Distribuciones: discretas y continuas

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1 Distribucioes: discretas y cotiuas DISTRIBUCIONES. DISTRIBUCIONES DISCRETAS. Distribució Uiforme.... Distribució Biomial Distribució de Poisso DISTRIBUCIONES CONTINUAS.. Distribució Uiforme o rectagular Distribució Normal Adició de distribucioes ormales Teorema cetral del límite Distribucioes derivadas de la ormal Distribució de Pearso Distribució t de Studet Distribució F de Sedecor... 6 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

2 Distribucioes: discretas y cotiuas. DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN UNIFORME Ua variable aleatoria discreta que toma todos sus valores x, x,..., x co igual probabilidad se dice que tiee ua distribució uiforme discreta. La fució de probabilidad de ua variable aleatoria uiforme discreta está dada por P(X x) co x x, x,..., x siedo xi x j para i j La media y variaza de la distribució uiforme es x i i (x i ) xi i i. EJEMPLO : El temario para u exame costa de 35 temas, de los cuales se elegirá uo al azar. Si u alumo o ha estudiado los 0 últimos temas Cuál es la probabilidad de que el alumo sepa el tema elegido para el exame? Hallar la media y variaza. Solució: Sea X la variable aleatoria que represeta el úmero de tema seleccioado para el exame, como todos los temas tiee la misma probabilidad de ser seleccioado, X sigue ua distribució uiforme de parámetros a= y b=35. - La probabilidad de salir el tema es PX 35 El alumo aprueba el exame si le toca u tema del al 5; así pues: La probabilidad de salir u tema estudiado es: La media y variaza so los valores 5 5 PX i Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 Distribucioes: discretas y cotiuas DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. EJEMPLO : Hallar la distribució de probabilidad del siguiete suceso: úmero de caras que se obtiee e cico lazamietos sucesivos de ua moeda. Solució: P(cara) = P(c) = ½ e u lazamieto y P(cruz) = P(x) = ½ e u lazamieto. Los posibles valores de la variable so = 0,,, 3, 4, 5. La probabilidad de cada suceso: xxxxx, que o salga cara P( = 0) = = 3 xxxxc, que salga vez P( = ) = 5 4 = 5 3 xxxcc que salga veces P( = ) = xxccc que salga 3 veces P( = 3) = xcccc que salga 4 veces P( = 4) = ccccc que salga 5 veces P( = 5) = = 0 3 = 0 3 = = 3 x i P( xi ) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 Distribucioes: discretas y cotiuas Experimeto de Berouilli Cosideremos u experimeto aleatorio que admite sólo dos resultados excluyetes: Suceso A (éxito) co probabilidad P(A) = p. Suceso A (fracaso) co probabilidad P( A ) = -p = q. Supogamos que se realiza pruebas de Berouilli sucesivas e idepedietes, es decir, se realiza experimetos idepedietes, e cada uo de los cuales u determiado suceso puede o o ocurrir. A la variable aleatoria discreta = úmero de veces que ocurre el suceso A (éxito) e las pruebas se la deomia variable biomial. veces, Para calcular la distribució de probabilidad os fijamos e el suceso favorable a A e ) ) A...AA... A ) ) las probabilidadesp... p. q... q = p. q luego P( = ) = p. q cuya probabilidad por ser sucesos idepedietes es el producto de. Resultado que se puede repetir veces, Esta distribució discreta recibe el ombre de distribució biomial o de Berouilli. La fució de distribució correspodiete es: F(x) = p x. q Si observamos el desarrollo de biomio de Newto: ( p q) = 0 p q 0. p q.... p. q p. q 0 etedemos el ombre de biomial y la simetría de la distribució de probabilidad. Los valores de P( = ) so laboriosos, por lo que se ecuetra tabulados para valores de de 0 a 0 y distitos valores de p. Ua distribució biomial queda caracterizada cuado se cooce p y y se escribe B(, p). E el ejemplo aterior los parámetros so p = ½ y = 5, por tato se dice B(5,/). Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 Distribucioes: discretas y cotiuas La esperaza matemática: E = i =.p. p i i i0 i. q =.p. ( p q) =.p xp i ( xi) = i. p i. q i i0 i i = i. p. q i i i = =.p i La variaza: E = xi P( xi) = i. p i. q i i = i. p i. q i i = i i. p. q i i i0 i0 i =.p. ( i ). p. q p. q i i i i i i i =.p( ). p.( pq) ( pq) =.p.((-).p+) =. p. p p i = V = E - E =. p. p p-. p =.p.(-p) =.p.q Alguas distribucioes de probabilidad se ajusta a u modelo matemático. Coocido el modelo podemos escribir directamete las probabilidades de esas distribucioes. Si se observa que ua variable estadística obteida experimetalmete a partir de ua muestra satisface las codicioes que coduce a ua distribució Biomial, tedrá ua distribució empírica que se aproximará a ua distribució Biomial teórica. El problema radica e determiar los parámetros de la Biomial que mejor se ajusta y el grado de dicho ajuste. Se puede demostrar que la que mejor se ajusta es la que tiee la misma media. Para ello se calcula la media muestral x y la hacemos coicidir co la de la x població p. x, de dode p siedo el úmero de elemetos de la muestra. Por tato, ajustaremos por ua biomial x B,. EJEMPLO 3: a) Cuál es la probabilidad de que ua familia co seis hijos tega dos hijos varoes? b) Cuál es la media de hijos varoes de ua familia de seis hijos? c) Y la desviació típica? d) Cuál es la probabilidad de que ua familia de seis hijos tega como máximo cuatro hijos varoes? Solució: Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Distribucioes: discretas y cotiuas Primeramete, observemos que teemos ua distribució biomial, cuya variable aleatoria es el úmero de hijos varoes, B(6,/) siedo =6=úmero de hijos, p=/= la probabilidad de que u hijo sea varó. a) 4 6 P( ) E.p6. 