Muestreo estratificado

Transcripción

1 Capítulo 1 Muestreo estratificado El objetivo del diseño de ecuestas por muestreo es maximizar la catidad de iformació para u coste dado. El muestreo aleatorio simple suele sumiistrar bueas estimacioes de parámetros poblacioales a u coste bajo, pero existe otros procedimietos de muestreo, como el muestreo estratificado, que e muchas ocasioes icremeta la catidad de iformació para u coste dado. El muestreo estratificado es u diseño de muestreo probabilístico e el que dividimos a la població e subgrupos o estratos. La estratificació puede basarse e ua amplia variedad de atributos o características de la població como edad, géero, ivel socioecoómico, ocupació, etc. Así, cosideramos ua poblacióeterogéea co N uidades, y e la que la subdividimos e L subpoblacioes deomiados estratos lo más homogéeas posibles o solapadas, atediedo a criterios que pueda ser importates e el estudio, de tamaños N 1, N,..., N L. Obviamete N 1 + N N L = N, dode N es el total de idividuos de la població. La muestra estratificada de tamaño se obtiee seleccioado ua muestra aleatoria simple de tamaño h = 1,,..., L) de cada uo de los estratos e que se subdivide la població de forma idepediete. De igual modo, L =, dode es el tamaño de la muestra que queremos seleccioar. Podemos expresar la formació de estratos e la població y la formació de la muestra estratificada de la forma siguiete: Població = {u 1, u,..., u N } se divide e L estratos u 11 u 1... u 1N1 u 1 u... u N u L1 u L... u LNL = N. 1

2 Seleccioamos ua muestra de tamaño, {u 1, u,..., u } se extrae e cada estrato u 11 u 1... u 11 u 1 u... u h =. u L1 u L... u LL Este muestreo se utiliza cuado la població de estudio es muy heterogéea ya que ecesitaríamos u gra esfuerzo muestral para obteer cierta precisio mietras que si la població esta dividida e grupos, bloques o estratos que sea iteramete homogéeos, el esfuerzo e cada grupo sera míimo resultado globalmete u esfuerzo meor. Por ejemplo, si pregutamos e ua facultad el úmero medio de horas de estudio los estratos e este estudio será los cursos. Las razoes para el uso del muestreo estratificado so las siguietes: El muestreo estratificado puede aportar iformació más precisa de alguas subpoblacioes que varía bastate e tamaño y propiedades etre si, pero que soomogéeas detro de si. Los estratos debería e lo posible estar costituidos por uidades homogéeas. El uso adecuado del muestro estratificado puede geerar gaacia e precisio, pues al dividir ua poblacióeterogéea e estratos homogéeos, el muestreo e estos estratos tiee poco error debido precisamete a la homogeeidad. Motivacioes de tipo geográfico ya que se requiere estimacioes para ciertas areas o regioes geográficas. Las cuestioes que platea este tipo de muestreo so: Qué características utilizar para dividir la població e estratos? Cómo se idetificara los estratos? Cuatos estratos debe haber? Cuatas uidades seleccioar de cada estrato? 1.1. Estimadores lieales isesgados Como cometamos e la itroducció, las uidades de la muestra se seleccioa mediate muestreo aleatorio simple si reposició y la selecció se realiza de forma idepediete e cada estrato. U estimador de u parámetro poblacioal puede expresarse como suma de las estimacioes para el parámetro e los diferetes estratos mediate muestreo aleatorio simple. Cosideremos el parámetro poblacioal, θ st = Y hi, 1.1)

