Teoría de muestras INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MUESTRAS

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1 Teoría de muestras INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MUESTRAS Cuado se lleva a cabo ua ivestigació estadística, se pretede realizar algua iferecia acerca de situacioes aparetemete ifluidas por el azar. Por ejemplo, si se quiere coocer el grado de eficacia de u uevo medicameto, la resistecia de u uevo material para fabricar bombillas, la evolució a corto plazo del úmero de parados, etc. El primer paso para emplear la Estadística como disciplia cietífica e el estudio de este tipo de feómeos, cosiste e idetificar el cojuto de etes reales o poteciales sobre los que se pretede obteer iformació, estudiado ua característica dada, al que se deomia població. E los ejemplos ateriores, las persoas co la dolecia que trata el uevo medicameto, las bombillas fabricadas co el uevo material o la població activa. Cuado el ivestigador toma iformació de todos y cada uo de los elemetos de la població se dice que está realizado u ceso. Si embargo, esto o es muchas veces posible, ya sea por el coste que resulta de la toma de iformació, bie porque ésta lleve cosigo la destrucció del ete e cuestió o tambié porque la població está costituida por etes poteciales, como por ejemplo, efermos co ua determiada dolecia. Este problema lleva al ivestigador a tomar la iformació de uos cuatos elemetos de la població estadística y este proceso recibe el ombre de muestreo. El cojuto de elemetos de los que se toma iformació se llama muestra y el úmero de elemetos que la compoe, tamaño muestral. Existe distitos tipos de muestreo (estratificado, por coglomerados, sistemático...) que garatiza la represetatividad de la muestra segú sea las diferecias etre los elemetos de la població. Cuado o dispogamos de esta iformació y los elemetos sea idistiguibles o itercambiables a priori y perfectamete homogéeos respecto a la variable que estudiamos, la muestra se seleccioa co muestreo aleatorio simple, que es aquél e el que cada elemeto de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido para la toma de iformació y las observacioes se realiza co reemplazamieto, de maera que la població es idética e cada extracció. El ivestigador básicamete seleccioa ua muestra de la població para que, a través de la observació del comportamieto idividual de cada uo de sus elemetos, se pueda obteer uas leyes geerales acerca del comportamieto de todos los elemetos de la població. La metodología que se utiliza para hacer referecias, prediccioes y geeralizacioes sobre la població, basádose e la iformació coteida e la muestra, recibe el ombre de Iferecia Estadística. MUESTRA ALEATORIA. ESTADÍSTICOS. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO. Supogamos que dispoemos de ua població estadística que es susceptible de ser descrita mediate u modelo probabilístico de ua sola variable aleatoria X. Dicho modelo depederá de uo o más parámetros que, si fuera coocidos, os serviría para describir perfectamete el modelo e cuestió. Si embargo, e la realidad ocurre que estos parámetros so descoocidos pero podemos obteer iformació acerca de ellos mediate la observació repetida de la variable e estudio. Por ejemplo, supogamos que se está estudiado la logitud del caparazó de la especie de tortuga maria más comú e el Mediterráeo, caretta caretta. Es u hecho empíricamete Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 1

2 probado que muchas de las características morfológicas (logitudes, pesos, diámetros, cocetracioes de ciertos compuestos e sagre, etc.) de los idividuos de ua població biológica, sigue ua distribució ormal. Por tato, se puede admitir que la variable X= logitud del caparazó de ua caretta caretta sigue u modelo de distribució ormal N(µ, σ), cuyos parámetros µ y σ so descoocidos. Para coocer cuáles so los valores de dichos parámetros, se observara la logitud, X i, de los caparazoes de ua muestra represetativa de tortugas. E leguaje de la teoría de probabilidades, esto sigifica que estamos cosiderado variables aleatorias idepedietes X 1,..., X cuya distribució de probabilidad es la misma que la de la variable aleatoria X