TEMA 4- MODELOS CONTINUOS

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1 TEMA 4- MODELOS CONTINUOS 4.1. Itroducció Distribució uiforme cotiua de parámetros a y b. X Ua, b 4.3. Distribució Gamma de parámetros y. X, Casos particulares: Distribució Expoecial. X Exp 432Di Distribució ib ió Erlag. El X, 4.4.Distribució de Pareto de parámetros y k. X P, k 4.5. Distribució Normal de parámetros y. X N, 4.6. Teorema Cetral del Límite.

2 4.1. Itroducció Estudio de alguas variables aleatorias cotiuas que sirve como modelos e situacioes reales. De cada ua de ellas, vamos a ver: 1. Situacioes e las que se utiliza y defiició. 2. Distribució de probabilidad: fució de desidad, f. Comprobació de que f es fució de desidad. Gráficos. 0, ( ) 1 f x f x dx (Puede caracterizarse co la fució de distribució, F) 3. Medidas: media, x f( x) dx, y variaza (formulario) 4. Cálculo de probabilidades: itegrado o mediate la fució de distribució o tablas e alguos casos. b P a X b f x dx F b F a a 5. Otras propiedades: d reproductividad, id d falta de memoria, teoremas de aproximació,...

3 DISTRIBUCIÓN UNIFORME, U(a,b) DEFINICIÓN: Diremos que X sigue ua distribució uiforme de parámetros a y b, ab, a, b (otació: XU(a,b)) si X es ua v.a. cotiua co desidad: 1 si a x b f( x) b a 0 e el resto Comprobació de que es fució de desidad: f(x) 0 y 1 b b f ( x) dx dx a 1 a b a b a Gráfico de U(-1,2)

4 SITUACIONES DE APLICACIÓN: Recoge la idea de máxima icertidumbrecuadosehacemedicioeseitervalosfiitos cuado medicioes e itervalos fiitos, (a, b). Matemáticamete esta idea se traduce e que para subitervalos coteidos e (a, b) co la misma logitud, la probabilidad de todos ellos es la misma. Ejemplo 1: X: Tiempo, e miutos, que se espera e la parada de u autobús Y: error que se comete al redodear u º al etero más próximo Supoiedo que XU(0,15), calcular la probabilidad de que ua persoa espere más de 10 miutos e la parada. CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades itegramos la desidad e el itervalo correspodiete. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obteerla. 0 si x a x x a F( x) f ( tdt ) si a xb b a 1 si x b

5 MEDIDAS: 2 b 1 1 x EX x f( x) dx x dx a b a b a baba b a b a b a ab V X E X E X 2 b a 2 12 b a Ejemplo 2: Para X: Tiempo, e miutos, que se espera e la parada de u autobús, calcular el tiempo medio de u usuario e la parada y la variaza de dicho tiempo. REPRODUCTIVIDAD: Esta distribució NO es reproductiva REPRODUCTIVIDAD: Esta distribució NO es reproductiva respecto de iguo de los parámetros.

6 4.3.- DISTRIBUCIÓN GAMMA, X, DEFINICIÓN: Se dice que ua v.a. X sigue ua distribució GAMMA de parámetros α y β,, 0;, si su fució de desidad es: 1 x x e si x 0 f( x) 0 e el resto x 1 Dode e x dx, 0 (fució gamma) 0 (Hay que saber demostrar que f(x) es fució de desidad). Propiedades de la fució gamma que usaremos:, , 1 2. Si, 1! 3. 1/ 2

7 GRÁFICOS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,) < 1 = 1 >1 α se llama parámetro de forma y parámetro de escala. Si α = 1, diremos que la variable tiee distribució EXPONENCIAL de parámetro β. Si, diremos que la variable tiee distribució ERLANG.

8 SITUACIONES DONDE SE APLICA: Esta distribució se utiliza para modelar ua gra variedad de situacioes, sobre todo casos e los que hay asimetría a la derecha e los datos. Ejemplos clásicos so: datos de tipo ecoómico (salarios, vetas, beeficios, gastos ) tiempo que trascurre hasta que ocurre uo o varios sucesos de u mismo tipo o tiempo etre sucesos (fallos de sistemas, tiempos de servicio, llegadas de clietes a u sistema, )

9 MEDIDAS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,) (No es ecesario saber hacer la demostració de E(X)) REPRODUCTIVIDAD DE LA GAMMA(,) Observacioes: 1.-Esta distribució o es reproductiva respecto del parámetro. 2.- Para calcular probabilidades hay que itegrar la fució de desidad usado el método de partes. No hay tablas para la gamma.

10 Ejemplo 3: Sea X: Tiempo, e meses, que trascurre hasta que ua pieza se rompe. Supogamos que X 3, 4 a) Escribir la fució de desidad de X. b) Calcular l la probabilidad bilid d de que el tiempo que trascurre hasta que la pieza se rompe esté etre 2 y 5 meses. c) Calcular el tiempo medio que trascurre hasta que la pieza se rompe. Ejemplo 4: Sea 3, 4, Y 3, 7, Z 8, 7 X variables idepedietes. Estudiar la distribució de las variables X + Y e Y + Z.

