Distribución Multinomial

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1 Uiversidad de Chile. Rodrigo Assar Facultad de Ciecias Físicas y Matemáticas M A34B 3 Adrés Iturriaga Departameto de Igeiería Matemática. Víctor Riquelme Distribució Multiomial Resume E el presete artículo se preseta ua itroducció a la distribució multiomial. Se trata la distribució de u vector aleatorio de frecuecias, la relacio etre la dist. multiomial y la dist. biomial, esperaza, variaza y ejemplos. 1. Itroducció Cosidere ua població co artículos perteecietes a k categorias distitas. Supogase que se extrae u artículo de dicha població, y se quiere ver de que tipo es. Podemos modelar lo aterior por ua variable aleatoria X, que idica a que categoría perteece el artículo. Llamemos y 1,..., y k a las distitas categorias. Etoces X toma valores e el cojuto {y 1,..., y k }, y deimos las probabilidades p i P (X y i ). Es claro que k i1 p i 1. Supogase ahora que se toma ua MAS de tamaño co reposició (o si el tamaño de la població es grade da lo mismo). Deamos el vector aleatorio N (N 1,..., N k ) que idica e cada compoete i ésima la frecuecia de ocurrecia del tipo y i e la MAS. Etoces la distribucio de N es ua multiomial de parametros y p (p 1,..., p k ): ( ) P (N 1 1,..., N k k ) p 1 1 k 1 P 1,..., { k k i1 i} ( 1,..., k ) ( ) co 1,..., k 1! 2!... k! 1

2 2 DE DONDE VIENE? 2 2. De dode viee? La deducció tiee dos patas: La parte de las probabilidades El coeciete que acompaña, asociado a ( 1,..., k ), que llamaremos α (1,..., k ). Primero, la parte de las probabilidades es relativamete facil. Es covecerse que la probabilidad de obteer ua coguració de 1 objetos de tipo y 1, 2 objetos de tipo y 2,..., k objetos de tipo y k (si o importara el orde e que sale co respecto al total) es p 1 1 k. La seguda parte tiee que ver co la catidad de las coguracioes ateriores posibles. Para ello, deamos: α 1 {umero de formas de elegir 1 art. de tipo y 1 etre los dispoibles} ( 1 )! 1! α 2 {umero de formas de elegir 2 art. de tipo y 2 etre los 1 restates dispoibles} ( 1 )! ( 1 2 )! 2!. α k 1 {umero de formas de elegir k 1 art. de tipo y k 1 etre los 1... k 2 restates dispoibles} ( 1... k 2 )! ( 1... k 2 k 1 )! k 1! α k {umero de formas de elegir k art. de tipo y k etre los 1... k 2 k 1 k dispoibles} 1 ( 1... k 1 )! ( 1... k 1 k )! k! Es relativamete facil covecerse de que α (1,..., k ) α 1... α k, y desarrollado u poco la expresio de la derecha se obtiee el coeciete multiomial.

3 3 RELACIONES ENTRE MULTINOMIAL Y BINOMIAL 3 3. Relacioes etre Multiomial y Biomial Para el caso e que k 2, uo se puede covecer que la distribució multiomial coicide co la biomial: iterpretado que si o se está e la categoría y 1, se está fuera de la categoría y 1. Como p 1 + p 2 1, q p 2 1 p 1 y deimos p p 1. De igual forma, 2 1. Reemplazado e la distribució multiomial los valores ateriores, se obtiee que P (N 1 1, N 2 2 ) P (N 1 1 ), dode N 1 se distribuye como ua biomial de parámetros y p p 1. Para el caso e que se tiee k categorías os iteresará la distribució margial de N i. Primero, si seguimos el razoamieto aterior, el hecho que o se seleccioe u elemeto de la categoría y i sigica que se seleccioa u elemeto de el resto de categorías. Esto se hace co probabilidad 1 p i, por lo que la distribució margial de N i debiera ser ua biomial de parámetros y p i. Hacedo el cálculo: P (N i i ) { 1,..., k }\{ i } P kj1 i { 1,..., k }\{ i } P j i j i p i i P (N 1 1,..., N i i,..., N k k ) ( { 1,..., k }\{ i } P j i j i ( i )! i! p i i 1,..., k ) p p i 1 i 1 p i i p i+1 i+1 k 1!... i 1! i! i+1!... k! p p i 1 i 1 p i+1 i+1 k { 1,..., k }\{ i } P j i j i ( i )! i! p i i (p p i 1 + p i p k ) i ( i )! i! p i i (1 p i ) i ( ) p i i (1 p i ) i i ( i )! 1!... i 1! i+1!... k! p p i 1 i 1 p i+1 i+1 k de la fórmula multiomial Observacio: Como se dijo, la iterpretacio es como si hubiera dos clases (categorias): x 1 y i, y x 2 j i y j. Etoces (M 1, M 2 ) (N i, j i N j) es u vector de frecuecias para las categorías x 1 y x 2, y la distribució del vector es Multiomial de parametros y q 1 p i,