3 hijos b) V.p.q 6.. c) i i 6i d) F(4)= P( 4) p.q = i4i i0 i = = 6 i = DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Es ua distribució que se preseta cuado teemos ua població grade y la probabilidad de que ocurra u suceso determiado, tiee ua probabilidad muy pequeña (ley de casos raros). Ejemplos: Llamadas a ua cetral telefóica de emergecias. Desitegració de átomos radiactivos. Número de partos triples. Número de automóviles que llega a u peaje. Ua variable aleatoria tiee distribució de Poisso de parámetro, si toma los valores eteros 0,,...,,. co probabilidad:p( )! e si > 0 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 Distribucioes: discretas y cotiuas Si e la distribució biomial B(,p) es muy grade y p muy pequeña se puede aproximar mediate la distribució de Poisso, haciedo.p =, supoiedo costate. lim p lim 0. P p q ( )..! e expresió de la probabilidad de que ocurra el suceso u úmero de veces e u úmero grade de observacioes o experiecias. Comprobemos que P( ) 0 =. 0 P( ) = 0! e = e 0! = e.e = ya que el desarrollo e serie de e es: e...!! 0 Por cosiguiete, las probabilidades límites de las probabilidades biomiales cuado tiede a ifiito, siedo p variable y tal que.p = = costate, costituye la llamada ley de Poisso P(λ). E la práctica la aproximació es aceptable para valores >50 y p<0, ó.p<5. Existe tablas para calcular la probabilidad de para distitos valores de y. Esperaza matemática: E = P. ( ) =. e! 0 0 =. e! =. e =.e.e ( )! Variaza: E =. P( ) =.! e =.! e =. e. ( = )! 0 0 =. e ( ) ( )! =. e ( )!. e. e ; luego VE E =. e. e + ( )! ( )! = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Distribucioes: discretas y cotiuas Para el ajuste de ua distribució empírica por ua distribució de Poisso, si la variable estadística experimetal tiee la característica de ua distribució de Poisso, se aproximará por ua de este tipo y el parámetro que mejor se ajusta es x, ya que e este caso ambas distribucioes tiee la misma media. EJEMPLO 4: El úmero medio de llamadas telefóicas que llega a ua cetral de emergecias es de cuatro por miuto e las horas puta. Calcular: a) Probabilidad de que llegue cuatro llamadas e u miuto. b) Número de llamadas que deberá ser capaz de soportar la cetral para que o se sature, co probabilidad 0,99. Solució: a) Sea la variable aleatoria = úmero de llamadas que se recibe e u miuto (de las horas puta), etoces sigue ua distribució de Poisso de parámetro 4. Nos pide: 4 P( 4) e 4! 4 4 = 0,954. b) Llamado x al úmero de llamadas que deberá soportar la cetralita, os dice que: P( x) 0,99 Vamos sumado las probabilidades: P( 0) P( ) P( )... hasta que la suma sea mayor o igual que 0,99. Observado estas probabilidades e la tabla de la distribució P(4) teemos: 0,083+0,0733+0,465+0,954+0,954+0,563+0,04+0,0595+0,098 = 0,9798. P( 9) P( 8) P( 9) = 0, ,03 = 0,999 > 0,99. Por tato x = 9. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 Distribucioes: discretas y cotiuas. DISTRIBUCIONES CONTINUAS.. DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR Se dice que ua variable cotiua sigue ua distribució uiforme e el itervalo ab, cuado su fució de desidad es: 0 si x a fx ( ) b-a si a x b 0 si b< x Gráficamete: _ b-a a b La fució de distribució, será: F(x) = x x fx dx b a dx x ( ). a b a a x a x a b a si a x b, etoces: 0 si x a x-a F(x) b-a si a x b si b< x cuya gráfica es: obsérvese como la fució de distribució es a b cotiua, por correspoder a ua variable aleatoria cotiua, pero o lo es la fució de desidad. Esperaza Matemática: b b x b a E x.f (x).dx x..dx a ba ba ba a a b Variaza: 3 b 3 3 b x E x.(). f x dx x.. dx a b a b a 3 a b a a a. bb b a 3 3 y, por tato, Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Distribucioes: discretas y cotiuas = a a. b b a a. bb VE E 3 = a b - a b = a a. b b 3 - a a. b b 4 Esta distribució depede de los parámetros a y b y se deota Uab,. = EJEMPLO 5: De ua estació parte u tre cada 0 miutos. Si desigamos por X la variable aleatoria tiempo de espera desde que u viajero etra e el adé hasta que parte, calcular: a) La probabilidad de esperar meos de dos miutos. b) El tiempo medio de espera. c) La probabilidad de esperar dos miutos y medio. Solució: Si el viajero llega e cualquier mometo y todos los mometos tiee la misma probabilidad, la variable aleatoria tiempo de espera sigue ua distribució U(0,0). Por tato, la fució de desidad de la variable X es 0 si x 0 f(x) si 0 x0 0 0 si 0<x a) P(X ) dx EX f(x)dx x dx 0 0 b) 5 c) Si el reloj aprecia hasta los segudos, el viajero espera dos miutos y medio si el tre llega etre,5-/60 y,5+/60 miutos, por tato,5 60 dx, Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

