Muestreo Aleatorio Simple

Transcripción

1 Capítulo 1 Muestreo Aleatorio Simple Este método de muestreo proporcioa u puto de partida para ua exposició de los métodos de muestreo probabilístico o porque sea uo de los métodos de muestreo más utilizados sio porque costituye la base de métodos de muestreo más complejos. Depediedo si el muestreo es co reposició o si reposició, podemos hablar de muestreo aleatorio simple co reposició o si reposició respectivamete. De maera formal, este diseño básico o técica de muestreo se defie de la siguiete maera Defiició 1.1 Si se seleccioa u tamaño de muestra de ua població de tamaño N de tal maera que cada muestra posible de tamaño tega la misma probabilidad de ser seleccioada, el procedimieto de muestreo se deomia muestreo aleatorio simple. A la muestra así obteida se le deomia muestra aleatoria simple. Cosiderado muestreo aleatorio si reposició, se obtiee la muestra uidad a uidad de forma aleatoria si reposició a la població de las uidades previamete seleccioadas, teiedo presete además que el orde de colocació de los elemetos e las muestras o iterviee, es decir, muestras co los mismos elemetos colocados e orde distito se cosidera iguales. De esta forma, las muestras co elemetos repetidos so imposibles. Bajo muestreo aleatorio co reposició, las uidades seleccioadas so devueltas de uevo a la població. Expodremos ua maera de seleccioar ua muestra aleatoria simple utilizado u ejemplo cocreto. Se pretede realizar u estudio sobre los hábitos de lectura e los estudiates de Politécica. Las alumos que actualmete estudia e Politécica so u total de 544 alumos y se quiere extraer ua muestra aleatoria simple de 65 alumos. Ua maera de extraer ua muestra aleatoria simple cosiste e asigar a cada alumos u úmero del 1 al 544 asociado cada úmero a u úico idividuo. Ua vez realizado esa asigació, se itroduce 544 bolas umeradas e ua ura (cada ua co u úmero del 1 al 544), se mezcla cuidadosamete y de maera adecuada y etoces se seleccioa 65 1

2 2 bolas al azar. Si todo el proceso se realiza de maera adecuada, las bolas seleccioadas costituiría ua muestra aleatoria simple de 65 estudiates. Auque es coceptualmete simple, este método es u poco trabajoso de ejecutar y depede de que las bolas se haya mezclado de maera adecuada y que todas las bolas tega el mismo peso y rozamieto. Otra maera de seleccioar esta muestra aleatoria simple cosistiría e utilizar ua tabla de úmeros aleatorios. Ua tabla de úmeros aleatorios es u cojuto de dígitos geerado de modo que, ormalmete, la tabla cotedrá a cada uo de los diez dígitos (0, 1,..., 9), e proporcioes aproximadamete iguales, si mostrar tedecias e el patró que se geera los dígitos. Por lo tato, si se seleccioa u úmero e u lugar aleatorio de la tabla, es igualmete probable que sea cualquiera de los dígitos etre el 0 y el 9. Estas tablas se costruye para asegurar que cada dígito, cada par de dígitos, cada tres dígitos,... aparece co la misma frecuecia. E el caso de extraer ua muestra aleatoria simple, se elige u lugar para empezar a leer dichos úmeros aleatorios. Después se seleccioa ua direcció (arriba, abajo, derecha e izquierda) y se va recogiedo dígitos de dos e dos hasta que se cosiga el tamaño muestral adecuado. Utilizado este método, u elemeto puede aparecer más de ua vez. Si queremos extraer ua muestra aleatoria simple si reposició, la solució es igorar los elemetos repetidos. Las vetajas que tiee este procedimieto de muestreo so las siguietes: Secillo y de fácil compresió. Cálculo rápido de medias y variazas. Existe paquetes iformáticos para aalizar los datos Por otra parte, las desvetajas de este procedimieto de muestreo so: Requiere que se posea de atemao u listado completo de toda la població. Si trabajamos co muestras pequeñas, es posible que o represete a la població adecuadamete. A cotiuació pasamos a describir este procedimieto de muestreo cosiderado muestreo si reposició Diseño muestral Vamos a aalizar el diseño de este procedimieto de muestreo. Supogamos e todo mometo que el tamaño de la població es N y el tamaño de la muestra es.

