TEMA 3: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

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1 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. 3.. Cocetos Geerales Distribucioes bidimesioales de frecuecias Tablas de correlació y cotigecia Distribucioes margiales y codicioadas Mometos e distribucioes bidimesioales: Mometos resecto al orige (o cetrados) Mometos resecto a la media (cetrados): La covariaza Ideedecia estadística: Cocetos Geerales. Hasta ahora hemos estudiado sobre cada observació de las que forma la muestra el valor que reseta u determiado carácter. E este tema estudiaremos sobre cada observació dos caracteres (or eemlo: eso y altura, edad y salario,...). Estos dos caracteres tedrá uas variables asociadas que deotaremos or X e Y. cada variable tomara uos valores x, x 2,...,x (la variable X) y y, y 2,..., y (la variable Y). A la variable (X,Y) la llamaremos variable estadística bidimesioal y sus valores será los ares de valores (x i, y ). Los razoamietos que resetaremos ara dos variables (estadística bidimesioal) so extraolables e mayor o meor medida ara variables (estadística -dimesioal). Reresetació umérica. La tabla estadística más secilla ara reresetar ua variable bidimesioal cosiste e colocar e dos columas los ares de valores segú se ha ido observado. U mismo subídice afecta a ambos elemetos del ar y os idica que observació os ha roorcioado dicho ar de valores (x i, y i ), el último subídice, es igual al úmero de observacioes: EJEMPLO : LA SUPERFICIE E HECTAREAS(X) Y PRODUCCIO E Qm.(Y) DE 5 FICAS: FICA SUP.Ha.(X) PRODUC. Qm(Y) Distribucioes bidimesioales de frecuecias Tablas de correlació y cotigecia. E esta reresetació los distitos valores de la variable X los otamos x i i=, 2,..., y los distitos valores de la variable Y los otamos y i i=, 2,...,. A cada observació le corresode u ar de valores (x i, y ). Al umero de observacioes que ha resetado el valor x i de X e y de Y se le deomia frecuecia absoluta del ar (x i, y ) y se ota como i. DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA -8

2 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. otaremos co f i a la frecuecia relativa de dicho ar: i f i = Dode es el úmero de observacioes: i i= = = OTA: (iterretació del doble sumatorio) i= = + 2 i = ( i ) = i= = = = = = Es fácil comrobar que: = i= = i = = i= Se deomia distribució bidimesioal de frecuecias al couto de valores (( x i, y ), i ) dode i=,2,..., y =,2,...,. Esta distribució bidimesioal se rereseta adecuadamete mediate ua tabla de doble etrada llamada tabla de correlació: i X/Y y y 2 y 3... y x x x EJEMPLO 2: DISTRIBUCIO SEGÚ SALARIOS (Y, E EUROS) Y EDADES(X) DE U GRUPO DE 00 JOVEES. X/Y SUMA FILA * SUMA COL * CUADO ALGUA DE LAS VARIABLES ESTA AGRUPADAS E ITERVALOS SE TOMA COMO VALOR x i O y LA MARCA DE CLASE. 42 = 3 SIGIFICA QUE 3 DE LOS CIE JOVEES TIEE 23 AÑOS Y U SALARIO ETRE 00 Y 50 EUROS. DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 2-8

3 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. Si las variables obeto de estudio fuera cualitativas, la tabla se deomiaría tabla de cotigecia. Si llamamos:. = Σ i co fio, dicho valor se corresode co la suma de las frecuecias absolutas de la columa de uestra tabla. Si llamamos: i. = Σ i co i fio, dicho valor se corresode co la suma de las frecuecias absolutas de la fila i de uestra tabla. El úmero total de observacioes tambié uede obteerse como: = i = i. = i= = i= = E uestro eemlo 2 los i. y los. so los datos que aarece e la última columa y fila resectivamete Distribucioes margiales y codicioadas.. Distribucioes margiales. De estas tablas de doble etrada (de correlació o cotigecia), es osible extraer la iformació corresodiete a cada ua de las variables (ideedietemete de la otra), osibilidad relevate ya que su aálisis como variable uidimesioal uede ser de utilidad. A las distribucioes uidimesioales extraídas de ua variable bidimesioal se les deomia distribucioes margiales. Éste ombre deriva del hecho de que las frecuecias de la distribució margial se obtiee sumado e el marge de la derecha o iferior de la tabla de correlació las corresodietes frecuecias bidimesioales. Dada ua tabla de correlació de ua variable bidimesioal (X, Y) las distribucioes margiales ara X e Y será: Distrib. Margial rimera Distrib. Margial seguda X i. f i. Y.. f. x. f. y. f. x 2 2. f 2. y 2. 2 f x. f. y. f. SUMAS Dode: i... f i. = = Σ f i CO i FIJO f. = = Σ f i CO FIJO E uestro eemlo 2 las distribucioes margiales seria: La distribució margial rimera: X i SUMA COL. 00 DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 3-8

