TEMA IV: MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES.

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1 TEMA IV: MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES. Objetivo: El alumo coocerá alguas de las distribucioes más utilizadas e la práctica de la Igeiería y seleccioará la más adecuada para aalizar algú feómeo aleatorio e particular. *Distribució uiforme discreta *Esayo o eperimeto de Beroulli *Distribució Biomial Distribucioes para variable *Distribució Geometrica aleatoria Discreta *Distribució Biomial Negativa o de Pascal *Distribució Poisso *Aproimació de Poisso a la Biomial *Distribució uiforme cotiúa o rectagular *Distribució ormal Distribucioes para variable *Distribució Biomial aleatoria Cotiúa *Aproimació Normal a la Distribució Biomial *Distribució Epoecial *Numeros Aleatorios * Distribució Uiforme Discreta. a b i P( ) P( ) P( ) i i i i i i i i i

2 -Media o valor esperado: E[ ] P( ) i i -Variaza: E[ ] E [ ] E [ ] P( ) i i i i O tambié: b a b a Ejemplo: i P( ) P( ) P( ) i /6 /6 /6 /6 /6 4/6 3 /6 3/6 9/6 4 /6 4/6 6/6 5 /6 5/6 5/6 6 /6 6/6 36/6 /6 9/6 i i i i i i X E[ X ] i E[ ] E [ ] (3.5) E [ ] 6

3 -Co la otra fórmula: *ENSAYO O EXPERIMENTO DE BERNOULLI. Sea el eperimeto aleatorio que costa de dos resultados úicamete, uo de los resultados se deomia éito y al otro fracaso, si que esto sigifique u juicio de valor. La probabilidad de éito se deomia P: P (éito)=p P (fracaso)=-p=q (6 ) 35 X.967 Defiamos la variable aleatoria X como el úmero de éitos, etoces. X= {0,} por lo que la distribució de probabilidad correspodiete es: P () P () X P() 0 -p 0 0 p p p p p i i -Media o valor esperado: E[ ] P( ) p media -Variaza: 3

4 E[ ] E [ ] p p p( p) p * q E[ ] P( X ) p Si p=q=0.5, etoces se tiee la variaza más alta o la peor variació. *DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Sea el esayo de Beroulli que se repite veces, etoces ua secuecia de resultados sería: p*p*q*q*q*q*q*q* *p*p*q esayos Se supoe que hay éitos co esayos y e cosecuecia hay - fracasos: - p*p*p*p.q*q*q = p * q p éitos p p q p, ( ) * *,! c!( )! p( éitos) p * q, 0,,,..., Distribució Biomial Para que se defia ua fució masa de probabilidad debe cumplirse que la suma de probabilidades de éitos sea: 4

5 P ( ) O sea: 0 p * q Del teorema del biomio: ( ) a b ( a b) a a b... b! Si es etero y positivo: -Media o valor esperado: E[ ] P( ) 0 r r ( a b) a b r0 r ( q p) q p ( a b) a b a b... a b 5

6 p * q! p * q!( )! 0 * ( )! *( )!( )! p * p * q ( )! ( )! p p * q ; p * q ( q p) ( )!( )! ( )!( )! p Media o valor esperado -Variaza: E[ ] E [ ] E p q 0 [ ] * si hacemos ( ) ( ) p q p q dode: 0!!!( )!!( )! 0 0! p q p!( )! E[ ] ( )( )( )( )! p ( )( )!( )! ( ) p q p ( )! E p p q p ( )!( )! ( ) [ ] ( ) ; ( ) dode: p q ( q p) ( )! ( )!( )! 6

7 E[ ] ( ) p p ( ) p p p p p p p p( p) pq Variaza El eperimeto Biomial debe cumplir co las siguietes propiedades:. El eperimeto costa de esayos estadísticamete idepedietes y repetidos.. Cada esayo tiee dos resultados posibles: uo llamado éito y el otro fracaso. (Cada esayo es u eperimeto de Beroulli). 3. La probabilidad de éito e cada esayo es la misma e igual a p y la de fracaso, q, dode p + q =. 4. Costa de ua variable aleatoria discreta X, asociada al eperimeto que cueta el úmero de éitos e los esayos o el úmero de esayos co éito, etoces los valores de X so : X = {0,,, 3,, }. pruebas de esayo Esayos idepedietes Ejemplo: P( ) p * q, =0,,,3,..., Obteer las distribucioes de probabilidad biomial para los siguietes casos. Trazar las gráficas correspodietes. a) =6, p=0.3 b) =6, p=0.5 c) =6, p=0.7 7

