E.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

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1 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

2 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA PARTE : ESTADÍSTICA INFERENCIAL

3 0. RECORDATORIO Estadística iferecial. Rama de la Estadística que estudia procedimietos para hacer iferecias, ésto es, para deducir propiedades de ua població a partir de la iformació obteida de ua muestra Objetivos básicos. A partir de la iformació proporcioada por ua muestra: estimació: estimar (evaluar) u parámetro descoocido de la població cotraste de hipótesis: realizació de ua prueba estadística cuyo objeto es estudiar si ua determiada afirmació sobre ua població se cofirma o se rechaza

4 El matrimoio es la pricipal causa de divorcio Groucho Marx Julius Hery Marx

5 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 5: DISTRIBUCIONES MUESTRALES

6 La estadística e comic L. Gockig, W. Smith (00)

7 Pocas observacioes y mucho razoamieto coduce al error; muchas observacioes y poco razoamieto, a la verdad. Alexis Carrel Premio Nobel e Medicia (9)

8 . RESUMEN Se llama la ateció acerca de que los estadísticos muestrales so, e realidad, variables aleatorias. Así, se aaliza la distribució de probabilidad de la media muestral y de la variaza muestral e diversas situacioes. Palabras clave: distribucioes e el muestreo t de Studet F de Sedecor chi cuadrado

9 . ÍNDICE DEL TEMA 5.. Itroducció 5.. Muestreo 5.3. Muestreo aleatorio: tipos simple estratificado por coglomerado sistemático 5.4. Distribucioes e el muestreo 5.5. Media muestral 5.6. Teorema cetral del límite

10 . ÍNDICE DEL TEMA 5.7. Distribucioes asociadas a la ormal chi-cuadrado t de Studet F de Sedecor

11 3. INTRODUCCIÓN població: cojuto de todos los elemetos objeto de u estudio muestra: subcojuto de ua població letras griegas parámetro: es ua magitud umérica obteida de ua població (es ua catidad fija, geeralmete descoocida) letras latias estadístico: es ua magitud umérica cuyo valor viee determiado por la muestra (media muestral y variaza muestral, por ejemplo); se utiliza para estimar los parámetros de ua població

12 Muestra Muestra INTRODUCCIÓN o so iguales Variable aleatoria icertidumbre Muestra hipótesis: los datos de las muestras so v.a. co ua distribució comú Distribució teórica de probabilidad Elecció de parámetros modelo adecuado para calcular probabilidades asociadas a todas las muestras elecció adecuada (e la aalogía de la compra del traje se trata de elegir la talla) Muestreo

13 3. INTRODUCCIÓN Diferetes ámbitos de la vida real Estadística Experiecia Muestras de ua variable correcta sigificativa fiables represetativas Apredizaje Apredizaje e iferecia

14 3. INTRODUCCIÓN la mayor parte de las veces, la distribució de la població o es coocida completamete se usará ua muestra para realizar iferecias sobre ella Ejemplo. Se fabrica u uevo tipo de baterías para coches eléctricos durará u úmero aleatorio de kilómetros siguiedo ua distribució de probabilidad descoocida para averiguar cuál es esa distribució de probabilidad se puede fabricar u cierto úmero de baterías y probarlas e carretera los datos resultates (úmero de kms. recorridos co cada batería) costituye ua muestra extraída de la distribució

15 4. MUESTREO Muestreo : cojuto de técicas empleadas para la selecció de ua muestra a partir de ua població al seleccioar ua muestra, se espera que sus propiedades se pueda extrapolar a la població este proceso permite ahorrar recursos, obteiédose resultados parecidos a los que se tedría e el caso de realizar u estudio de toda la població tipos muestreo o aleatorio o de juicio: se emplea el coocimieto y la opiió persoal para idetificar aquellos elemetos de la població que debe icluirse e la muestra muestreo aleatorio o de probabilidad: todos los elemetos de la població tiee la oportuidad de ser escogidos

16 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Muestra aleatoria simple: recopilació de datos de ua v.a. X de ua determiada població mediate la repetició del experimeto al que está asociada. Dos codicioes básicas: todos los elemetos de la població debe teer la misma probabilidad de estar e la muestra las distitas observacioes de la muestra debe ser idepedietes etre sí vetajas secillo y de fácil compresió, cálculo rápido de media y variaza, existe paquetes iformáticos para su aálisis desvetajas debe coocerse de atemao el listado de toda la població, muestras pequeñas puede o ser represetativas

