Muestreo y estimación

Transcripción

1 Muestreo y estimació BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ bjglez@ull.es DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU dhabreu@ull.es MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ mjimeez@ull.es M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ imarrero@ull.es ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA asgarcia@ull.es Departameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua Ídice 1. Itroducció 1 2. Tipos de muestreo 2 3. Distribució de distitos estadísticos e el muestreo Media muestral Proporció muestral Suma muestral Diferecia de medias Itervalos de cofiaza Itervalo para la media µ de ua població ormal Nµ,σ, co desviació típica σ coocida Itervalo para la proporció p de ua població Determiació del tamaño muestral e la estimació del error Itervalo de cofiaza para la suma muestral Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias Cotraste de hipótesis Errores de tipo I y tipo II Nivel de sigificació y p-valor Cotrastes para la media de ua població ormal co σ coocida Cotrastes para ua proporció p de ua població

2 5.5. Cotrastes para la diferecia de medias de dos poblacioes co σ 1 y σ 2 coocidas OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

3 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 1/21 1. Itroducció E térmios geerales, todo estudio estadístico se basa e los siguietes aspectos: 1. Fijar la població: determiar el cojuto de idividuos a los que ivolucra el estudio. 2. Idicar la característica a estudiar que, e geeral, es ua variable aleatoria. 3. Recopilar iformació relativa a la característica e ciertos idividuos. 4. Extraer coclusioes a partir del estudio. Ejemplo 1.1. So estudios estadísticos: i Estudio sobre el precio medio de la receta médica por la Seguridad Social e Sata Cruz de Teerife. ii Estudio sobre la proporció de hogares de Teerife co coexió a Iteret de bada acha. El siguiete cocepto es fudametal e Estadística. Defiició 1.2. Població es el cojuto de todos los elemetos que posee ua determiada característica. Por razoes de urgecia temporal y ahorro ecoómico, etre otras, a la hora de recopilar iformació o suele estudiarse todos los idividuos de la població. Defiició 1.3. Se deomia muestra a u subcojuto de la població, y muestreo al proceso mediate el cual se escoge ua muestra de la població. E geeral, ua muestra de tamaño es u grupo de idividuos extraídos de la població. Defiició 1.4. Los estudios que ivolucra a toda la població se deomia cesos de població. E la práctica, los estudios estadísticos se realiza a partir de la iformació obteida de ciertas muestras. Las coclusioes que se ifiera a partir del estudio de muestras puede coteer errores e relació a las coclusioes que se derivaría al estudiar la població etera. La Iferecia Estadística trata de la obteció de coclusioes a partir de muestras, cotrolado el error e dichas coclusioes por medio de técicas probabilísticas. E geeral, se desea que las muestras sea lo más represetativas de la població posible. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

4 2/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA 2. Tipos de muestreo Defiició 2.1. Los muestreos puede ser de diferetes tipos: i Muestreo aleatorio simple: es aquel e el cual se elige al azar idividuos de la muestra; todos los idividuos de la població tiee igual probabilidad de ser elegidos. ii Muestreo aleatorio estratificado: es el caso e el que la població se divide e grupos homogéeos que preseta características similares llamados estratos, y posteriormete se extrae ua muestra aleatoria simple de cada uo. iii Muestreo aleatorio sistemático: se ordea uméricamete todos los idividuos de la població; se divide el tamaño de la població etre el tamaño de la muestra, resultado u cociete k; fialmete, se elige al azar u elemeto de la població, y a partir de él se seleccioa de k e k todos los elemetos siguietes. iv Muestreo por coglomerados y áreas: se divide la població e distitas seccioes o coglomerados, es decir, subcojutos de la població dode la variabilidad de características es similar a la de la població etera; se elige al azar uas pocas de estas seccioes, y se forma la muestra co todos los elemetos de las seccioes elegidas. Ejemplo 2.2. Supogamos que teemos 100 hogares. Elegir ua muestra de 5 co muestreo sistemático. RESOLUCIÓN. Ordeamos uméricamete los hogares del 1 al 100. El cociete de dividir 100 etre 5 es 20; etoces 20 sería el período. Elegimos al azar u úmero etre 1 y 20, digamos 16. El hogar co el úmero 16 sería el primero seleccioado, y los restates los umerados co 36, 56, 76 y 96. Defiició 2.3. U parámetro es ua catidad umérica calculada sobre ua població que resume los valores que ésta toma e algú atributo o característica media, variaza, etc.. 3. Distribució de distitos estadísticos e el muestreo La selecció de ua muestra de ua població es u experimeto aleatorio. El espacio muestral de este experimeto está costituido por todas las posibles muestras del tamaño cosiderado obteidas de la població. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