3 3 que es estimado mediate u estimador del tipo θ st = Y hi ω hi. 1.) Vamos a calcular el valor de ω hi estimador isesgado de θ. e la expresió??) para que θ sea u Defiimos la variable aleatoria { 1 si uhi m co probabilidad e hi = h / 0 si u hi / m co probabilidad 1 / Utilizado la variable aleatoria podemos expresar el estimador θ dado e??) mediate la variable e hi. θ st = Y hi ω hi = Y hi ω hi e hi. Calculamos la esperaza del estimador aterior, L ) L ) E θ st ) = E Y hi ω hi = E Y hi ω hi e hi = Y hi ω hi E[e hi ] Para que este estimador θ st sea isesgado, y por lo tato E θ st ) = θ st Y hi ω hi. Y hi ω hi = ω hi = = 1 f h, dode f h es la fracció de muestreo del estrato h = 1,,..., L. Vamos a aplicar este estimador θ a los estimadores del total, de la media, de la proporció y del total de clase. Estimació del total poblacioal Y hi θ st = X st = X hi Y hi = X hi X st = X hi

4 4 y por lo tato Notado que la expresió X st = 1 X hi. 1 h X hi, correspode a la media muestral del estrato h, o lo que es lo mismo, el estimador de la media poblacioal del estrato utilizado u muestreo aleatorio simple, etoces X st = Xh = X h. 1.3) El estimador del total poblacioal e muestreo estratificado aleatorio es la suma de los estimadores del total e muestreo aleatorio simple e cada estrato. Estimació de la media poblacioal Por lo tato, θ st = X st = 1 N X st = X hi = X hi N = X hi /N Y hi = X hi /N N 1 h X hi = W h Xh, dode X h represeta la media muestral del estrato h, o lo que es lo mismo, X h = 1 X hi. El estimador de la media poblacioal e muestreo estratificado aleatorio es la media poderada de los estimadores de la media e cada estrato, siedo los coeficietes de poderació W h = /N que cumple, W h = Estimació del total de clase L N = = N N N = 1. θ st = A st = A hi A hi = Y hi Âst = A hi

5 5 y por lo tato  st = 1 A hi = Ph, dode P h represeta la proporció muestral para el estrato h h = 1,,..., L) El estimador del total de clase e muestreo estratificado aleatorio es la suma de los estimadores del total de clase e cada estrato. Estimació de la proporció Por lo tato, θ st = P st = 1 N P = A hi = A hi N = A hi /N Y hi = A hi /N N 1 h A hi = W h Ph El estimador de la proporció poblacioal e muestreo estratificado aleatorio es la media poderada de los estimadores de la proporció e cada estrato, siedo los coeficietes de poderació W h = /N que cumple, W h = L N = = N N N = Variazas de los estimadores La variaza del estimador X st, es igual a la suma de las variazas de las estimacioes de los totales e cada estrato, ya que el muestreo que supodremos si reposició se realiza de forma idepediete e los distitos estratos. L ) V X st ) = V X h = N h1 f h ) S h. 1.4) Aálogamete se obtedría las variazas para los estimadores de la media, el total de clase y la proporció, L ) V Xst ) = V W h Xh = L ) V Âst) = V  h = W h1 f h ) S h. 1.5) Nh1 f h ) 1 P h Q h. 1.6)

6 6 L ) V P st ) = V W h Ph = Wh1 f h ) 1 dode Sh es la cuasivariaza poblacioal del estrato h dode Sh 1 = X hi X h ), 1 y P h es la proporció de clase del estrato h P h = 1 A hi, Q h = 1 P h. P h Q h, 1.7) Como e el caso del muestreo aleatorio simple, las variazas de los estimadores dadas e??),??),??)y??) depede de parámetros poblacioales como so la cuasivariaza poblacioal del estrato o la proporció de clase del estrato Sh 1 = X hi X h ), 1 P h = 1 P hi. Como e la mayoría de las ocasioes estos parámetros se descooce, se recurre a las estimacioes de los mismos resultado V X st ) = V Xst ) = V Âst) = V P st ) = N h1 f h )Ŝ h, W h1 f h )Ŝ h, N h1 f h ) P h Qh 1, W h1 f h ) P h Qh 1, dode Ŝ h es la cuasivariaza muestral correspodiete al estrato h-ésimo Ŝh 1 = X hi X h ), 1 X h = 1 X hi,