17 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Muestreo estratificado: la població se divide e grupos homogéeos (estratos) y después se toma ua muestra aleatoria simple de cada estrato cuyo tamaño depede de u úmero o cuota asigado. Criterios para la elecció de la cuota: proporcioal al tamaño relativo del estrato e la població proporcioal a la variabilidad del estrato, de forma que los más variables está más represetados vetajas tiede a asegurar que la muestra represete a la població de forma adecuada, estimacioes más precisas desvetajas debe coocerse la distribució e la població de las variables usadas para la estratificació

18 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Muestreo por coglomerado: la població se divide e coglomerados (clusters) de elemetos y, luego, se seleccioa ua muestra aleatoria de estos clusters. la variabilidad detro de cada grupo es grade y etre los grupos es pequeña es como si cada grupo fuese u pequeña represetació de la població e si misma vetajas eficiete cuado la població es grade y dispersa, reduce costes, o es ecesario el listado completo de la població desvetajas el error estádar es mayor que e el muestreo estratificado ó e el aleatorio y, además, su cálculo es complejo

19 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Coglomerado vs. estratificació muestreo por coglomerado e la muestra sólo está represetado u subcojuto de todos los coglomerados variabilidad grade e cada grupo y pequeña etre los grupos fucioa si hay pocas diferecias etre los clusters y so muy heterogéeos muestreo estratificado e la muestra está represetados todos los estratos variabilidad pequeña e cada estrato y grade etre ellos fucioa tato mejor cuato mayor sea las diferecias etre los estratos y más homogéeos sea iteramete

20 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Muestreo sistemático: los elemetos de la muestra se seleccioa de la població de ua forma uiforme medida respecto al tiempo, al orde, al espacio, procedimieto: listado de los N elemetos de la població determiar el tamaño,, de la muestra defiir u itervalo de salto, k tal que: arraque aleatorio, r: r k k N dode hasta completar la muestra, se toma los elemetos: r+k, r+k, r+3k, k Z

21 5. MUESTREO ALEATORIO: TIPOS Muestreo sistemático: los elemetos de la muestra se seleccioa de la població de ua forma uiforme medida respecto al tiempo, al orde, al espacio, vetajas fácil de aplicar, o siempre es ecesario teer u listado de toda la població, cuado la població está ordeada segú ua tedecia coocida se asegura ua cobertura de elemetos de todos los tipos desvetajas sesible a las posibles periodicidades e el listado de los elemetos de la població co lo que puede obteerse ua muestra que o sea represetativa de la població

22 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES para obteer iformació sobre u parámetro de la població: se seleccioa ua muestra represetativa de la població se obtiee el estadístico adecuado de la muestra co ese estadístico se estima el parámetro de la població los valores que toma el estadístico e cada ua de las muestras de tamaño (x, x,, x) so, a su vez, v.a. idepedietes que sigue la misma distribució de probabilidad (distribució poblacioal) la muestra se usará para iferir sobre esa distribució y, al meos, aproximar su forma

23 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES para valorar el grado de validez de las iferecias es ecesario coocer la distribució de probabilidad del estadístico cosiderado esa distribució de probabilidad se deomia distribució muestral la distribució muestral depede de: la distribució de la població el estadístico utilizado el tamaño muestral

24 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES se observa ua v.a. X muestra aleatoria simple : { x, x,, x } media : x desviació típica : s muestra aleatoria simple : { x, x,, x } media : x desviació típica : s muestra aleatoria simple : { x, x,, x } media : x desviació típica : s

25 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES los valores resultates e cada muestra so resultado del azar; etoces, geeralmete, o coicide para cada muestra se obtiee diferetes medias y desviacioes típicas por tato, la media muestral y la variaza muestral (e geeral, cualquier estadístico de ua muestra aleatoria simple) so, e realidad variables aleatorias y, como tales, tiee su distribució, su media, su variaza, { x, x,, } x { s, s,, } s muestras de dichas variables

26 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES Recordatorio Estadístico muestral: valor referido a ua muestra de ua variable aleatoria (media, variaza, ) Parámetro poblacioal: valor referido a la distribu- ció poblacioal de ua variable aleatoria (media, variaza, ) Asociados a estos dos coceptos se tiee: Distribució muestral de u estadístico muestral es su distribució de probabilidad Error estádar de u estadístico muestral es la desviació típica de su distribució muestral

