DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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1 UNIDAD II DISTRIBUCIONES MUESTRALES Competecia: -El estudiate debe saber utilizar las diferetes distribucioes muestrales,es decir las diferetes distribucioes de cualquier estadístico estimado a partir de muestras aleatorias para realizar eficietemete la Iferecia Estadística Objetivos. -Utilizar correctamete el cocepto de muestra aleatoria e las diferetes distribucioes muestrales,para realizar geeralizacioes respecto de ua població e base a estadísticos Descripció geeral de la uidad: -Esta uidad comprede el desarrollo de los siguietes coceptos:oblació-arámetro Muestra aleatoria-estadístico; Distribució muestral:de la Media,Diferecia de Medias,de la roporció y la diferecia de roporcioes,de la Variaza y razó de Variazas,co sus respectivas distribucioes especiales como: la t studet,la Normal,La Chi Cuadrado y La F de Fisher. Lectura:Millar/Freud/Joso robabilidad y Estadística para Igeieros Edo.de Méico 99 gs. 87 al 05 Bibliografía Básica: Moya y Saravia (988) robabilidad e Iferecia Estadística((ª ed) erú.ags.559 al 63 Referecia electróica: 4.html 37

2 INTRODUCCIÓN Se llama distribució muestral, cuado la variable resulta ser u estadístico o estadígrafo, calculado e base a los datos de ua m.a. Estos estadísticos se utiliza para realizar iferecia estadística para la toma de decisioes, respecto algua característica de la població ó respecto a la distribució de la misma. ara desarrollar las distribucioes muéstrales es ecesario recordar alguos coceptos básicos: OBLACION f();();x,y Estadísticamete població es el cojuto de todas las observacioes posibles que puede tomas ua v.a. X. or lo tato la distribució de la població es la distribució de la v.a. X. Las poblacioes de acuerdo a su magitud puede ser: OBLACIONES FINITAS (N) So aquellas que está limitadas o acotadas OBLACIONES INFINITAS So aquellas que o está imitadas, estadísticamete las poblacioes muy grades se las cosidera ifiitas. - El proceso para obteer la iformació de toda la població es el CENSO ARÁMETROS So todas las medidas descriptivas que caracteriza a la població como por ejemplo la media μ, la variaza etc. Los parámetros se deota co las letras griegas NUESTRA ALEATORIA (m.a ) ua m.a. de tamaño es u subcojuto represetativo de la població, el proceso para obteer la iformació se llama muestreo Estadístico, so todas las medidas descriptivas que se obtiee a partir de la iformació de al m.a. como por ejemplo: la media, la variaza S etc. Geeralmete se las deota co las letras españolas. DEFINICIÓN DE m.a. Dada ua població f();() ó X co media μ y variaza Se llama m.a. De tamaño al cojuto de.v.a X, X,... X tal que satisface requisitos:. X i so idepedietes dode la distribució cojuta es 38

3 a) Si X es discreta ( X, X,... X ) ( X) ( X )... p( X ) Π( ) b) Sí X e cotiua f ( X, X,... X ) f ( X) f ( X )... f ( X ) Πf ( ). X i tiee la misma distribució X a) f( i ) f()ó ( i ) (); i, b) E( ) μ ; V ( ) i i Nota. Esta defiició es valida cuado:. La població es ifiita co ó si reposició. La població es fiita, co reposició Ejemplo Sea ua població X N (μ, ), se toma u m.a. tamaño X, X,... X a) Escribir la fució de probabilidad cojuta de la m.a. b) Sí 6 ; μ0; 5 Calcular la probabilidad de que b) X +X 3 + X 4 -X 6 sea mayor que 5 DEFINICIÓN como X N (μ, ) sabemos que f() Π μ a) la fució de probabilidad cojuta de la m.a. de tamaño es μ f(x, X,... X ) f ( i ) f ( )... f ( ) Πf ( i ) [ f ( i )] e Π b) Sí X +X 3 + X 4 -X 6 Y por la propiedad reproductiva Y N(μ y y ), dode: μ y E(Y)E(X +X 3 + X 4 -X 6 ) E(X )+E(X 3 )+E( X 4 )-E(X 6 ) y V(Y) V(X +X 3 + X 4 -X 6 ) V(X )+V(X 3 )+V( X 4 )-V(X 6 ) y 0 Y μy Mediate el teorema cetral del limite Z ; (0.) Y 5 40 Y > 5 Z > > Z Z F [ ] [ ] [ ] ( ) 5 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Sea ua població X co media μ y variaza del cual se toma ua m.a. de tamaño : X, X,... X del cual se obtiee su media muestral Se cumple: e 39