11 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE PARÁMETRO Es u caso particular de la distribució gamma e que = 1. Notació: X Exp 1, Su desidad y sus pricipales medidas so: Demostrar x e x 0 f x E X 1, V X 1 que f es 2 0 x 0 desidad CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades itegramos la desidad e el itervalo correspodiete o usamos la fució de distribució, que hay que saber obteer: F x x f () t dt 0 x 0 x 1 e x 0 Ejemplo 5: Para X~Exp(2) escribir la fució de desidad, calcular P(2 < X < 5) y E[X].

12 Reproductividad de la distribució expoecial Si X 1, X 2,..., X so v.a. idepedietes expoeciales de parámetro, etoces, Y = X 1 + X X sigue ua distribució gamma de parámetros = y. Ejemplo 6: Para las variables idepedietes: 2, Y 2, Z 2, H 3 X Exp Exp Exp Exp Obteer, si es posible, la distribució de probabilidad de las variables X + Y + Z y la de X + H.

13 PROPIEDAD DE FALTA DE MEMORIA DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribució expoecial es la úica distribució cotiua que o tiee memoria, es decir, si X sigue ua distribució expoecial parámetro, etoces (demostrar) P X x h / X x P X h, h 0 (demostrar) Observació: El suceso que codicioa SIEMPRE tiee que ser del tipo X > x ó X x. El suceso del que hay que calcular la probabilidad puede ser: X > x+h, X x+h, X < x+h ó X x+h. Ejemplo 7: Sea X~Exp(2) calcular, usado la regla de probabilidad codicioada y la propiedad de falta de memoria, las siguietes probabilidades. P X 7/ X 3 y P X 11/ X 5 Comprobar que coicide.

14 4.4.- DISTRIBUCIÓNDE PARETO, P(,k) DEFINICIÓN: Diremos que X sigue ua distribució de Pareto de parámetros yk,,x,x P(,k), ; 0;k si X es ua v.a. cotiua co desidad: f( x) k si x k 1 x 0 e el resto f es fució de desidad: f(x) 0y Gráfico de X P(=1.5,k=3) k 1 k 1 dx k x 1 (Hacer demostració)

15 Para calcular probabilidades itegramos la desidad e el itervalo correspodiete o usamos la fució de distribució. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obteerla. 0 x k x Fx f() t dt k 1 x k x MEDIDAS: k k EX x f( x) dx x dx,sólo es fiita si 1 k 1 x 1 2 k VX,sóloexistepara Ejemplo 8: Sea X P(=1.5,k=3), escribir la fució de desidad, calcular lar la P(X>10) y calcular lar E[X] y V(X) si es que existe.

16 APLICACIÓN: Se utiliza e ecoomía para trabajar co retas superiores a cierta catidad d k. Tambié para modelar variables como el tamaño de los mesajes que circula por Iteret. Esta distribució NO es reproductiva. Es INVARIANTE FRENTE A CAMBIOS DE ESCALA, es decir, P X a / X b P X a s / X b s, a b, s 0 Tiee la propiedad de COLA PESADA, es decir, decrece muy letamete cuado x crece comparádola co otras distribucioes del mismo tipo como por ejemplo, la expoecial. Ejemplo 9: Sea XPareto (1.5, 1) a) Comprobar que P X 15 / X 10 P X 150 / X 100 b) Si Y Exp(1/3), comprobar que PY P X /10 y /

17 4.5. DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(μ,σ) El modelo ormal es adecuado para gra variedad de medicioes físicas (temperaturas, precipitacioes), itelectuales (test de iteligecia y aptitud), tamaños de partes físicas de aimales y humaas (alturas, evergaduras, ) Estudiaremos el Teorema Cetral del Límite que justifica que la distribució ormal sea la distribució más utilizada e la práctica

18 DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(μ,σ) DEFINICIÓN: Diremos que X sigue ua distribució de Normal lde parámetros μ y σ, XN(μ,σ), co, 0, si X es ua v.a. cotiua co desidad: 1x 2 1 f x e si x 2 f es fució de desidad ya que f(x) 0 y 2 f( x) dx1 De izq a derecha, μ = -1, 0, 1 Para μ = 0 y distitos valores de σ

19 MEDIDAS: E(X) = μ y V(X) = σ 2 (primer parámetro es la media de la variable y el segudo, la desviació típica) Ejemplo 10: Si X~N(μ=2, σ =3), escribir su fució de desidad y calcular su media y su variaza.