de partida, que represeta la logitud del caparazó de ua caretta caretta del Mediterráeo. Las X 1, X 2,..., X so, pues, ua muestra aleatoria simple tomada de ua hipótetica població de posibles observacioes. Para ser aú más explícitos, X 1 = logitud del caparazó de la primera tortuga de la muestra tomada es ua variable aleatoria cotiua, que puede tomar ifiitos valores reales, y cuya distribució de probabilidad se admite que sigue u modelo ormal de parámetros µ y σ. Lo mismo sucede para X 2, X 3,..., X. Fruto de la observació de la característica objeto de estudio, e los elemetos de la muestra, se obtiee lo que se llama realizació de la muestra, que o es más que el cojuto x 1, x 2,..., x de valores observados fialmete, de todos los posibles que podía tomar las variables aleatorias que forma la muestra. Así, si el iterés se cetra e estimar la logitud media del caparazó y se sabe que dicha variable se modeliza co ua distribució ormal, el primero de los dos parámetros de los que depede dicha distribució, represeta la catidad que se pretede aproximar. Ua vez observada la característica e los idividuos, se dispodrá de ua realizació de la muestra x 1, x 2,..., x, es decir, de las logitudes del caparazó e tortugas y etoces, os pregutamos qué valor debe asigarse al parámetro µ? Evidetemete, a adie le sorprede que sea u valor basado e la realizació de la muestra. Más aú, si se quiere obteer iformació sobre la media poblacioal, parece lógico pesar e que se puede utilizar la media muestral, esto es, la media aritmética de los valores observados e la muestra: i=1 x i x = Auque podría emplearse como medida alterativa, la media aritmética de los valores de la muestra que queda ua vez que se haya elimiado el más grade y el más pequeño, por ejemplo, e lugar de todos los observados. No cabe duda de que, e cualquier caso, u procedimieto razoable será utilizar ua determiada fució de las observacioes muestrales. Dado u paso atrás, podemos pesar e todos los posibles valores teóricos que se podría obteer para la media muestral o para cualquier otra fució que depeda de los valores de la muestra. Surge así el cocepto de estadístico, como el de ua fució T de las variables aleatorias X 1, X 2,..., X, que compoe ua muestra aleatoria. Al ser fució de varias variables aleatorias, u estadístico es tambié ua variable aleatoria a cuya distribució se deomia distribució e el muestreo o distribució muestral del estadístico, que depederá e geeral de los parámetros descoocidos de la població X. Otro ejemplo de estadístico que puede usarse como estimador de otro parámetro poblacioal, lo costituye la variaza muestral, que se defie de la forma atural, es decir, como la variaza de los elemetos de ua muestra i=1 s 2 (X i X) 2 = Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 2

3 Ésta es ua variable aleatoria que podrá tomar ifiitos valores, o previsibles, hasta que se hace efectivo el muestreo, y que tedrá su propia distribució de probabilidad. Para qué puede servir coocer la distribució e el muestreo de ua determiado estadístico? Tégase e cueta que los dos estadísticos hasta ahora cosiderados, media y variaza muestral, ha surgido de forma atural como estimadores de la media y la variaza poblacioal, respectivamete, si embargo o teemos evidecias, de que dichas estimacioes vaya a ser fiables. Éso va a depeder precisamete, de la distribució e el muestreo del estadístico que se tome como estimador, puesto que dicha distribució explica qué valores puede tomar dicho estadístico y co qué probabilidades. ESTIMACIÓN PUNTUAL Asociado a ifiidad de feómeos o previsibles o aleatorios, se realiza costatemete estimacioes de los parámetros que determia el comportamieto de dicho feómeo. Co el objetivo de prever el úmero de camas dispoibles e u hospital, se hace estimacioes del úmero de pacietes atedidos diariamete; para poder ateder la demada, las empresas tiee que estimar la media y dispersió de las vetas que va a realizar de sus productos; para sacar coclusioes acerca de la eficacia de cierto retroviral, los ivestigadores ecesita coocer la cocetració media de leucocitos e sagre de los pacietes seropositivos, etc. El proceso se basa e observar los valores que toma ua muestra