Introducción a la Inferencia Estadística. Muestreo en poblaciones normales

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1 Ídice 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales Itroducció Estadísticos y mometos muestrales Media muestral Propiedades Variaza muestral Propiedades Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales Distribució de la media y diferecia de medias Distribució chi-cuadrado Distribució t de Studet Distribució F de Sedecor Otros resultados 59 40

2 Tema 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales 51 Itroducció El tipo de razoamieto seguido e Cálculo de Probabilidades para el estudio de los feómeos aleatorios es deductivo: establecidas ciertas hipótesis sobre el mecaismo que geera los datos (modelo de distribució), se deduce propiedades sobre el feómeo e cuestió (hallábamos la media, variaza, la probabilidad de que la variable tome valores e u itervalo, ) La Iferecia Estadística os va a proporcioar la metodología para realizar el proceso iverso: a partir de u cojuto de datos experimetales, ifiere, iduce o estima características o propiedades del feómeo bajo estudio E Estadística se deomia població al cojuto de etes reales o poteciales sobre los que se desea obteer iformació Usualmete el estadístico o ivestigador o puede recabar iformació sobre todos los elemetos que compoe la població, bie por el elevado coste que esto supodría, porque la toma de iformació lleve cosigo u proceso destructivo (pe cotroles de tiempo hasta que se fude u trasistor), o por otros diversos motivos De ahí que haya que realizar el estudio sobre uos cuatos elemetos de la població deomiado muestra Al proceso de selecció de los idividuos que compoe la muestra se le llama muestreo Existe varios tipos de muestreo depediedo de múltiples factores Nosotros sólo veremos e este curso el muestreo aleatorio simple Así co las técicas de Iferecia Estadística uestro objetivo va a ser: extraer coclusioes y geeralizacioes sobre la població basádoos e la iformació sumiistrada por la muestra Pasamos a cocretar e itroducir la termiología adecuada para abordar el estudio de estas técicas Se supoe que la propiedad que se desea estudiar e la població puede describirse e térmios de ua variable aleatoria X que tedrá ua fució de distribució F E cuato a las hipótesis que se establezca sobre F distiguimos: 51

3 Tema 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales Técicas paramétricas: si la distribució de F está especificada salvo algú parámetro Por ejemplo, que por cómo se realiza el experimeto o algú otro tipo de estudio previo podamos supoer que la característica (variable aleatoria) que os iteresa sigue ua distribució de Poisso, X P(λ), co parámetro λ descoocido Técicas o paramétricas: la distribució de F sea descoocida (o sabemos casi ada o se tiee u coocimieto muy vago de ella) Dado cualquier experimeto aleatorio, sea X ua variable aleatoria que cuatifica los resultados del mismo y deotemos por F a su fució de distribució Se desea obteer iformació sobre F, para ello se realiza observacioes de la variable aleatoria X e la muestra formada por idividuos A los datos que obteemos los deotamos por x 1, x 2,, x Cada dato x i se puede cosiderar como ua realizació de ua variable aleatoria X i que se distribuye como X Así pues, los datos observados (x 1, x 2,, x ) se cosidera ua realizació de u vector aleatorio (X 1, X 2,, X ), cuyas compoetes tiee igual distribució que X Decimos que teemos variables aleatorias X 1,, X co igual distribució que la variable aleatoria X de partida, o equivaletemete que X 1,, X está idéticamete distribuidas (id) como X La muestra, es decir, esas variables X 1,, X os va a servir para obteer iformació sobre F E el caso e que las variables aleatorias además de idéticamete distribuidas sea idepedietes diremos que X 1,, X costituye ua muestra aleatoria simple de F (o de X) Lo resumimos formalmete e la siguiete defiició Defiició 51 Sea X ua variable aleatoria co fució de distribució F, y sea X 1, X 2,, X variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas (iid) como X A la colecció X 1, X 2,, X se le deomia muestra aleatoria simple de F (o de X) A se le deomia tamaño de la muestra Ejemplo 51 Se desea estudiar el tiempo de fucioamieto (e años) de u tipo de trasistores Para ello u igeiero seleccioa trasistores de ese tipo, los prueba durate cierto tiempo y aota los istates e que falla: x 1,,x Para tratar este problema podemos supoer que los tiempos de fallo observados, (x 1,,x ), so valores de variables aleatorias que tiee ua distribució expoecial de parámetro λ, X 1 Exp(λ),, X Exp(λ) Decimos etoces que estamos estudiado ua població: X Exp(λ), y que X 1,, X costituye ua muestra de esa població expoecial Si los datos se ha recogido de modo que podamos supoer además que X 1,, X so idepedietes, tedremos etoces ua muestra aleatoria simple Como las compoetes de la muestra aleatoria simple (mas) so idepedietes e idéticamete distribuidas se tedrá que P[X 1 x 1, X 2 x 2,, X x ] = P[X i x i ] = F(x i ) Si X es discreta co fució de probabilidad P, etoces la fució de probabilidad cojuta de la muestra P[X 1 = x 1, X 2 = x 2,, X = x ] viee dada por P[X 1 = x 1, X 2 = x 2,, X = x ] = 52 2 o Ig Iformática P[X i = x i ]

