Tema 9. Introducción a la Inferencia Estadística. Presentación y Objetivos. Esquema Inicial. Probabilidades y Estadística I

Transcripción

1 Tema 9. Itroducció a la Iferecia Estadística Presetació y Objetivos. La iferecia utiliza el leguaje de la probabilidad para sacar coclusioes de los datos y acompañar esas coclusioes por ua declaració formal de la coaza que teemos de que sea correctas. Así, comezamos ubicado la Iferecia detro del ciclo geeral de la Estadística. La Estadística Descriptiva y el Cálculo de Probabilidades, ya estudiados, os servirá e uestro objetivo de costruir métodos que os permita realizar iferecias iductivas de la població partiedo de la muestra. Tales iferecias se formulará sujetas a u grado de coaza que podremos cotrolar. La primera etapa del Ciclo Estadístico es la selecció de la muestra de la població de iterés. El éxito del aálisis al que se realice depederá e gra medida del cuidado que se haya puesto e la selecció de la muestra y e lo represetativa que sea ésta de la població. La herramieta de iferecia que usaremos será la muestra aleatoria simple. Es esecial eteder la distribució muestral para compreder los coceptos de iferecia. El estudio de las propiedades de la media muestral y su comportamieto asitótico os lleva a la desigualdad de Tchebychey y al Teorema Cetral del Límite, resultado fudametal para el desarrollo de uidades posteriores. Por último se itroducirá las distribucioes relacioadas co la distribució ormal. Los Objetivos de esta Uidad Didáctica so: Eteder cuáles so los objetivos y procedimietos de la Iferecia Estadística. Compreder la muestra aleatoria simple como variable aleatoria. Eteder que el estadístico es ua variable aleatoria y asimilar que surge de la trasformació de la muestra aleatoria simple. Eteder el cocepto de distribució e el muestreo. Maejar la media muestral como variable aleatoria y asimilar la idea de aproximació hacia la media poblacioal desde diferetes putos de vista. Esquema Iicial 1. Itroducció. 2. Muestreo. 3. Muestra aleatoria simple. 4. Media muestral. Propiedades. 5. Distribució asitótica de la media muestral. 6. Distribucioes asociadas a la Normal. 1

2 Tema 9 Desarrollo del Tema 1. Itroducció La Figura 1 represeta el Ciclo de la Estadística. Estaremos iteresados e estudiar ua característica determiada e todos los idividuos de ua Població. Ya que el estudio de todos y cada uo de sus elemetos es iviable, seleccioamos ua muestra de la misma. A través de los estadísticos descriptivos resumimos de maera cocisa mucha de la iformació coteida e la muestra. Co esta iformació costruimos u modelo matemático que re- eje el comportamieto de la població. Este modelo, ua vez validado, os permite hacer suposicioes y prediccioes sobre el cojuto de la població. Estas prediccioes estará sometidas a u error que el aalista siempre podrá cotrolar. Por lo tato, la Iferecia Estadística permite geeralizar la iformació coteida e ua muestra a la població de la que se extrajo, cotrolado el error que cometemos co tal geeralizació. Prediccioes, Iferecias desity 0,4 0,3 0,2 0,1 Població Normal Distributio x Modelo de la Població Mea,Std. dev. 0,1 Muestra Medidas Resume Figura 1: Ciclo de la Estadística Los métodos de iferecia se clasica atediedo a diferetes criterios: 1. Segú la iformació utilizada a) Métodos Clásicos b) Métodos Bayesiaos 2. Segú el grado de coocimieto del Modelo para la Població: a) Métodos paramétricos b) Métodos o paramétricos. 2

