Mg. Ing. Susana Vanlesberg Profesor Titular

Transcripción

1 Uiversidad Nacioal del Litoral Facultad de Igeiería y Ciecias Hídricas ESTADÍSTICA Igeierías: Recursos Hídricos-Ambietal-Agrimesura- Iformática Mg. Ig. Susaa Valesberg Profesor Titular

2 MODELOS PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

3 INTRODUCCIÓN La resolució de situacioes reales lleva a la aplicació de la teoría de probabilidad, se observa que preseta ua regularidad e el plateo. Esto ha llevado a platear ua serie de modelos que permite resolverlas. Estos modelos se deomia modelos probabilísticos. Los igeieros debe realizar supuestos respecto del problema a resolver, esto los lleva a descripcioes aálogas y a formas matemáticamete similares a las de los modelos probabilísticos.

4 Se presetará los modelos más usados para fies prácticos, para variables aleatorias discretas. E cada caso se brida alguas ocioes de los mecaismos por los cuales se ha origiado cada uo. Esto es de gra importacia para u igeiero, ya que la eistecia de tales mecaismos puede describir ua situació física de iterés, y ésta es ua razó más importate que quizás la buea aproimació matemática de algú modelo a la situació plateada.

5 Modelo Beroulli Modelo Biomial Modelo Geométrico Modelo Poisso Modelo Hipergeométrico

6 Para cada modelo se va a determiar la fució que permite calcular probabilidades y sus características más importates (esperaza y variaza)

7 Situacioes a resolver: 1- Estudios de medio ambiete realizados e la ciudad ha evaluado que e el 30% de los hogares se separa los residuos orgáicos de los del resto. La Direcció de Limpieza de la Muicipalidad seleccioa u barrio al azar, detro de ese barrio ua mazaa y, e la mazaa, elige 10 hogares e forma aleatoria.

8 a) E base a estos datos relevados, a la Muicipalidad le iteresa saber la probabilidad de que se separe los residuos e la mitad de los hogares de la ciudad. b) U aálisis más miucioso estableció que, de ese 30% que hace la separació, u 1% o lo realizaba de maera correcta. Si se obtiee ua muestra de 500 hogares e toda la ciudad, iteresa a la muicipalidad determiar la probabilidad de que e por lo meos 5 hogares haya realizado mal la separació.

9 2-Se cueta co registros de catidad de días co lluvia superior a 150mm e ua determiada estació meteorológica. Se sospecha que etre los registros hay valores que so erróeos. El técico que realiza las observacioes dice que e geeral el 80% so correctos. Se aaliza la població de 100 valores.

10 Se seleccioó ua muestra aleatoria si reemplazo de 6 valores. A partir de esta iformació se quiere saber que probabilidad hay de que etre los registros seleccioados haya al meos uo equivocado.

11 Modelo Beroulli Los resultados de los eperimetos puede separarse e dos categorías mutuamete ecluyetes: éito o fracaso; por ejemplo se mide y hay equivocació o se mide y o hay error, o llueve o o llueve etc. Se puede defiir la variable aleatoria de tipo Beroulli y asigarle valores (arbitrarios pero muy prácticos) a los evetos ates mecioados:

12 =0 =1 fracaso éito f()= p, 1 p, 1 0 Esta fució deberá cumplir co las codicioes de ua fució de probabilidad

13 Características E() = i i f( i )= 0.(1- p)+1.p= p V()= _ i ( i - E() ) 2 f( i )= = (0 - p ) 2 p)+(1- (1- p ) 2.p = Var= p(1- p)

14 Modelo Biomial Si se realiza ua serie de pruebas de tipo Beroulli cuyos resultados sea idepedietes, co probabilidad de éito ivariable e todas las pruebas se origia u uevo modelo deomiado BINOMIAL.

15 La epresió de la fució surge de cosiderar todas las combiacioes posibles de éitos e pruebas co probabilidad del suceso e estudio igual a p

16 Para geeralizar se cosidera el caso de 3 pruebas: =3

17 - Nigú éito: 0 ; 0 ; 0 ; (1 - p ) 3 - U éito : 1 ; 0 ; 0 ; ó 0 ; 1 ; 0 ; ó 0 ; 0 ; 1 cada secuecia es u eveto ecluyete su probabilidad es p ( 1 - p ) 2 ; luego: 3 p ( 1 - p ) 2 - Dos éitos : 1 ; 1 ; 0 ; ó 1 ; 0 ; 1 ; ó 0 ; 1 ; 1 ; uevamete cada secuecia es u eveto ecluyete de los restates p 2 ( 1 - p ) luego 3 p 2 ( 1 - p ) - Tres éitos: 1 ; 1; 1; p ; p ; p p 3

18 geeralizado P(X = )= p (1- p ) - coeficiete biomial =!!( - )!

