8. INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 8. INTERVALOS DE CONFIANZA Al estimar el valor de u parámetro de la distribució teórica, o se provee iformació sobre la icertidumbre e el resultado. Esa icertidumbre es producida por la dispersió de la distribució teórica del estimador. La icertidumbre se expresa cuatitativamete mediate u itervalo que tega ua probabilidad especificada de coteer al valor verdadero del parámetro. A ese itervalo se lo deomia itervalo de cofiaza de la estimació. E geeral, tedremos: ( θ l. if < θ < θ l. sup) = - α ; dode θ l. if es el límite iferior del itervalo de cofiaza, y θ l. sup su límite superior. - α es la probabilidad que el itervalo de cofiaza icluya al valor verdadero del parámetro θ, a esa probabilidad se la deomia ivel de cofiaza A cotiuació describimos alguos métodos para estimar los itervalos de cofiaza para varios parámetros. ara la media (variaza coocida). Sea X ua variable aleatoria ormal, co media µ descoocida, y desvío coocido. Se obtiee ua muestra de tamaño ; la media muestral es X. Sabemos que la variable aleatoria: Z =, ( / ) tiee distribució ormal (0,). Esta es ua propiedad importate, que permite costruir itervalos de cofiaza para el parámetro descoocido. Z depede del parámetro descoocido µ, pero la distribució de Z o depede de él (pues Z ~N(0,)). A cotiuació, buscamos dos valores de Z, Z-α/ y Zα/ tales que se cumpla: ( Z α / < Z < Z α / ) = α ; dode α es u valor de probabilidad. La probabilidad α es el ivel de cofiaza. Los valores más comues que se asiga a α so 95%, ó 99%, ó 99,9%. Veremos más adelate el sigificado de la probabilidad α. Los valores de Z-α/ y de Zα/ se obtiee de las tablas de la distribució ormal; cada uo de esos valores deja ua cola co probabilidad α/ (a la izquierda de Z-α/, y a la derecha de Zα/). La catidad subescrita idica la probabilidad a la derecha del valor de Z. La siguiete Figura ilustra el sigificado de los símbolos Zα/ y Z - α/. VIII-

2 0.8 Fuctio lot (adstudy.sta 5v*50c) ormal(x,0,) α/ = 0,975 f(z) ,96 α/ = 0,05, z Ejemplo. Supoemos que queremos hallar u itervalo de cofiaza del 95% para la media (coocemos el valor de la variaza). El primer paso cosiste e calcular los valores Z i, y Z s tales que: ( Z α / < Z < Z α / ) = 0,95; De la Tabla de la distribució ormal (0,) obteemos: Z0,975 =,96; y Z0,05 Z s =,96. Observemos que Z -α/ = Z α/, por la simetría de la distribució ormal. De la relació ó, equivaletemete, ( Z α / < Z < Zα / ) = α ; α / < < a / = ( / ) Se obtiee x Z x Z ( α / < µ < + α / ) = El itervalo idicado es el itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del ( α) por cieto. Es imprescidible idicar el ivel de cofiaza. Los límites del itervalo de cofiaza depede de esa probabilidad, y del valor observado x de la media muestral X, y del de la distribució. El acho del itervalo de cofiaza es Z α / /. A mayor ivel de cofiaza, más grade el valor de Zα/; y por cosiguiete más grade el acho del itervalo de cofiaza. E otras palabras, a mayor probabilidad de que el itervalo de cofiaza cotega a µ, mayor la icertidumbre sobre el valor que tiee µ. VIII-

3 Ejemplo. Supogamos que X = 5,4; =,3; y el tamaño de la muestra es =9. El itervalo de cofiaza del 95% para la media µ de la distribució de X, es: Lim. iferior = 3,9 Lim. superior = 6,9 or cosiguiete, hay u 95% de probabilidad de que ese itervalo de cofiaza cotega a la media µ. E la práctica, es probable que si o se cooce el valor de µ, tampoco se coozca el valor de. ara la media (variaza descoocida) Sea X es ua variable aleatoria ormal; tato el valor de la media µ, como el valor de so descoocidos. Se obtiee ua muestra de tamaño ; la media muestral es X. La variable aleatoria: µ T =, s / tiee ua distribució t de Studet, co grados de libertad. rocediedo como e el caso aterior, se obtiee que el itervalo de cofiaza del (-α) 00 por cieto, es [ X tα/, - s / < µ < X + tα/, - s / ]. Ejemplo. Sea x = 5,4; y s =,; la muestra tiee 9 elemetos. El valor de t0,05, 8 gdl es,30. El itervalo de cofiaza del 95 % para µ, tiee los límites: Lim. iferior =5,4 (,306, / 3) = 3.8 Lim. superior = (,306, / 3) = 7.0 ara la variaza Sea X ua variable aleatoria ormal (µ, ). Se quiere costruir u itervalo de cofiaza para la variaza de la distribució,. ara ello se utiliza la propiedad de que la variable χ ( ) = tiee ua distribució ji-cuadrado co grados de libertad. Se tiee: s ( ) s χ < < α /, χ = α /, α. Despejado, se obtiee: ( ) s ( ) s < < = χ χ α /, α /, VIII- 3

4 Ejemplo. El desvío de ua muestra aleatoria de 0 elemetos, de los valores de ua variable aleatoria X ormal, es s = 4,5. Hallar u itervalo de cofiaza del 95% para la variaza de la distribució de la variable aleatoria X. El itervalo de cofiaza es: Lim. iferior = 9 0,5 = 9,58. 9,03 Lim. superior = 9 0,5 = 67,5.,7 Ua característica de los itervalos de cofiaza para la variaza, es u acho grade. ara u parámetro, muestra grade Si la muestra es grade, y proviee de ua variable aleatoria que o es ormal, el teorema límite cetral facilita la costrucció de itervalos de cofiaza aproximados. Sea θ u estimador del parámetro descoocido θ. θ cumple las siguietes codicioes: ) Tiee ua distribució al meos aproximadamete simétrica. ) Es aproximadamete isesgado. 3) Se dispoe de ua expresió aproximada ( θ ) del desvío del estimador θ. Etoces los límites de cofiaza del (-α) 00 por cieto, so aproximadamete: θ Z - α/ ( θ ) < θ < θ + Zα/ ( θ ). Ejemplo. Sea X ua variable aleatoria co ua distribució que o es ormal. ara ejemplificar supoemos que X ~ Expoecial (x, ). Se tiee ua muestra de = 40 valores de X. Queremos calcular u itervalo de cofiaza del 95% para. or el teorema límite cetral se cumple aproximadamete, para grade: Z = ; ˆ / El estimador de es / x.el estimador de tambié es / x. Asigado a Z sucesivamete los valores Z-α/, y Zα/, se obtiee: µ ( α/ < < α/ ) ˆ/ Al remplazar µ y, se obtiee: α / < < α / = (/ ( )) las desigualdades se cambia mediate: VIII- 4

5 / ( ) Z α / + > Z α / ; ó > ; x y Z + / x ( ) α / < Z α / ; ó <. Las desigualdades del lado derecho so los límites de cofiaza del ( - α) por cieto. Se obtiee fialmete : Zα/ + Zα/ + < < = α ; x x La distribució expoecial es muy diferete de la distribució ormal. A pesar de ello, el uso de la distribució ormal provee resultados aceptables aú para muestras de 50 elemetos. VIII- 5