7 7 y P h es la proporció muestral correspodiete al estrato h-ésimo P h = 1 A hi. Ejemplo 1 Las grajas de ua cierta regió se divide e cuatro categorías segú su superficie. El úmero de grajas e cada categoría es 7, 37, 50 y 11. U estudio para estimar el total de vacas productoras de leche e la regió produce ua muestra estratificada de 8 grajas. El total de vacas productoras de leche e estas 8 grajas viee dado e la siguiete tabla Categoría Total de vacas Categoria I 61, 47, 44, 70, 8, 39, 51, 5, 101, 49, 54, 71 Categoria II 160, 148, 89, 139, 14, 93 Categoria III 6, 19, 1, 34, 8, 15, 0, 4 Categoria IV 17, 11 Estimar el total de vacas productoras de leche así como el error estádar del estimador. E este estudio se utiliza la estratificació para clasificar la categoría de las grajas, dividiedo las grajas e 4 categorías o estratos co tamaños N 1 = 7, N = 37, N 3 = 50 y N 4 = 11. De cada uo de los estratos se seleccioa ua muestra de tamaños 1 = 1, = 6, 3 = 8, y 4 = respectivamete. Las fraccioes de muestreo para cada uo de los estratos viee dadas por f 1 = 1 N 1 = 1 7 = 0,166, f = N = 6 37 = 0,16, f 3 = 3 N 3 = 8 50 = 0,16, f 4 = 4 N 4 = 0,18. Las medias muestrales correspodietes a las muestras seleccioadas de cada estrato viee dadas por X = 1 X i = X 3 = 1 3 X 3i = 3 X 1 = 1 1 X 1i = 55, X 4 = 1 4 X 4i = = 8/ = 14. = 18,5 = 3,3750

8 8 E este caso, el estimador del total de vacas productoras de leche viee dado por: X st = Xh = 7 55, , , = vacas Calculamos el error del estimador, para ello cosideramos la variaza de dicho estimador V X st ) = Nh1 f h ) S h. Como o teemos datos suficietes para calcular Sh, estimamos la variaza aterior como V X st ) = Nh1 )Ŝ h f h, siedo Ŝ h, h = 1,, 3 la cuasivariaza muestral del estrato h-ésimo. Utilizado los resultados ateriores, se tiee que Ŝ 1 = X 1i X1 ) = 1 11 = 350,99 = 351 Ŝ = 1 X 1i X ) = Ŝ 3 = Ŝ 4 = X 3i X3 ) = X 1i 55,5833) = 3860, X i 18,5) = 4485,5 = 8970,1 5 8 X 3i 3,375) = 47,875 = 35, X 4i X4 ) = 17 14) ) = 18. Por lo tato, la estimació de la variaza del estimador para el total de la població viee dado por V X st ) = = N h1 f h )Ŝ h Por lo tato, el error de muestreo estimado viee dado por σ X st )) = 566,37vacas.

9 Afijació de la muestra Se llama afijació de la muestra al reparto o distribució del tamaño muestral etre los diferetes estratos. Esto es, a la determiació de los valores, h = 1,,..., L que verifique L =. Puede establecerse muchas afijacioes o maeras de repartir la muestra etre los estratos, pero las más importates so: la afijació uiforme, la afijació proporcioal, la afijació de variaza miima y la afijació optima Afijació uiforme Este tipo de reparto cosiste e asigar el mismo umero de uidades muestrales a cada estrato co lo que se tomara todos los iguales a k = /L. Para este tipo de afijació, las variazas de los estimadores vedrá dadas por V X st ) = V X st ) = V Âst) = V P st ) = N h W h N h W h 1 k ) S h k 1 k ) S h k 1 k ) Nh P h Q h 1 k 1 k ) Nh P h Q h 1 k Este tipo de afijació da la misma importacia a todos los estratos, e cuato a tamaño de la muestra, co lo cual favorecerá a los estratos de meor tamaño y perjudicara a los grades e cuato a precisio. Sólo es coveiete e poblacioes co estratos de tamaño similar. Ejemplo Sea X la variable salario aual e milloes de uidades moetarias. Al medir la variable X sobre ua població de 870 persoas se obtiee la siguiete distribució de frecuecias. X i Co el objeto de establecer pautas para futuras ecuestas de salarios se estratifica la població e 3 estratos segú los criterios dados por X 7, 10 X 5, 30 X 100. Para ua muestra = 100, realizar la afijació uiforme.