27 5.DISTRIBUCIONES MUESTRALES Problema bastate difícil coocer la distribució e el muestreo de los estadísticos muestrales Solució si la variable que se observa sigue ua distribució ormal se cooce de forma exacta las distribucioes e el muestreo de los dos parámetro más importates: la media y la variaza (es el caso más secillo y, a su vez, el más importate) si la variable observada o sigue ua distribució ormal: el teorema cetral del límite idica que si ua variable es suma de otras variables su distribució es aproximadamete ormal co lo que, todavía, se puede cofiar e que lo que hagamos para variables ormales pueda ser válido

28 6.MEDIA MUESTRAL sea ua muestra de tamaño (x, x,, x) de ua població de tamaño N media poblacioal: µ variaza poblacioal: σ media muestral: X x X : tambié es ua v.a.; se demuestra que: E X esperaza: [ ] µ variaza: Var [ X ] σ desviació típica: SD [ X ] + x + σ X + σ x La dispersió dismiuye a medida que aumeta el tamaño muestral, Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (005)

29 6.MEDIA MUESTRAL Ejemplo de comprobació. Sea ua població formada por los úmeros: { x, x 4, x 6, x 8 } 3 4 N4 i 4 µ N i x i N σ i 44 xi x 5 i. 36 se cosidera todas las muestras posibles de tamaño

30 6.MEDIA MUESTRAL Ejemplo de comprobació. la media de las medias muestrales es: i X x X µ i i 6 la desviació típica de las medias muestrales es: i 6 X xi x. 5 N σ i. 58 σ σ. 36 X. 58

31 6.MEDIA MUESTRAL Ejemplo de comprobació. fució de masa de probabilidad de la distribució muestral de la media muestral: x i ( x ) P ( X x ) p i x i x i ( x ) P ( X ) i x i p

32 6.MEDIA MUESTRAL Ejemplo de comprobació. represetació gráfica de la fució de masa de probabilidad de la distribució muestral de la media muestral:

33 6.MEDIA MUESTRAL e la afirmació: SD [ X ] σ σ X se asume que: la població es ifiita (suficietemete grade), ó el muestreo se realiza co reemplazamieto e caso cotrario, se debe utilizar u factor de correcció para poblacioes fiitas: SD [ X ] σ X σ N N N: tamaño de la població : tamaño de la muestra

34 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE sea X, X,, X ua muestra aleatoria procedete de ua població de media µ y desviació típica σ si tiede a ifiito (para valores suficietemete grades de ) la suma: Y i i X i sigue aproximadamete ua distribució ormal Y N ( µ ; σ )

35 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Ejemplo. Ua compañía aseguradora de automóviles tiee 0000 asegurados. Si el gasto aual que u asegurado ocasioa a la compañía tiee por media 60 euros co ua desviació típica de 800 euros, aproximar la probabilidad de que el gasto total que la compañía debe afrotar e u año sobrepase los,8 milloes de euros Solució Xi : gasto ocasioado por el asegurado i (i,,, 0000) por el teorema cetral del límite µ. 6 0 σ i i X i Y N 6 4 (. 6 0 ; 8 0 )

36 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Ejemplo. Ua compañía aseguradora de automóviles tiee 0000 asegurados. Si el gasto aual que u asegurado ocasioa a la compañía tiee por media 60 euros co ua desviació típica de 800 euros, aproximar la probabilidad de que el gasto total que la compañía debe afrotar e u año sobrepase los,8 milloes de euros Solució etoces: P ( Y >. 8 0 ) P Z > P Z > tipificació ( Z >. 5) P ( Z. 5) P tablas Excel: -DISTR.NORM(800000;600000;80000;)

37 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE geeralizació se puede demostrar que, auque las v.a. X, X,, X siga distribucioes distitas, la variable Y sigue aproximadamete ua distribució ormal siedo, como ates: i Y i X i es más, si todas las variables aleatorias tiede a ser, más ó meos, de la misma magitud, de forma que igua de ellas domie el valor de la suma, se puede demostrar que la suma de u gra úmero de variables aleatorias idepedietes sigue, aproximadamete, ua distribució ormal

38 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Distribució de la media muestral sea X, X,, X ua muestra aleatoria procedete de ua població de media µ y desviació típica σ sea la media muestral: X i i X i Y el producto de ua ormal, Y, por ua costate,, sigue siedo ormal: X N ( µ ; σ ) k X N ( k µ ; k σ ) etoces, si el tamaño muestral es grade, por el teorema cetral del límite se tiee: X N µ ; σ