4 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. La distribució margial seguda: Y SUMA COL. 00 ota: a las medidas (media, variaza,...) calculadas sobre la distribució margial se les añade el calificativo de margial (media margial, variaza margial,...). Distribucioes Codicioadas. Las distribucioes codicioadas exresa como se distribuye, segú ua de las dos variables, el couto de observacioes que cumle ua codició. Esta codició viee exresada or u valor o couto de valores que reseta la otra variable. Es decir, la distribució codicioada de X cuado y toma el valor y c o el couto de valores y r O la distribució codicioada de Y cuado x toma el valor x c o el couto de valores x r Utilizado uestro eemlo 2, ua distribució codicioada, seria la distribució segú salarios (variable Y) codicioada a que la edad (variable X) sea 2 años, (x 2 = 2). Es decir la distribució de la variable y codicioada a que la variable X tome el valor 2 (Y x= 2 ). y x= 2 / Se uede observar que cada ua de las filas de frecuecias de la tabla de correlació defie ua distribució codicioada ara la variable y, salvo la última que defie su distribució margial. Aálogamete cada ua de las columas de frecuecias de la tabla de correlació defie ua distribució codicioada ara la variable x, salvo la última que defie su distribució margial. Las distribucioes codicioadas so distribucioes uidimesioales a las cuales se les uede alicar todo lo coocido ara ese tio de distribucioes. A las características calculadas sobre las distribucioes codicioadas se les añade el calificativo de codicioada (media codicioada, variaza codicioada,...). Para las distrib. codicioadas Y x i otaremos las frecuecias relativas como f / i : i f / i = i. Y aálogamete ara las distribucioes codicioadas X y i DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 4-8

5 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES Mometos e distribucioes bidimesioales: Mometos resecto al orige (o cetrados). Se defie el mometo resecto al orige de la variable bidimesioal (X, Y) de orde ( r, s) y lo deotamos como a r s Casos articulares: a rs = i= = x r i y s i a 0 = es la media margial de X a 0 = es la media margial de Y Mometos resecto a la media (cetrados): La covariaza. Se defie el mometo resecto a la media de la variable bidimesioal (X, Y) de orde ( r, s) y lo deotamos como m r s m rs = i= = ( x i x) r ( y y) s i Casos articulares: m 0 = 0 = m 0 m 2 0 = es la variaza margial de X m 0 2 = es la variaza margial de Y El mometo resecto a la media más imortate es la covariaza que se ota y defie como: m = ( xi x)( y y) i= = i S La covariaza ayuda a cuatificar la covariació etre dos variables del siguiete modo: Cuado S xy > 0, hay ua tedecia a que a mayores observacioes de X corresoda mayores observacioes de Y. Por eemlo, a mayor catidad de agua de lluvia e u año, suele corresoder ua meor cosecha. Cuado S xy < 0, la tedecia resulta cotraria; es decir, a mayor valor de X solemos ecotrar meores valores de Y. Por eemlo, a mayor reta er cáita e los aíses suele corresoder ua meor mortalidad ifatil. XY Este valor deederá de los valores de las variables, or tato de sus uidades. Para oder elimiar las uidades y teer ua medida adimesioal utilizamos el COEFICIETE DE CORRELACIÓ (r xy ) S xy r xy = S S x y DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 5-8