10 10 La afijació uiforme cosiste e extraer de cada estrato el mismo úmero de uidades para realizar la muestra. E este caso, L = = 33,33..., dode L es el total de estratos y es el tamaño muestral. Por lo tato, ua afijació de este tipo cosiste e extraer 33 idividuos del u estrato, 33 idividuos de otro estrato y 34 del estrato restate Afijació proporcioal Cosiste e asigar a cada estrato u úmero de uidades muestrales proporcioal a su tamaño. Las uidades de la muestra se distribuye proporcioalmete a los tamaños de los estratos expresados e úmero de uidades. Si el tamaño muestral es proporcioal al tamaño del estrato, etoces existe ua costate k positiva tal que = k, h = 1,,..., L, y para coocer el tamaño muestral es ecesario coocer esa costate k. Teemos que: = k = = k = kn = = kn, y por lo tato k = /N = f. Por lo tato, la costate k es igual a la fracció de muestreo. La fracció de muestreo e cada uo de los estratos viee dado por f h = = k = k = f, h = 1,,..., L, es decir, las fraccioes de muestreo so iguales y coicide co la fracció global de muestreo, siedo su valor la costate de proporcioalidad. Las poderacioes W h so iguales a W h = N = /k /k =, h = 1,,..., L. A la vista de los aterior, los coeficietes de poderació W h se obtiee exclusivamete a partir de la muestra, pues para su cálculo sólo so ecesarios valores muestrales y. Utilizado las igualdades ateriores, los estimadores para la media poblacioal y el total poblacioal viee dados por: X st = X st = N Xh = N W h Xh = N X h = 1 N Xh. k k N X h = 1 N Xh.

11 11 Para este tipo de afijació, las variazas de los estimadores será: V X st ) = V Xst ) = Nh1 f h ) S h = Wh1 f h ) S h = V Âst) = 1 k k V P st ) = 1 k Nh1 k) S h = 1 k S k k h. h 1 k)s h = 1 k W h S h. 1 P hq h = 1 k k W h 1 P h Q h k = 1 k k N h 1 P hq h Nh /N 1 P hq h. Ejemplo 3 Cosiderado el ejemplo??, realizar ua afijació proporcioal. 1 = = K 870 = K = N 1 = = 4,13 = = = N = = 68,96 = 69 3 = N 3 = = 6,896 = Afijació de míima variaza o afijació de Neyma) La afijació de míima variaza o afijació de Neyma cosiste e determiar los valores de úmero de uidades que se extrae del estrato h-ésimo para la muestra) de forma que para u tamaño de muestra fijo igual a la variaza de los estimadores sea míima. El desarrollo teórico para obteer la expresió de la afijació e cada estrato y los estimadores correspodietes se basa e la teoría de los multiplicadores de Lagrage obteiédose que el el úmero de uidades que se extrae del estrato h-ésimo es igual a = S h, h = 1,,..., L, 1.8) S h dode S h es la cuasivariaza poblacioal correspodiete al estrato h-ésimo y es el tamaño poblacioal correspodiete al estrato h-ésimo. Otra expresió para??) viee dada por S h W h S h = L N = L hs h W, h = 1,,..., L. 1.9) hs h