3 1.1. Métodos clásicos Solamete utiliza la iformació coteida e la muestra (objetiva). Además, los parámetros so jos (costates) y descoocidos y la úica iformació de ellos es la que proporcioa los datos (la muestra) Métodos Bayesiaos Utiliza, además, fuetes de iformació subjetiva: coocimieto de especialistas, experimetos realizados ateriormete bajo las mismas o distitas codicioes, etc. Los parámetros se cosidera variables aleatorias y esto permite itroducir iformació de ellos a partir de ua distribució a priori (iformació subjetiva) Métodos paramétricos Se supoe que los datos proviee de u modelo para la població co distribució P X parcialmete coocida. Se sabe que es de ua determiada forma pero sus parámetros o alguo de ellos so descoocidos y es lo que se iteta determiar. Posteriormete, el modelo elegido se somete a cierta crítica Métodos o paramétricos Cosidera codicioes muy geerales respecto a la distribució P X y trata de estimar su forma y cotrastar su estructura. No hace hipótesis de qué distribució es. Puede decir de ella que es simétrica, cotiua, discreta, ada,... Se utiliza para juzgar hipótesis hechas e los métodos paramétricos y ver así que o so cotradictorias co la muestra. 2. Muestreo Los coceptos básicos e este apartado so: població y muestra. El estudio de la població se realiza a través de muestras. El Muestreo es el procedimieto mediate el que se seleccioa ua muestra de ua Població. Se llama població al cojuto de elemetos de los que se va a estudiar ua característica X. Normalmete o podremos utilizar toda la població, por ejemplo si: El estudio es destructivo, estudiar ua característica implica la destrucció del objeto (vida media e bombillas, resistecias, etc.). Los elemetos existe e cocepto pero o e la realidad: poblacioes de piezas defectuosas que producirá ua máquia. Es iviable ecoómicamete el estudio de la població. 3

4 Tema 9 La població se cosidera costituida por u úmero iito de posibles resultados de la característica: por ejemplo, cuado la característica es ua medició física, como el ivel de cocetració de u cotamiate, demada de u producto, tiempo de espera e ua uidad de servicio... Estudiar toda la població o solo llevaría mucho tiempo sio que icluso las propiedades de la població podría haber cambiado co el mismo. E estos casos seleccioaremos u cojuto represetativo de elemetos de la població al que llamaremos muestra, e lugar de hacer u ceso, que sería u estudio exhaustivo de todos sus elemetos. La muestra debe reejar la composició y características de la població de partida. Si la muestra está bie escogida será posible iferir características de la població a partir de los datos. Es importate que la muestra escogida sea represetativa de la població. Por ejemplo, sabemos que la altura media de los hombres es mayor que la de las mujeres. Por tato si e ua muestra de 500 estudiates hay 400 hombres y 100 mujeres existirá u sesgo de selecció. Para coseguir que la muestra garatice la represetatividad de la població se puede utilizar diversos procedimietos de muestreo. Detallaremos el muestreo aleatorio simple que es el que usaremos e el desarrollo de los próximos temas. Muestreo Aleatorio Simple Este tipo de muestreo se utiliza cuado todos los elemetos de la població so homogéeos respecto de la característica a estudiar, todos los elemetos so idistiguibles desde el puto de vista de esta característica. Tiee las siguietes propiedades: 1. Cada elemeto de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido para formar parte de la muestra. 2. Las observacioes se realiza co reemplazamieto, de forma que la composició de la població es idética e todas las extraccioes. E adelate se cosiderará el muestreo aleatorio simple e ua població iita, por lo que se trabajará co ua muestra aleatoria simple X 1,..., X. 3. Muestra Aleatoria Simple Se parte de ua variable aleatoria X que represetará la característica que deseamos estudiar e ua població. Por ejemplo, puede ser el tiempo de procesamieto, úmero de errores e compilació, tiempo de ejecució de u algoritmo, porcetaje de memoria utilizado, etc. Si X es variable aleatoria discreta tedrá asociada ua fució de probabilidad P (X = k) y si X es variable aleatoria cotiua tedrá asociada ua fució de desidad f(x). Se cosidera ua muestra aleatoria simple (m.a.s.) X 1,..., X de la variable aleatoria X, dode X i represeta la v.a. X e el sujeto o elemeto i-ésimo de la muestra. La m.a.s. 4

5 X 1,..., X es la herramieta básica de la Iferecia Estadística y represeta los distitos valores que puede tomar todos los subcojutos posibles de elemetos de la població. Formalmete, ua muestra aleatoria simple de tamaño de ua variable aleatoria X de media µ y variaza σ 2, es ua colecció de variables aleatorias X 1,..., X de forma que: X 1,..., X so idepedietes. Cada X i tiee la misma distribució que la variable aleatoria X. Por lo tato, es u cojuto de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas (de ahora e adelate i.i.d). La distribució cojuta de esa m.a.s., dada la idepedecia de las variables será: 1. Si X es ua v.a. discreta etoces la fució de probabilidad cojuta de la muestra es igual al producto de las fucioes de probabilidad idividuales: P (X 1 = x 1,..., X = x ) = P (X 1 = x 1 )... P (X = x ) = = P (X i = x i ) = P (X = x i ) 2. Si X es v.a. cotiua, co fució de desidad f(x). Ejemplos f(x 1,..., x ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )... f (x ) = = f(x i ) 1. Calcular la distribució cojuta de ua m.a.s. X 1,..., X de ua variable aleatoria X P (λ). 2. Si X P (2), calcular la probabilidad de la muestra de tamaño 5, (3, 1, 0, 2, 0). 3. Calcular la distribució cojuta de ua m.a.s. X 1,..., X de ua variable aleatoria X N(µ, σ). U Estadístico es ua fució exclusivamete de la muestra, T (X 1,..., X ). El valor de esta fució cambiará muestra a muestra por lo que tambié será ua variable aleatoria, co su correspodiete distribució, que llamaremos distribució e el muestreo del estadístico. Por lo tato, la distribució e el muestreo de u estadístico T es la distribució de probabilidad de T que puede obteerse como resultado de u úmero iito de muestras aleatorias idepedietes, cada ua de tamaño, de la població de iterés. Ejemplos: Estadísticos más usuales. 5