3 Probabilidad de ua muestra cualquiera Dada la forma de defiirse el procedimieto de selecció de la muestra, el cojuto formado por todas las muestras S tiee u total de ( ) N C N,, muestras posibles, ya que estamos cosiderado muestras o ordeadas. Luego si todas las muestras so equiprobables, la probabilidad de cada muestra viee dada por P (s) ( 1 ), s S N Probabilidad de primera iclusió Calculemos la probabilidad que tiee cualquier uidad de la població de perteecer a la muestra, o lo que es lo mismo, calcularemos π i for i 1, 2,..., N. Por ello, cosideramos el úmero de muestras posibles que se puede formar co los elemetos de la població y que cotega al elemeto u i. E este caso, el total de muestras que cotiee a dicho elemeto viee dado por C N 1, 1 ( N 1 1 ya que e este caso se fija el elemeto u i y las muestras posibles resulta de las formas posibles de seleccioar de etre los N 1 elemetos de la població restates 1 de ellos para la muestra (el elemeto u i ya perteece a la muestra). Para i 1, 2,..., N, se tiee que ), π i P (u i s) Total de muestras que cotiee a u i Total de muestras ( ) N 1 1 ( ) N N Probabilidad de seguda iclusió Vamos a calcular la probabilidad que tiee cualquier par de uidades de la població de perteecer a ua muestra determiada. Para ello, otemos que el úmero de muestras posibles que puede formarse co los elemetos de la població y que cotega al par (u i, u j ) co u i u j es igual a C N 2, 2 ( N 2 2 ya que e este caso se fija el par de elemetos (u i, u j ) y las muestras posibles resulta de las formas posibles de seleccioar de etre los N-2 elemetos de la ),

4 4 població restates 2 de ellos para la muestra (los elemetos u i y u j ya está fijos e la muestra). Teemos etoces que π ij P ((u i, u j ) s) Casos favorables Casos posibles Total de muestras que cotiee a (u i, u j ) Total de muestras ( 1) N(N 1) 1.2. Estimadores lieales isesgados e muestreo aleatorio simple Tal y como señalábamos e el capítulo aterior, si el parámetro poblacioal tiee ua expresió lieal del tipo θ N Y i, etoces el estimador de Horvitz-Thompso para dicho parámetro poblacioal viee dado por Y i θ HT, π i de modo que E[ θ HT ] θ siedo π i la probabilidad de que la uidad u i perteezca a ua muestra determiada o probabilidad de primera iclusió. Partimos como es usual de ua població formada por N elemetos Ω {u 1, u 2, u 3,..., u N }, e los que se estudiar ua variable de iterés X que toma los valores X(Ω) {X 1, X 2, X 3,..., X N }, sobre cada elemeto de la població. Para ello, se seleccioa ua muestra de tamaño dada por s {u 1, u 2, u 3,..., u }, e los que la variable X toma los valores X(s) {X 1, X 2, X 3,..., X }, sobre cada uo de los elemetos de la muestra. Como e muestreo aleatorio simple si reposició la probabilidad de primera iclusió π i viee dado por π i /N, ya podemos especificar los estimadores lieales isesgados para los parámetros poblacioales más comues a estimar. Tedremos que

5 5 Total θ X Media N X i Y i X i X Total de clase Proporció θ X θ A θ P X i π i N X i /N Y i X i /N X N A i Y i A i  N A i /N Y i A i /N P A i X i /N N /N N 1 X i X i N X N/N A i A i /N /N 1 Evidetemete cualquier de estos estimadores os idica muy poco acerca del parámetro poblacioal a estimar a meos que sea posible evaluar la bodad del estimador. Por lo tato, además de estimar los parámetros poblacioales, se desearía fijar u límite sobre el error de estimació. Mediate ciertos cálculos, es posible calcular la variaza del estimador de Horvitz-Thompso para cada uo de los estimadores. Las variazas de los estimadores ateriores os va a proporcioar los errores estádar de estimació y viee dado por: V ar( X) N 2 (1 f) S2 V ar( X) S 2 (1 f) V ar( P N 1 ) (1 f)p Q N 1 V ar(â) N 3 1 (1 f)p Q N 1 Vamos a aalizar las variazas de los estimadores. E el caso del estimador del total y de la media poblacioal depede de S 2 que es la cuasi-variaza poblacioal. Esta cuasi-variaza poblacioal S 2 tiee la siguiete expresió S 2 1 N (X i N 1 X) 2, A i

