4 Contrastes del Chi 2 de bondad del ajuste

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1 4 Cotrastes del Chi de bodad del ajuste U cotraste de bodad del ajuste es de la forma o H 0 : P = P 0 frete a H 1 : P P 0 H 0 : P {P θ } θ Θ frete a H 1 : P / {P θ } θ Θ 4.1 Cotraste del χ para modelos multiomiales Cosideramos k categoras C 1, C,..., C k y deotamos p j la probabilidad de la categora C j dode k p j = 1, y p j > 0 para cada j = 1,,..., k. Supoemos que hacemos experimetos aleatorios idepedietes cuyos resultados perteece a ua de las k categoras ateriores. Cosideramos los estadsticos N 1, N,..., N k, dode N j es el úmero de resultados observados e la categora C j. Teemos que k N j =. La distribució de N 1, N,..., N k ) es multiomial M; p 1, p,..., p k ) : P N 1 = 1, N =,..., N k = k ) =! Ejemplo 7 Damos a bebes ua bola. Pedimos a cada uo que poga su bola e ua de las k cajas de colores que tiee por delate. Este experimeto correspode al modelo Multiomial si los bebes elige de maera idepediete. k p j j j! 15

2 4.1.1 Cotraste del χ para ua hipótesis simple H 0 : p j = p 0 j para cada j = 1,,..., k H 1 : o H 0 ) existe j tal que p j p 0 j. Ejemplo 8 Si p 0 j = 1/k para cada j = 1,,..., k, bajo H 0, estamos supoiedo que los bebes o tiee preferecias de colores o o las distigue). Para costruir ua regla de decisió que os permita cotrastar estas dos hipótesis, cosideramos el estadstico siguiete K = = k Nj p0 j p 0 j k Nj pj) 0. El estadstico K mide la discrepacia etre la frecuecias observadas p 0 j y las probabilidades idicadas bajo H 0 p 0 j ). ) Nj Teorema 4 La distribució asitotca cuado tiede hacia el ifiito) de K bajo H 0 es u chi co k 1 grados de libertad : K d χ k 1. Fijaremos el riesgo I del cotraste e fució de la distribució asitotca de K. Regla de decisió del cotraste : φ = { 1 si K χ k 1,α 0 sio Teorema 5 El cotraste precedete es covergete, o sea que su fució de potecia capacidad de rechazar H 0 cuado H 0 es falsa) tiede hacia 1 cuado, y eso para cualesquiera riesgo I α. Prueba: Bajo H 1, existe u j tal que p j p 0 j, etoces tedremos que Nj p0 j p 0 j c.s. pj p 0 j p 0 j > 0, 16

3 puesto que por la ley de los grades úmeros N j bastate grade Por tato K c.s., y Nj p0 j p 0 j P H1 K χ k 1,α c.s., ) c.s. 1. c.s. p j. Etoces para Ejemplo 9 Se ha estimado que el úmero de accidetes diarios e cada regimieto del ejército sigue ua distribució de Poisso de parámetro. U determiado regimieto ha recogido, durate 00 das, los siguietes datos: o de accidetes o de das co los cuales se quiere cotrastar si se ajusta a la distribució idicada.bajo H 0 la probabilidad de que haya j accidetes e u da es p 0 j = exp ) j /j!, y queremos comparar esas probabilidades co las frecuecias observadas : aqu N j es el úmero de das co j accidetes. Para hallar el valor del estadstico K 00 calculamos Por tato o de accidetes frec. observada N j / frec. esperada p 0 j K 00 = 5 j=0 Nj 0.0 = p0 j p 0 j ) 1.57 Teemos que K 00 sigue aproximadamete u χ co 5 grados de libertad puesto que k = 6). Para α = 5%, obteemos que χ 5,5% = Etoces el valor hallado de K 00 o permite rechazar H 0 co u ivel α igual a 5%. 17