6 Tema 9 4. Media Muestral. Propiedades Supogamos que las variables aleatorias X 1,..., X costituye ua m.a.s. de ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ 2. Se dee la media muestral de X 1,..., X X X como la variable aleatoria (porque cambia de muestra a muestra), X =, i.e., es la media aritmética de los valores de la muestra. Su esperaza y variaza so: E( X) = V ( X) = E(X i ) = µ = µ V (X i ) = σ2 = σ2 2 2 La variaza de la media dismiuye a medida que crece 1. Observació: La media de X es igual a la media de la distribució de la que se seleccioó la m.a.s., pero la variaza es 1 la variaza de X. Así, la probabilidad de que X esté cerca de µ es mayor de que lo esté X i. Precisemos esto más utilizado la desigualdad de Tchebychev: P ( X E(X) kσ) 1 1 k 2 P ( X E(X) > kσ) 1 k 2 Si la aplicamos a X, co E( X) = µ y desviació típica σ : P ( X µ < k σ ) 1 1 k 2 o bie, Ejemplos P ( X µ < k) 1 σ2 k 2 4. Supogamos que queremos seleccioar ua muestra de ua v.a. cuya media es descoocida y de la que sabemos que σ = 2.0. Queremos determiar el tamaño muestral para que la diferecia etre X y µ e valor absoluto sea meor que 1 co probabilidad de al meos P ( X µ }{{} 1 ) 1 σ2 k = k Seleccioamos ua m.a.s. de tamaño = 25 de ua població co σ = 2.4. Calcular la probabilidad de que la diferecia etre la media muestral X y la media poblacioal µ sea meor que E geeral, V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) 6

7 5. Distribució asitótica de la media muestral. T.C.L. Veremos que siempre que seleccioemos ua m.a.s. de tamaño de cualquier distribució co media µ y variaza σ 2, la media muestral X tedrá ua distribució aproximadamete σ Normal, N(µ, ), cuado sea grade. Teorema Cetral del Límite (Lideberg-Lévy) Dadas X 1,..., X v.a.i.i.d co media µ y variaza σ 2 <, etoces X µ σ/ Z N(0, 1) Teorema de De Moivre: Siedo X 1,..., X v.a.i.i.d. co distribució Beroulli(p), etoces, X i Z N(p, pq) Así, aproximamos la biomial, que es suma de variables de Beroulli, por ua N(p, pq), cuado sea grade. Por lo tato, la media muestral de u úmero sucietemete grade de datos es ua variable aleatoria simétrica, cocetrada alrededor de la media poblacioal µ, idepedietemete de la distribució de partida de X. E la práctica, realizaremos la aproximació descrita por el Teorema Cetral de Límite cuado 30. Ejemplos 6. Sabemos que la duració de u determiado compoete eléctrico es ua variable aleatoria co distribució o especicada, de la que lo úico que sabemos es que σ = 2 horas. Calcular la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de media hora del valor medio de la població, si tomamos ua muestra de la duració de 35 compoetes. X = duració del compoete eléctrico, X 1,..., X 35 m.a.s. Media poblacioal µ descoocida, y σ = 2 Como = 35, podemos utilizar la aproximació del Teorema Cetral del Límite. X N(µ, σ 2 ) N(µ, ) N(µ, 0.338) 35 Lo que os pide es: 7