6 6 dode X represeta la media poblacioal. Esta cuasi-variaza poblacioal puede expresarse tambié de la siguiete maera. [ N ] S 2 1 (Xi 2 + ( N 1 X)) 2 2X i X [ N ] 1 Xi 2 + N( N 1 X) 2 2( X) 2 N [ N ] 1 Xi 2 N( N 1 X) 2. E el caso de la proporció y el total de clase, la variaza de dichos estimadores depede de P y de Q. El parámetro P correspode a la proporció de clase detro de la població, es decir, P 1 N N A i, y Q 1 P. Al parámetro f se le deomia fracció de muestreo y viee dado por f /N, y represeta la fracció de la població N coteida e la muestra o la relació existete etre el tamaño de la muestra y el tamaño de la població. Siempre N; si N etoces f 1 y 1 f 0. Por otra parte, si << N, etoces /N 0 y por lo tato 1 f 1 y las variazas de los estimadores será mayores. A la diferecia 1 f se le deomia factor de correcció de població fiita y tiee e cueta el hecho de que ua estimació basada e ua muestra de tamaño 10 de ua població de N 20 elemetos, cotiee más iformació acerca de la població que ua muestra de 10 de ua població de N elemetos. Ejemplo 1 Cosideramos ua població de 4 elemetos dada por Ω {u 1, u 2, u 3, u 4 }, sobre los que medimos ua variable X obteiedo como resultados {8, 3, 4, 6} e cada uo de los elemetos de la població. Mediate muestreo aleatorio simple si reposició, se extrae muestras de tamaño 2. Se pide: Número de elemetos del espacio muestral. Especificar dicho espacio muestral y determiar las probabilidades asociadas a las muestras. Hallar las distribucioes e el muestreo de los estimadores de la media y del total de X así como la variaza de los estimadores. Calcular la cuasivariaza de cada muestra.

7 7 Comprobar la isesgadez de los estimadores y que se cumple y además V ar( X) (1 f) S 2, V ar( X) N 2 (1 f) S2, E[Ŝ2 ] S 2. Como vemos, la variaza de estos estimadores depede de ua serie de parámetros poblacioes por lo que, e la mayoría de los casos prácticos, estos datos o estará dispoibles. E el caso e el que o dispogamos de estos valores poblacioales, utilizaremos estimacioes para estas variazas. Las estimacioes so las siguietes: V ( X) N 2 f)ŝ2 (1 V ( X) Ŝ 2 (1 f) V ( P ) 1 (1 f) P Q 1 V (Â) N 2 1 (1 f) P Q 1 dode la catidad Ŝ2 represeta la cuasi-variaza muestral y que viee dada por Ŝ 2 1 (X i X) 2, (1.1) 1 siedo X 1 X i, ad P represeta la probabilidad muestral, o lo que es lo mismo, P 1 A i, luego Q 1 P. Notar que Ŝ2 dada e (1.1) puede expresarse como Ŝ 2 1 (X i X) 2 1 ( ) 1 Xi 2 X2. 1

8 8 Ejemplo 2 Ua empresa idustrial está iteresada e el tiempo por semaa que los cietíficos emplea para ciertas tareas triviales. Las hojas de cotrol del tiempo de ua muestra aleatoria simple de 50 empleados muestra que la catidad promedio de tiempo empleado e esas tareas es de horas, co ua cuasi-variaza muestral S 2 2,25. La compañía emplea N 750 cietíficos. Estimar el úmero total de horas por trabajador que se pierde por semaa e tareas triviales y establecer el error de estimació asociada a dicha estimació. Solució. La població se compoe de N 750 empleados, de los cuales se seleccioa ua muestra aleatoria de 50 hojas de cotrol del tiempo. La catidad promedio de tiempo que se pierde por los 50 empleados fue de 10,31 horas por semaa. Luego la estimació del total de horas de trabajador que se pierde por semaas e tareas triviales X viee dada por X N X 750(10,31) 7732,5 horas. El error asociado a dicha estimació viee dada por ( V ( X)) (750) 2 2, ,7 horas Ejemplo 3 Se seleccioó ua muestra aleatoria simple de 100 estudiates de último año de u IES co N 300 estudiates para estimar la fracció de estudiates que ha teido trabajos a tiempo parcial durate su estacia e el istituto, la fracció de estudiates del último año que asistirá a la uiversidad. Sea X i e Y i (i 1, 2,..., 100) las respuestas del i-ésimo estudiate seleccioado. Se establecerá que X i 0 si el i-ésimo estudiate o ha teido u trabajo a tiempo parcial durate su estacia e el colegio y X i 1 si lo ha teido. Por otra parte, Y i 0 si el i-ésimo estudiate o piesa ir a la uiversidad y si Y i 1 si si piesa ir. Estimar P 2 la proporció de estudiates de último año que piesa asistir a la uiversidad y P 1 la proporció de estudiates de último año que ha teido u trabajo a tiempo parcial cosiderado que 100 X i 15, 100 Y i 65, y determia además sus errores de muestreo Ejemplo 4 Ua gra empresa costructora tiee 120 casas e diversas etapas de costrucció. Para estimar la catidad total (e miles de euros) que será registrada e el ivetario de la costrucció e proceso, se seleccioó ua muestra aleatoria simple de 12 casas y se determiaro los costes acumulados e cada ua de ellas. Los costos obteidos para las 12 casas fuero los siguietes: 35,5, 30,2, 28,9, 36,4, 29,8, 34,1, 32,6, 26,4, 38, 38,2, 32,2, 27,5.

