Lí mite de una funció n en un puntó

Transcripción

1 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Lí mite de ua ució e u putó Matemáticas I - º Bachillerato Para apreder bie el cocepto de límite comezaremos co amiliarizaros co la siguiete termiología. c c c ( tiede a c por la izquierda ): toma valores cada vez más cercaos a c ( tiede a c por la derecha ): toma valores cada vez más cercaos a c ( tiede a c ): toma valores cada vez más cercaos a c. Sigiicado de límite lateral y de límite de ua ució e u puto A) Si c, la variable, pero meores que c., pero mayores que c. toma valores cada vez más cercaos a c, por la izquierda de c. Cosecuetemete, tambié toma valores variables. El comportamieto de lim c ( ), y se lee límite de ( ) cuado tiede a c cuado c ( ), se epresa simbólicamete así: por la izquierda. Es u límite lateral por la izquierda y, para las ucioes elemetales que coocemos, puede ser de ua de las ormas siguietes: lim =. E este caso, cuado c, toma valores cada vez más grades y positivos, llegado ) c a superar cualquier valor, por grade que este sea. U ejemplo puede ser la ució. Obsérvese que ( 0,9) 4, 768, = cuado 0,99 49, 7487, ( 0,999) 499, De este modo podríamos seguir aproimádoos a por la izquierda obteiedo valores cada vez más grades y positivos. Por esta razó escribiremos lim =. lim toma valores cada vez más grades e valor ) =. Este caso es parecido al aterior, sólo que c 0,9 = 0, 0,999 = 000, es decir, lim =. = l. E este tercer y último caso, cuado c toma valores cada vez más cercaos al absoluto, pero egativos. U ejemplo podría ser la ució ( ) =. Ahora se tiee que ( 0,99) = 00, ) lim c úmero real l. Por ejemplo, dada la ució por la izquierda de es 5 : ( ) (), lim = lim 7 = 5. = 7, es ácil darse cueta de que el límite lateral Estos tres casos los puedes ver epresados gráicamete, de izquierda a derecha, e la siguiete igura: c B) El sigiicado de lim ( ) c (límite de ( ) cuado tiede a c por la derecha) es similar al de lim ( ) decir, puede ocurrir tambié ua de estas tres cosas: lim ( ) =, lim ( ) =, lim C) El sigiicado de lim ( ) c c (límite de c Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia c c c = l. cuado tiede c ), es el comportamieto de la ució cuado se aproima a c tato por la derecha como por la izquierda. Si lim ( ) = lim ( ) = l, decimos que lim c c c. Es = l. Aálogamete ocurre cuado los dos límites laterales so o. Si los dos límites laterales o toma el mismo valor, se dice que o eiste el límite cuado tiede a c de la ució. c l