4 4 ESPERANZA, VARIANZA, COVARIANZA 4 q 2 j i p j. La distribució margial de M 2 es ua biomial de parámetros y q Esperaza, Variaza, Covariaza Como se dijo ateriormete, la distribucio de N i es Biom(, p i ). Por lo tato, se tiee que E(N i ) p i Var(N i ) p i (1 p i ) Como ya se vio, N i + N j Biom(, p i + p j ), por lo que Var(N i + N j ) Var(N i ) + Var(N j ) + 2Cov(N i, N j ) (p i + p j )(1 p i p j ) p i (1 p i ) + p j (1 p j ) + 2Cov(N i, N j ) Cov(N i, N j ) p i p j 5. Ejemplo secillo Supogase que el 23 % de las persoas que asiste a cierto partido de baseball vive a meos de 10 millas del estadio, el 59 % de ellas vive a etre 10 y 50 millas del estadio, y el 18 % vive a mas de 50 millas. Se seleccioa al azar 20 persoas etre los asistetes al partido (que so miles). Calcular la probabilidad de que siete de los seleccioados viva a meos de 10 millas, ocho viva etre 10 y 50 millas, y cico viva a mas de 50 millas del estadio. Solució Comezamos por ideticar todos los elemetos del problema: 20 (úmero de persoas seleccioadas), k 3 (catidad de grupos de clasicació de las persoas); y 1 {Persoas que vive a meos de 10 millas del estadio}, y 2 {Persoas que vive a etre 10 y 50 millas del estadio}, y 3 {Persoas que vive a más de 50 millas del estadio}; p 1 0,23, p 2 0,59, p 3 0,18 Deiedo (N 1, N 2, N 3 ) el vector correspodiete a las frecuecias, se pide calcular ( ) 20 P (N 1 7, N 2 8, N 3 5) 0,23 7 0,59 8 0,18 5 7, 8, 5 20! 7!8!5! 0,237 0,59 8 0,18 5 0,0094

5 6 PROBLEMAS 5 6. Problemas 6.1. Problema 1 (a) Supoga que las variables aleatorias (X 1,..., X k ) so idepedietes y que X i Poisso(λ i ) i {1,..., k}. Demuestre que para todo N la distribució del vector aleatorio (X 1,..., X k ) codicioal a que k i1 X i es ua multiomial de parametros y p (p 1,..., p k ), co λ i p i k j1 λ j (b) A ua heladeria llega clietes de tres tipos distitos: ormal, golozo y premium, y el úmero de clietes de cada tipo (que llega e ua hora) so Poisso co tasa λ 100, λ g 50 y λ p 20. Si se sabe que el úmero total de clietes que llegó e ua hora es de 500 persoas, calcular la probabilidad de que haya llegado más de 200 clietes premium Problema 2 Se laza cico dados equilibrados. Cual es la probabilidad de que el úmero 1 y el úmero 4 aparezca el mismo úmero de veces? 6.3. Problema 3 (a) Supogase que el 16 % de los estudiates de u colegio so alumos de primero medio, el 14 % de segudo, el 38 % de tercero, y el 32 % de cuarto. Si se seleccioa al azar 15 estudiates, cual es la probabilidad de que al meos 8 estudiates sea de primero o segudo? (b) Sea X 3 el úmero de estudiates de tercero y X 4 el úmero de estudiates de cuarto. Calcule el úmero esperado de alumos de cada curso (e la muestra), y la esperaza y variaza de X 3 X 4

6 REFERENCIAS 6 Referecias [Degroot,1988] Degroot, M.; Probabilidad y Estadística, Seguda Edició ; Addiso-Wesley Iberoamericaa, S.A.; p.p ; 1988.