20 REPRODUCTIVIDAD: Sea X N,, X N,,..., X N,, variables aleatorias idepedietes y a1, a2,..., a Etoces, la variable Y a1x1a2x2... ax tiee distribució ormal: Y N a a... a, a a... a GENERAL: Para cualquier variable Y co distribució ormal, SIEMPRE, el primer parámetro es E(Y) y el segudo parámetro es la desviació típica de Y. Ejemplo 11: Sea X~N(μ=2, σ =3), Y~N(μ=3, σ =5) variables aleatorias idepedietes. Obteer la distribució de probabilidad de la variable Z = 2X 4Y.

21 Casos particulares de la propiedad de reproductividad: Si X, X,..., X N,, so idepedietes, etoces: Variable aleatoria suma: Si 1, 1,..., 1, i 1 a1 a2 a X X... X X N,. Variable aleatoria media muestral: Si a 1/, a 1/,..., a 1/, X Xi N, i1 i

22 DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1) Diremos que X es ua variable aleatoria co distribució N(0,1) si su desidad es: x 1 2 f x e si x 2 X X N, Y N 0,1 Tipificació: CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA X ~ N(μ,σ): PASO 1.- Se trasforma la variable X e ua variable Y co distribució N(0,1) mediate la tipificació. 2 PASO 2.- Se usa las tablas de la distribució N(0,1), dode se ecuetra los valores de la fució de distribució de la misma.

23 TABLAS DE Z ~ N(0,1) Las tablas de Z ~ N(0,1) da ua APROXIMACIÓN de x () F x f t dt P X x usado el método del trapecio compuesto. Ejemplo 12:SeaZ~ Z N(0,1). Calcular PX a y PX b 1. P X 1.54, P X 2, P X Ecotrar a y b : Ejemplo 13: Sea Y ~ N(2,3). Calcular P1Y 3.2

24 4.6.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El Teorema Cetral del límite es u resultado que permite APROXIMAR la distribució ib ió de variables Ydefiidas id como suma de otras variables X i, que sea idepedietes y todas co la misma distribució. Y i1 X i es ua variable aleatoria.se l lama V ARIABLE SUMA Estas variables tipo suma se da siempre que ua variable Y se puede eteder como suma de muchos efectos idepedietes (X i ). Por ejemplo, Y:tiempo que u operario tarda e arreglar ua avería es la SUMA de: formació, destreza, que lleve o o la pieza, tiempo hasta que localiza la avería,

25 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE: Sea X 1, X 2,..., X v.a. INDEPENDIENTES co la MISMA DISTRIBUCIÓN tal que E[X = ayv(x = 2 i ] i ) b, etoces: si distribució aprox X N a b i, ( : imada ) i1 Cómo de grade debe de ser? Depede de las características de las variables X i : si so discretas hace falta más variables que si so cotiuas. si so asimétricas i hace falta más variables que si so simétricas. Como regla geeral se suele usar 50 para variables cotiuas y 100 para discretas pero depede mucho de la distribució de X i.

26 OTRAS VERSIONES DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Xi a i1 1. N0, 1 si es grade (tipificar) b 1 b 2. Xi X N a si es grade dividir etre, ( ) i1 ( X es ua variable aleatoria. Se llama MEDIA MUESTRAL) 1 Xi a i 1 X a 3. N 0, 1 si es grade (tipificar) b b

27 USOS DEL T.C.L. USO 1.- Obteer la distribució APROXIMADA de variables del tipo: 1 X ó X X i i1 i1 Observació: Hasta ahora hemos visto cómo obteer la distribució EXACTA de la variable aleatoria suma X i11 solamete para distribucioes que tuviese la propiedad de REPRODUCTIVIDAD. i USO 2.- Aproximació de otras distribucioes, como por ejemplo, biomial y Poisso. Estas aproximacioes se usa para realizar cálculos l aproximados cuado o se dispoe de u ordeador. d i

28 Ejemplo 14 (USO 1): Sea X: temperatura, e grados, de u fluido, ua variable co fució de desidad: 1/2 1 x 0 f( x) x 0 x1 0 resto Se realiza 200 medicioes idepedietes de la temperatura de fluido e 200 días diferetes. Calcular: a) La probabilidad de que la suma de las temperaturas sea mayor de 20 grados. b) La probabilidad de que la temperatura media esté etre 0 05y b) La probabilidad de que la temperatura media esté etre 0.05 y 0.1 grados.

29 USO 2: APROXIMACIÓN DE OTRAS DISTRIBUCIONES MEDIANTE T.C.L. 1. P,, 30 N 2. Bi p N p p, p p, p(1 p ), 100, p 0.1,0. 9 Observació: para los valores de los parámetros que se idica, las aproximacioes so bueas. E otros casos, podría ser bueas o o. Ejemplo 15 (USO 2): Sea X 1, X 2,..., X 100 v.a. idepedietes P(3). Calcular 100 P Y 310 siedo Y Xi a) De forma exacta, usado Statgraphics. b) De forma aproximada co el Teorema Cetral del Límite. i1 1