SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

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1 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS do C. 018 Clase Nº 9 Mg. Stella Figueroa

2 Teorema Cetral del Límite El teorema afirma que la distribució de la suma de u gra úmero de variables aleatorias tiee aproximadamete ua distribució ormal, co ciertas restriccioes leves referidas al aporte de los sumados. El valor de este teorema es que o requiere codicioes para las distribucioes de las variables aleatorias idividuales que se suma.

3 Si S es la suma de u gra úmero de variables aleatorias xi idepedietes, etoces bajo ciertas codicioes, la fució de desidad de probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye ormalmete. TCL Si las xi o está idéticamete distribuidas: V x E x i i i i E( S) E x E x i i i i 1 i 1 i 1 V( S) V x V x i i i i 1 i 1 i 1 Esta geeralizació es válida cuado las variables aleatorias idividuales sólo hace ua cotribució relativamete pequeña a la suma total Por ser las xi idepedietes Es decir, si S i1 x i etoces z S i 1 i 1 i i ~ N 0,1

4 Si S es la suma de u gra úmero de variables aleatorias idepedietes etoces, bajo ciertas codicioes, la fució de desidad de probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye ormalmete TCL Si las xi está idéticamete distribuidas: E x i E( S) E xi E xi. i1 i1 V x i V( S) V xi V xi. i1 i1 Por ser las xi idepedietes Etoces el teorema afirma que la fdp de la variable S se distribuye ormalmete. S z ~ N0,1.

5 Supógase que u proceso de fabricació produce lavadoras de las cuales, alrededor del 5% so defectuosas. Si se ispeccioa 100 lavadoras Cuál es la prob.de que haya etre y 6 lavadoras defectuosas? P x 6 P x 3 P( x 4) P( x 5) ,05.0,95 0,05.0,95 0,05.0,95 0,4977 Comparemos el resultado del cálculo directo co el cálculo aproximado, es decir, aplicado el TCL:

6 Aplicamos el TCL co la correcció por cotiuidad para variables discretas 1) Calculamos E(x)=p=100.0,05=5 ) V(x)= p(1-p)=100.0,05.0,95= 4,75 3) Trabajamos co el igual, es decir, si <x<6, 3 x Si a x b a x b P 5,5 5,5 5,5 x 5,5 4,75 4,75 0,3 1,15 0,591 0,151 0,4659 El resultado exacto es 0,4977

7 Problema Ua fábrica de productos alimeticios produce care elatada, co u peso medio de 50 grs y ua variaza de 900 grs cuadrados por lata. Si los pesos de las latas so estadísticamete idepedietes. Las cajas cotiee 60 latas. Se elige ua al azar, hallar la probabilidad de que: a) El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg. b) El peso de la caja sea al meos 15,3 kg.

8 Solució x i : es el peso de cada lata S: es el peso de la caja E( xi) 50 grs. V( xi) 30 grs S xi E S E xi E( xi ) grs 15 kg. i 1 i 1 i V S V x i V( xi) grs i1 i1 ( S) ,38grs 0,338kg

9 Calculamos las probabilidades pedidas a) El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg. b) El peso de la caja sea al meos 15,3 kg. 14,5 15 a) P S 14,5,15 0,0158 0,338 15,3 15 b) P S 15, ,9 0, ,9015 0,0985

10 Cosideracioes fiales El que se requiere para aplicar el teorema cetral del límite e gra parte depede de la forma de la distribució de las variables aleatorias idividuales que se suma Si los sumados está ormalmete distribuidos, al aplicar el teorema cetral del límite, las probabilidades obteidas so exactas. No importa. Si o se cooce la distribució de los sumados, para mayor o igual que 5, se obtiee bueas aproximacioes. Si las variables aleatorias se distribuye biomialmete, >10 si p 0,5 tambie si p 0 ó 1, debe ser bastate mayor.

11 Desigualdad de Tchebyshev La probabilidad de que ua variable aleatoria X asuma u valor que está detro de las k dispersioes de su esperaza, es por lo meos 1 1 k 0 k 1 P x k; k 1- ó k 1 P x k 1- k la Px k 1 k Co esperaza y variaza fiitas O tambié por ser sucesos cotrarios

12 Cosideracioes 1) Si k y k k 1 ) El sigificado de esta desigualdad reside e su completa uiversalidad, ya que puede ser aplicada a cualquier variable aleatoria 3) Si coocemos la distribució de probabilidades de ua variable aleatoria discreta o cotiua, podemos calcular, si existe, E(x) y V(x). La recíproca o es cierta, pero podemos dar ua cota superior o iferior de dicha probabilidad

13 Ley de los grades úmeros Teorema de Beroulli Cuado el úmero de repeticioes de u experimeto aleatorio aumeta, la fa coverge e setido probabilístico a la probabilidad teórica P(A) f P( A) para A E ua sucesió de pruebas de Beroulli dado u úmero positivo arbitrario, lim lím P f A p 1 0 P f A p 0 0 E toda sucesió de pruebas de Beroulli, la frecuecia relativa coverge e setido probabilístico a p.

14 Demostració Dado u experimeto y u suceso A asociado a dicho experimeto, cosideramos repeticioes idepedietes del experimeto, x es el úmero de veces que ocurre A e las repeticioes, además P(A) = P f A x X es ua variable aleatoria biomial e cada repetició. 1 E x p y V x p p x 1 1 E fa E E x. p p x 1 1 V fa V V x. p 1 p p 1 p

15 Aplicamos la desigualdad de Tchebyshev 1 k A 1 P f p k p 1 p 1 P fa p k 1 k Como P fa lím 0 p 1 P f A p 1 1 p p 1 p p lím p p p p k k P f p 1 A lím P f A p 1 p p 1

16 Aplicamos la desigualdad de Tchebyshev Dada ua muestra aleatoria, es decir: ua sucesió de v.a. x1, x, x3, x4,..x 0 lím P x 1 ó lím P x 0 El límite, e probabilidad, de la media muestral para es igual a la media de la població de la que se extrajo la muestra

17 Demostració x1, x, x3,... x x1, x, x3,... x So variables aleatorias idepedietes, co x i 1 x i E( x ) y V( x ) i Es ua fució de i x1, x, x3,... x Por lo tato, la media muestral es otra variable aleatoria. xi 1 1 E x E E xi.. i1 i1 xi 1 1 V x V V xi.. i1 i1

18 Cosideramos. k k 1 P x k. 1- k 1 P x k. 1- P x k. 1- < ó P x Aplicamos la desigualdad de Tchebyshev

19 Aplicamos Límite para tediedo a ifiito límpx lím 1 Px 1 lím ó 0 límp x 0 El teorema se puede geeralizar a variables aleatorias co su esperaza y variaza respectivas.

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