11 Distribucioes: discretas y cotiuas.. DISTRIBUCIÓN NORMAL Gauss (777,855) y Laplace (749,87) llegaro a ella estudiado la distribució de los errores de observacioes. Es la distribució que aparece co más frecuecia e la práctica, hasta el puto que el ombre lo tiee porque se pesaba e u pricipio que todas las distribucioes estadísticas era de este tipo, ya que era ua ley de la aturaleza. Esta situació fue parafraseada por Lippmam todos cree e la ley ormal de errores: los experimetadores, porque ellos piesa que puede ser probado por las matemáticas; los matemáticos, porque cree que se ha establecido por la observació. Hoy es evidete la exageració de tal creecia, auque debe señalarse la extraordiaria frecuecia co que tal distribució se ecuetra e las más variadas aplicacioes y tambié, como otras muchas distribucioes, puede reducirse a ésta mediate u adecuado cambio de variable. Ejemplos: Talla, peso y otras características físicas de las persoas. Test psicológicos y sociológicos. Distribució de la reta e países desarrollados. Cosumo de electricidad de u país. Ua variable aleatoria cotiua se dice que tiee ua distribució ormal o de Laplace-Gauss de media y desviació típica, si: fx ( ) e ( x) es su fució de desidad. Se verifica -o lo demostramos que: fx ( ). dx Veamos el estudio de la gráfica de f(x):. lim f( x) 0 x. f(x)>0 para todo x fiito. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

12 Distribucioes: discretas y cotiuas 3. f(x) es cotiua para todo x. 4. Es simétrica respecto de x=. 5. x f'( x) e ( x) = x. fx ( ) = 0 si x puesto que f(x)>0. 0 si x E x = pasa de creciete a decreciete, luego existe u máximo e (,f( )) = (, ) dode coicide la moda, (por ser máximo), la mediaa, (por simetría) y la media. x 6. f (x)= iflexió. x. fx ( ) = 0 etoces = 0, resultado x putos de es la llamada campaa de Gauss. ( x) x La fució de distribució es: F(x) P( x) e. dx La esperaza matemática es: ( x) Ex xf.()dx x x e dx. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