4 a) E ( ) μ; b) V ( ) ( μ ) c) Z ; N (0.) Nota ) Cuado N μ j cuado 30, o importa si la població es discreto o cotiuo ) Cuado si X N(μ, ) N μ 3) Si el muestreo es si reemplazo de ua població fiita de tamaño N Ejemplo V( ) N factor de correcció N Supoiedo que ua població costa de los siguietes valores observados:3,4,7,9,. Calcular a) La media y Variaza poblacioales b) Determiar la distribució muestral de la media de la m.a. de tamaño escogidos co reposició 5 8 c) Se etrae ua m.a de tamaño 36 co reposició cual la [ ] SOLUCIÓN i Como N μ 7 N ( ) μ ; b) La distribució muestral de la media se obtiee mediate: 40

5 ( 3.3) ( 3.4) ( 3.7) ( 3.9) ( 4.3) ( 4.4) ( 4.7) ( 4.9) ( 7.3) ( 7.4) ( 7.7) ( 7.9) ( 9.3) ( 9.4) ( 9.7) ( 9.9) (.3) (.4) (.7) (.9) ( 3.) 7.5 ( 4.) 8 ( 7.) 9.5 ( 9.) 0.5 (.) ( ) ( ) TOTAL ( ) 9 5 μ E V ( ) ( ) ( ) ( ) μ c) Se etrae ua m.a. tamaño 36 co reposició 36 sabemos que μ, y Z μ ( 5 7) 36 ( 8 7) Z [ 3.65 Z.83] [ Z.83] [ Z 3.65] F( 3.65) F(.83) ( μ ) DISTRIBUCIONES ESECIALES UTILIZADAS EN RUEBAS Cuado las m.a, so pequeñas <30 o se puede supoer que la distribució muestral es NORMAL, TAMOCO SE UEDE ALICAR EL teorema cetral del limite, por lo que se debe recurrir otras distribucioes muéstrales las especiales que esté relacioadas co la NORMAL;etre estas distribucioes teemos: la CHI-cuadrado, la t-studet y la F de Fisher DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO X R Ó X Es u caso particular de la distribució gamma, tiee muchas aplicacioes etre ellas para la costrucció de IC y las pruebas de Hipótesis de la Variaza 4

6 DEFINICION Sea r v.a. idepedietes: Z,Z, Z r tal que Z i N (0.) Sumado los cuadrados Z + Z + Z r Z i X r grados de libertas, Sii FUNCIÓN DE DENSIDAD r i R f V X ( ) X e ; 0 r r η( ) ;esc < X < R3 R7 R0 Dode η fució gamma r grados de libertad o Nº de variables CARACTERÍSTICAS ) A medida que aumete los grados de libertad tiede a ormalizarse ) LA MEDIA μ E ( ) r 3) LA VARIANZA E( ) r ROIEDAD RERODUCTIVA Sea K v.a. idepediete: X, X,... X k tal que Xi ~ X (ri) Si sumamos X i ~ X k r i i FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F() [ X ] f ( ) F( ) d 0 Cuado [ > X ] [ X ] USO DE TABLAS Dada la importacia y la complejidad de su calculo, se tiee cofeccioado tablas, e base a la fució de distribució co etradas, dode: 4