39 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Distribució de la media muestral tipificació ; N X σ µ ( ) 0; N Z X σ µ además: σ ( ) a Z P a X P a X P σ σ σ µ µ µ

40 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Distribució de la media muestral Ejemplo. El ivel de colesterol e la sagre de ua població de trabajadores tiee media 0 mg/dl y desviació típica 4. a. si se seleccioa ua muestra de 36 trabajadores, aproximar la probabilidad de que la media muestral de sus iveles de colesterol esté compredida etre 98 y 06 mg/dl b. repetir el apartado aterior para u tamaño muestral de 64 Solució a. del teorema cetral del límite se deduce, como 36: N 7 0; 3 X 0 X Z N ( 0; ) 7 3

41 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Ejemplo. Solució Distribució de la media muestral tipificació 98 0 X a. P ( 98 X 06 ) P (. 74 Z. 74) Φ (. 74) Φ (. ) P 74 (. 74) [ Φ (. 74) ] (. 74) Φ Φ b. procediedo de forma aáloga para 64: P ( 98 X 06 ) tablas Nota. Al aumetar el tamaño muestral tambié aumeta la probabilidad de que la media muestral difiera de la poblacioal e meos de 4 uidades

42 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Distribució de la media muestral Ejemplo. Solució. Si tipificar, usado Excel a. P ( 98 X 06 ) 0, DISTR.NORM(06;0;7/3;)-DISTR.NORM(98;0;7/3;) b. P ( 98 X 06 ) 0, DISTR.NORM(06;0;7/4;)-DISTR.NORM(98;0;7/4;)

43 7.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Tamaño de la muestra el teorema cetral del límite deja abierta la cuestió de cuá grade debe ser el tamaño,, de la muestra para que la aproximació ormal sea válida respuesta: depede de la distribució de la població que subyace a los datos muestrales si la distribució subyacete es ormal, la media muestral es siempre ormal idepedietemete del tamaño de la muestra regla empírica: puede usarse la aproximació ormal siempre que el tamaño muestral sea, como míimo, 30 ( ) 30 e la mayoría de los casos la aproximació ormal es válida para tamaños muestrales mucho más reducidos

44 8.RESUMEN

45 8.RESUMEN

46 8.RESUMEN Població co distribució ormal ( ) Població co distribució o ormal ( ) 30 Distribució muestral de medias ormal NO Muestreo co sustitució NO Població ifiita SD [ X ] σ X σ N N SI SI SD [ X ] σ X σ

47 8.RESUMEN Ejemplo. E u muicipio, el cosumo medio por vivieda de eergía eléctrica es de 5Kwh co ua desviació típica de 6kwh. Se toma ua muestra de 50 viviedas: a. obteer la distribució muestral de las medias de cosumo de la muestra e Kwh b. calcular la probabilidad de que el cosumo medio del grupo de viviedas sea superior a 6Kwh Solució a. del teorema cetral del límite se deduce, como 50: µ5 σ X N 5 ; N. 50 ( 5 ; 0 849)

48 8.RESUMEN Ejemplo. E u muicipio, el cosumo medio, por vivieda, de eergía eléctrica es de 5Kwh co ua desviació típica de 6kwh. Se toma ua muestra de 50 viviedas: a. obteer la distribució muestral de las medias de cosumo de la muestra e Kwh b. calcular la probabilidad de que el cosumo medio del grupo de viviedas sea superior a 6Kwh Solució b. del teorema cetral del límite se deduce, como 50: P X ( X > 6 ) P > P ( Z >. 78) ( Z. 78) P. Excel: -DISTR.NORM(6;5;6/RAIZ(50);)~ 0,9964

49 8.RESUMEN Ejemplo. El peso del azúcar evasado e paquetes es ua variable aleatoria ormal de media 400gr. y desviació típica 30gr. Se toma ua muestra aleatoria simple de 5 paquetes. Calcular la probabilidad de que el promedio quede fuera del itervalo (390,40). Solució del teorema cetral del límite se deduce, como 5: 30 X N σ µ ; N 400 ; N ; 5 media poblacioal: µ400 desviació típica de la població: σ30 tamaño de la muestra: 5 ( )