8 P() a) X P() i i P ( 0) (0.3) (0.7) P ( ) (0.3) (0.7) P ( ) (0.3) (0.7) P ( 3) (0.3) (0.7) P ( 4) (0.3) (0.7) P ( 5) (0.3) (0.7) P ( 6) (0.3) (0.7) b) X P() a) P ( 0) (0.5) (0.5) P 6 ( ) (0.5) P 6 ( ) (0.5) P 6 ( 3) (0.5) 0.35 P 6 ( 4) (0.5) P 6 ( 5) (0.5) P 6 ( 6) (0.5)

9 P() P() b) X c) X P() Es el recíproco del iciso a) c)

10 Ejemplo: La probabilidad de que u paciete se recupere de ua efermedad saguíea es 0.4. Si se sabe que 5 persoas ha cotraído esta efermedad, Cuál es la probabilidad de que: a) Sobreviva al meos 0. b) Sobreviva etre 3 y 8 iclusive. c) Sobrevive eactamete 5. P( ) b(,, p) p q, =0,,,..., a) P( 0)=P(0)+P()+P()+P(3)+P(4)+P(5)=-F(9)=-0.966= =5 p=0.4=-f (9) X P(X) F(X) b) 9 0 P ( ) P ( 0) p ( 0) P(0) (0.4) (0.6) P() (0.4) (0.6) P() (0.4) (0.6) P(3) (0.4) (0.6) P(4) (0.4) (0.6) P(5) (0.4) (0.6) P(6) (0.4) (0.6) P(7) (0.4) (0.6) P(8) (0.4) (0.6) P(9) (0.4) (0.6) P(3 8) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) F(8) F() c) P( 5) P(5) d) Media, Variaza y Desviació Estádar: 0

11 p (5)(0.4) 6 pq (5)(0.4)(0.6) Ejercicio: El promedio de bateo de u jugador de béisbol es de 0.5. Cuál es la probabilidad de que pegue eactamete hit e sus cuatro siguietes turos? p P 4 3 ( ) (0.5) (0.75) 0.49 Ejercicio: Al probar cierto tipo de eumático para camió para terreo escarbado se sabe que u 5% de los camioes o termia la prueba por pochadura de eumático. Cuál es la probabilidad de que etre 5 y 0 de los siguietes 5 5 camioes sufra ua pochadura? P() = ( 5 ) (0.5) (0.75) 5 P 0.5 q 0.75 P(5 0) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(0) P(5 0) F(0) F(4) 0.33 i i X P(X) *DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL. Si u esayo puede dar E resultados co probabilidades P, la distribució de probabilidad de las variables aleatorias,,... k, que represeta el úmero de ocurrecias para los k resultados e itetos idepedietes es: k

12 P(,,... ; P, P,..., P ; ) P, P,..., P k k k k,,... k P k k Ejemplo: De acuerdo co la teoría de la geética cierto cruce de coejillos de idias da por resultado crías rojas, egras y blacas e u proporció 8:4:4. Halle la probabilidad de que, e 8 descedietes, 5 sea rojos y egros y u blaco. 8( rojos) : 4( egros);4( blacos) ! 8 4 4,, P(5r,,5)= !!! P(5r,,5) 68(0.033)(0.065)(0.5) *DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA. Si los esayos repetidos idepedietes tiee u éito co p y u fracaso de probabilidad -p = q. La distribució de probabilidad de la variable aleatoria X, es el úmero de esayos e que ocurre el primer éito está dado por: X= úmero de esayos. - q*q*q*q*q..q*p X esayos idepedietes q g(, p) q p ; p p Media Variaza Ejemplo:

13 Si se sabe que e cierto proceso de fabricació, e promedio de cada 00 piezas esta defectuosa. Cuál es la probabilidad de que se ispeccioe 5 piezas para ecotrar ua defectuosa? Calcular el valor esperado y la variaza. g 4 (5,0.0) (0.99) (0.0) (0.0) ; 99.5 *DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O DE PASCAL X=0 q*p*q*p p r pq r r r p q p r r X- Si esayos repetidos idepedietes co probabilidad de éito p y de fracaso -p=q etoces la probabilidad de la variable aleatoria X, que es el úmero de esayos e que ocurre el r ésimo éito, está dado por: r r b * (, r, p) p q =r+,r+... r r rq ; p p 3

14 Ejemplo:.- Ecuetre la probabilidad de que al lazar 3 moedas al aire se obtega 3 águilas por seguda vez e el quito iteto. aaa aas asa saa ass sas ssa sss K=/ b * 5,, * 6 8 ; Tres persoas tira moedas al aire y el disparejo paga el café. Si los tres resultados so iguales las moedas se tira uevamete. Ecuetre la probabilidad de que se ecesite meos de cuatro itetos. 3 P g, g, g 3, p ( 3) Ejercicio: 4

15 La probabilidad de que u estudiate de aviació apruebe el eame escrito para obteer su licecia de piloto es de 0.7. Ecuetre la probabilidad de que ua persoa apruebe el eame. a) E el tercer iteto. b) Ates del cuarto iteto P 0.7 ag ) (3,0.7) (0.3) (0.7) bg 0 ) (,0.7) (0.3) (0.7) 0.7 g(,0.7)=(0.3) (0.7) 0. P ( 3) *DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA E esta distribució de variable aleatoria X se refiere al úmero de éitos e ua muestra aleatoria de tamaño seleccioada etre N elemetos de ua població o lote de los cuales so éitos y (N-k) so fracasos, es decir: k N k h(, k,, N) ; =0,,,3,...,k N =0,,,3,..., p -Media o Valor esperado: -Variaza: k N 5

16 k k N N N N dode : N correcció por població fiita N -Desviació estádar: Ejemplo: Se etrae 5 cartas de ua baraja de 5. Cuál es la probabilidad de obteer: a) U as. b) Por lo meos u as. N=5 =5 k=4 a) b) P ( ) P( ) P(0)

17 Ejemplo: Uos lotes de 40 compoetes cada uo so aceptados si o cotiee más de tres compoetes defectuosos. El procedimieto para muestrear u lote cosiste e seleccioar 5 compoetes al azar y rechazarlo si se ecuetra al meos uo defectuoso. Cuál es la probabilidad: a) De ecotrar eactamete u compoete defectuoso e la muestra si hay tres defectuosos e el lote. b) De aceptar el lote. N=40 =5 k=3 a) P ( ) b) c) P( rechazar) P( ) P(0) P( aceptar)

18 *DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribució de Poisso es otra distribució para variable aleatoria discreta, cuyo ombre se debe al matemático fracés, Simeo Deis Poisso (78-840), quie la itrodujo e 837. Tiee grades aplicacioes e biología, medicia, física, igeiería, ivestigació de operacioes, etc. La distribució de Poisso se obtiee al cosiderar que e la distribució biomial el úmero de veces que se repite el eperimeto de Beroulli tiede a ifiito, mietras que la probabilidad de éito p tiede a cero. Supogamos que X es ua variable aleatoria biomial co parámetros (, p) y sea λ = p etoces: P() = =!! ( )! p ( p)!! ( )! (λ ) ( λ ) = ( )( ) ( + )! p ( p) Etrayedo a de cada factor del cociete y agrupado todos los obteidos co la potecia de p Haciedo λ = p Se obtiee P() = ( ) ( ) ( ) (p) ( p)! ( p) P() = ( ) ( λ ) ( ) λ ( )! ( λ ) Cosiderado ahora que pero de tal maera que λ permaezca costate. P() = λ! lim ( λ ) el límite que aparece e la epresió aterior tiede a e λ por lo que fialmete: 8

19 P() = λ e λ! Distribució de Poisso Dode = 0,,, 3, Comprobado de que efectivamete defie ua distribució de probabilidad: λ =0 Media o valor esperado:! e λ = e λ ( + λ! + λ! + λ3 3! + ) λ =0! e λ = e λ e λ = μ = E[] = P() =0 Dode el primer térmio de la serie vales cero. Ahora bie: Variaza μ = λ =! e λ = λe λ λ ( )! = = λe λ ( + λ! + λ! + λ3 3! + ) = λe λ e λ μ = λ σ = E[ ] E [] E[ ] = P() =0 = [( ) + ]P() =0 9