7 La ra columa represeta los grados de libertad r La ra fila represeta el ivel de sigificacia ó probabilidad 0 La itersecció de fila columa de le valor critico Ejemplo X ~ X 6 Determiar las siguietes probabilidades a) [ 7.9] b) [ 38.88] c) [ ] 40 d) [ ] SOLUCIÓN Como v6 a) [ 7.9] [ X ] X b) [ 38.88] [ < 38.88] [ < X ] c) [ ] [ 45.64] [ 3.84] [ X ] [ X ] d) [ 40] [ X ] mediate iterpolació Ejemplo Si X X r hallar los valores críticos: a) a tal que [ a] si r 30 b) a y b tal que [ a b] 0.95 si r 3 ; además ( > b) c) a tal que ( a) 0.05 si r 8 a) [ a] si r 30 [ 59.7] a b) [ a b] 0.95 ( b) ( a) como ( > b) 0.05 ( b) b 4. 7 c) ( a) 0.05 si r 8 43

8 iterpolado.8 a.65 a a a DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA DEFINICIÓN Sea ua v.a. ó ua població X N(μ, ) dode μ,y so descoocidos, por lo tato se toma ua m.a. de tamaño para estimar la media y la variaza S tal que ( ) a) y S.so dos estadísticos idepedietes dode i S además la ( ) variaza muestral isesgada es ˆ i S b) El estadístico ( ) ˆ S X (-) g.d.l. cuado c) ( ) ( ) E S S d) X (-) g.d.l. Ejemplo Se tiee ua població X N(μ, )del cual se toma ua m.a. tamaño 5 y se tiee S. Calcular: S a) ; ˆ S b) SOLUCION a) 44

9 S b).947 [ 0.307( 0.5) X.947(5) ] [ X ] [ X ] [ [ X < X ] [ X < X ] X 4 [ 0.339(4) X 0.084(4) ] ˆ S X ] [ X.9396] [ X.9396] [ DISTRIBUCIÓN t STUDENT (T) ]; - Es otra distribució relacioada co la NORMAL y la gamma que se usa pricipalmete e las estimacioes y e las pruebas de hipótesis de la media cuado las m.a. so pequeñas:<30 DEFINICIÓN Sea variables aleatorias idepedietes: - Z N(0.); Y X R dividiedo ambas variables Z T Y r Se dice que tiee ua distribució t-studet co v grados de libertad Sii FUNCION DE ROBABILIDAD f () t r + ( ) η rπη ( ) [ + ] t : < < r r t Esta distribució está completamete determiado solo por el parámetro r Gráficamete tiee las siguietes características N(0.) ) Es simétrica co respecto t0μ ) Cuado o v se hace grade tiede a ormalizarse 3) Tiee mayor dispersió que la ormal r5 r3 t0μ 45

10 ESERANZA MATEMÁTICA ( ) t f ( t) dt 0; r E( ) μ E T > VARIANZA ( ) r V ( T) E( t ) μt t f ( t) dt 0 ; v > r USO DE TABLAS Dada la importacia e la Estadística Iferecial y la complejidad de su calculo, se tiee cofeccioado tablas co etradas. Esta tabla esta cofeccioada e fució de la acumulada [ T t] Dode e la primera fila se tiee los percetiles o probabilidades e la primera columa se tiee los grados de libertad ó r, la itersecció de fila columa correspode a los valores críticos orque t t [ T t ] f ( t) dt f(t) Como la distribució es simétrica t t i Ejemplo t Determiar el valor critico de [ T ] SOLUCIÓN [ T.76] EJEMLO co v5 g.d.l. t 0.90 Determiar el valor crítico de [ T ] SOLUCIÓN co v5 g.d.l. t 0.0 [ T t ] [ T t ] [ T.476]

11 DISTRIBUCIÓN DE ( μ ) LA V. A. O ESTADÍSTICO Ejemplo S t (-) g.d.l. Si es la media y S es la variaza de ua m.a. de tamaño 9 seleccioado de ua població NORMAL co media μ 90 Calcular [ T ] [ T ] [ [ T.83 9] s 8 8 T DISTRIBUCIÓN F O DE FISHER X F( r, r )ó Esta distribució especial geeralmete se utiliza para comparar las variazas de v.a idepedietemete o de poblacioes ormales, mediate los IC y las pruebas de hipótesis sobre sus variazas mediate la razó de las mismas DEFINICIÓN Sea v.a. idepedietes V r y r r f ; r, r ] Si se dode U r F F ( r r ) g. d. l. Sii V r FUNCIÓN DE DENSIDAD v v v + v η( ) v v f F ( Z ) ;0 < Z < v v η( ) η( ) 0 Cuya gráfica os permite determiar sus características ) A medida que aumeta los grados de libertad tiee a ormalizarse de maera positiva f f () F(0.) F(0.) 47