50 8.RESUMEN Ejemplo. El peso del azúcar evasado e paquetes es ua variable aleatoria ormal de media 400gr. y desviació típica 30gr. Se toma ua muestra aleatoria simple de 5 paquetes. Calcular la probabilidad de que el promedio quede fuera del itervalo (390,40). Solució ( ) se pide calcular: P X ( 390, 40 ) P ( X ( 390, 40 )) P X ( 390, 40 ) ( ) ( 390 < X < 40 ) P < < P Z 6 ( < Z < ) P. 6

51 8.RESUMEN Ejemplo. El peso del azúcar evasado e paquetes es ua variable aleatoria ormal de media 400gr. y desviació típica 30gr. Se toma ua muestra aleatoria simple de 5 paquetes. Calcular la probabilidad de que el promedio quede fuera del itervalo (390,40). Solució ( ) se pide calcular: P X ( 390, 40 ) P ( X (, 40 )) P X ( 390, 40 ) ( ) 0, Excel: -(DISTR.NORM(40;400;6;)-DISTR.NORM(390;400;6;))

52 8.RESUMEN Ejemplo. El peso del azúcar evasado e paquetes es ua variable aleatoria ormal de media 400gr. y desviació típica 30gr. Se toma ua muestra aleatoria simple de 5 paquetes. Calcular la probabilidad de que el promedio quede fuera del itervalo (390,40). Solució ( ) se pide calcular: P X ( 390, 40 ) P ( X ( 390, 40 )) P ( X < 390 ) 0, Excel: *DISTR.NORM(390;400;6;)

53 9. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL cuado se va a hacer iferecia estadística se ha visto que la distribució ormal aparece de forma casi ievitable. depediedo del problema, se puede ecotrar otras (asociadas): ji-cuadrado t de Studet F de Fisher-Sedecor Sus fucioes de desidad so muy poco tratables por lo que los cálculos se realiza co ordeador (tambié, muchos valores de sus fucioes de distribució está tabulados) resulta directamete de operar co distribucioes ormales típicamete aparece como distribucioes de ciertos estadísticos

54 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO Si Z,Z,,Zk so variables aleatorias ormales estádar e idepedietes etoces se dice que la variable i k i i X Z Z + Z + + Z es ua variable aleatoria ji-cuadrado (ó chi-cuadrado) co k grados de libertad k otació: χ k i k i i Z Z + Z + + Z k ó X χ k parámetro: k (úmero de grados de libertad) es ua de las distribucioes más utilizadas e estadística iferecial (describe la distribució muestral de la variaza muestral)

55 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO qué so los grados de libertad? se puede defiir como el úmero de valores que se puede elegir libremete ejemplo: sea ua muestra de tamaño, los valores de la muestra so x e y, y se sabe que tiee ua media de 0 x + y 0 x + y 0 x 0 y 0 x y 9 x 0 y 0 si x 5 y 5 y o es libre de tomar cualquier valor este ejemplo se puede geeralizar para cualquier e dode dada la media de los valores sólo queda (-) elemetos que puede defiirse libremete y uo es fució de la media y el resto de los elemetos

56 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO fució de desidad f ( x ) x k k e Γ k ( ) x ( x 0 ) fució gamma: Γ ( x ) 0 t x t e dt fució asimétrica positiva, sólo tiee desidad los valores positivos (suma de cuadrados) se hace más simétrica, icluso casi gaussiaa, al aumetar el úmero de grados de libertad. ormalmete se cosidera aómalos aquellos valores de la variable de la cola de la derecha

57 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO fució de desidad

58 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO fució de desidad k k k k simulació

59 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO fució de distribució acumulada

60 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO esperaza matemática (media): [ ] χ k E k variaza: [ ] χ k Var k desviació típica: [ ] χ k SD k

61 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO propiedades: la suma de dos v.a. idepedietes y cotiuas ji-cuadrado es tambié ua v.a. cotiua ji-cuadrado cuyo úmero de grados de libertad es la suma de los grados de libertad de las dos variables: χ k + χ χ k + por el teorema cetral del límite, cuado k>30: χ k N ( k ; )

62 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO ejemplo ( P χ ) ( P χ > )

63 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO ejemplo. Calcular: tablas P ( χ 0 ) ( χ ) P. ( χ ) P. el valor pedido o se ecuetra e las tablas, por tato, debe realizarse ua iterpolació lieal Excel: -DISTR.CHI(0;)0,939404

64 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO ejemplo. Calcular: P ( χ 0 ) iterpolació lieal: parte de dos putos coocidos de ua fució y determia los valores itermedios co la recta que ue estos dos putos f ( b ) f ( a ( ) x ) ( x a ) + f ( a ) ( a < x b ) f < b a e este caso: ( a, f ( a )) ( , ) ( b, f ( b )) (. 0606, ) x operado: 0 f(b) f(x) f(a) ( 0 ) f ( x ) P χ a x b

65 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO ejemplo. Calcular: tablas χ χ ( χ χ ) tal que P 0 0. ( χ χ ) tal que P 3 0. χ 0 χ tablas ;. ( χ χ ) P( χ > χ ) 0 05 P χ 0 χ ;.