20 = ( )P() + P() =0 =0 = ( ) λ! e λ + λ = = λ e λ λ ( )! e λ + λ = = λ e λ ( + λ! + λ! + ) + λ = λ e λ e λ + λ = λ + λ Etoces: σ = λ + λ λ σ = λ Si X es el úmero de ocurrecias de u eveto aleatorio e u itervalo de tiempo o espacio (superficie o volume), la probabilidad de que X ocurra, está dada por la fució de probabilidad de Poisso: f() = λ e λ, = 0,,, 3,! La letra griega λ > 0 (lambda) es el parámetro de esta distribució y es el promedio de ocurrecias del eveto aleatorio e el itervalo. El símbolo e es ua costate cuyo valor aproimado a cico cifras decimales es.788 (base de los logaritmos aturales). El eperimeto de Poisso cumple co las siguietes codicioes:. Los evetos ocurre e forma idepediete, es decir, la ocurrecia de u eveto e u itervalo de tiempo o espacio o afecta la probabilidad de ua seguda ocurrecia del eveto e el mismo u otro itervalo.. Teóricamete es posible que el eveto pueda ocurrir ifiitas veces e el itervalo. 3. La probabilidad de que ocurra u eveto e u itervalo es proporcioal a la logitud del itervalo. 0

21 4. p = λ úmero de ocurrecias e el espacio de referecia. Ejemplo: E cierto proceso de fabricació e el que se produce artículos de vidrio ocurre defectos o burbujas que a veces desacoseja su veta. Se sabe que e promedio uo de cada 000 artículos producidos tiee ua o más burbujas. Cuál es la probabilidad de que e ua muestra aleatoria de 8000 artículos se ecuetre meos de 7 artículos co burbujas? =8000 p= P ( 7) 0.00 (0.999) 0 =F(=6)=P(0)+P()+P()+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) - Utilizado la distribució de Poisso como aproimació a la biomial:

22 p 8000(0.00) e P(0) ! 8 8 e P() 0.007! 8 8 e P() 0.007! e P(3) ! e P(4) ! e P(5) ! e P(6) 0. 6! P ( 7) Ejercicio: Cierta zoa de u cotiete sufre e promedio 6 huracaes por año. Ecuetre la probabilidad de que, e u año dado: a) Sufra meos de cuatro huracaes. b) Sufra etre 6 y 8 huracaes. 6 huracaes/año a) P(<4)=P( 3)=P(0)+P()+P()+P(3)= e P(0)= ! 6 6 e 6 P()= P(0)! 6 6 e 6 P()= P()! e 6 P(3)= P() 3! 3

23 Fórmula de recurrecia para el cálculo de probabilidades de Poisso. e P0 ( )! e e P0 ( ) ( )!!(!) P0( ) P0( ) Fórmulas de recurrecia b) P(6 8) P(6) P(7) P(8) e P(6) ! e P(7) ! e P(8) ! Ejercicio: E cierto crucero, el promedio de accidetes de trásito semaales es de 3. Cuál es la probabilidad de que e el ocurra eactamete 0 accidetes e la próimas dos semaas? 3 accidetes/semaa 6 accidetes/ semaas P 6 ( = 0) = 60 e 6 = ! *DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. - DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA O RECTANGULAR. 3

24 Su fució de probabilidad es: *DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. - DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA O RECTANGULAR. Su fució de probabilidad es: F() b a X - Media o Valor 0 Esperado: b b a b b b a ( a)( b a) F( ) f ( ) d b a b a ( b a) ( b a) a b a a a Media o valor esperado - Variaza 4

25 E[ ] E [ ] b 3 b 3 3 b a b ab a E[ ] d b a b a 3 3( b a) 3 a b ab a a ab b b a ab b a 3 4 b a *DISTRIBUCIÓN NORMAL a 733 De Moivre Laplace, Gauss f ( ) e ; - <<, costates - parámetro de localizació - parámetro de escala - variable aleatoria 5