8 Tema 9 P ( X µ < 0.5) = P ( 0.5 < X µ < 0.5) = = P < X µ σ < 0.5 = Si utilizáramos Tchebychev: = P ( < Z < 1.479) = = P (Z < 1.479) P (Z < 1.479) = = P (Z < 1.479) (1 P (Z < 1.479)) = = 2P (Z < 1.479) 1 = = P ( X µ < 0.5) 1 σ2 k 2 = (0.5) 2 = E u sistema co capacidad automática de recuperació de errores la probabilidad de ua recuperació correcta es p = 0.4. Hemos observado = 200 errores. Queremos saber, por ejemplo, cuál es la probabilidad de que el úmero de errores salvados correctamete sea meor que 100. Si hacemos X i = 1 si se solucioó el error, lo que sucede co probabilidad c, sabemos que, el úmero de errores solucioados coverge, cuado es grade a ua Normal. Del TCL sabemos que la distribució de la suma 200 X i será aproximadamete ua distribució ormal co media p y y variaza pq, siedo p la proporció de éxitos, que segú la cosideració de los expertos es 0.4. Así, ( ) P X i < 100 ( ) = P X i 99 = P ( = P Z ( Xi p pq 99.5 p pq ) = ) = P (Z 2.81) = Supogamos que el úmero de barriles de petróleo que produce u pozo diariamete es ua v.a. co distribució o especicada. Si se observa la producció e 64 días, seleccioados de forma aleatoria, y si se sabe que la desviació típica del úmero de barriles producidos por día es σ = 16, determiar la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de 4 barriles del valor medio de la població. 6. Distribucioes asociadas a la Normal 6.1. Distribució χ 2 de Pearso Deició: Dadas Z 1,..., Z v.a.i.i.d N(0, 1), deimos la variable aleatoria 8

9 X = Z Z 2 = Zi 2 X es ua v.a. que depede de que es el úmero de sumados y toma valores positivos. Se dice que esta v.a. sigue ua distribució χ 2 co grados de libertad. Es u caso particular de la distribució gamma, γ(λ = a = 1 2, p = 2 ). La gura 2 muestra la represetació gráca de esta distribució para distitos grados de libertad. Figura 2: Distribució χ 2 de Pearso Observació: La distribució χ 2 es reproductiva respecto de, es decir, dadas X, Y variables aleatorias idepedietes co X χ 2 1, Y χ 2 2 etoces X + Y χ Medidas características Media Variaza E(X) = V (X) = Distribució t de Studet Descubierta e 1908 por William Sealey Gosset, que la publicó bajo el pseudóimo de Studet, cuado éste trabajaba e la Factoría Guiess. Deició: Es la distribució de la siguiete v.a.: 9

10 Tema 9 T = dode Z N(0, 1) y X χ 2, ambas INDEPENDIENTES. Se dice etoces que T tiee ua distribució t de Studet co grados de libertad (que so los mismos que los de la χ 2 que iterviee e su deició). La gura 3 muestra la represetació gráca de esta distribució para distitos valores del parámetro. Z X Figura 3: Distribució t de Studet Medidas características Media E(T ) = 0 Variaza V (T ) = 2 si > Distribució F de Fisher-Sedecor Deició: Si X e Y so dos v.a. idepedietes, X χ 2 e Y χ 2 m, etoces la v.a. F = X Y m = X X2 Y Y 2 m m tiee ua distribució F de Sedecor co y m grados de libertad. Las X i N(0, 1) so idepedietes y las Y i N(0, 1) tambié so idepedietes. La gura 4 muestra la represetació gráca de esta distribució para distitos valores de los parámetros. 10

11 Figura 4: Distribució F de Fisher-Sedecor Medidas características Media Variaza E(F ) = m m 2 si m > 2 V (F ) = m2 (2m + 2 4) (m 2) 2 (m 4) 2 si m > 4 IMPORTANTE: A partir de ahora los putos t,α ; χ 2,α; F,m,α represetará, respectivamete, los valores de ua distribució T de Studet co grados de libertad, de ua χ 2 co grados de libertad y de ua F co y m grados de libertad, que deja a la derecha u área o probabilidad de α. Por ejemplo, mirado e la Tabla de la T-Studet, para 7 grados de libertad, el puto que deja a la derecha u área o probabilidad de 0.05 es 1.895, co lo que el puto t 7,0.05 = Para ua distribució χ 2 15, el puto que deja a la derecha u área o probabilidad de 0.9 es 8.547, co lo que el puto χ 2 15,0.9 = Para ua distribució F co 10 y 7 grados de libertad, el puto que deja a la derecha u área o probabilidad de 0.05 es 3.637, co lo que F 10,7,0.05 =