4 4.1. Cotraste del χ para ua hipótesis compuesta H 0 : p j = p j θ) para cada j = 1,,..., k y dode θ Θ R m, m < k 1). H 1 : o H 0 ) 1. Las fucioes p j.) so tal que para cada θ Θ, p j θ) > 0 y p jθ) = Ejemplo 10 k = 4, bajo H 0 supoemos que para j {0, 1,, 3}, p j = p j θ) = ) j 3 θ j 1 θ) 3 j dode θ Θ = ]0, 1[. Itroducimos el estadstico K que mide la discrepacia etre H 0 y la realidad observada: k N j p j θ) K = p j θ) = k Nj p j θ) p j θ) dode θ es el estimador de máxima verosimilitud de θ e el modelo multiomial bajo H 0. Teorema 6 Si las fucioes p j.) defiida sobre Θ se puede derivar dos veces, etoces la distribució asitotca de K bajo H 0 es u χ co k m 1 grados de libertad : K d χ k m 1. La regla de decisió para cotrastar H 0 frete H 1 será:, φ = { 1 si K χ k m 1,α 0 sio 18

5 Ejemplo 11 cotiuació) Supoemos ahora que sólo sabemos que el úmero diario de accidetes sigue ua distribució de Poisso de parámetro θ descoocido). Aqu teemos que m = 1, y el estimador de máxima verosimilitud de la media θ es el úmero medio observado de accidetes diarios θ = 7 j=0 j N j =.05. o de accidetes frec. observada: N j / frec. esperada: p j θ) Obteemos K Puesto que k m 1 = = 4, para cotrastar H 0 co u ivel α = 5% utilizaremos el cuatil 95% de u χ co 4 grados de libertad : χ 4,5% = 9, 48. Por tato aceptamos H Cotraste de idepedecia y simetra La idepedecia y la simetra de ua tabla de cotigecia so hipótesis compuestas. Ejemplo 1 Cosideramos la tabla siguiete sobre el grado de visió del ojo derecho y izquierdo clasificado e cuatro grupo 1,, 3, 4 del mejor al peor) de ua muestra de 7477 mujeres mayores O D \ O I N j N i Queremos a partir de estos datos estudiar: i) La idepedecia de los ojos parece mala!) ii) Simetra global de los ojos simetra de la tabla). 19

6 Cotraste de idepedecia: Sea la tabla de cotigecia: L 1 L C 1 C... C c L l Si queremos cotrastar la idepedecia de las columas y las filas, la hipótesis de idepedecia H 0 se defie por H 0 : P L i C j ) = P L i )P C j ) para cada i = 1,,..., l y j = 1,,..., c. Aqu k = l c y H 0 es compuesta : P L i C j ) = p ij = p ij θ) = p i p j dode p i = P L i ), p j = P C j ) y θ = p 1, p,..., p l 1), p 1, p,...p c 1) ) Por tato, m = dim θ = l 1 + c 1 = l + c. El estadstico K se escribe aqu: N ij p ij θ) K = l,c i, p ij θ) Calculo de p ij θ): E cada casilla de la tabla observamos N ij, úmero observado de mujeres que perteece a la categora L i y C j. Bajo H 0, la probabilidad que ua realizació perteezca a L i y C j es p ij θ) = p i p j, por tato estimar θ es estimar p i = P L i ) y p j = P C j ). Los estimadores máximó verosmil de estas dos probabilidades so p i = N i p j = N j = N 1j+N j +...N fj K = y por tato p ij θ) = N i l,c N ij N i N j i, 0 N i N j N j = N i1+n i +...N ic. As que y

7 K tiee como distribució asitotca u χ k m 1 dode k m 1 = lc l + c ) 1 = l 1)c 1) Etoces la regla de decisió del cotraste de idepedecia co ivel asitotco α ) será : Rechazar H 0 si K > χ l 1)c 1),α Ejemplo 13 Cotiuació) Aqu l = c = 4, por tato el estadstico K 7477 para la idepedecia) sigue aproximadamete ua distribució del χ 9. Obteemos K y cosultado la tabla del χ 9 hallamos χ 9,0.05 = Por tato rechazamos la idepedecia co el test del χ 9 para u ivel de sigificació asitótico) del 5%. 4.. Cotraste de Simetra de ua tabla L 1 L.. L r C 1 C... C r Si queremos cotrastar la simetra de la tabla, H 0 se defie por H 0 : P L i C j ) = P L j C i ) para cada i = 1,,..., r y j = 1,,..., r. Aqu k = r r y H 0 es compuesta : P L i C j ) = P L j C i ) = p ij θ) = p ij dode θ = p ij ) i j \{p rr } y m = dim θ = rr + 1)/ 1 1