5 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 3/21 Defiició 3.1. U estadístico es ua variable aleatoria que asiga u valor umérico a cada muestra. La distribució de esta variable aleatoria se deomia distribució muestral del estadístico Media muestral Defiició 3.2. Dada ua muestra aleatoria X 1,X 2,...,X de tamaño, la media muestral es el estadístico obteido tomado la media aritmética de los elemetos de la muestra. La deotaremos mediate X: X = 1 k X k. Si la variable aleatoria e estudio sigue ua distribució ormal Nµ, σ etoces la media muestral X sigue ua distribució ormal Nµ,σ/, dode es el tamaño de la muestra. Por otra parte: Teorema 3.3 Teorema del Límite Cetral. Si el tamaño de la muestra es suficietemete grade 30 etoces, para casi todas las poblacioes, la media muestral X sigue aproximadamete ua distribució ormal. Luego: Si la població de partida es ormal, la distribució de las medias muestrales tambié es ormal, cualquiera que sea. Si la població de partida o es ormal, la distribució de las medias muestrales es aproximadamete ormal cuado 30. Ejemplo 3.4. El tiempo que tarda u cajero automático e ateder a los clietes es de ua media de 3 miutos, co desviació típica de 1.2 miutos. Se observa ua muestra de 50 persoas. Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera supere los 2 miutos? RESOLUCIÓN. Sea X = tiempo de espera e el cajero. Se tiee que µ = 3, σ = 1.2 y = 50 clietes. Auque descoocemos la distribució de la variable aleatoria X, ya que 30 podemos cosiderar que la variable aleatoria X = tiempo medio de espera sigue ua distribució ormal N 3, 1.2 = N3, MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

6 4/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Etoces: PX > 2 = P Z > 2 3 = PZ > 5.88 = PZ < 5.88 = Esto es, el tiempo medio de espera superará, co casi total seguridad, los 2 miutos Proporció muestral Defiició 3.5. Se cosidera ua població de la que se extrae muestras de tamaño 30 y de la que se cooce que la proporció de idividuos que preseta ua determiada característica es igual a p. La variable aleatoria p de las proporcioes muestrales es la proporció de idividuos de cada muestra que preseta la característica estudiada. Se defie como p = X/, dode X es el úmero de éxitos y el tamaño de la muestra. Se tiee que p sigue ua distribució ormal p1 p N p,. Ejemplo 3.6. Se sabe que el 40% de los estudiates de Bachillerato de la provicia de Sata Cruz de Teerife so aficioados al voley playa femeio. Se elige ua muestra de 200 estudiates. Hallar la probabilidad de que el porcetaje de aficioados de dicha muestra oscile etre el 35% y el 45%. RESOLUCIÓN. Se tiee que p = 0.4 proporció poblacioal y = 200 tamaño muestral. Se sigue que: p N 0.4, = N0.4, De aquí: P0.35 < p < 0.45 = P < Z < = = = P 1.45 < Z < OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

7 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 5/21 Ejemplo 3.7. El 3% de las piezas producidas por ua máquia so defectuosas. Se toma muestras de 100 piezas. a Cuál es la distribució de la proporció de piezas defectuosas e la muestra? b Hallar la probabilidad de que e ua muestra de 100 piezas haya meos de 5 defectuosas. RESOLUCIÓN. a Coforme a lo idicado, p sigue ua distribució ormal N 0.03, N0.03, b Por tato: P p < 5 = P p < 0.05 = P Z < = PZ < 1.18 = Suma muestral La suma muestral es otro estadístico de iterés e determiados estudios. Se trata de estimar la suma de u cierto úmero de elemetos de la població mediate el estudio de la suma de ua muestra de ese úmero de idividuos. Defiició 3.8. Dada ua muestra aleatoria X 1,X 2,...,X, el estadístico suma muestral se defie como T = k X k. La variable T tiee media µ y desviació típica σ, dode µ es la media poblacioal, σ la desviació típica poblacioal y el tamaño de la muestra. Si la població es ormal, tambié lo es T. E geeral, a medida que crece, la distribució de T se aproxima a ua ormal Nµ,σ. Ejemplo 3.9. Se laza ua moeda al aire 100 veces; si sale cara le damos el valor 1, y si sale cruz, el valor 0. Cada lazamieto es ua variable aleatoria idepediete que se distribuye segú el modelo de Beroulli, co media 0.5 y variaza Calcular la probabilidad de que e estos 100 lazamietos salga más de 60 caras. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