12 1 Vemos que los valores de so proporcioales a los productos S h y e el supuesto de que S h = S, h = 1,,..., L esta afijació de míima variaza coicidiría co la proporcioal como vemos a cotiuació. S h S h = S = L N = hs h N = k, co k = N. La utilidad de esta afijació es mayor si hay grades diferecias e la variabilidad de los estratos. E otros casos, la mayor secillez y autopoderació de la afijació proporcioal hace preferible el empleo de ésta. El valor de la variaza del estimador del total y de la media viee dados por: V Xst ) = 1 L ) W h S h 1 W h Sh N V Pst ) = 1 L ) Ph Q h W h 1 P h Q h W h 1 N 1 V X st ) = 1 L ) S h 1 Sh N V Ā st ) = 1 L ) Ph Q h 1 1 N P h Q h 1 Ejemplo 4 Cosiderado el Ejemplo??, realizar ua afijació de Neyma. Como hemos cometado ateriormete, la asigació para cada muestra viee dado por: S h = L N. hs h Primero vamos a calcular las cuasivariazas poblacioales para cada uo de los estratos. Para el estrato poblacioal 1, X i i x i La media poblacioal e el estrato 1 viee dada por X 1 = = 5,09, y por lo tato la cuasi-variaza poblacioal para dicho estrato viee dado por: S1 = 1 [ 5,09) ,09) ,09) ,09) 100 ] 09 = 3,673.

13 13 Para el segudo estrato, se tiee que X i i x i La media poblacioal e el estrato viee dada por X = = 14,45, y por lo tato la cuasi-variaza poblacioal para dicho estrato viee dado por: Fialmete, para el tercer estrato, S = 0,8493. X i i x i La media poblacioal e el estrato 3 viee dada por X 3 = = 43,5, y por lo tato la cuasi-variaza poblacioal para dicho estrato viee dado por: De este modo, se tiee que S 3 = 344,30. S 1 = S 1) = 1,9045, S = S ) = 4,5661, S 3 = S 3) = 18,5559, N 1 S 1 + N S + N S 3 = 1, , , = 3576,8. Calculamos los tamaños muestrales N 1 S 1 1 = = ,9450 = 9,4038 N 1 S 1 + N S + N 3 S = 9. N S = = ,66 = 64,4181 N 1 S 1 + N S + N 3 S = 65. N 3 S 3 3 = = ,4 N 1 S 1 + N S + N 3 S = 6,118 = 6.

14 Afijació óptima La afijació óptima cosiste e determiar los valores de úmero de uidades que se extrae del estrato h-ésimo para la muestra) de forma que para u coste fijo C la variaza de los estimadores sea míima. El coste fijo C será la suma de los costes derivados de la selecció de las uidades muestrales de los estratos, es decir, si C h es el coste por uidad de muestreo e el estrato h, el coste de selecció de las uidades muestrales e ese estrato será C h. Sumado los costes C h para los L estratos teemos el coste total de selecció de la muestra estratificada. Como e el apartado aterior, la expresió se obtiee utilizado los multiplicadores de Lagrage y viee dados por: = S h / c h, h = 1,,..., L. 1.10) S h / c h Vemos que los valores de so proporcioales a los productos S h / C h y e el supuesto de que C h = K, h = 1,,..., L coste costate e todos los estratos) la afijació óptima coicide co la de míima variaza y si además S h = S, h = 1,,..., L la afijació óptima coicidirá co la de míima variaza y co la proporcioal. Bajo este tipo de afijació, las variazas de los estimadores de la media poblacioal, total poblacioal, proporció de clase y total de clase viee dados por L W h S h / ) L ) C h W h S h Ch W h Sh V Xst ) = 1 L V P st ) = 1 W h Ph Q h 1 / C h ) L 1 N 1 P h Q h W h N 1 V X st ) = 1 L S h / ) L ) C h S h Ch 1 N V Âst) = 1 L ) Ph Q h 1 / L C h 1 N P h Q h 1 ) Ph Q h W h Ch 1 Sh ) Ph Q h Ch 1 Ejemplo 5 Para el ejemplo, realizar la afijació óptima siedo los costes por uidad e cada estrato C 1 = 1, C = 16 y C 3 = 5.