aleatoria X 1, X 2,..., X de la població y combiar dichas observacioes x 1, x 2,..., x adecuadamete, de forma que la fució resultate T (x 1, x 2,..., x ) sea ua buea aproximació del parámetro poblacioal. Por tato, el proceso de estimació putual utiliza u estadístico,t, que e este caso se deomia estimador putual y como tal estadístico tiee ua distribució e el muestreo, que depede e geeral del parámetro e cuestió. A ua realizació particular del estimador putual se le llama estimació putual, que es el valor umérico que se toma para aproximar el parámetro poblacioal descoocido. Pero, cuál es el estadístico T más apropiado? Lo razoable es observar la distribució e el muestreo de dicho estadístico para teer ua idea aproximada de los posibles valores que puede tomar y comparar éstos co el valor del parámetro poblacioal. Se utiliza diversos criterios para medir la bodad del estimador: Para que, e promedio, el valor del estimador T utilizado esté cercao al valor del parámetro poblacioal a determiar, debe ocurrir que el valor esperado o esperaza matemática de dicho estadístico, sea el propio parámetro. E tal caso, se dice que el estimador es isesgado o cetrado y, e caso cotrario, se dice sesgado, llamado sesgo del estimador T a la desviació etre el valor esperado E(T ) y el verdadero valor del parámetro. La isesgadez o es, e sí misma, aisladamete, ua propiedad muy satisfactoria, ya que o es posible afirmar ada acerca de lo alejado que resulte el valor de T, e ua muestra cocreta. Además, o implica absolutamete ada respecto a la dispersió de la distribució del estimador. U estimador que sea isesgado pero que tega ua variaza muy alta, producirá a meudo estimacioes muy alejadas del objetivo (es decir, muy alejadas del verdadero valor del parámetro). Ello coduce a elegir u estimador cetrado, cuya variaza sea lo meor posible. Obsérvese que ua variaza pequeña, por sí sola, tampoco es ua buea propiedad Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 3

4 para u estimador, puesto que si todos los valores está muy cercaos a u valor medio muy distito del parámetro, la estimació putual que se haga co él e ua muestra cocreta, será co ua probabilidad alta, distito al valor real del parámetro poblacioal. Por tato, será bueo, elegir como estimador de u parámetro poblacioal u estadístico cetrado y de variaza míima. ESTIMADORES PUNTUALES MÁS USUALES Idepedietemete de cuál sea el proceso de selecció del estimador a utilizar, ua vez elegido, lo lógico es aalizar los resultados obteidos. No es posible comparar el valor estimado co el real, precisamete porque el valor del parámetro poblacioal es descoocido. Pero sí se puede coocer lo mejor posible la distribució de probabilidad del estimador, para saber cómo se distribuirá sus posibles valores alrededor del parámetro a estimar. A cotiuació se eumera los estimadores putuales más usados para distitos parámetros poblacioales. Supogamos que ua població está represetada por la variable estadística X co distribució coocida (por ejemplo, ua distribució ormal) y tal que E(X) = µ y Var(X) = σ 2. Media muestral Para ua muestra aleatoria simple X 1, X 2,..., X de tamaño se defie la media muestral como el estadístico i=1 X i X = Siempre que se trate de obteer estimacioes putuales sobre la media poblacioal µ, se tomará el valor observado de la media muestral, x. Cuasivariaza muestral Para ua muestra aleatoria simple X 1, X 2,..., X de tamaño se defie la cuasivariaza muestral como el estadístico i=1 S 2 (X i X) 2 = 1 Es u estimador isesgado de la variaza poblacioal y de variaza míima. Quizás lo atural, e pricipio, es cosiderar como estimador de la variaza poblacioal al estadístico variaza muestral defiido por s 2 = i=1 (X i X) 2 No se hace así porque este estadístico, o es cetrado, es decir su esperaza o valor esperado o coicide co el valor de la variaza poblacioal, σ 2, sio que tiee u sesgo que tiede a subestimar por térmio medio, el valor real de la variaza. Obsérvese que la cuasivariaza y la variaza de la muestra viee relacioadas por: s 2 = 1 S2 o lo que es igual S 2 = 1 s2 Por lo ateriormete expuesto, siempre que se trate de obteer estimacioes putuales sobre la variaza poblacioal σ 2, se tomará el valor observado de la cuasivariaza muestral, S 2. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 4