8 6/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA RESOLUCIÓN. Como = 100 es grade, podemos supoer que la variable aleatoria T = úmero de caras e 100 lazamietos, que es la suma muestral de las variables idepedietes X i = úmero de caras e el lazamieto i-ésimo 1 i 100, sigue ua distribució ormal N , = N50,2.5. Por cosiguiete: PT > 60 = P Z > = PZ > 2 = 1 PZ < 2 = = Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moeda salga más de 60 caras es ta sólo del 2.28%. Ejemplo U cierto tipo de bombilla eléctrica tiee ua duració media de 1500 horas, co ua desviació típica de 150 horas. Se coecta 3 bombillas de forma que cuado ua se fude, otra sigue alumbrado. Supoiedo que las duracioes se distribuye ormalmete, cuál es la probabilidad de que se tega luz: a al meos 5000 horas; b como mucho 4200 horas? RESOLUCIÓN. E este ejemplo, la variable aleatoria de iterés, T = tiempo de ilumiació de las 3 bombillas, es suma muestral de las variables aleatorias idepedietes X i = tiempo de ilumiació de la bombilla i-ésima i = 1,2,3. Dado que éstas preseta ua distribució ormal, podemos afirmar que T sigue ua distribució ormal N4500,150 3, de lo cual deducimos que PT > 5000 = P Z > = PZ > 1.92 = 1 PZ < 1.92 = = Esto respode a a. E cuato a b: PT < 4200 = P Z < = PZ < 1.15 = PZ > 1.15 = 1 PZ < 1.15 = = OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

9 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 7/ Diferecia de medias Defiició La diferecia de medias es el estadístico X 1 X 2, dode las variables X 1 y X 2 represeta las medias de sedas muestras aleatorias de tamaños 1 y 2, respectivamete, seleccioadas de dos poblacioes diferetes y de maera idepediete. El estadístico X 1 X 2 sigue ua distribució cuya media es µ 1 µ 2, co desviació típica σ σ A medida que 1 y 2 crece, la distribució de X 1 X 2 se aproxima a la ormal. Si las desviacioes típicas σ 1 y σ 2 so descoocidas se sustituye por las desviacioes típicas muestrales s 1 y s 2. Ejemplo E u estudio para comparar los pesos promedio de iños y iñas de sexto grado e ua escuela de primaria se usará ua muestra aleatoria de 20 iños y otra de 25 iñas. Se sabe que tato para iños como para iñas los pesos sigue ua distribució ormal. El promedio de los pesos de todos los iños de sexto grado de esa escuela es de 45 kilogramos y su desviació estádar es de 6.41 kilogramos, mietras que el promedio de los pesos de todas las iñas del sexto grado de esa escuela es de 38.5 kilogramos y su desviació estádar es de 5.55 kilogramos. Si X 1 represeta el promedio de los pesos de ua muestra de 20 iños y X 2 es el promedio de los pesos de ua muestra de 25 iñas, ecotrar la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 iños sea, al meos, 9 kilogramos mayor que el de las 25 iñas. RESOLUCIÓN. Coforme a los datos del problema, teemos: µ 1 = 45 kg, µ 2 = 38.5 kg, σ 1 = 6.41 kg, 1 = 20 iños, σ 2 = 5.55 kg, 2 = 25 iñas. Sabemos que X 1 X 2 sigue ua distribució ormal N 25 20, = N5, Así: MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