66 0.DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO ejemplo. Calcular: P ( χ ) 4 > 3 aproximació co la ormal (k4) P( χ Excel: χ ( ) ( 4) ; N ( 9 ) 4 N ; > 3) P χ 4 > ( ) ( Z > ) P DISTR.CHI(3;4)~0,

67 .DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT Si Y,Z,Z,,Z so + variables aleatorias ormales estádar e idepedietes etoces se dice que la v.a. X Y i i Z i ( Z + Z + + Z ) sigue ua distribució t de Studet co grados de libertad Y otació: X t parámetro: (úmero de grados de libertad) es ua distribució que surge al estimar la media de ua població co u tamaño muestral pequeño

68 .DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT es ua distribució que surge al estimar la media de ua població co u tamaño muestral pequeño además, ormalmete se descooce la desviació típica σ William Gosset Studet defie ua ueva variable aleatoria, la t, utilizada e estos supuestos X µ σ e la variable: Z N ( 0; ) estima (y sustituye) σ utilizado la desviació típica muestral t X s µ

69 .DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT fució de desidad f ( x ) Γ π + ( ) Γ ( ) + x + x fució gamma: Γ ( x ) t e 0 simétrica co respecto al cero gráfica parecida a la de la ormal estádar pero preseta mayor dispersió co lo que es más aplaada a medida que aumeta los grados de libertad, su gráfica más se acerca a la de la ormal estádar N(0,); para 30 la distribució t tiede a N(0,) se cosidera valores aómalos los que se aleja de cero (positivos o egativos) t dt

70 .DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT fució de desidad N ( 0, ) simulació

71 .DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT esperaza matemática (media): E [ t ] 0 variaza: Var [ t ]

72 .DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR Si Y, Y,, Y, Z,Z,, Zm so +m v.a. ormales estádar e idepedietes etoces se dice que la v.a. ( ) ( ) m m i i i i i i Z Z Z m Y Y Y Z m Y X otació: sigue ua distribució F de Sedecor (ó F de Fisher ó F de Fisher-Sedecorco grados de libertad e el umerador y m grados de libertad e el deomiador parámetros:, m (grados de libertad) es ua distribució que surge al estimar el cociete de variazas de dos poblacioes ormales X F ;m i m m

73 .DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR fució de desidad f ( x ) m x x x ( m Β, ) x + m x + m fució gamma: Β π x ( x, y ) cos θ y se θ d θ 0 sólo toma valores positivos es asimétrica ormalmete, se cosidera valores aómalos los de la cola de la derecha relació co ji-cuadrado: F ; χ

74 .DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR fució de desidad 0.7 F 8 ; F 8 ;4 0.5 F 4 ;

75 .DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR esperaza matemática (media): E [ ] m F ( m > ) ; m m variaza: Var m [ ] ( + m ) F ; m m ( m ) ( m 4) ( > 4 ) propiedades: relació co la distribució ji-cuadrado: relació co la distribució t de Studet: F ; χ F ; m t m si F;m;-α es el valor que deja a su derecha ua probabilidad α: ; m; α F F P ( F F ) α ; m; α ; m > ; m; α

76 3. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL propiedad reproductiva de la distribució ormal: si X, X,, X so variables aleatorias ormales idepedietes, co E[Xi]µi y Var[Xi]σi, etoces: i i i i a ; a N Y X a X a X a σ µ i i i i i i a ; a N Y X a X a X a σ µ

77 3. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL sea X, X,, X ua muestra aleatoria simple de ua població ormal co media µ y variaza σ y sea la cuasivariaza muestral: ( ) i i X X S s s i la variable aleatoria ( ) ( ) σ σ S s sigue ua distribució ji-cuadrado co - grados de libertad ( ) ( ) S s χ σ σ