9 9 Estimar los costes totales acumulados para las 120 casas y dar ua estimació del error de muestreo. Dar u itervalo de cofiaza al 95 % para el coste total. Estimar la proporció de casas cuyos costes de costrucció supera los euros. Dar ua estimació del error. Para estimar los costes totales acumulados para las 120 casas teemos e cueta que el estimador lieal isesgado del total de ua característica X sobre ua població viee dado por: X N X, e este caso se tiee que N 120 y la media muestral será y por lo tato X X i 32,4833, X N X , , , es decir, el coste total acumulado estimado para las 120 casas será de 3898 miles de euros. Vamos a dar ua estimació de la variaza de dicho estimador. Utilizado las fórmulas ateriores, se tiee que: V ( X) N 2 (1 f)ŝ2. Calculamos la cuasivariaza muestral de los costes acumulados Ŝ etoces 12 (X i X) 2 12 X2 i ( X) , , , 1 11 V ( X) 17410, y la correspodiete estimació para el error de muestreo será σ( X) El itervalo de cofiaza al 95 % viee dado por ( X z 1 α/2 σ X, X + z 1 α/2 σ X) (3639 4, ). De la muestra formada por 12 casas, úicamete los costes de costrucció de 7 casas sobrepasa los euros, por lo tato, la estimació de la proporció de casas que supera los euros es de P 1 A i ,

10 10 o lo que es lo mismo el 58,33 % de las casas sobrepasa los euros. Ua estimació de la variaza del estimador P viee dado por V ( P 1 ) (1 f) 1 P Q de maera que el error asociado para dicha variaza es de ê( P ) Tamaño de muestra fijado el error de estimació Ua cuestió muy importate e muestreo cosiste e coocer el tamaño de muestra adecuado para cometer u determiado error de muestreo. E algua etapa del diseño del procedimieto de muestreo, alguie debe tomar ua decisió acerca del tamaño de la muestra que se seleccioará de la població. Como es atural, al aproximar las características poblacioales mediate estimadores basados e la muestra se comete u error, error que mide la represetatividad de dicha muestra. Depediedo del coste del muestreo, del presupuesto dispoible y de otros muchos factores fijaremos u error de muestreo que e todo caso debe ser el míimo posible. Dicho error de muestreo puede veir dado e térmios absolutos, e térmios relativos o sujeto adicioalmete a u coeficiete de cofiaza dado (sujeto a uos límites de toleracia). A cotiuació, calcularemos los tamaños de muestra ecesarios para cometer u error de muestreo dado al estimar las características poblacioales más comues mediate muestreo aleatorio simple si reposició. Iicialmete distiguiremos etre el error comú de muestreo ɛ σ( θ) dado por la desviació típica del estimador y el error relativo de muestreo dado por el coeficiete de variaza del estimador, e r ( θ) CV ( θ) σ( θ) E( θ) Tamaño de la muestra para u error de muestreo dado El úmero de observacioes ecesarias para estimar u parámetro poblacioal θ a partir de u estimador θ co u error de estimació ɛ se ecuetra resolviedo la siguiete expresió para V ar( θ) ɛ. Aalizaremos esta expresió para cada uo de los estimadores propuestos.

