de determiates: Despejado teemos: ) Utilizado el método de la adjuta, calcule la matriz iversa de la matriz: E a) Calculemos el valor del determiate, utilizado el método de Chio: E Cambiemos la columa por la columa : E Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemeto pivote, el elemeto a : Multipliquemos por (-) la fila, la fila y la fila, es decir

6 Utilicemos el método de Chio y tomemos como elemeto pivote, el elemeto a : b) Calculemos los cofactores de la matriz E: E E 0 E 0 E ( ) E E E 0 E E E E E E ( 0) 0 E c) Escribamos la matriz de cofactores de la matriz E:

7 Cof (E) traspogamos la matriz de cofactores de la matriz E: Cof ( E) t Luego la matriz iversa de la matriz E será: Cof ( E) t ) Utilizado el método de Gauss, co pivote ulificador, calcule la matriz iversa de la matriz: E