5 Proporció muestral Cuado se cosidera ua prueba de Beroulli, co probabilidad de éxito p, descoocida, se repite la prueba veces (se cosidera u muestra aleatoria de tamaño ), de forma que u estimador putual de p será ˆp = úmero de éxitos e las pruebas úmero de pruebas, Este estimador es isesgado y de variaza míima, luego es el que se utiliza como estimador putual para la probabilidad de éxito. Por ejemplo, supogamos que se quiere estimar la proporció de ciudadaos que piesa votar a u determiado cadidato e uas eleccioes muicipales. LLevadas a cabo observacioes, X 1, X 2,..., X, es decir pregutados electores, se obtedrá uos o ceros, segú los electores pregutados piese votar o o al cadidato. Así, se tomará como estimació del porcetaje de votos que tedrá dicho cadidato e las eleccioes, como la proporció de electores que piesa votarle de los pregutados. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS La estimació putual cosiste e la asigació de u úico úmero real, obteido a partir de las observacioes muestrales, como proóstico del valor de u parámetro poblacioal descoocido. Si embargo y, a pesar de que los estimadores se ha tomado de maera que los posibles valores que proporcioa para el valor del parámetro está cetrados alrededor del propio parámetro, sería extraño que la estimació coicida exactamete co el valor real del parámetro para ua realizació determiada de la muestra. Por esta razó, resulta más realista buscar u itervalo umérico I e el cual se ecuetre el valor del parámetro co ua probabilidad prefijada, suficietemete alta como para proporcioar ua seguridad razoable de que el valor del parámetro se ecuetra etre el límite iferior y el superior de dicho itervalo. Supogamos que se pretede estimar u parámetro poblacioal θ, para lo cual se toma ua muestra aleatoria X 1, X 2,..., X. Lo que ahora se pretede es buscar ua pareja de estadísticos L i, límite iferior, y L s, límite superior (ambos obteidos a partir de los elemetos que forma la muestra) de forma que P (L i θ L s ) = 1 α siedo 1 α u úmero real prefijado al que se deomia ivel de cofiaza. El itervalo [L i, L s ] recibe el ombre de itervalo de cofiaza para el parámetro θ al ivel de cofiaza 1 α. Obsérvese que los valores de los estadísticos L i y L s variará segú las realizacioes de la muestra tomada. Es frecuete que el ivel de cofiaza, se exprese e porcetajes, de maera que si, por ejemplo, el ivel de cofiaza es del 95%, ésto sigifica que si tuviéramos k muestras diferetes y para cada ua de ellas calculáramos el correspodiete itervalo de cofiaza, sucedería que aproximadamete el 95% de los itervalos calculados cotedría el valor autético del parámetro poblacioal descoocido. Los problemas más frecuetes e la práctica, e cuato a la estimació de parámetros poblacioales por medio de itervalos, so la determiació de itervalos de cofiaza para: la media de ua distribució ormal la variaza de ua distribució ormal Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 5

6 diferecia de medias de dos poblacioes ormales cociete de variazas de dos poblacioes ormales probabilidad de éxito e ua prueba de Beroulli, es decir, parámetro p de ua biomial B(1, p) diferecia etre las probabilidades de éxito e dos pruebas de Beroulli idepedietes media de ua distribució de Poisso. Para determiar el itervalo de cofiaza que debe usarse e cada uo de estos casos, fijado el ivel de cofiaza requerido, debe emplearse las distribucioes e el muestreo de los estimadores putuales de cada uo de dichos parámetros. Si embargo, o etraremos e tato detalle e este curso, sio que emplearemos ua tabla - resume que refleja los itervalos de cofiaza que debe utilizarse e cada caso práctico. Para poder utilizar dichas tablas, es ecesario emplear tambié los valores tabulados de tres variables aleatorias cotiuas muy relacioadas co la distribució ormal: 1. distribució Ji cuadrado 2. distribució T de Studet 3. distribució F de Fisher - Sedecor A cotiuació, detallamos e cada caso la defiició de dichas distribucioes y el maejo de sus tablas. BREVES INSTRUCCIONES PARA EL USO DE LAS TABLAS Distribució Ji cuadrado χ 2 Ua distribució Ji cuadrado