10 8/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA PX 1 X 2 > 9 = P Z > = P Z > = PZ > 1.38 = 1 PZ < 1.38 = = Ejemplo U laboratorio farmacéutico fabrica uos comprimidos para la agia de pecho cuya fecha de caducidad ha estimado que tiee ua media de 18 meses co ua desviació típica de 3 meses. A fi de ampliar el plazo de caducidad ha cambiado el sistema de elaboració de estos comprimidos, estimado que co el uevo método se puede lograr ua media de 24 meses y ua desviació típica de 3 meses e la caducidad. Se toma ua muestra de 100 comprimidos fabricados por el sistema tradicioal y 150 comprimidos fabricados por el uevo. Determiar la probabilidad de que la diferecia de medias etre ambas muestras se ecuetre etre 5.5 y 6.5 meses. RESOLUCIÓN. E este caso teemos los siguietes datos: µ 1 = 18 meses, µ 2 = 24 meses, σ 1 = σ 2 = 3 meses, 1 = 100 comprimidos, 2 = 150 comprimidos. Sabemos que X 2 X 1 sigue ua distribució ormal N 24 18, = N6,0.39, 150 co lo que P5.5 < X 2 X 1 < 6.5 = P 0.39 < Z < = P 1.28 < Z < = 2PZ < = = OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

11 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 9/21 4. Itervalos de cofiaza U parámetro descoocido se puede estimar mediate u valor específico de u estadístico que provega de algua muestra aleatoria. A dichos valor y estadístico se les cooce como estimació putual y estimador putual del parámetro, respectivamete. Por ejemplo, u estimador putual para la media poblacioal µ es la media muestral X, mietras que ua estimació putual para µ será el valor x que tome X e ua muestra aleatoria cocreta. E la práctica es preferible estimar u parámetro mediate u itervalo que co u valor particular del estimador putual. Así, e muchos procesos de producció sujetos a u cotrol de calidad se establece itervalos detro de los cuales los artículos, productos, objetos o medidas se cosidera aceptables para salir al mercado. Defiició 4.1. U itervalo de cofiaza para u parámetro θ es u cojuto de valores uméricos IC = a,b tal que θ a,b co ua determiada probabilidad, que se deota por 1 α y se deomia ivel de cofiaza. El úmero α se llama ivel de sigificació Itervalo para la media µ de ua població ormal Nµ,σ, co desviació típica σ coocida Supogamos ua població ormal Nµ,σ co µ descoocida y σ coocida. Se extrae ua muestra de tamaño y se calcula la media muestral X que, como sabemos, es u estimador putual para µ. El itervalo de cofiaza para µ co σ coocida es IC = X σ Z α/2,x + σ Z α/2, dode Z α/2 es el valor para el cual PZ < Z α/2 = 1 α/2. Coocidas α,, X y σ, se determia el itervalo de cofiaza. La media poblacioal µ perteecerá a dicho itervalo co probabilidad 1 α. El error máximo admisible es Z α/2 σ/, esto es, la semiamplitud del itervalo. Ejemplo 4.2. E u hospital se sabe que la estatura de los recié acidos se distribuye ormalmete, co desviació típica de 8.9 cetímetros. E ua muestra de 10 bebés recié acidos se obtuviero las siguietes medidas e cetímetros: 44, 68, 57, 48, 66, 47, 60, 53, 51, 68. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

12 10/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Figura 4.1. Itervalo de cofiaza para la media muestral. Ecotrar u itervalo de cofiaza del 90% para el peso medio de los recié acidos. RESOLUCIÓN. Teemos que 1 α = 0.9, esto es, α = 0.1, de dode Z α/2 = Z 0.05 = Ahora bie, como σ = 8.9, = 10 y X = 56.2, sigue que IC = 56.2 ± = 56.2 ± = , , y µ IC al 90% de cofiaza co probabilidad p Itervalo para la proporció p de ua població E ua població se estudia ua característica, y se quiere coocer la proporció p de idividuos que posee dicha característica. Se toma ua muestra de tamaño 30 y se halla la proporció muestral p. La proporció muestral p es ua estimació putual de la proporció poblacioal p. El itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal p es IC = p1 p p1 p p Z α/2, p + Z α/2. De uevo, Z α/2 es el valor para el cual PZ < Z α/2 = 1 α/2. La proporció poblacioal p perteecerá a dicho itervalo co probabilidad 1 α. El error máximo admisible será p1 p Z α/2, OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

