Notas de clase 2 Distribucion normal y teorema del limite central

Transcripción

1 Notas de clase Distribucio ormal y teorema del limite cetral Willie Heradez 05-I Motivació: La distribució ormal es, como mucho, la más importate de todas las distribucioes de probabilidad. Es ua distribució de variable cotíua, co campo de variació (, ). Fue descubierta por Gauss al estudiar la distribució de los errores e las observacioes astroómicas. Importacia Historia: U gra úmero de feómeos reles se puede modelizar co esta distribució. Muchas de las distribucioes de uso frecuete tiede a aproximarse a la distribució bajo ciertas codicioes. E virtud del teorema del límite cetral, todas aquellas variables que puede cosiderarse causadas por u gra úmero de efectos tiede a distribuirse ormal. Nos ecotramos midiedo la distacia a u astro, evidetemete cada distacia observada o ha de ser igual a la aterior tomada pues siempre se comete errores de medició. Teóricamete u error puede ser ta grade que la distacia observada sea más ifiito, y tambié teóricamete, meos ifiito. Cuatas más observacioes realizamos, los diversos itervalos, e cojuto, va tomado cierta desidad. Otros ejemplos: Calificacioes etrada de exame UNAL. Estatura de persoas detro del saló (Distribucio ormal de desidad) Probabilidad

2 ( f(x) = p exp X d! N(µ, ) ) x µ ; x R. µ =Meidicaelcetrodelacurvadeladistribucióomedia. =Meidicaladistaciaetreµ ylosputosdeiflexió. Tarea:. Demostrar la simetría f(µ + a) =f(µ a). Demostrar que la media es el puto más alto de la fució de desidad. (Distribució ormal estádar) Si X! d N(0, ), etoces se dice que X tiee distribució ormal estádar. La fució de desidad y la fució acumulativa de esta variable aleatoria se deota por ( ) y ( ) respectivamete. f(z) = p exp z ; z R Tarea:. Demostrar que la fució es simétrica co respecto al cero.. Estudiar la tabla. Clase: Apreder a usar la tabla de distribució. Cómo pasar de ua ormal a ua ormal estádar? Z = X µ Ejemplo: Sea X! d N(, 4). Calcular.. P (0 x<). P (x > 4) µ =y =3

3 . P (0 x<) = P ( <X<0) = (0) ( 0,5) =0,5 0,30854 =0,946. P (x > 4) = P ( X ) = P ( X ) 3 = P x = [ (0,5) (,5)] =0,37535 Ejemplo: Sea X! d N(, 4). Ecotrar el valor de c para el cual P (X >c)=0, x P (X >c)=p > c x = P c = P Z c 4 c = 4 Esto es, c =0,9 4 Ymiradolatabla, c =,85! c =4,57 Teorema. Sea X d! N(µ, ). Etoces. E[X] =µ. V ar[x] = 3

4 h i 3. m x (t) =exp µt + t Objetivo: Vamos a probar 3. ydeahísacamos. y. m x (t) = p Z exp tx (x µ) dx = p Z (x µ t) exp + µt + = p exp µt + = exp µt + t t Z t (x (µ + t)) exp dx Tarea:. y3. Apédice A. El truco está e sumar y restar µt + t dx! Apédice A tx (x µ) = tx (x µ) µt t + µt + t = tx (x µ) µt 4 t + µt + t = tx x µ +xµ tµ t 4 + µt + = (x µ t) + µt + t t 4

5 Distribució ormal e estadística Primera actividad Boo e clase Distribució ormal: E la vida real cuado teemos variables de tipo razó o itervalar y hacemos u histograma los datos, osotros podemos aceptar que e la medida que recolectamos más datos, el histograma tedrá a parecerse a la distribució ormal. Nota: e estadística osotros tambié podemos ormalizar los datos co el ofrecido de teer ua oció de distacia. Hagamos u ejemplo: Exame de etrada de la acioal: Observemos las siguietes persoas µ =500 =00 X Z = X µ 403 0,97 Malo 508 0,008 Media ,346 Aceptable 4 770,7 Bueo Excelete OJO: Muchas veces o coocemos el cotexto de ua situació y o podemos decir por ejemplo que algo es malo relativamete al grupo e el que está. Por ejemplo, los amigos arquitectura el profesor Willie fuma arto tal vez las persoas por fuera los ve muy mal pero por detro del grupo la oció del mucho o poco cambia bastate. Observemos: µ =0, =6 Persoas X Z Julia 6 Normal Adriaa 0 0 Media Hery 4,33 Ok, es bastate Pamela 9 3,6 Fuma demasiado 5