co grados de libertad χ 2 se geera mediate la suma de los cuadrados de variables aleatorias ormales estadar idepedietes, por tato es ua variable que sólo toma valores positivos. Su media y variaza so µ = y σ 2 = 2. Los valores uméricos asociados a esta distribució que se ecuetra tabulados NO so probabilidades (obsérvese que muchos de ellos so úmeros mayores que 1), sio el valor del úmero real χ 2 α, positivo que verifica P (χ 2 χ 2 α,) = α Para buscar el valor de χ 2 α,, hay que buscar el valor de e la primera columa de la tabla y el valor de α e la primera fila. Como sólo está tabulados los valores para distribucioes co grados de libertad etre 1 y 30, cuado 30 se utilizará las tablas de la distribució ormal tipificada, teiedo e cueta lo siguiete: Si X χ 2 etoces 2X N( 2 1, 1) Por ejemplo, para calcular χ ,40: Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 6

7 0.05 = P (χ 2 40 χ ,40) = P Obteiédose que de χ ,40 = ( ) 2 2 ( ) ( 2χ χ ,40 = P N( ) , 1) 2χ ,40 = P Z 2χ , = χ , = z 0.05 = 1.645, de dode se puede despejar el valor Distribució T de Studet Ua distribució T de Studet co grados de libertad se defie como t = Z χ 2 dode Z represeta ua distribució ormal tipificada. Su media y variaza so µ = 0 y σ 2 = 2. La gráfica de la fució de desidad es muy parecida a la de la distribució ormal estadar, de hecho para 30, prácticamete coicide. Cocretamete, u hecho a teer e cueta es que tambié es simétrica respecto al eje de ordeadas. Igual que e el caso de la distribució Ji cuadrado, lo que se ecuetra tabulado so los úmeros reales t α, para los que se verifica P (t t α, ) = α Los grados de libertad se busca e la primera columa de la tabla correspodiete y el valor de la probabilidad α, e la primera fila. Distribució F de Fisher - Sedecor Ua distribució F de Sedecor co 1 y 2 grados de libertad se obtiee mediate el cociete de dos ji cuadrado: Su media y variaza so µ = F 1, 2 = χ χ y σ 2 = 22 2( ) 1 ( 2 4)( 2 2) 2 Como esta variable depede de dos parámetros, (los grados de libertad) se dispoe de cuatro tablas, determiadas por diferetes valores de la probabilidad α. Como e los dos casos ateriores, Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 7

8 los valores que aparece e la tabla, F α;1, 2, represeta aquellos úmeros reales para los que se verifica P (F 1, 2 F α;1, 2 ) = α Para valores de α que sea próximos a 1, se utilizará la siguiete propiedad de reciprocidad: F α;1, 2 = 1 F 1 α;1, 2 Iterpolació Cuado e algua de las tablas o se ecuetre exactamete el valor buscado, se tomará los dos valores de la tabla etre los que se ecuetre compredido y se realizará ua iterpolació lieal. Por ejemplo: Para calcular t 0.25,30, se toma los valores de α tabulados etre los que se ecuetra E este caso so 0.3 y 0.2. Se cosidera t 0.3,30 = 0.53 y t 0.2,30 = 0.854, co sus respectivas probabilidades, como putos del plao y la ecuació de la recta que pasa por ellos: dados (0.3, 0.53) y (0.2, 0.854), la ecuació de la recta que pasa por ambos putos será: y 0.53 = (x 0.3) = 3.24(x 0.3) A cotiuació se cosidera x = 0.25, se sustituye e la ecuació de la recta y se obtiee el valor de y: y = ( 0.05) = = t 0.25,30 CONTRASTE DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Ua hipótesis estadística es cualquier afirmació que se hace, verdadera o falsa, sobre algua característica descoocida de la població. El cotraste de hipótesis es la técica estadística usada cuado se pretede estudiar si ua afirmació realizada sobre ua característica poblacioal se puede cosiderar cierta o o. Si la hipótesis formulada se refiere al valor de u parámetro descoocido de la població, hablaremos de cotraste paramétrico y si se refiere a la forma que tiee la fució de probabilidad de la població hablaremos de cotraste o paramétrico. E este curso úicamete va a tratarse cotrastes paramétricos. Desde luego, lo más fiable para comprobar la veracidad de ua hipótesis estadística, sería hacer u ceso e la població, es decir, tomar todos los elemetos de la misma y observar la característica objeto de estudio e cada uo de ellos. Si embargo, por cuestioes de tiempo, diero, la propia aturaleza de la població, etc, lo habitual es tomar ua muestra y observar si la iformació deducida a partir