13 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 11/21 esto es, la semiamplitud del itervalo. Ejemplo 4.3. U experimeto e u hospital cosiste e comprobar si ua madre puede distiguir el llato de su hijo del llato de los otros iños. Se toma ua muestra de 50 madres y se observa que 47 de ellas distigue el llato. Hallar u itervalo de cofiaza al 90% para la proporció de madres que distigue el llato. RESOLUCIÓN. Co estos datos podemos afirmar que 1 α = 0.9 ó, lo que es lo mismo, α = 0.1, de dode Z α/2 = Z 0.05 = Además, p = 47/50 = 0.94 y 1 p = Como = 50, teemos: IC = 0.94 ± = 0.94 ± = , Así, es posible asegurar al 90% que etre el 88.47% y el 99.53% de las madres recooce el llato de su hijo Determiació del tamaño muestral e la estimació del error E la costrucció de los itervalos de cofiaza que hemos estudiado se comete u error máximo al aproximar el parámetro igual a σ p1 p E máx = Z α/2 ó E máx = Z α/2. Si el tamaño de la muestra aumeta, etoces el error E máx tiede a cero. E ocasioes se pide hallar para que el error máximo sea meor que u cierto umbral E: Zα/2 σ 2 µ descoocida y σ coocida, E o bie 2 Zα/2 p1 p proporció p descoocida. E Ejemplo 4.4. El director de ua sucursal desea estimar el tiempo medio de ateció a los clietes co ua cofiaza del 99% y co u error máximo de medio miuto. Se sabe que el tiempo medio de ateció a los clietes se distribuye ormalmete, co desviació típica 2.6 miutos. Cuátas persoas se debe icluir e el estudio para obteer dicha estimació? MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

14 12/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA RESOLUCIÓN. Procediedo como hemos idicado, α = 0.01 y Zα/2 σ = = E 0.5 Por tato, tomamos = 180 como tamaño de la muestra. Ejemplo 4.5. Se sabe por estudios previos que la proporció de objetos defectuosos e ua líea de producció es del orde de De qué tamaño coviee tomar ua muestra para teer ua cofiaza del 95% de que la proporció estimada o difiera de la verdadera e más de u 3%? RESOLUCIÓN. Igual que e el caso aterior se tiee, co α = 0.05: 2 Zα/2 p1 p = = E 0.03 Así pues, tomamos el valor = 203. Observació 4.6. A veces, p es descoocida. E tal caso se sustituye p1 p por su valor máximo, que es 0.5. Ejemplo 4.7. Para estimar la proporció de hogares de ua població que tiee ordeador se utiliza ua muestra de tamaño. a Cuál debe ser el míimo valor de para garatizar co ua cofiaza del 95% que el error e la estimació o sea superior al 2%? b Y si se desea ua cofiaza del 98% y u error máximo del 1%? RESOLUCIÓN. a Como α = 0.05, teemos que Z α/2 = Si E máx = 0.02 y p es descoocido etoces, e lugar de tomar podríamos 2 Zα/2 p1 p, E máx = 2401, 0.02 y habría que elegir persoas. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

15 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 13/21 b Ahora α = 0.02, por lo que Z α/2 = Si el error máximo ha de ser de 0.01 co p descoocido, etoces = , 0.01 de dode = 13573, como míimo Itervalo de cofiaza para la suma muestral Supogamos ua població ormal que tiee media µ y desviació típica σ. Se estudia ua muestra de tamaño y se quiere determiar u itervalo de cofiaza para la suma de los elemetos de la muestra. E este caso tedremos: IC = X 1 + X X ± Z α/2 σ. Ejemplo 4.8. El voltaje medio de las baterías producidas por ua compañía es de 45.1 voltios y la desviació típica 0.04 voltios. Si se coecta cuatro baterías e serie, hallar los itervalos de cofiaza del 99% para el voltaje total. RESOLUCIÓN. Sea X 1, X 2, X 3 y X 4 los voltajes de las cuatro baterías. Como µ = 45.1, σ = 0.04, = 4, α = 0.01 y Z α/2 = 1.96, se tiee: IC = ± = 180 ± = , Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias Supogamos dos poblacioes Nµ 1,σ 1 y Nµ 2,σ 2 ; de cada ua de ellas extraemos ua muestra de tamaños 1 y 2, respectivamete. Sea X 1 y X 2 las medias muestrales respectivas, y 1 α el ivel de cofiaza. Si σ 1 y σ 2 so coocidas, el itervalo de cofiaza viee dado por IC = X 1 X 2 ± Z α/2 σ σ MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