4 52 Estadísticos y mometos muestrales Si X es cotiua co fució de desidad f, etoces la fució de desidad cojuta de la muestra f(x 1, x 2,, x ) viee dada por f(x 1, x 2,, x ) = f(x i ) Las relacioes ateriores os permite cotestar a pregutas formuladas sobre la muestra Lo ilustramos e el siguiete ejemplo Ejemplo 52 E el cotexto del Ejemplo 51, supoemos que teemos ua mas y queremos calcular la probabilidad de que todos los trasistores seleccioados e la muestra fucioe meos de 2 años: P[ todos los trasistores seleccioados e la muestra fucioe meos de 2 años ] = = P[X 1 2,,X 2] = {idepedecia} = P[X 1 2] P[X 2] = = {idética distribució} = ( 1 e 2λ) 52 Estadísticos y mometos muestrales Puesto que toda la iformació sobre la població está coteida e la muestra (e las observacioes), os plateamos e primer lugar cómo resumirla adecuadamete, co el objeto de facilitar su iterpretació y reducir los datos Esto lo haremos a través del cocepto de estadístico Defiició 52 Dada X 1, X 2,, X ua ma de ua variable aleatoria X, ua fució de la muestra T(X 1, X 2,, X ), co T : R R, se deomia estadístico siempre que o sea fució de parámetros descoocidos Ejemplo 53 Sea X Be(p) co p descoocido Cosideramos ua muestra de esta població X 1, X 2,, X Sea: T 1 (X 1, X 2,, X ) = X i T 2 (X 1, X 2,, X ) = 1 X i = X, (media muestral) T 3 (X 1, X 2,, X ) = X p T 1 (X 1, X 2,, X ) y T 2 (X 1, X 2,, X ) so estadísticos E cambio, T 3 (X 1, X 2,, X ) o es u estadístico porque es tambié fució del parámetro p que es descoocido Pasamos a cosiderar alguos estadísticos importates Defiició 53 Dada ua muestra X 1, X 2,, X, se defie el mometo muestral de orde r, r 1, como m r = Xr i Si r = 1 se tiee la media muestral X = X i Estadística 53

5 Tema 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales Defiició 54 Dada ua muestra X 1, X 2,, X, se defie el mometo muestral cetrado de orde r, r 1, como m r = (X i X) r Si r = 2 se tiee la variaza muestral S 2 = (X i X) 2 (51) Proposició 51 La variaza muestral defiida e (51) puede expresarse como S 2 = X2 i X 2 Nótese que u estadístico T = T(X 1, X 2,, X ) es ua variable aleatoria por ser ua fució de variables aleatorias, y por tato tedrá ua distribució, esperaza y variaza 521 Media muestral Propiedades Teorema 51 Cosideremos ua població descrita por ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ 2 fiitas Sea X 1,,X ua mas de dicha població Etoces 1 E[ X] = µ 2 V ar[ X] = σ2 522 Variaza muestral Propiedades Teorema 52 Cosideremos ua població descrita por ua variable aleatoria X co media µ y variaza σ 2 fiitas Sea X 1,,X ua mas de dicha població Etoces ( ) 1 E[S 2 ] = σ 2 (52) Defiició 55 (Cuasivariaza muestral) S 2 c = (X i X) 2 1 De (52) y puesto que S 2 = ( 1)S 2 c, se tiee que E[S 2 c] = σ 2 (53) Ya idicamos que u estadístico T = T(X 1, X 2,, X ) es ua variable aleatoria y hemos calculado la media y variaza de alguos de ellos Otro aspecto importate a destacar es que al ser ua variable aleatoria tambié tedrá ua distribució A la distribució de T se le deomia distribució muestral de T o distribució e el muestreo de T Esta distribució depederá - de la expresió de T, y - de la distribució de las X i 54 2 o Ig Iformática