19 La fució de distribució: F() = P(X )= i f( i )

20 Características E(X)= i =0 i f( i )=! = 0. 0!(-0)! p 0 q +1.! 1!( -1)! p 1 q !!( - )! p q 0 = = p(p+q ) -1 E()= p

21 Var(X)= E[X - E(X) ] 2 = E( X 2 ) - E 2 (X) E( X 2 )= =0 i i p i q - i 2 i = ya que el primer termio es cero, la suma se tomadesde1

22 = p =1 i ( -1)! i! ( - i )! p -1 i q - i 2 i = p =1 i ( -1)! i ( i - 1)! ( - i )! p -1 i q - i 2 i haciedo i = j +1, para i = 1, j = 0, i =, j = -1 i!=( i -1)! i = j!( j +1) p -1 =0 j ( -1)! ( j )!( j +1)( - j -1)! p j q -1- j ( j +1)= p -1 =1 j -1 p j j q -1- j j + -1 =0 j -1 j p q j -1- j

23 El 2do termio de la suma es 1; se aaliza el 1º, ya -1 ( -1)! j ( - 2)!( -1) j que j = = j j!( -1- j )! ( j -1)! j( - 2 -( j -1))! sacado factor comu( - 1)p, se cosigue -1 =1 j - 2 p j -1-1 haciedo j = k +1, k varia de0 a - 2 co lo cual j q -1- j -2 =0 k - 2 p k k q -2- k = 1 E( X 2 ] = p[(-1)p+1] = p - p + p

24 Var(X)= 2 p 2 - p 2 + p - 2 p 2 = p(1- p) Var(X)= pq

25 Estos mismos resultados se podría haber obteido de forma mucho más secilla por cosiderar a la variable aleatoria X como la suma de variables idepedietes idéticamete distribuidas como Beroulli, co esperaza p y variaza p q

26 Modelo Geométrico Pruebas repetidas, idepedietes, co dos posibles resultados: ocurrecia o o del eveto e estudio, co probabilidad favorable p = costate. Se deriva el modelo correspodiete a la variable N: úmero de pruebas hasta que ocurre el primer éito. Este primer éito se produce sí y sólo sí e las pruebas ateriores o ocurrió. Esto ocurre co probabilidad igual a (1 - p)

27 P (N = )= f()= (1- p ) -1 p co = 1,2,3... F ()= j=1 p(j)= j=1 (1- p ) j-1 p = (1- p ) -1 = p = 1-(1- (1- p)- 1 p ) (1- p ) -1 desarrollo (1- p)- 1 de la suma de ua progresió geométrica

28 Esto mismo se podría haber obteido al cosiderar la probabilidad de que N simplemete como la probabilidad que eista al meos ua ocurrecia e pruebas: P (N P(N < 1)=1-1)=1- P(o haya ocurrecias e pruebas)= = 1-(1- p )

29

30 Características E (N)= =1 p (1- p ) -1 = p =1 (1- p ) -1 1 E (N)= p 2 p = 1 p

31 Este resultado sigifica que el úmero promedio de pruebas hasta que ocurre el primer éito es la iversa de la probabilidad p de ocurrecia del eveto. Esto se asocia al cocepto de período de retoro, sumamete utilizado e igeiería.

32 Var(N)= E ( N 2 ) - E 2 (N)= =1 2 p (1- p ) -1-1 p 2 = = 1 (1+q-1) p 2 1- p Var(N) = 2 p

33 El térmio período de retoro es muchas veces mal iterpretado. Si se dice que es 100 se cree que pasará 100 años etre ocurrecias de valores de ua variable de iterés y superiores a u valor crítico; pero esto o es así, ya que la probabilidad de que se produzca u valor mayor al crítico permaece ivariable para cualquier año, idepedietemete de lo que ocurrió e años ateriores. Es el valor e promedio!!