2 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Cótiuidad de ua ució e u putó Matemáticas I - º Bachillerato La idea de ució cotiua es la de que su gráica se pueda dibujar si levatar el lápiz del papel. Por eso, para que ua ució sea cotiua e u puto c se ha de cumplir ecesariamete tres codicioes: ) Que = tega límite iito cuado c, es decir: lim ( ) = l. Esto implica que los límites laterales ha de ser iguales tambié a l ) Que : lim lim = = l. c c = c esté deiida e el puto c, o lo que es lo mismo, que eista de perteecer al domiio de la ució : c Dom. ) Que el límite coicida co el valor de la ució e c ( c), es decir, lim ( ) ( c) c =. Tipós de discótiuidades. Esto es tato como decir que c ha Si o se cumple algua de las codicioes ateriores, la ució o será cotiua e el puto = c. Esto os lleva a hacer la siguiete clasiicació de discotiuidades: ) Si uo o los dos límites laterales es o, se dice que la ució tiee ua o dos ramas iiitas e ese puto. si E estos casos, la recta c es ua asítota vertical de la curva. Por ejemplo, lim =, lo que si quiere decir que la recta =. = = es ua asítota vertical de la ució ) Si ambos límites laterales so iitos pero distitos, sabemos que lim ( ) c o eiste. E esta caso la ució preseta ua discotiuidad de salto iito e el puto = c. Esto suele ocurrir e las ucioes deiidas por si trozos. Por ejemplo, para la ució ( ) =, teemos lim 4 si = lim = y lim lim 4 5 = =, por tato o eiste lim ( ) preseta ua discotiuidad de salto iito e =., y como ambos límites so iitos, la ució ) Puede ocurrir que a la ució le alte el puto = c. Por ejemplo, la ució ( ) = o está deiida e el puto =, porque el deomiador se aula. Si embargo, para valores distitos de podríamos simpliicar la epresió = = =, co lo que la gráica de esta ució sería como la de ( ) =, salvo que le alta el puto de abscisa =. 4) Por último, puede ocurrir que tega el puto = c desplazado. Este caso es como el aterior, pero la ució sí que está deiida e = c. Este tipo de comportamietos sólo puede darse e ucioes deiidas por trozos. Por si ejemplo, para la ució ( ) = se tiee que lim ( ) = lim ( ) =, pero =, por tato si = o es cotiua e =. Este tipo de discotiuidad se cooce como discotiuidad evitable. Es iteresate observar que los ejemplos de las ucioes de los apartados ) y ), que so ucioes deiidas de maera atural (si el artiicio de la deiició a trozos ), e el puto c e el que so discotiuas o eiste image, es decir, c Dom. Por eso, las ucioes deiidas por epresioes aalíticas elemetales (poliómicas, racioales, radicales, epoeciales, logarítmicas y trigoométricas) so cotiuas e todos los putos e los que está deiidas. 5 U par de ejemplos. ( ) = 5 está deiida e todo y, por tato, es cotiua e todo. g( ) = es cotiua e todo salvo e =, que es el puto e el que o está deiida. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia

3 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Ca lculó del lí mite de ua ució e u putó Matemáticas I - º Bachillerato El cálculo de límites de ucioes e putos cocretos puede ser muy ácil o diícil, segú los casos. Vamos a aalizar distitas situacioes que os permitirá recoocer qué proceso coviee seguir e cada caso. Límite e u puto e el que la ució es cotiua Hemos visto que ua ució es cotiua e = c si lim ( ) ( c) c =. Sabemos tambié que las ucioes que utilizamos habitualmete mediate su epresió aalítica so cotiuas e todos los putos e los que está deiidas. Por tato, si lim c es ua ució elemetal dada por su epresió aalítica y eiste calcularemos, secillamete ( c) Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia ( c) 4 4. Así, por ejemplo, lim = = = , etoces para hallar Es coveiete hacer aquí ua observació de importacia. Cuado poemos c lo que estamos epresado es que os podemos acercar a c cada vez más, tato como queramos. Por eso hay límites que carece de setido y límites que se puede calcular, auque la ució o esté deiida e el puto c. Veamos u par de ejemplos. Carece de setido hablar de lim porque, al ser el domio de deiició de o puede tomar valores ta próimos como queramos a. Sí que podemos hablar de lim 0 porque podemos dar a valores del domiio ta próimos a 0 como queramos. Cálculo de límites de ucioes deiidas por trozos 0, el cojuto ) auque 0 o sea del domiio de deiició de la ució ( ) Podemos cosiderar, para ijar ideas, el caso geeral de la ució ( ) ucioes cotiuas e c. Cálculo del límite e el puto crítico o puto de ruptura c Como y si c =, dode si c, la variable =, (dode la ució pasa de ser ua cosa a ser otra). so cotiuas, etoces lim ( ) = ( c) y lim ( ) ( c) = =, etoces lim c c l c c = l, y es cotiua e c límite o eiste y hay ua discotiuidad de salto iito. Cálculo del límite e otro puto cualquiera del domiio. Para hallar el límite, procederemos así. Si a c, lim ( ) = ( a). Si b c a Por ejemplo, calculemos los límites de la ució ( ) 5 si = si = ( ) = = ; ( ) ( ) lim lim c y so =. E la práctica, si =. Si embargo, si ( c) ( c), lim ( ) = ( b) b e los putos, 7 y., etoces el lim = lim = 7 = 5. E el puto crítico = hemos de calcular los límites laterales: lim ( ) = lim ( 5) = 5 =, ( ) ( ) los límites laterales o coicide, o eiste lim ( ) Otro ejemplo sería estudiar la cotiuidad de la ució ( ) ( ) = = =, ( ) ( ) lim lim lim = lim = =. Como (hay ua discotiuidad de salto iito). si = 5 si, e el puto =. Teemos: lim = lim 5 = 5 =. Como eiste los límites laterales y so iguales eiste el límite, es decir, lim ( ) =. Además, es claro que =. Por tato lim ( ) es cotiua e el puto =. = y