8 Calculo de p ij θ): Estimamos p ij θ) bajo H 0 por p ij θ) = N ij+n ji K = = r N ij N ij+n ji N ij +N ji i, Nij N r ji i, N ij +N ji K tiee como distribució asitotca u χ k m 1 dode k m 1 = r rr + 1)/ = rr 1)/ Etoces la regla de decisió del cotraste de simetra co ivel asitotco α ) será : Rechazar H 0 si K > χ rr 1)/,α Ejemplo 14 cotiuació) Aqu r = 4 por tato el estadstico K 7477 para la simetra) sigue aproximadamete ua distribució del χ 6. Obteemos K y cosultado la tabla del χ 6 hallamos χ 6,0.05 = 1.6. Por tato aceptamos la simetra de la tabla co el test del χ 9 de ivel 5%. 5 Cotraste de Kolmogorov-Smirov de bodad del ajuste El método de los test χ cosiste e comparar u histograma de la distribució de los datos co la distribució teórica bajo H 0 frecuecia observada versus frecuecia de acuerdo co H 0 ). Problema: El histograma supoe ua discretizació de los datos partitió e categoras). Por tato, si la distribució de los datos es cotiua perdemos iformació. Alterativa: Comparar las fucioes de distribucioes muestrales y teóricas e lugar de los histogramas.

9 Sea X 1, X,..., X ua muestra de datos de ua fució de distribució cotiua F descoocida. La fució de distribució muestral F se defie por F x) = 1 I {Xi x} proporció de datos x) i=1 0 si x X 1) = i/ si X i) x X i+1), 1 si x X ) dode X 1) X )... X ) so los elemetos de la muestra ordeada. Teorema 7 Gliveko-Catelli) Cuado tiede hacia el ifiito sup x R F x) F x) c.s 0 Ahora si cosideramos el cotraste de bodad del ajuste H 0 : F = F 0, siedo F 0 ua distribució cotiua coocida, podemos utilizar el estadstico = sup x R F x) F 0 x) para medir la distacia etre la realidad observada) y la hypótesis H 0. De hecho, por el teorema aterior, cuado tiede hacia el ifiito, { c.s = 0, si sup x R F x) F H0 es cierto 0x) > 0, si H 0 es falso El test de Kolmogorov-Smirov KS) se basa e el estadstico y rechaza H 0 cuado > u grade ). Para cotrolar el ivel del test ecesitamos coocer la distribució de. Lema 1 Bajo H 0, el estadstico tiee la misma distribució que { ) i max max 1 i U i) ; max U i) i 1 )} 1 i dode U 1) U )... U ) es ua muestra ordeada de ua uiforme e 0, 1). 3

10 5.1 Cálculo de Para cotrastar H 0, ecesitamos calcular = sup x R F x) F 0 x) Si deotamos X 0) = y X +1) = +, teemos que sup x R [F x) F 0 x)] = max 1 i sup X i) x X i+1) = max 1 i [ ] i F 0x) [ i F 0X i) ) De maera similar, [ sup x R [F 0x) F x)] = max F 0 X i+1) ) i ] 0 i [ = max F 0 X i) ) i 1 ] 1 i Por tato = max [ ] [ i max 1 i F 0X i) ), max F 0 X i) ) i 1 ]) 1 i Teorema 8 Si X F 0 y F 0 es cotiua e R, etoces la variable U = F 0 X) sigue ua uiforme e 0, 1). 5. Cotraste de ormalidad de Lilliefors Cosideramos la hipótesis simple ] H 0 : F = Φ µ0,σ 0 dode Φ µ,σ es la fució de distribució de la ormal Nµ, σ ). El test de KS es etoces: Rechazar H 0 si = sup F x) Φ x R µ0,σ0 x) > uα. 4