12 MEDIA v μ F) E( F) μ ; v v ( ) VARIANZA > ( v + v ) ) ( v 4) Zv ( F) V ( F) ; v v ( v > 4 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F() F ( ) [ F f ] Cuado [ F > F ] [ F f ] - f v. critico USO DE TABLAS Se tiee 3 etradas: La ra columa represeta los g.d.l. del deomiado r La da columa represeta la probabilidad (p ) La ra fila represeta los grados de libertad (g.d.l.) del umerador r La itersecció de filas columas os da el valor critico f Ejemplo Si X F(4.5) hallar probabilidades a) [ 7.39] b) [ >.4] c) [ 8] d) [ ] Solució Como v 4: v 5 a) [ 7.39] [ f ] >.4.4 f b) [ ] [ ] [ ]

13 [ ] [ ] 9773 c) f 0. iterpolado Ejemplo Si F F(6,0) Hallar el valor c (valor crítico) tal que a) [ c] c 0. b) [ ] 05 SOLUCIÓN a) [ c] 0.99 [ 0.46] 0.99 c [ c] 0.05 [ < c] 0.05 ( < c) 0.95 b) [ 3.] 0.95 c 3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA ROORCION Sea ua població X b(.p) Dode se descooce p, se toma ua m.a. tamaño : X, X + X X X,... X se estima la proporció p Dode ) E( p) μ p E E( ) de la distribució biomial E()p reemplazado E ( p) p p V ( p) V V ( ) ) de la biomial V() pq pq pq pq pq ( p) V ( p) p Ó p p p 3) Cuado la v. a. c. Z :Z N(0.) pq Nota Si la m.a. de tamaño se obtiee de ua població fiita de tamaño N Si reemplazo pq N p N Z p p pq N N : Z N(0.) El factor de correcció por cotiuad e la distribució muestral de proyecció es 49

14 Ejemplo Supoiedo que u lote de 50 ordeadores hay 0 defectuosos Cual la probabilidad de que e ua m.a. de tamaño, ordeadores elegidos al azar ) Co reposició a)5 b)60 :i)0%; ii) más de 0% ordeadores sea defectuosos ) SIN REOSICION SOLUCION 0. co reposició :5; p 0: q a) i) X b(5;0.0) dode X: Nº de C ordeadores etre 5 co reposició 5 5 ( ) ( 0.0) (0.80) : R 0,,... 5 el 0% de [ p 0.0] ( ) ( 0.0)( 0.8) [ p > 0.0] p[ X > ] [ X ] B(;5;0.0) ii ) b) i) co 60 como >30 podemos aproimar mediate la ormal [ p 0.0] [ ] corrigiedo [.5.5] Estadarizado mediate.5 p Z F(0.6) 0.7 Z 60(0.0) 60(0.)(0.80) ( ) Z [ 0.6 Z 0.6] [ 0.6] [ z 0.6] F( 0.6) F( 0.6) F( 0.6) + F( 0.6) 60 Aplicado la verdadera distribució de la proporció, mediate p p Z dode el factor de correcció es pq 48 Mediate la biomial ( ) ( 0.0) ( 0.8)

15 ( p 00) 0.0 p (60) (60) [ 0.97 p ] ; estadarizado Z (0.0)(0.80) (0.0)(0.80) [ 0.6 Z 0.6] [ z 0.6] [ z 0.6] F( 0.6) F( 0.6) F( 0.6) F( F( 0.6) (0.5636) 0. 7 ii) [ p > 0. 0] Biomialmete [ > ] [ ] ( ) la aproimació a la ormal, mediate ± 0.5 p Z p pq 0 [ + 0.5] [ mediate la distribució de la proporció p p Z cuyo factor de correcció es + 0.6) como es demasiado largo recurrimos mediate ]dode p(60)(0.) estadarizado z [ z 0.6] F(0.6) pq [ p > 0.0] [ p 0.0] p (60) [ 0.083] ta p > es darizado Z (0.0)(0.80) z Z [ 0.6] F( 0.6)