11 11 Estimador de la media ɛ σ( X) (1 f) S2 ɛ2 S2 ɛ2 + S2 N ( 1 ) S 2 N S2 S2 N S2 ɛ 2 + S2 N NS2 Nɛ 2 + S 2 Se observa que cuado N (fracció de muestreo /N tediedo a cero) el tamaño muestral S 2 /ɛ 2 0 ( es iversamete proporcioal al error de muestreo). E ua situació práctica, la solució para preseta u problema debido a que e la mayoría de las ocasioes, la cuasi-variaza poblacioal S 2 es descoocida. Puesto que la cuasi-variaza muestral Ŝ2 suele estar dispoible de algú experimeto aterior, es posible obteer u tamaño de muestra aproximado al reemplazar S 2 por Ŝ2 e la expresió aterior. Estimador del total ɛ σ( X) N 2 (1 f) S2 ɛ2 N 2 ( 1 N N 2 S2 ɛ2 + N 2 S 2 N N 2 S 2 ɛ 2 + N 2 S 2 N ) S 2 N 2 S2 N 2 S2 N N 3 S 2 Nɛ 2 + N 2 S 2 N 2 S 2 e 2 + NS 2. Aálogamete al caso aterior, e la mayoría de las situacioes prácticas, la cuasi-variaza poblacioal S 2 es descoocida. Si se tiee la cuasivariaza muestral Ŝ2 de algú experimeto aterior, se reemplaza S 2 por Ŝ 2 e la expresió aterior. Estimador de la proporció N ɛ σ( P ) N 1 (1 f)p Q ɛ2 N ( 1 ) P Q N 1 N NP Q (N 1) ɛ2 + P Q N 1 NP Q/(N 1) ɛ 2 + P Q N 1 NP Q (N 1)ɛ 2 + P Q. Se observa que cuado N (fracció de muestreo /N tediedo a cero) el tamaño muestral P Q/ɛ 2 0 ( es iversamete proporcioal al cuadrado del error de muestreo y directamete proporcioal a la proporció poblacioal P ). Para la estimació de la proporció es muy iteresate teer e cueta que para poblacioes grades o fraccioes de muestreo pequeñas (N ), el valor máximo de se obtiee para P Q 1/2. Para costatar este resultado sabemos que si N el tamaño muestral tiede al valor 0 P Q/e 2 f(p ), expresió que teemos que maximizar e P. E este caso, el valor máximo de para poblacioes grades o fraccioes de muestreo pequeñas se obtiee para

12 12 P Q 1/2. Por lo tato, para u error prefijado se ecesitará tamaños de muestra más pequeños cuato más próximo esté P a cero o a uo. Este resultado es muy importate e la práctica, ya que cuado se estima proporcioes y o se cooce el valor de la proporció poblacioal P i se tiee ua aproximació suya (proporcioada por ua ecuesta similar, por ua ecuesta piloto, por la misma ecuesta realizada ateriormete o por cualquier otro método) etoces se toma P 1/2, co lo que estamos situádoos e el caso de máximo tamaño muestral para el error fijado, lo cual siempre es aceptable estadísticamete. La dificultad práctica puede ser que se obtega u tamaño muestral demasiado grade para el presupuesto de que se dispoe. Estimador del total de clase N 3 ɛ σ( Ā) N 1 (1 f)p Q ɛ2 N 3 N 1 e 2 ( 1 ) P Q N N 3 P Q (N 1) N 2 P Q N 1 N 3 P Q (N 1)e 2 + N 2 P Q. Dado que, e geeral, la variaza de los estimadores depede de parámetros poblacioales descoocidos, usaremos ua estimació de la misma para determiar el tamaño muestral para u ɛ determiado. Estas variazas estimadas las podemos obteer de estudios ateriores o ecuestas piloto. Ejemplo 5 E el ejemplo 4, cuál debería de ser el tamaño de muestra óptimo para estimar dicho coste total reduciedo el error de muestreo del primer apartado e u 10 %? Si deseamos reducir el error de muestreo del primer apartado e u 10 % el máximo error que estamos dispuestos a admitir, cosiderado el aterior como σ( X) 132, es u error de muestreo de σ( X) 118,8. Impogamos esta codició para determiar el tamaño de muestra óptimo ecesario para estimar el costo total co dicho error de muestreo, teiedo e cueta que el la cuasivariaza muestral es de Sustituyedo N 2 S 2 ɛ 2 + NS , , , , casas Tamaño de muestra fijado el error relativo de muestreo Aálogamete, fijado el error relativo ɛ r, el tamaño de muestra óptimo ecesario se despeja de la ecuació siguiete: ɛ r CV ( θ) σ( θ) E( θ). Vamos a ver cuál es el tamaño de la muestra a seleccioar para cometer dicho error segú las características poblacioales a estimar.