6 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. siedo tambié ivariate frete a trasformacioes lieales (cambio de orige y escala) de las variable. Citamos las siguietes roiedades: Es u coeficiete adimesioal. - r xy Si hay relació lieal ositiva r xy > 0 y róximo a. Si hay relació lieal egativa r xy <0 y róximo a -. Si o hay relació lieal r xy se aroxima a 0. Si X e Y so ideedietes S xy = 0 y or tato r xy = 0. RECAPITULACIO A) TABLA DE CORRELACIO/COTIGECIA: X/Y y y 2 y 3... y... y i. x x x m m m2 m3... m... m m.... x B) DISTRIB.MARGIALES Y CODICIOADAS: MARGIAL ª(X) MARGIAL 2ª(Y) COD.Y x m COD.X y X i. f i. Y. f. Y x m /m X y i/ x. f. y. f. y m x x 2 2. f 2. y 2. 2 f. y 2 m2 x x m m. f m x m m y. f. y m x. f x y. f. y m Σ m.. DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 6-8

7 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. Frecuecias Relativas: f i. = i./ f. =. / f /m = m / m. ; f i/ = i /. Medias Margiales: x = (/) Σ x i i. = Σ x i f i. ; y = (/) Σ y. = Σ y f. Medias Codicioadas: x = (/. ) Σ x i i = Σ x i f i/ ; y m = (/ m.) Σ y m = Σ y f /m Relacioes etre distrib. Margiales y codicioadas: i i i. - f i = = = f /i f i. i. i i. - f i = = = f i/ f.. - x = (/) Σ x i i. = Σ x i f i. = Σ x i Σ f i = Σ x i Σ f i/ f. = Σ (Σx i f i/ )f. = Σ x f. - y = (/) Σ y. = Σ y f. = Σ y Σ f i = Σ y Σ f /i f i.= Σ (Σy f /i ) f i.= Σ y i f i Ideedecia estadística: Dos variables X e Y so estadísticamete ideedietes cuado el codicioamieto o tiee igú efecto difereciador. (Piésese que si las características e estudio so, or eemlo, el eso(x) y el úmero de miembros de la uidad familiar (y), e riciio y al meos ituitivamete, la variable eso se comortara ideedietemete del codicioamieto que odamos hacer e cuato al úmero de miembros de la uidad familiar). E térmios de frecuecias relativas, la ideedecia estadística se traducirá (codició de ideedecia) e que: f /i = f. Y f i/ = f i. i, Y dado que f i = f /i f i. = f i/ f. E caso de ideedecia estadística, tedremos que: f i = f i. f. i, O e térmios de frecuecias absolutas: i i.. i = i = i, Estas dos últimas exresioes so las que se suele tomar como caracterizació de la ideedecia. Veamos que: si dos variables x e y so estadísticamete ideedietes etoces su covariaza es cero m = 0(el reciroco o tiee or que ser cierto): DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 7-8

8 TEMA 3: DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. Recordemos que m = a - a 0 a 0 Vamos a demostrar que si hay ideedecia a = a 0 a 0 a = (/) Σ Σ x i y i = Σ Σ x i y i = Σ Σ x i y i.. = Σ x i i. Σy. = a 0 a 0 Por tato: Ideedecia Covariaza cero Covariaza cero Ideedecia Bibliografía básica * Mª Ageles alacios, Ferado A. Lóez Herádez, José García Córdoba y Mauel Ruiz Marí. ITRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA PARA LA EMPRESA. Librería Escarabaal * Martí-Pliego Lóez, Fco. Itroducció a la estadística ecoómica y emresarial. Ed. Thomso * Casas, J. M., Callealta, J., úñez, J., Toledo, M. y Ureña, C. (986). Curso Básico de Estadística Descritiva. I..A.P. * Hermoso Gutiérrez, J. A. y Herádez Bastida, A. (997). Curso Básico de Estadística Descritiva y Probabilidad. Ed. émesis. Para saber más o aclarar dudas: htt://www3.ui.es/~mateu/t2-ig2.doc htt://descartes.cice.mecd.es/estadistica/distrib_bidimesioales/distribucioes_bidimes ioales.htm htt:// htt://ersoal.redestb.es/ztt/tem/t5_distribucioes_bidimesioales.htm htt:// htt:// DEPARTAMETO DE MÉTODOS CUATITATIVOS E IFORMÁTICOS FACULTAD DE CIECIAS DE LA EMPRESA UIVERSIDAD POLITÉCICA DE CARTAGEA 8-8