6 Otro ejemplo: (Notas co el profesor Pecha) µ =,3, =0,4 Persoas X Z Erique, 0,5 Le fue mal pero tiee futuro Adriaa,6 0,75 Ecima de la media pero aú ormalito Adrés,9,5 Perdió el exame pero es u mostruo al Superar a muchos Objetivo: Vamos a ver que cuado se cumple uos supuestos todas las distribucioes de datos se va a covertir e ua ormal estádar. Teorema del límite cetral: Sea X,,X variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas (i.i.d.) y cumple E[X i ]=µ,8i V ar[x i ]=, 8i La variable aleatoria, S = X + X X Z = S µ!! N(0, ) Objetivo: Vamos a mostrar que la fució geeradora de mometos de ua v.a. que cumple estos supuestos tederá a la fució geeradora de mometos de la ormal estádar. 6

7 Demostració: P m x (t) =E e tx Xi µ = E exp t = E exp t X µ p exp t X µ Por ser idepedietes, = E exp t X µ p E exp Ideticamete distribuídas, = E exp t X µ Se geera ua ueva variable aleatoria, Y i = X i Y = X E exp t X µ t p = m Y V ar[y ]=V ar[x µ] =V ar[x] = Hagamos ua expasió de Taylor de m Y ( ) exp t X µ t X µ E[Y ]=E[X] µ = µ µ =0 m Y (a) =m Y (0) + m 0 Y (0)a + m00 Y (0)a Recordemos que m Y (0) = E[exp ] 0 y] =E[] = m 0 Y (0) = E[Y ]=0 m 00 Y (0) = E[Y ]=V ar(y )+E[Y ] = +0 = Etoces a m Y (a) =+ ; a = p t Por tato, " # " tp tp m Y = + = + e x = lím + x x! t # 7

8 yasí, t m Y p = e t lím!, la cual es fució geeradora de ua ormal estádar. Ejercicio: U elevador de carga grade puede trasportar u máximo de 000 libras. Supógase que ua carga, que cotiee cajas, se debe trasportar mediate el elevador. La experiecia ha demostrado que el peso X de ua caja de este tipo de cara se ajusta co ua distribució ormal co µ =00librasy =55.Calcularlaprobabilidaddeque las cajas se pueda trasportar simultáeamete. P Objetivo: P X i i= Qué sabemos? Z = S µ! N(0, = Etoces, P X i= 0! P X i ()(00) X i 0000 = P B 55 p 000 ()(00) 55 p C A 0 P X i 9000 = P B 55 p,7c A = P (Z,7) = (,7) =0,

9 Casa(Tarea) Sufrirá haciédolo pero seguro etederá más allá el teorema del límite cetral. Muchos isumos de producció, como el mieral de hierro, el carbó y el azucar si refiar, se muestrea para determiar su calidad por u método que emplea la toma periódica de muchas pequeñas muestras cuado el material se mueve sobre ua bada trasportadora. Posteriormete las muestras pequeñas se juta y mezcla para formar ua muestra compuesta. Sea Y i el volume de la i-ésima muestra pequeña de u lote particular y supógase que Y,...,Y es ua muestra aleatoria, e dode cada Y i tiee media µ yvariaza.elvolumepromediodelasmuestras,µ, sepuede regular ajustado el tamaño del equipo que se utiliza para el muestreo. Supógase que la variaza de los volúmees es aproximadamete =4.Serequierequeelvolume total de la muestra exceda las 00 pulgadas cúbicas co probabilidad 0,95 cuado se seleccioa =50 muestras. Determiar el ajuste de µ que permitirá satisfacer los requerimietos del muestreo. 9