6 53 Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales Ya coocemos la distribució de alguos estadísticos: Si X 1, X 2,, X es ua mas de ua població de Beroulli, Be(p), etoces T(X 1, X 2,, X ) = X i B(, p) Si X 1, X 2,, X es ua mas de ua població de Poisso P(λ), etoces T(X 1, X 2,, X ) = X i P(λ) Si X 1, X 2,, X es ua mas de ua població ormal N(µ, σ 2 ), etoces T(X 1, X 2,, X ) = X i N(µ, σ 2 ) Por su importacia e Estadística dedicamos la siguiete secció al estudio de la distribució de alguos estadísticos cuado se tiee muestras de poblacioes ormales 53 Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 531 Distribució de la media y diferecia de medias Teorema 53 Sea X 1, X 2,, X ua mas procedete de ua població N(µ, σ 2 ) Etoces X = 1 X i N ) (µ, σ2 Teorema 54 Sea X 1, X 2,, X ua mas de tamaño procedete de ua població N(µ X, σx 2 ), e Y 1, Y 2,, Y m ua mas de tamaño m idepediete de la aterior y procedete de ua població N(µ Y, σy 2 ) Etoces ( ) X Ȳ N µ X µ Y, σ2 X + σ2 Y m Defiició 56 (Puto crítico de la distribució N(0, 1)) Sea α (0, 1), mediate z α represetaremos a aquel x R tal que z α = x / Φ(x) = α, dode Φ( ) deota a la fució de distribució de la N(0, 1) z α se deomia puto crítico a ivel α de la distribució N(0, 1) Además, como la distribució N(0, 1) es simétrica respecto del orige, se verifica que z α = z 1 α La fució de distribució de la N(0, 1) está tabulada Es fácil por tato calcular putos críticos Ejemplo 54 Los putos críticos a ivel α = 095, y α = 005 e la N(0, 1) so z 095 = 1645, z 005 = z 095 = 1645 Estadística 55

7 Tema 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales 532 Distribució chi-cuadrado Defiició 57 Sea Z 1, Z 2,, Z variables aleatorias iid segú ua distribució N(0, 1) Cosideremos la variable aleatoria V = Z Z Z 2 A la distribució de la variable aleatoria V se le deomia distribució chi-cuadrado co grados de libertad, lo que se represeta como V χ 2 Alguos gráficos de desidades chi-cuadrado: Observamos que sólo toma valores positivos y es asimétrica Teorema 55 (Propiedades de la distribució chi-cuadrado) Si V χ 2 etoces E[V ] = y V ar[v ] = 2 Si U χ 2 y V χ 2 m co U y V idepedietes, etoces U + V χ 2 +m Teorema 56 (Teorema de Fisher) Sea X 1, X 2,, X ua mas de tamaño procedete de ua població N(µ, σ 2 ) Etoces los estadísticos X y S 2 c so idepedietes y además ( 1)S 2 c σ 2 χ 2 1 Defiició 58 (Putos críticos de la distribució chi-cuadrado) Sea α (0, 1), mediate χ 2,α represetaremos a aquel x R tal que χ 2,α = x / P[χ 2 x] = α χ 2,α se deomia puto crítico a ivel α de la distribució χ 2 Ejemplo 55 Los putos críticos a ivel α = 010, y α = 090 e la distribució chi-cuadrado co 15 grados de libertad so χ 2 15,010 = , y χ2 15,090 = o Ig Iformática