13 Distribucioes: discretas y cotiuas y realizado u cambio de variable x dx t dt x t ; resulta, t t t Ex ( t ) e dt te dt e dt la itegral primera es imediata y su resultado cero, por simetría; y e cuato al la seguda es ua itegral impropia, que se idetifica co la fució gamma:. t t e dt e dt ; sustituyedo, los dos resultados, se obtiee 0 Ex ( 0. ) y la variaza es: ( x) t Vx ( x). fx ( )dx x e dx t e dt ( ). que realizado por partes, se llega a t t t Vx t e dt te e dt. Por cosiguiete, la media y la desviació típica so los dos parámetros de la distribució N(, ). Si queremos calcular ua probabilidad determiada: x b P(a b) e.dx F(b) F(a) a debemos hacer uso de métodos de itegració aproximada o bie de tablas, pero sólo existe tablas de la N(0,), es decir, de la distribució ormal de media 0 y desviació típica. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

14 Distribucioes: discretas y cotiuas Distribució ormal tipificada o estádar Ua trasformació de la variable N(, ) a la variable N( 0, ) recibe el ombre de distribució ormal tipificada. Hacemos que es el resultado de ua traslació por u cambio de escala, cuya media: y su variaza: E V E E 0 V V Efectivamete, la N(0,) co fució de desidad: fx ( ) e x y cuyos coeficietes de simetría y curtosis so ulos, dada la perfecta simetría de la distribució. cero Es iteresate observar la probabilidad del itervalo cetrado e la media de valor P( a a) F(a) F( a) F(a) ( F(a)).F(a) P( ) F() F( ) 0,68 lo que equivale para ua ormal N(, ): P( ) = 0,68 Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

15 Distribucioes: discretas y cotiuas P( ) F() F( ) = 0,95 lo que equivale para ua ormal N(, ): P( ) = 0,95 P( 3 3) F(3) F( 3) =0,99 lo que equivale para ua ormal N(, ): P( 3 3 ) = 0,99 que os idica la cocetració de valores, e toro a la media, de tal forma que el 99% de la distribució está situado etre3 y + 3 etoro a la media. Paso al límite de la distribució biomial a la ormal Al estudiar la distribució límite de la biomial cuado tiede a y p es fijo, se observa que p q 0. Además, la media.p y la variaza.p.q tiede a. Se trata, pues, de hacer u cambio de variable secillo que os haga teder la ueva variable, cuado tiede a, hacia ua variable que tega mometos fiitos. p. N( 0, ) siedo B(,p) pq.. E la práctica, es aceptable la aproximació si 0, < p < 0,9 y > 50. Tambié si p < 0, y.p > 5. Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

16 Distribucioes: discretas y cotiuas Ajuste de ua distribució empírica mediate ua distribució ormal El procedimieto de determiació de los parámetros cosiste e igualar la media x y la variaza S de la distribució estadística co la media y la variaza de la ormal. Es decir: x, S. EJEMPLO 6: Sabiedo que el úmero de alumos que pasa cada año al tercer curso de ua escuela sigue ua distribució ormal N(0,0), calcular: a) Probabilidad de que pase más de 40. b) Probabilidad de que pase etre 00 y 30. c) Qué úmero de plazas debe haber dispoibles e tercero para que se pueda matricular todos los que lo desee co probabilidad 0,98? Solució: Sea = úmero de alumos que pasa a tercero N(0,0) a) P( 40) P( 40) F(40) 0,08 b) P00 30P30P00 F(30) F(00) 0,885 c) x = úmero de plazas E este caso, os pide el percetil 98: P x 0,98 F x 0,98, Se trata de resolver ua ecuació, luego x 40,5. N(0,0) Por tato el úmero de plazas dispoibles debe ser de 4. EJEMPLO 7: El 0% de los jóvees tallados para realizar el servicio militar, mide más de,80 m; el 30% mide meos de,65m. Supoiedo que la altura de las persoas sigue ua distribució ormal, calcular: a) Altura media y desviació típica de la població. b) Porcetaje de jóvees que mide,70 m. Solució: Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