16 14/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Si σ 1 y σ 2 so descoocidas y 1 y 2 so grades mayores o iguales que 30, el itervalo de cofiaza viee dado por IC = X 1 X 2 ± Z α/2 ŝ ŝ 2 2 2, dode ŝ 2 1 y ŝ 2 2 so las cuasivariazas de cada muestra. Defiició 4.9. La cuasivariaza muestral es ŝ 2 = 1 s2, dode es el tamaño de la muestra y s la variaza muestral. Ejemplo Hallar el itervalo de cofiaza al ivel del 90% para la diferecia de los salarios medios de los trabajadores y trabajadoras de ua gra empresa e la que se ha elegido dos muestras: ua de 40 hombres y otra de 35 mujeres, cuyos salarios medios so X 1 = 1051 euros y X 2 = 1009 euros, sabiedo además que las desviacioes típicas so σ 1 = 90 euros y σ 2 = 78 euros. RESOLUCIÓN. Los datos que coocemos so: X 1 = 1051, X 2 = 1009, σ 1 = 90, σ 2 = 78, 1 = 40, 2 = 35, α = 0.1, Z α/2 = 1.64, co lo cual: IC = ± = 10.19, Cotraste de hipótesis Se tiee ua població e la que se descooce u parámetro media poblacioal, proporció poblacioal, etc. y se quiere estudiar la falsedad de ua afirmació realizada acerca del verdadero valor del parámetro. E geeral, se sigue cuatro pasos: OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

17 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 15/21 1. Euciar la hipótesis ula H 0 : afirmació que se quiere estudiar. La afirmació complemetaria se llama hipótesis alterativa H Costruir la regió de aceptació o de o rechazo: es u itervalo que permitirá decidir sobre la falsedad o o de H 0. Para costruirlo se ecesita u ivel de sigificació α. La regió complemetaria se llama regió crítica o de rechazo. 3. Extracció de ua muestra y cálculo del parámetro muestral. 4. Toma de la decisió: Si el parámetro muestral perteece a la regió de aceptació, etoces o podemos rechazar H 0 a ivel de sigificació α. Si el parámetro muestral o perteece a la regió de aceptació, etoces debemos rechazar H 0 a ivel de sigificació α. Figura 5.1. Regió de aceptació o de o rechazo y regió crítica o de rechazo de H Errores de tipo I y tipo II Defiició 5.1. Si se rechaza ua hipótesis cuado debería ser aceptada, se dice que se comete u error de tipo I. Si por el cotrario, se acepta ua hipótesis que debe ser rechazada, se dice que se comete u error de tipo II. E cualquiera de los dos casos se comete u error al tomar ua decisió equivocada. Realidad de H 0 Decisió Se rechaza H 0 No se rechaza H 0 H 0 es verdadera Error tipo I Decisió correcta H 0 es falsa Decisió correcta Error tipo II Cuadro 5.1. Aparició de los errores de tipos I y II e u test de de hipótesis. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