8 53 Distribucioes e el muestreo de poblacioes ormales 533 Distribució t de Studet Defiició 59 Sea Z y V dos variables aleatorias idepedietes de modo que Z N(0, 1) y V χ 2 Sea T = Z V/ A la distribució de la variable aleatoria T se le deomia distribució t de Studet co grados de libertad, y se represeta T t Teorema 57 (Propiedades de la distribució t de Studet) La distribució t de Studet toma valores e todo R y es simétrica respecto de cero Por ser simétrica respecto del orige, se tiee que si T t etoces P[T x] = 1 P[T x] El gráfico de la fució de desidad de la t de Studet es similar a la de la N(0, 1), sólo que hay más área e las colas de la distribució E el siguiete gráfico se compara Sea X 1, X 2,, X ua mas de tamaño procedete de ua població N(µ, σ 2 ) Etoces X µ S c t 1 Defiició 510 (Putos críticos de la distribució t de Studet) Sea α (0, 1), mediate t,α represetaremos a aquel x R tal que t,α = x / P[t x] = α t,α se deomia puto crítico a ivel α de la distribució t Por la simetría respecto del orige se verifica que t,α = t,1 α Ejemplo 56 Los putos críticos a ivel α = 0975, y α = 0025 e la distribució t de Studet co 10 grados de libertad so t 10,0975 = , y t 10,0025 = t 10,0975 = Estadística 57

9 Tema 5 Itroducció a la Iferecia Estadística Muestreo e poblacioes ormales 534 Distribució F de Sedecor Defiició 511 Sea U y V dos variables aleatorias idepedietes de modo que U χ 2 y V χ 2 m Sea F = U/ V/m A la distribució de la variable aleatoria F se le deomia distribució F de Sedecor co y m grados de libertad, y se represeta F F,m : grados de libertad del umerador, m: grados de libertad del deomiador Ejemplo de gráfico de ua desidad F de Sedecor: Destacamos que sólo toma valores positivos y es asimétrica Teorema 58 (Propiedades de la F de Sedecor) Si F F,m etoces 1 F F m, Sea X 1, X 2,, X ua mas de tamaño procedete de ua població N(µ X, σx 2 ), e Y 1, Y 2,, Y m ua mas de tamaño m idepediete de la aterior y procedete de ua població N(µ Y, σy 2 ) Etoces dode S 2 c,x = 1 1 σy 2 Sc,X 2 σx 2 Sc,Y 2 (X i X) 2 y Sc,Y 2 1 m 1 F 1,m 1, m (Y j Ȳ )2 Defiició 512 (Putos críticos de la distribució F de Sedecor) Sea α (0, 1), mediate F,m,α represetaremos a aquel x R tal que j=1 F,m,α = x / P(F,m x) = α F,m,α se deomia puto crítico a ivel α de la distribució F de Sedecor co y m grados de libertad 1 Se verifica que F,m,α = F m,,1 α 58 2 o Ig Iformática

10 54 Otros resultados Ejemplo 57 Los putos críticos a ivel α = 090 y 010 para ua distribució F de Sedecor co = 5 y m = 12 grados de libertad so F 5,12,090 = F 5,12,010 = 1 F 12,5,090 = = Otros resultados Teorema 59 (Teorema Cetral del Límite) Cosideremos ua població descrita por ua va X co media µ = E[X] y variaza σ 2 = V ar[x], ambas fiitas Sea X 1,,X ua mas de dicha població Si el tamaño muestral ( ) es elevado, etoces podemos aproximar la distribució de X por ua distribució ormal N µ, σ2 Como ua aplicació importate del resultado aterior podemos citar la siguiete Corolario 51 Dada X 1,,X ua mas de ua població de Beroulli, X Be(p) Si el tamaño de la muestra ( es elevado, ) etoces podemos aproximar la distribució de X por la de ua distribució ormal N p, p(1 p), pues e ua població de Beroulli, X Be(p), se tiee que E[X] = p, y V ar[x] = p(1 p) E este caso particular X se suele deotar por ˆp : proporció de éxitos observados e la muestra, y podríamos expresar este resultado como ( ) p(1 p) ˆp N p, Estadística 59