15 15 E este caso, se tiee que C 1 = 1, C = 4 y C 3 = 5 y por lo tato 1 = N 1S 1 / C 1 399,45 3 S h / = ,0358 = 30,5615 = 31. c h = N S / C 684,915 3 S h / = ,0358 = 5,40 = 5. c h 3 = N 3S 3 / C 3, S h / = ,0358 = 17,0358 = 17. c h 1.4. Comparació de eficiecias segú los distitos tipos de afijació El estudio comparativo de la coveiecia de los distitos tipos de afijació e térmios de su eficiecia se mide a través del error de muestreo o lo que es lo mismo, a través de la variaza. Por lo tato será mas eficiete aquel tipo de afijació que presete meos variaza. Los siguietes putos se expoe si demostració. El muestreo estratificado co afijació proporcioal es más preciso que el muestreo aleatorio simple, produciédose la igualdad de precisioes cuado las medias de los estratos so todas iguales. Por lo tato la gaacia e precisió del muestreo estratificado respecto del aleatorio simple será mayor cuato más distitas etre sí sea las medias de los estratos, es decir, para que el muestreo estratificado sea preciso es coveiete que los estratos seaeterogéeos etre sí e media, afirmació que ya coocíamos desde el comiezo del tema y que costituye ua de las especificacioes clásicas e el muestreo estratificado. El muestreo estratificado co afijació de míima variaza es más preciso que el muestreo estratificado co afijació proporcioal, produciédose la igualdad de precisioes cuado las cuasidesviacioes típicas de los estratos so todas iguales. Por lo tato, la gaacia e precisió del muestreo estratificado co afijació de míima variaza respecto del muestreo estratificado co afijació proporcioal será mayor cuato más distitas etre sí sea las cuasidesviacioes típicas de los estratos, es decir, para que el muestreo estratificado sea más preciso es coveiete que los estratos sea heterogéeos etre si e desviació típica.

16 Tamaño de la muestra ecesario para cometer u error absoluto de muestreo Vamos a aalizar ahora el tamaño de muestra estratificada ecesario para cometer determiado error absoluto de muestreo coocido de atemao. Supogamos que queremos calcular el tamaño de muestra estratificada para cometer u error de muestreo e = σ θ) si coeficiete de cofiaza adicioal Afijació uiforme Para fijació uiforme se tiee las siguietes variazas V X st ) = V Xst ) = V Âst) = V P st ) = N h W h N h W h 1 K ) S h K 1 K ) S h K 1 K ) Nh P h Q h 1 K 1 K ) Nh P h Q h 1 K, siedo K = /L el tamaño fijo de la afijació. De las expresioes ateriores, se tiee los siguietes resultados para el valor de. Estimador del total = L NhS h e +. Sh Estimador de la media = L e + WhS h W h S h.

17 17 Estimador del total = L e + N 3 h P hq h 1 N h P hq h 1. Estimador de la proporció = L e + W h P h Q h 1 W h P hq h 1 Ejemplo 6 Cosiderado el ejemplo??, se quiere reducir el error e u 10 % al estimar la media poblacioal, qué tamaño de muestra sería ecesario tomar cosiderado afijació uiforme? E este caso, el error al cosiderar afijació uiforme viee dado por Cosiderado que V Xst ) = W h1 f h ) S h. W 1 = , W = , W 3 = , = Tomado e cueta estos datos, se tiee que V Xst ) = 0,1801 y por tato el error viee dado por e = 0,1801 = 0,444. Si queremos reducir este error e u 10 % el error sería e este caso e = 0,444 0,0444 = 0,380. Aplicado las expresioes ateriores, se tiee que. = L e + WhS h W h S h = 3 7,4744 0, ,03767 = 1,1 = 13. Y cosiderado afijació uiforme tedríamos que utilizar 1 = 41, = 41 y 3 = 41.