13 13 Estimador de la media e r CV ( X) σ( X) E( X) (1 f) S2. X Elevado ambos miembros al cuadrado y despejado el valor de, se tiee que S 2 e 2 r( X) 2 + S 2 /N. (1.2) Para poblacioes grades (N ), se tiee que 0 S2. X 2 e 2 r Es decir, a medida que el valor de e r aumeta, el valor de la muestra dismiuye. Como e el caso del error absoluto, la solució para preseta u problema debido a que e la mayoría de las ocasioes, la cuasi-variaza poblacioal S 2 es descoocida. Puesto que la cuasivariaza muestral Ŝ2 suele estar dispoible de algú experimeto aleatorio aterior, es posible obteer u tamaño de muestra aproximado al reemplazar S 2 por Ŝ2. Estimador del total e r CV ( X) σ( X) E( X) N 2 (1 f) S2. X Elevado ambos miembros al cuadrado y despejado el valor de, se tiee que N 2 S 2 e 2 r( X) 2 N 2 + S 2 N S 2 X 2 e 2 r + S 2 /N. (1.3) Observamos que el tamaño de muestra ecesario para cometer u error relativo de muestreo dado coicide para el estimador de la media (1.2) y del total (1.5). Estimador de la proporció e r CV ( P ) σ( P ) E( P ) N 1 (1 f)p Q N 1. P Elevado ambos miembros al cuadrado y despejado el valor de, se tiee que NQ (N 1)P e 2 (1.4) r + Q Como ates, si N, etoces el valor de la muestra tiede a Q/(P e 2 r). E la práctica, cuado se estima proporcioes y o se cooce el valor de

14 14 la proporció poblacioal P i se tiee ua aproximació suya (proporcioada por ua ecuesta similar, por ua ecuesta piloto, por la misma ecuesta realizada ateriormete, i por igú otro método) etoces se llama P 1/2. Este caso P 1/2 proporcioa el caso de máximo tamaño muestral para el error fijado, lo cual es siempre aceptable estadísticamete. La dificultad práctica puede ser que se obtega u tamaño muestral demasiado grade para el presupuesto de que se dispoe. Estimador del total de clase σ(â) e r CV (Â) E(Â) N 3 1 (1 f)p Q N 1. A Elevado ambos miembros al cuadrado y despejado el valor de, se tiee que NQ (N 1)P e 2 (1.5) r + Q Observamos que el tamaño de muestra ecesario para cometer u error relativo de muestreo dado coicide para el estimador de la proporció (1.4) y del total (1.5). Ejemplo 6 Volvamos al ejemplo 4. Ua gra empresa costructora tiee 120 casas e diversas etapas de costrucció. Para estimar la catidad total (e miles de euros) que será registrada e el ivetario de la costrucció e proceso, se seleccioó ua muestra aleatoria simple de 12 casas y se determiaro los costes acumulados e cada ua de ellas. Los costos obteidos para las 12 casas fuero los siguietes: 35,5, 30,2, 28,9, 36,4, 29,8, 34,1, 32,6, 26,4, 38, 38,2, 32,2, 27,5. Estimar los costes totales acumulados para las 120 casas y dar ua estimació del error relativo de muestreo. Cuál debería ser el tamaño muestral óptimo para reducir dicho error relativo e u 10 %? Estimar la proporció de casas cuyos costes de costrucció supera los 32 mil euros. Dar ua estimació del error relativo de muestreo. Cuál debería ser el tamaño muestral óptimo para reducir dicho error relativo e u 10 %? Ejemplo 7 Mediate muestreo aleatorio simple se trata de estimar la proporció de piezas correctas producidas e u proceso idustrial e el que se fabrica u total de 8000 uidades. Ua muestra piloto ha sumiistrado 1/5 de piezas defectuosas. Obteer el tamaño de muestra ecesario para que el error de muestreo sea de 0.08 al estimar la proporció de piezas correctas producidas e el proceso de producció idustrial. Hallar el tamaño de muestra ecesario para