34 Modelo Poisso Si (úmero de pruebas) se icremeta y p (probabilidad del eveto e estudio) se hace pequeña, pero el úmero promedio de evetos e el itervalo de aálisis permaece costate e igual a p. el modelo Biomial da lugar al modelo de Poisso. Cosiderado la fució de probabilidad del modelo Biomial pasado al límite sus codicioes: p 0 y y λ =. p

35 1 1 )! (! 1! 1 )!!(! ) ( f p p! e f()= P (X = )= -

36 Características E(X)= =0 e -! = = - -1 e E(X)= 1 (- 1)! = e (- 1)! = 1

37 Var(X)= E( X 2 ) - E 2 (X) E( X 2 )= =0 2 e -! = =0 2-1 e (-1)! - = Var(X)=

38 Geeralmete este modelo se vicula a aquellos evetos que ocurre e ua uidad de tiempo, luego el período de tiempo e el que se realiza el aálisis costituye ua secuecia de pruebas idepedietes cada ua co distribució Biomial. Si se tomara para el aálisis u itervalo de tiempo igual al doble o al triple del iicial el parámetro es tambié igual al doble, al triple, etc., marcado esto la depedecia del tiempo de este modelo y por ello viculado a los procesos estocásticos. Se etiede por procesos estocásticos a aquellos e los que iteresa la secuecia, e el tiempo, de ocurrecia de evetos.

39 U feómeo para ser clasificado como proceso de Poisso debe cumplir co las siguietes codicioes: a- Estacioariedad: esto sigifica que la probabilidad de que ocurra u eveto dado e u itervalo de tiempo muy pequeño Δt, es proporcioal a ese tiempo e igual a λδt. b- No multiplicidad: esto es que la probabilidad de que ocurra dos o más evetos e u itervalo de tiempo Δt es despreciable comparado co λδt. c- Idepedecia: el úmero de evetos e algú itervalo de tiempo es idepediete del úmero de evetos e algú otro itervalo de tiempo.

40 Modelo Hipergeométrico Este modelo surge cuado se realiza u muestreo si reposició de ua població fiita co sus elemetos clasificados e dos categorías. Si N es el total de elemetos de los cuales hay k de ua categoría y N-k de otra, al realizar ua etracció de elemetos, si reposició, cada etracció que se realice posteriormete es depediete del resultado de la etracció aterior co lo cual va cambiado la probabilidad de éito.

41 P (X = )= f()= k N - k N -

42 Características Para obteer las características es posible decir que la variable aleatoria X es la suma de variables i como e el caso Biomial, pero co la diferecia que aquí las i so depedietes. Como para sumar las esperazas o se ecesita que las variables aleatorias sea idepedietes etoces:

43 E(X) = E( 1 )+ E( 2 )+...+E( ) Cada E (i) es la probabilidad de e la i ésima prueba: k/n, si o se sabe que ha ocurrido e pruebas ateriores o posteriores: E(X)= k N

44 La variaza e cambio o es aditiva para variables depedietes. Pero se obtiee la siguiete epresió: Var(X) = * p* q* N - N -1 (N-/ N-1) es el factor de correcció por muestreo si reposició.

45 Resolució de las Situacioes a resolver: Estudios de medio ambiete realizados e la ciudad ha evaluado que e el 30% de los hogares se separa los residuos orgáicos del resto. La Direcció de Limpieza de la Muicipalidad seleccioa u barrio al azar, detro del barrio ua mazaa y, e la misma, elige 10 hogares e forma aleatoria.

46 a) E base a estos datos, la Muicipalidad quiere saber la probabilidad de que se separe los residuos e la mitad de los hogares de la ciudad. b) U aálisis más miucioso estableció que, de ese 30%, u 1% o realizaba ua separació correcta. Si se obtiee ua muestra de 500 hogares e toda la ciudad, Cuál es la probabilidad de que e por lo meos 5 haya realizado mal la separació?

47 E primer lugar, debemos defiir de qué variable se trata, cómo está defiida, y cuál es la distribució de probabilidades que se ajusta al plateo del problema. Se trata de ua variable discreta (las cuales está asociadas a problemas de coteo: X = {Catidad de hogares dode se realiza la separació de residuos}

48 El eperimeto es de tipo Beroulli: tiee solamete dos resultados posibles: Se separa los residuos. No se separa los residuos. Al repetir el eperimeto veces, se obtiee la DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60 2- Resolvemos co el modelo Hipergeométrico ya que teemos dos clases de registros: los erróeos y los o erróeos. Se hace u muestreo si reposició de ua població fiita:

61 ) ( 1 1) ( 1 1) ( X P X P X P K N K N