de ella, cofirma o, por el cotrario, ivalida la hipótesis realizada. Para que se permita la comercializació de u medicameto uevo, la proporció de pacietes que mejore tras la admiistració del mismo debe ser al meos del 90%. Para ello, se podría tomar ua muestra de pacietes, que aceptara volutariamete participar e el esayo clíico, y observar la proporció de pacietes de la muestra que mejoraro co el medicameto, al que llamaremos ˆp. El problema cosiste e decidir si dicha proporció puede cosiderarse sigificativamete iferior a 0.90 o, por el cotrario, mejoraro suficietes pacietes como para seguir afirmado que el medicameto resulta eficaz. Tégase e cueta que el valor de ˆp, va a depeder de la realizació de la muestra, es decir, que si se tomara cuatro grupos de pacietes distitos, seguramete esta proporció sería diferete de uos grupos a otros: por ejemplo, 90.32%, %, 98.32% y Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 8

9 89.456%. Por tato, para dejar de pesar que el medicameto es eficaz, o basta co cosiderar los resultados obteidos de ua muestra tomada y si la proporció de pacietes mejorados sale iferior al 90%, aceptar que el medicameto o es útil. Se deberá marcar u límite a partir del cual se rechaza su eficacia. Por ejemplo, si e la realizació de la úica muestra tomada se obtiee ua proporció de pacietes que mejoraro, iferior al 86.34%, se cuestioa la eficacia. Se deomia hipótesis ula, H 0 del cotraste a aquélla que se está cuestioado y es, por tato, la que se acepta o se rechaza como cosecuecia del cotraste. La hipótesis alterativa H a, es la que os sitúa frete a la ula, e el setido de que os hace dudar de la veracidad de la hipótesis ula. La filosofía de u cotraste o es exactamete decidir cuál de las dos hipótesis es cierta, si la ula o la alterativa, sio que si se acepta H 0 es porque la realizació de la muestra tomada o da idicios para pesar que es falsa y si se rechaza H 0 es porque sí hay idicios para o aceptarla, lo cual o implica, e geeral, que H a sea cierta. Podemos comparar lo que aquí sucede co u proceso judicial: el acusado es iocete, salvo que se aporte pruebas suficietes que haga dudar de su iocecia. Si embargo, éso o quiere decir que, co seguridad, el acusado sea culpable, podemos equivocaros. El carácter que desempeña e u cotraste las hipótesis ula y alterativa o es, por tato, simétrico, lo que hace primordial eteder el papel que hace cada ua, para saber platear el cotraste correctamete. Ésto va a estar determiado por la importacia que se le dé a los dos tipos de errores que se puede cometer e ua prueba de hipótesis: 1. rechazar H 0, siedo cierta: error de tipo 1 2. aceptar H 0, siedo falsa: error de tipo 2 Por ejemplo, e la situació descrita ateriormete, si se platea el cotraste tomado como hipótesis ula p = 0.90 (o p 0.90) frete a la hipótesis alterativa p < 0.90 (se supoe que el medicameto es eficaz), se tiee error de tipo 1: o se laza al mercado u medicameto eficaz error de tipo 2: se laza al mercado u medicameto que o es eficaz E cambio, si se toma p 0.90 como hipótesis ula, frete a la alterativa p > 0.90 (se supoe que el medicameto o es eficaz) los dos tipos de errores se itercambia: lazar al mercado u medicameto o eficaz es ahora el error de tipo 1 y o comercializar uo eficaz, es el de tipo 2. Las probabilidades de cometer estos dos tipos de errores represeta ua medida del riesgo de tomar decisioes icorrectas al efectuar ua prueba de hipótesis. Para u tamaño muestral determiado o es posible que sea míimos simultáeamete ambos riesgos de error. Por ello, se adopta el criterio de fijar el error de tipo 1 y se deomia ivel de sigificació a la probabilidad de cometerlo, es decir, el ivel de sigificació es la probabilidad de rechazar la hipótesis ula, supoiedo que es cierta. Esta catidad, que debe ser u úmero próximo a cero, ha de ser fijado de atemao, puesto que viee a medir el riesgo que estamos dispuestos a correr al rechazar la hipótesis ula siedo cierta. Ésto os va a idicar, e geeral, cuál se debe tomar como hipótesis ula y cuál como alterativa: Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 9