17 Distribucioes: discretas y cotiuas = altura de los jóvees N(, ) a) P( >,80) = 0,, puesto que so el 0% y P( <,65) = 0,3, ya que represeta el 30%. Tipificado,,80,80,80 P 0, P P 0,0,9 y observado el percetil 90, se tiee que:, 80,8,80, 8. () de dode Por otra parte, P( <,65) = 0,3, 65, 65, 65 P 0,3 P F 0,3 Y observado el percetil 30:, 65 0,55 de dode,65 0,55. () Igualado () y (),80,8.,65 0,55. resulta 0,083 y sustituyedo e (),693. E resume: la altura media es,693 m y la desviació típica 0,083. b) Nos pide P(,70), por ser la distribució cotiua, la probabilidad e u puto es cero. Ahora bie, es obvio, que o podemos egar la existecia de jóvees que mida,70 m, etoces, cómo podemos saber cuátos so? Pues, dado u itervalo que cotega a,70 y sea lo más pequeño posible, por ejemplo, (.695,.705). Evidetemete, éstos o mide,70, pero co los istrumetos de medida habituales que suele teer de precisió cm, decimos que ua persoa mide,70, cuado su altura está e el itervalo (.695,.705). La probabilidad de este itervalo es: P,695,705 P(,695) P(,705) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

18 Distribucioes: discretas y cotiuas lo que quiere decir que el 4,786% aproximadamete de los jóvees mide etre,695 y, ADICIÓN DE DISTRIBUCIONES NORMALES Sea N(, ) y N(, ) idepedietes. Etoces la variable correspode a ua ormal de media y desviació típica, es decir, N(, ). EJEMPLO 8: Se puede geeralizar a N(, ), variables idepedietes, resultado: i i i N, i i i El peso de u limó está distribuido segú ua distribució N(5, 0) e gramos. Cuál es la probabilidad de que ua caja co 50 limoes pese meos de 6 g? Si lleamos bolsas de ocho limoes, cuál es la probabilidad de que las bolsas pese etre 975 y 05 gramos? Solució: X= peso de u limó N(, ) El peso de cada limó sigue ua distribució Normal, luego 50 limoes se correspode co la suma de las 50 distribucioes ormales, resultado: i i Y 50X N, N 650,500 P Y 6000 F(6000) Ahora será: Z= peso de 8 limoes N(, ) Para bolsas de 8 limoes Z 8X N, N 000,80 i P 975 Z 05 F(05) F(975) i Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

19 Distribucioes: discretas y cotiuas.4. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE. Si ua variable es suma de variables idepedietes, co medias i y variazas i, su distribució tederá a ser ormal, co media igual a la suma de medias y variaza igual a la suma de las variazas, cuado, úmero de sumados, tieda a ifiito. Es decir, la variable se aproximará a N i, i i i. El teorema cetral del límite da ua justificació teórica del hecho de que e la aturaleza se ecuetre co frecuecia variables aleatorias co distribució aproximadamete ormal, ya que dichas variables puede ser cosideradas frecuetemete como suma de gra úmero de variables, todas ellas de poca ifluecia sobre la coducta de la variable cosiderada, pero que cotribuye, auque idividualmete sea co poca itesidad, a la cuatificació de sus valores y merced al teorema cetral del límite, estas variables podrá tambié ser tratadas por aproximació, como ormales. Demostrado e 9 por Lideberg, se puede comprobar empíricamete simulado distribucioes de probabilidad co ordeador. Se puede usar u geerador de úmeros aleatorios para obteer valores, x, x,..., de ua U(0,). Segú sabemos las x i tiee de media ½ y variaza /, luego S x xi tiee de media / y variaza /. La variable tipifica S * S tiee por el teorema cetral de límite, ua distribució aproximadamete ormal tipificada para grade. Si bie la distribució límite de S * o depede de las distribucioes de las variables x i, la rapidez co la que S * se aproxima a la ormal depede e gra medida de la forma de dichas distribucioes. Si embargo, si las distribucioes de las x i so muy asimétricas, tiee que ser a veces muy grade para obteer ua aproximació satisfactoria. biomial. El teorema cetral de límite, garatiza la aproximació ormal de la distribució Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

20 Distribucioes: discretas y cotiuas.5 DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL..5.. Distribució de Pearso Sea,,...,, variables aleatorias N(0,) e idepedietes, etoces la expresió:... es ua variable aleatoria que recibe el ombre de ji-dos o chi-cuadrado de Pearso (857,936). El úmero de variables ormales sumadas recibe el ombre de grados de libertad, y la represetamos por. Fució de desidad: La fució de desidad de la variable aleatoria es: fx ( ) ( ) x ( ) - e si x 0 Alguas propiedades de la fució de desidad de.- El domiio de es R 0..- f(x) preseta u úico máximo si. 3.- f(x) o es simétrica. 4.- f(x) depede del úmero de grados de libertad. : Alguas gráficas: Fució de desidad = =4 0. = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