18 16/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Para que cualquier test de hipótesis o regla de decisió sea bueo, debe diseñarse de forma que miimice los errores de decisió. Esto o es ta secillo como puede parecer, puesto que para u tamaño de muestra dado, u iteto de dismiuir u tipo de error va geeralmete acompañado de u icremeto e el otro tipo de error. E la práctica, u tipo de error puede teer más importacia que el otro, y así se tiede a poer ua limitació al error de mayor importacia. La úica forma de dismiuir al tiempo ambos tipos de error es icremetar el tamaño de la muestra, lo cual o siempre es posible Nivel de sigificació y p-valor Defiició 5.2. La probabilidad máxima co la que se puede cometer u error del tipo I e u test de hipótesis se llama ivel de sigificació del test y se deota por medio de la letra α. El ivel de sigificació geeralmete se fija ates de la extracció de las muestras, de modo que los resultados obteidos o ifluya e la elecció. E la práctica se acostumbra a utilizar iveles de sigificació del 0.05 ó 0.01, auque igualmete se puede emplear otros valores. Si, por ejemplo, se elige u ivel de sigificació del 0.05, ó 5%, al diseñar u test de hipótesis, etoces hay aproximadamete 5 ocasioes de cada 100 e que se rechazaría la hipótesis cuado debería ser aceptada, es decir, se tiee u 95% de cofiaza e que se tome la decisió adecuada. E tal caso se dice que la hipótesis ha sido rechazada a ivel de sigificació del 0.05, lo que sigifica que se puede cometer error co ua probabilidad de La elecció del ivel de sigificació, tal y como se ha cometado ateriormete, es, e cierta forma, arbitraria. Si embargo, ua vez obteida la muestra, se puede calcular ua catidad que permite resumir el resultado del experimeto de maera objetiva. Esta catidad es el p-valor, que correspode al ivel de sigificació más pequeño que puede ser elegido, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alterativa co las observacioes actuales. E otras palabras: Defiició 5.3. El valor de α para el que se produce u cambio e la decisió se deomia p-valor del cotraste. El p-valor da ua medida de cuáto cotradice la muestra actual la hipótesis alterativa. Al proporcioar el p-valor, p ν, obteido co la muestra actual, la decisió se hará de acuerdo a la regla siguiete: si p ν α, aceptar H 1 ; si p ν > α, aceptar H 0. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

19 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 17/ Cotrastes para la media de ua població ormal co σ coocida 1. Cotraste bilateral: H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0. σ σ Regió de aceptació: µ 0 Z α/2, µ 0 + Z α/2. 2. Cotraste uilateral: σ Regió de aceptació:, µ 0 + Z α. H 0 : µ µ 0, H 1 : µ > µ Cotraste uilateral: σ Regió de aceptació: µ 0 Z α,+. H 0 : µ µ 0, H 1 : µ < µ 0. Ejemplo 5.4. La logitud de los lápices de ua cierta marca se distribuye ormalmete co media descoocida y desviació típica de 0.5 cetímetros. Se toma ua muestra de 50 lápices y se obtiee ua logitud media de 17.5 cetímetros. Se puede afirmar co ua cofiaza del 95% que la logitud media de todos los lápices es de 18 cetímetros? RESOLUCIÓN. Se tiee: H 0 : µ = 18= µ 0, H 1 : µ 18. Como = 50, σ = 0.5, X = 17.5, α = 0.05 y Z α/2 = 1.96, la regió de aceptació es: µ 0 ± Z α/2 σ = 18 ± = , Y como 17.5 / , , podemos rechazar H 0 co ua sigificació del 5%: la logitud media o es 18 cm co ua cofiaza del 95%. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

20 18/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Ejemplo 5.5. Ua uiversidad afirma que la edad media de sus estudiates de doctorado es iferior a 30 años. Se toma ua muestra de 40 alumos y se obtiee ua edad media de 30.5 años. Se sabe que la edad de los estudiates tiee ua desviació típica de 2 años. Se puede aceptar la afirmació de la uiversidad co ua sigificació del 10%? RESOLUCIÓN. E este caso, H 0 : µ 30= µ 0, H 1 : µ > 30. Teiedo e cueta que los datos so = 40, α = 0.1, Z α = 1.28, X = 30.5 y σ = 2, sigue que la regió de aceptació es, µ 0 + Z α σ =, Como 30.5 /, , rechazamos H 0 al ivel 10% de sigificació: la edad de los estudiates de doctorado o es iferior a 30 años co ua cofiaza del 90%. Ejemplo 5.6. E ua fábrica de lámparas se garatiza ua duració media de 850 horas para lámparas de 60 watios. Se sabe que el tiempo de vida de las lámparas es ormal, co ua desviació típica de 120 horas. Se toma ua caja de 64 lámparas y se observa ua duració media de 750 horas. Será ecesario rechazar ese lote de lámparas por o cumplir la garatía co ua cofiaza del 95%? Cuál será la duració media míima que permite o rechazar el lote de lámparas co el mismo ivel de cofiaza? RESOLUCIÓN. Teemos: H 0 : µ 850= µ 0, H 1 : µ < 850. Segú los datos: = 64, X = 750, α = 0.05, Z α = y σ = 120. La regió de aceptació será: σ µ 0 Z α,+ = ,+. Como 750 / , +, rechazamos la caja de lámparas por o cumplir la garatía de duració co ua cofiaza del 95%. Para o rechazar el lote de lámparas co el mismo ivel de cofiaza, la duració media de las lámparas e las cajas debería ser de 826 horas, al meos. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