10 fijado u ivel de sigificació, la teoría que queremos detectar si es verdadera se toma como hipótesis alterativa porque la forma de tomar decisioes e el cotraste va a estar determiado por la ecesidad de hacer lo más pequeño posible el error de tipo 1. E el ejemplo, se cosidera más grave lazar u medicameto al mercado o eficaz, por tato, éste debe ser el error de tipo 1. Como cosecuecia, la hipótesis alterativa debe ser H a : p > 0.9 y la hipótesis ula H 0 : p = 0.9 (o, si se prefiere, p 0.9). La toma de decisió de aceptar H 0 o dudar de ella, se basa e la evidecia aportada por ua muestra, utilizada a través del valor que tome u estadístico T (al que se llama estadístico de cotraste), cuya distribució e el muestreo es coocida si se supoe cierta la hipótesis ula. Para cotrastes paramétricos, es decir, aquéllos e los que las hipótesis a cotrastar hace referecia a u parámetro poblacioal descoocido, estos estadísticos so los mismos estimadores putuales que se utiliza para los itervalos de cofiaza (media muestral, cuasivariaza muestral, proporció muestral). El test de hipótesis, esto es, la regla de decisió, basada e u estadístico T cosiste e rechazar H 0 si el estadístico T toma determiados valores, T C aceptar H 0 si el estadístico T toma valores e el complemetario de C, es decir T / C dode C es u subcojuto de los posibles valores de T, al que se deomia regió crítica o de rechazo. Al complemetario de C, se le deomia regió de aceptació. La determiació de la regió de rechazo depede de la hipótesis alterativa y del ivel de sigificació. Supogamos que se quiere cotrastar si el uevo medicameto es o o eficaz a u ivel de sigificació α. Plateamos el cotraste segú hemos ya cometado: H 0 : p = 0.9 H a : p > 0.9 Se rechazará la hipótesis ula si el valor del estimador putual correspodiete, e este caso, la proporció muestral ˆp, toma u valor suficietemete mayor que p 0 = 0.9, es decir ˆp > p 0 + ε para ua catidad positiva ε que depederá del ivel de sigificació, del tamaño muestral y de la distribució e el muestreo del estadístico ˆp, cuado se supoe cierta la hipótesis ula. E este caso cocreto, co u ivel de sigificació α, se puede comprobar que p0 (1 p 0 ) ε = z α dode represeta el tamaño de la muestra. El test de hipótesis aterior se expresa del siguiete modo: p0 (1 p 0 ) Se rechaza H 0 si ˆp > p 0 + z α p0 (1 p 0 ) Se acepta H 0 si ˆp p 0 + z α Segú como sea la regió de rechazo, se habla de cotrastes uilaterales o bilaterales. Uilateral o de u extremo: la regió de rechazo es ua semirrecta de los úmeros reales, es decir, itervalos de la forma (, b) o (a, ). Se obtiee co hipótesis alterativas H a : θ < θ 0 y H a : θ > θ 0, respectivamete. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 10

11 Bilateral o de dos extremos: la regió de rechazo es la uió de dos semirrectas (, b) (a, ). Se obtiee cuado la hipótesis alterativa es de la forma H a : θ θ 0 dode, e ambos casos, θ represeta el parámetro poblacioal sobre el que se está realizado el cotraste. De la misma forma que para los itervalos de cofiaza, utilizaremos ua tabla - resume e la que está reflejados los pricipales cotrastes de hipótesis co sus correspodietes regioes de rechazo. Los casos cosiderados so los mismos que e los itervalos de cofiaza, a saber, se establece los tests de hipótesis para cotrastes sobre: la media de ua distribució ormal la variaza de ua distribució ormal diferecia de medias de dos poblacioes ormales cociete de variazas de dos poblacioes ormales probabilidad de éxito e ua prueba de Beroulli, es decir, parámetro p de ua biomial B(1, p) diferecia etre las probabilidades de éxito e dos pruebas de Beroulli idepedietes media de ua distribució de Poisso. Para fializar, u breve apute para establecer la relació etre itervalos de cofiaza y cotraste bilaterales: los itervalos de cofiaza está diseñados para ser bidireccioales, así que sirve para tomar decisioes e cotrastes bilaterales. Cocretamete, la regió de aceptació de u cotraste bilateral sobre u parámetro θ a u ivel de sigificació α, es precisamete el correspodiete itervalo de cofiaza para dicho parámetro a u ivel de cofiaza 1 α. Dicho de otro modo, se aceptará la hipótesis ula θ = θ 0, si el valor θ 0 perteece al itervalo de cofiaza correspodiete. Imaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 11