21 Distribucioes: discretas y cotiuas Fució de distribució: La fució de distribució de ua variable aleatoria viee dada por: F(x) P( x ) f( x)dx x 0. Características de la variable aleatoria. La media, variaza y desviació típica de ua variable aleatoria ji-cuadrado co grados de libertad es,, respectivamete. Propiedades de la variable aleatoria..- Si,,..., m so m variables aleatorias ji-cuadrado co,,... m grados de libertad respectivamete, etoces, la variable aleatoria... m es ua variable aleatoria co = m grados de libertad..- Si el úmero de grados de libertad es mayor que 30 etoces, la variable aleatoria ( ) sigue ua distribució N(( ), ). Esta propiedad es útil e caso de usar tablas de. La distribució de Pearso es de gra aplicació e la Teoría de Muestras o Iferecia Estadística para coocer si ua determiada variable real observada empíricamete a través de ua muestra se ajusta e mayor o meor grado a ua distribució teórica. Es habitual hallar el área ecerrada por f(x) e, esto es, P( ). Al valor se suele deomiar ivel de sigificació. Y el reciproco obteer el percetil -α, es decir la abscisa Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

22 EJEMPLO 9: Dada distribució Distribucioes: discretas y cotiuas ua y siedo A y B las áreas rayadas del gráfico, calcular los valores tales que: a a Solució: a) El área A sea igual b) El área B sea igual A Fució de desidad = grados de libertad B a) A , P( ) se obtiee 5.3. b) P( ) EJEMPLO 0: Calcular a) P( 0.4) 0 b) P( ) 6 Solució: a) P( 0.4) F(0.4) Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

23 Distribucioes: discretas y cotiuas b) P(40 50) P( 50) P( 40) F(50) F(40) Distribució t de Studet Sea,,..., y, + variables aleatorias idepedietes etre sí co distribució N(0, ) cada ua de ellas. Etoces la variable t... se deomia t de Studet co grados de libertad. Studet fue el seudóimo de William Sealy GOSSET (876,937), el estadístico y químico que descubrió la forma de la distribució t mediate ua combiació de trabajo matemático y trabajo empírico co úmeros aleatorios, ua aplicació tempraa de lo que ahora se llama el método de MoteCarlo. Si tipificamos,,..., y, dividiedo por se obtiee las variables,,..., y que so N(0,), obteiedo: t..., puesto que.... Esto sigifica que:.- Se podía haber defiido la variable aleatoria t, supoiedo las,,..., y,variables N(0,). Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

24 Distribucioes: discretas y cotiuas.- Que la t de Studet se caracteriza por elimiar la ifluecia de la variaza lo que tiee ua gra importacia e la Iferecia Estadística. Fució de desidad: fx ( ) x Alguas propiedades de la fució de desidad de t :.- El domiio es R..- f(x) preseta u úico máximo si. 3.- f(x) es simétrica. 4.- f(x) depede del úmero de grados de libertad (). 5.- Al aumetar se va haciedo cada vez más aputada la fució de desidad siedo el límite ( ) la curva ormal tipificada. libertad: Veamos a cotiuació la gráfica de la fució de desidad para =3 grados de Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

25 Distribucioes: discretas y cotiuas Características de la variable aleatoria t. Su media 0 y su variaza. Tiee su aplicació e la estimació de las características de ua població co distribució ormal mediate los llamados itervalos de cofiaza. EJEMPLO : Calcular: a) P( t ). b) P(. t9.37). c) Valor de x tal que 0 Solució: P(t x) 0.9 a) P( t ) ( - F()) b) P(. t9.37) F(.37) - F(.) c) Valor de x tal que: P(t0 x) 0.9 x = Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

26 Distribucioes: discretas y cotiuas.5.3. Distribució F de Sedecor Si y m so dos de Pearso, respectivamete co y m grados de libertad, idepedietes etre sí, etoces la variable: F co y m grados de libertad. m, / se la deomia F de Sedecor / m m positivas. La distribució F toma valores positivos por ser cociete de dos distribucioes Características de la variable aleatoria F,m. Su media m m si m> y su variaza m ( m ) (m ) (m 4) si m>4. Ua aplicació importate de esta distribució es la comparació de dos estimadores idepedietes de variazas (ANOVA). Uidad Docete de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6