21 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 19/ Cotrastes para ua proporció p de ua població 1. Cotraste bilateral: Regió de aceptació: H 0 : p = p 0, H 1 : p p 0. p0 1 p 0 p0 1 p 0 p 0 Z α/2, p 0 + Z α/2. 2. Cotraste uilateral: Regió de aceptació:, p 0 + Z α p0 1 p 0 H 0 : p p 0, H 1 : p > p Cotraste uilateral: Regió de aceptació: H 0 : p p 0, H 1 : p < p 0. p0 1 p 0 p 0 Z α,+. Ejemplo 5.7. La policía local de ua ciudad afirma que más del 65% de accidetes e fi de semaa se debe al exceso de alcohol. Para cotrastar esta afirmació se observa 35 accidetes y se comprueba que 24 de ellos se debe al alcohol. Se puede aceptar la afirmació de la policía local co ua cofiaza del 99%? RESOLUCIÓN. Se tiee que H 0 : p 0.65= p 0, H 1 : p < Teiedo e cueta que e este caso = 35, α = 0.01 y Z α = 2.33, la regió de aceptació será: p0 1 p 0 p 0 Z α,+ = ,+. Como p = 24/35 = ,+, o podemos rechazar la afirmació co u 99% de cofiaza. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013

22 20/21 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Ejemplo 5.8. E las últimas eleccioes el partido goberate obtuvo u 54.5% de los votos. E ua ecuesta reciete a 500 persoas, 247 declararo su iteció de voto a dicho partido. Se puede afirmar, co ua cofiaza del 90%, que el partido ha perdido popularidad? RESOLUCIÓN. E estas codicioes, H 0 : p 0.545= p 0, H 1 : p > Los datos so: = 500, α = 0.1 y Z α = 1.28, así que la regió de aceptació es, p 0 + Z α p0 1 p 0 =, Como p = 247/500 = 0.494,0.5735, o podemos rechazar H 0 al 90% de cofiaza. Ejemplo 5.9. U profesor afirma que exactamete el 70% de sus alumos aprueba sus exámees. Se elige ua muestra de 80 alumos, de los que 50 ha aprobado. Se puede aceptar la afirmació al 10% de sigificació? RESOLUCIÓN. Teemos que: H 0 : p = 0.7= p 0, H 1 : p 0.7. Los datos proporcioados so: = 80, α = 0.1 y Z α/2 = La regió de aceptació es: p0 1 p 0 p0 1 p 0 p 0 Z α/2, p 0 + Z α/2 = , Como p = 50/80 = ,0.7843, o podemos rechazar la afirmació a ese ivel de sigificació Cotrastes para la diferecia de medias de dos poblacioes co σ 1 y σ 2 coocidas Sea X 1 y X 2 las medias muestrales. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

23 MUESTREO Y ESTIMACIÓN 21/21 Cotraste bilateral: Regió de aceptació: H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2. σ1 X 2 1 X 2 Z α/2 + σ 2 2 σ1 2,X 1 X 2 + Z 1 α/2 + σ Ejemplo U fabricate de hilo desea comparar la tesió promedio de su hilo co la de su competidor. Las tesioes de 100 hilos de cada marca se observaro bajo codicioes cotroladas. Las medias y las desviacioes típicas de cada marca fuero las siguietes: X 1 = 110.8, X 2 = 108.2, s 1 = 10.2, s 2 = Si se supoe que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblacioes ormales e idepedietes, existe algua razó para creer que hay ua diferecia etre las tesioes promedio de ruptura de los hilos? Tómese α = RESOLUCIÓN. Estamos ate muestras diferetes dode podemos sustituir σ j por s j j = 1,2, al ser 30. El cotraste plateado será: Y la regió de aceptació será: H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2. X 1 X 2 Z α/2 σ σ 2 2 = = 1.141, ,X 1 X 2 + Z α/2, σ1 2 + σ 2 2 = Observamos que el itervalo de cofiaza cotiee al cero, que es lo que postula la hipótesis ula. Por tato, o podemos rechazar al ivel de cofiaza del 98% que o existe diferecia etre ambas medias. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013