11 Pero, e geeral, o se cooce la media y la variaza de F. La hipótesis de ormalidad de F es etoces compuesta: { } F es ua distribució ormal: H 0 : F {Φ µ,σ, µ, σ )} El test de Lilliefors para este cotraste se basa e el estadstico de KS, substituyedo µ y σ por sus estimadores: = sup F x) Φ x R X,S x) dode X y S so respectivamete la media muestral y la variaza muestral. Para u ivel de sigificació dado α, el umbral critico u α del test se obtiee mediate la tabla de Lilliefors. 6 Cotraste de la mediaa Dispoemos de datos apareados X 1, Y 1 ),..., X, Y ) que proviee de ua distribució P X,Y. Queremos cotrastar la hipótesis de simetra: H 0 : P X,Y = P Y,X implica P X = P Y ). Teorema 9 Bajo, la hipótesis H 0 : P X,Y tiee ue distribució simétrica. = P Y,X, la variable Z = X Y Sea Z i = X i Y i, para i = 1,,...,, cosideramos el estadstico S = i=1 I {Zi 0} que bajo H 0 sigue ua distribució biomial B, p 0 ), dode p 0 = P {Z i 0} = 1/. Por tato, el test co ivel α) de este cotraste será 1 si S > u α φ = γ α si S = u α, 0 si S < u α dode u α y γ α verifica S α = P H0 ) S > u α + γ α P H0 ) = u α 5

12 7 Cotraste de homogeeidad Dispoemos de muestras de datos, idepedietes etre s: X 1, X,..., X 1 e Y 1, Y,..., Y. Queremos cotrastar si las dos muestras proviee de la misma distribució homogeeidad): H 0 : P X = P Y, dode P X y P Y so distribucioes descoocidas. 7.1 Cotraste de homogeeidad del χ Este cotraste está basado e la comparació de los histogramas de las dos muestras. Defiimos k categoras: C 1, C,..., C k ; clasificado e ellas los datos de cada muestra. Deotamos N ij i = 1, y j = 1,..., k) el úmero observado de datos de la i esima muestra que perteece a C j. Deotamos p 1j = P X C j ) y p j = P Y C j ). La hipótesis H 0 de homogeeidad se traduce e que cada categoras C j debe teer ua probabilidad p ij que o depede de i : { p1j = p H 0 : j p ij θ) = p j ) para cada j = 1,..., k dode θ = p 1, p,..., p k 1 ) y m = dimθ) = k 1. Si H 0 es correcta y las probabilidades p j fuese coocidas, el estadstico Por tato, K = k N ij i p j d χ k 1) i p j i=1 k N ij i p j d χ k 1)), i p j dode = 1 +. Si embargo, las probabilidades p j o so coocidas y ha de ser sustituidas 6

13 por su estimació de máxima verosimilitud p j = N j /, dado lugar al estadstico k K N ij i N j / = i N j / i=1 que sigue asitóticamete, segú el Teorema 6, ua distribució del χ co u úmero de grados de libertad que se reduce a k 1) m = k 1). El test de ivel asitótico) para este cotraste será etoces: Rechazar H 0 si K > χ k 1;α) 7. Cotraste de homogeeidad de KS El test de KS para cotrastar la hipótesis de homogeeidad H 0 : F X = F Y está basado e el estadstico dode 1, = sup x R F X, 1 x) F Y, x) F X,1 x) = 1 1 I {Xi x} y F Y, x) = 1 1 i=1 so las distribucioes muestrales de las dos muestras. i=1 I {Yi x} Si H 0 es cierta es probable que F X,1 x) y F Y, x) sea próximas, y que, por tato, 1, tega u valor relativamete pequeño. Si e cambio, F X = F Y, puesto que F X,1 x) F Y, x) tederá a aproximarse a F X x) F Y x), el valor de 1, será más elevado. Esto coduce a rechazar H 0 cuado 1, > u α, dode el umbral u α verifica P H0 1, > u a ) = α, α siedo el ivel prefijado) del test. 7