18 Afijació proporcioal Para este tipo de muestreo, otar quer = W h, h = 1,,..., L y por lo tato f = f h, h = 1,,..., L. Supogamos que queremos calcular el tamaño de muestra estratificada para cometer u error de muestreo e = σ θ) si coeficiete de cofiaza adicioal. e = V X st ) = 1 f e = V X st ) = 1 f f e = V P st ) = 1 f = e + 1 N W h e = V X st ) = 1 f f W h Sh = Sh = W h 1 P hq h W h 1 P hq h 1 P hq h W h Sh e + 1 N N e + W h Sh Sh Sh 1 P hq h = N e + 1 P hq h 1 P hq h Ejemplo 7 Ua població de tamaño 1000 está dividida e tres estratos para los que se cooce los siguietes datos σ 1 = 4, σ = 1, σ 3 = 80, W 1 = 0,6, W = 0,3 y W 3 = 0,1, dode σ 1, σ y σ 3 represeta la desviació típica poblacioal de los estratos 1,, y 3. Determiar el tamaño de la muestra que co afijació proporcioal da ua variaza del estimador de la media igual a 5. W 1 = 0,6 = N 1 /N N 1 = 600, σ 1 = 16 = N 1 1)S 1/N 1 S 1 = 16,0 W = 0,3 = N /N N = 300, σ = 144 = N 1)S /N S = 144,5 W 3 = 0,1 = N 3 /N N 3 = 100, σ 3 = 6400 = N 3 1)S 3/N 3 S 3 = 6464,6

19 19 Y por lo tato, W h Sh = 699,4, y utilizado la expresió dada e teoría = W h Sh e + 1 N = W h Sh 699, ,69940 = 1,7181 = 13, es decir, ecesitaríamos 13 uidades para coseguir ese error. Para repartir 133 uidades cosiderado afijació proporcioal se tiee que de maera que = W h, h = 1,,..., L, 1 = W 1 = 13 0,6 = 73,8 = 74 = W = 13 0,3 = 36,9 = 37 3 = W 3 = 13 0,1 = 1,3 = Afijació de míima variaza E este caso, se tiee que e = V X st ) = 1 L ) W h S h 1 N e = V X st ) = 1 L S h) L ) W h Sh W hs h = e + 1 L N W hsh L ) Sh S h = e + 1 L N Sh Los tamaños de muestra e los casos de la estimació de la proporció y el total de clase se calcula sustituyedo Sh por 1 P hq h e las fórmulas del tamaño de la muestra para la estimació de la media y el total respectivamete. Ejemplo 8 Cosiderado los datos del Ejemplo??, determiar el tamaño de la muestra que co afijació de míima variaza os proporcioa ua variaza del estimador de la media igual a 5. E este caso, se tiee que la expresió para el tamaño muestral viee dado por: L ) W hs h = e + 1 L N W hsh = 14, ,416/1000 = 34,658 = 35.

20 0 Para repartir estos 35 uidades utilizado afijació de míima variaza cosideramos la expresió obteiédose los siguietes resultados Afijació óptima E este caso, se tiee que Para el estimador de la media Para el estimador del total = S h, Nh S h 1 = 35, ,04801 = 5,98 = 6 = 35 3,6064 1, = 8,98 = 9 3 = 35 8, ,04801 = 0. = L W hs h / C h ) L W hs h Ch ) e + 1 L N W. hsh = L S h / C h ) L N hs h Ch ) e + 1 L N N. hsh Para el estimador de la proporció = L W h Ph Q h N 1 Para el estimador del total de clase = L / C h ) L W h e + 1 N L W h P hq h 1 Ph Q h N 1 / C h ) L e + 1 N L P hq h 1 Ph Q h N 1 Ph Q h N 1 Ch ). Ch ). Ejemplo 9 Cosiderado el Ejemplo?? y supoiedo que el coste para cada estrato es igual a c 1 = 1, c = 4 y c 3 = 5, obteer el tamaño de la muestra que proporcioa ua variaza para el estimador de la media igual a 5. Utilizado la expresió aterior, el tamaño de la muestra es igual a = L W hs h / C h ) L W hs h Ch ) e + 1 L N W hsh = 5, ,81533 = 50, ,6994 = 51.