26 e d *DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR z...variable ormalizada o tipificada 0 z z z f ( z) e ; z Distribució ormal estádar Se puede demostrar que: f ( z) dz e dz ; z Para el cálculo de probabilidades (área bajo la curva ormal) z z P( z z z) e dz F( z) F( z) z 6

27 P( z ) F() F( ) ( 0.843) P( z ) F() F( ) P( 3 z 3) F(3) F( 3) Distribució ormal estádar N ( 0, ) L a d i s t r i b u c i ó o rm a l e s t á d a r, o t i p i f i c a d a o r e d u c i d a, e s a q u e l l a q u e t i e e p o r m e d i a e l v a l o r c e r o, μ = 0, y p o r d e s v i a c i ó t í p i c a l a u i d a d, σ =. L a p r o b a b i l i d a d d e la v a r i a b l e X d e p e d e r á d e l á r e a d e l r e c i t o s o m b r e a d o e l a f i g u r a. Y p a r a c a l c u l a r l a u t i l i z a r e m o s u a t a b l a. T i p i f i c a c i ó d e l a v a r i a b l e P a r a p o d e r u t i l i z a r l a t a b l a t e e m o s q u e t r a s f o r m a r l a v a r i a b l e X q u e s i g u e u a d i s t r i b u c i ó N ( μ, σ ) e o t r a va r i a b l e Z q u e s i g a u a d i s t r i b u c i ó N ( 0, ). Cálculo de probabilidades e distribucioes ormales t i p i f i c a d a. L a t a b l a o s d a l a s p r o b a b i l i d a d e s d e P ( z k ), s i e d o z l a v a r i a b l e 7

28 E s t a s p r o b a b i l i d a d e s o s d a l a f u c ió d e d i s t r i b u c i ó Φ ( k ). F ( k ) = P ( z k ) B ú s q u e d a e l a t a b l a d e v a l o r d e k U i d a d e s y d éc i m a s e l a c o l u m a d e l a i z q u i e r d a. C e t é s i m a s e l a f i l a d e a r r i b a. P ( Z a ) P ( Z > a ) = - P ( Z a ) P ( Z a ) = P ( Z a) 8

29 P ( Z > a ) = P ( Z a ) P ( a < Z b ) = P ( Z b ) P ( Z a ) P ( b < Z a ) = P( a < Z b ) N o s e c o t r a m o s c o e l c a s o i v e r s o a l o s a t e r i o r e s, c o o c e m o s e l v a l o r d e l a p r o b a b i l i d a d y s e t r a t a d e h a l l a r e l v a l o r d e l a a b s c i s a. A h o ra t e e m o s q u e b u s c a r e l a t a b l a e l v a l o r q u e m á s s e a p r o i m e a K. 9

30 P ( a < Z b ) = P(Z b) [ P ( Z a ) ] p = K P a r a c a l c u l a r l a v a r i a b l e X o s v a m o s a l a f ó r m u l a d e l a t i p i f i c a c i ó..- Dada ua distribució ormal co 50 y 0, ecuetre la probabilidad de que tome u valor etre 45 y 6. N (,, ) (,50,0) z= P(45 z 6) P( z ) P( 0.5 z.) 0 0 =F(.)-F(-0.5)= = Cierto tipo de pila almaceada dura e promedio 3.0 años, co ua desviació estádar de 0.5 años. Supoiedo que la vida de las pilas está distribuida ormalmete. a) Ecuetre la probabilidad de que ua pila dada dure meos de.3 años. b) Si se toma 0 de estas pilas, Cuál es la probabilidad de que más de ua dure meos de.3 años? N(,3,0.5) P(.3) Pz P( z.4) F(.4) 0.5 P (.3)

31 b) b (,0,0.0808) P( ) [ P(0) P()] 0 P P() (0.99) (0) (0.0808) (0.99) P ( ) U istrumeto de precisió se emplea para rechazar hasta todos los compoetes e los cuales cierta dimesió o cumple co la especificació.50 d. Si se sabe que esta medició está distribuida ormalmete co y.5 desviació estádar de 0.. Determie el valor d para que la especificació cubra el 95% de las medicioes..5 y =0.;.50 d Z= Z=0.975=.96 Z z ; z d.5 d.96(0.).5 d *APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. lim b(,, p) N(, p, pq) 3