15 15 que el error relativo de muestreo sea del 1,2 % e la misma estimació. E el caso de que el error de muestreo sea de 0.08, se tiee que NP Q (N 1)ɛ 2 + P Q /5 1/ , /5 4/5 24,98 25 piezas Por otra parte, e el caso de que el error relativo de muestreo sea del 2 % se tiee que NQ (N 1)P e 2 r + Q / ,2 2 4/5 + 1/5 579, piezas Tamaño de muestra para u error de muestreo y u coeficiete de cofiaza dados E determiadas ocasioes, aparte de calcular el tamaño muestral para u error de muestreo dado, prefijamos u ivel de cofiaza adicioal para el cálculo de dicho tamaño, co la fialidad de relajar e cierta forma el cálculo de. De esta forma se halla co u grado de toleracia defiido por el ivel de cofiaza. Supogamos que estimamos el parámetro θ mediate el estimador isesgado θ cometiedo el error absoluto máximo admisible e α para u coeficiete de cofiaza 1 α. Supoemos que el estimador θ sigue ua distribució ormal de media E( θ) θ y variaza σ 2 ( θ). E este caso, se tiee que ) P ( θ θ e α 1 α P ( e α θ θ e α ) 1 α Por lo tato, P ( e α σ( θ) θ θ σ( θ) e α σ( θ) ) 1 α, de maera que z 1 α/2 e α σ( θ) e α z 1 α/2 σ( θ). De esta forma vemos que la idetidad fudametal para obteer segú u error de muestreo dado cuado existe u coeficiete de cofiaza adicioal dado es la siguiete e α z 1 α/2 σ( θ). Ejemplo 8 Obteer los valores de para u error de muestro e α co coeficiete de cofiaza adicioal 1 α para los diferetes estimadores. Estimador de la media z2 1 α/2 NS2 Ne 2 α + z 2 1 α/2 S2.

16 16 Estimador del total z2 1 α/2 N 2 S 2 e 2 α + z 2 1 α/2 S2 N. Estimador de la proporció Estimador del total de clase z1 α/2 2 NP Q (N 1)e 2 α + z1 α/2 2 P Q. z 2 1 α/2 N 3 P Q (N 1)e 2 α + z 2 1 α/2 N 2 P Q Tamaño de muestra para u error relativo de muestreo y u coeficiete de cofiaza dados E determiadas ocasioes, aparte de calcular el tamaño muestral para u error relativo de muestreo dado, prefijamos u ivel de cofiaza adicioal para el cálculo de dicho tamaño, co la fialidad de relajar e cierta forma el cálculo de. De esta forma se halla co u grado de toleracia defiido por el ivel de cofiaza. Supogamos que estimamos el parámetro θ mediate el estimador isesgado θ cometiedo u error relativo e r,α. Aálogamete al caso aterior, cosideramos que el estimador θ sigue ua distribució ormal de media E( θ) θ y variaza σ 2 ( θ). Se tiee que P ( θ θ θ Por lo tato, ) e r,α 1 α P ( θe r,α θ θ θe r,α ) 1 α P de dode se deduce que ( θe r,α σ( θ) θ ) θ σ( θ) θe r,α σ( θ) 1 α, θe r,α σ( θ) z 1 α/2, e r,α z 1 α/2 Cv( θ). De esta forma vemos que la idetidad fudametal para obteer segú u error relativo de muestreo dado dado cuado existe u coeficiete de cofiaza adicioal viee dado por e r,α z 1 α/2 Cv( θ). Ejemplo 9 Obteer los valores de para u error de muestro e r,α co coeficiete de cofiaza adicioal 1 α para los diferetes estimadores.

17 17 Estimador de la media z 2 1 α/2 C2 1,x e 2 r,α + z 2 1 α/2 C2 1,x /N, C 1,x S X Estimador del total Nz1 α/2 2 C2 1,x Ne 2 r,α + z1 α/2 2, C 1,x S X C2 1,x Estimador de la proporció Estimador del total de clase NQz 2 1 α/2 P (N 1)e 2 r,α + z 2 1 α/2 Q. NQz 2 1 α/2 P (N 1)e 2 r,α + z 2 1 α/2 Q.