32 P=0.5 >30 Se emplea la variable tipificada: z p 0.5 ; 0.5 correcció por cotiuidad pq k p 0.5 k p 0.5 P( k) P z pq pq k p 0.5 P( k) P z pq k p 0.5 P( k) P z pq k p 0.5 P( k) P z pq k p 0.5 P( k) P z pq Ejercicio: E u proceso se obtiee el 0% de piezas defectuosas. Si de dicho proceso se seleccioa al azar 00 piezas, Cuál es la probabilidad de que el úmero de piezas defectuosas eceda de 3? =00 P=0. 3

33 z.7 3 P( 3) P( z.7) F(.7) Ejercicio: U cuestioario de opció múltiple o selecció múltiple cotiee 00 pregutas cada ua co 4 respuestas posibles y de ellas solo es la correcta, Cuál es la probabilidad de que por simple cojetura el alumo obtega etre 5 y 30 respuestas correctas para 80 de las 00 pregutas cuya respuesta igora por completo? =80 p=0.5 P(5 30) P(.6 z.7) F(.7) F(.6) z z *DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL λ = úmero de ocurrecias e la uidad de tiempo Estació de Servicio 33

34 tiempo etre dos ocurrecias cosecutivas La variable aleatoria cotiúa, tiee ua distribució epoecial, co parámetro β si su fució desidad está dada por: f()= e ; 0, 0 0 < 0 Cuado el úmero de sucesos por uidad de tiempo sigue ua distribució de Poisso de parámetro λ (proceso de Poisso), el tiempo etre dos sucesos cosecutivos sigue ua distribució Epoecial de parámetro β = /λ. De otra forma: e, si 0 f( ) 0, si 0 34

35 La distribució epoecial tiee muchas aplicacioes e el campo de la Estadística, particularmete e las áreas de la teoría de cofiabilidad y tiempos de espera o e problemas de teorías de colas. Teorema. E la distribució epoecial la media o valor esperado está dada por µ = /λ, la variaza se da por σ = /λ y por lo tato la desviació estádar es igual a la media σ = /λ. Teorema. Para u valor dado = t, la probabilidad acumulada desde = 0 hasta = t está dada por: t F() = λe λ d = e λ 0 Por cosiguiete, la probabilidad de que ua variable aleatoria co distribució epoecial asuma u valor mayor (o mayor o igual) se da porque F() = e λ 35

36 E la figura se ilustra la gráfica de ua epoecial co parámetro λ =. El valor esperado o media es aquí de 0.5. Co sombreado claro aparece dibujada la probabilidad de que tega u valor meor a 0.5 y co sombreado oscuro la probabilidad de que asuma u valor mayor o igual a 0.5. Área de la izquierda = F(0.5) Area de la derecha F(0.5). Se puede demostrar fácilmete que el área de la izquierda es aproimadamete 63.% del área total y que el área de la derecha es aproimadamete el 36.8%. Tambié se puede demostrar que e la distribució epoecial la probabilidad de que X sobrepase su valor esperado es igual a /e y la probabilidad de que tome u valor meor (o meor o igual) a la media es precisamete de e = 0.63 E resume: P(X ) = λe λt dt = F() = e λ = probabilidad a mao derecha de P(X ) = λe λt dt = e λ 0 = probabilidad a mao izquierda de Ua propiedad importate es la deomiada carecia de memoria, que podemos defiir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue ua distribució Epoecial, sigificará que la probabilidad de que siga co vida detro de 0 años es la misma para u idividuo que a fecha de hoy tiee 5 años que para otro que tega 60 años. 36

37 Ejemplo: El periodo de vida e años de u iterruptor eléctrico tiee ua distribució epoecial co u promedio de falla de µ = años = β cuál es la probabilidad de que al meos ocho de 0 de tales iterruptores, que fucioa idepedietemete, falle después del 3er año? Distribució Epoecial 0.5 t t e dt lim e (0 e ) e b 0.5(3) ( 3) e 0.3 Distribució Biomial P( 8) P(8) P(9) P(0) (0.3) (0.7769) (0.3) (0.7769) (0.3) (0.7769) P ( 8)