4 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Límite de ua ució racioal Supogamos que queremos hallar el límite e u puto poliomios. Distiguiremos tres casos. Q 0 Si el deomiador o se aula, es decir, si P( ) P ( c) valor de la ució e c : lim =. cq( ) Q( c) = c de ua ució del tipo, la ució es cotiua e c Por ejemplo, lim = = = = Matemáticas I - º Bachillerato P Q, dode P y Q y, por tato, el límite e c P c 0 Si el deomiador se aula y el umerador o se aula, el límite es iiito. O sea, si P( ) etoces lim c Q( ) y so es el Q c = 0 =. E estos casos hay que estudiar los dos límites laterales, para coocer si el límite es o. Para ello hay que evaluar la ució e u puto muy cercao a c, bie por la izquierda, bie por la derecha si y estudiar el sigo de la racció. Veámoslo co u ejemplo: lim = 6 0 =. Observa que el si umerador es positivo. Por la izquierda de tomaríamos, por ejemplo,,99, que al sustituirlo e el deomiador da es 0,0. Por tato, como el umerador es positivo y el deomiador egativo, el límite por la izquierda de. Por la derecha de tomaríamos, por ejemplo,, 0, que al sustituirlo e el deomiador da 0,0. Por tato, como el umerador es positivo y el deomiador tambié, el límite por la derecha es. E este caso la recta = c es ua asítota vertical. Si tato el umerador como el deomiador se aula, c es ua raíz tato de P( ) como de Q, co lo que la racció algebraica puede simpliicarse. Basta para ello dividir umerador y deomiador etre (usado, por P c P Q = c Q, co lo que teemos: ejemplo, la regla de Ruii). Es decir, = ( ), P( ) ( c) P( ) P( ) lim = lim = lim c Q( ) c ( c) Q ( ) c Q ( ) Ahora bastaría hallar el último límite, aalizado e cuál de los tres casos se ecuetra. E este caso, se suele decir que estamos resolviedo ua idetermiació del tipo Veamos alguos ejemplos. ( ) ( ) 0 lim = = lim = lim = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ). c si lim = = lim = lim = = si 0 lim = = lim = lim = (*) Este último límite vuelve a ser del tipo 0, así que volvemos a dividir etre 0 : 0 ( ) (*) = lim = = lim = lim = 4 0, Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 4

5 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Cómpórtamietó de ua ució e ma s iiitó Matemáticas I - º Bachillerato Para epresar que damos a valores cada vez más grades, poemos ( tiede a más iiito). Los posibles comportamietos de ua ució cuado so los siguietes: lim ( ) =, es decir, cuado tipo las ucioes poteciales como logarítmicas de base mayor que : lim ( ) =, es decir, cuado y= y= a,, los valores de ( ), las ucioes radicales como y= log a ( a ). crece cada vez más. Por ejemplo, so de este y=, y las ucioes epoeciales y, los valores de ( ) so cada vez más pequeños y egativos. Como ejemplo se podría poer las ucioes del ejemplo aterior precedidas del sigo meos: y= lim y= log, = l, es decir, cuado caso, se dice que la recta y = l, los valores de ( ) y y =, 5 =, so cada vez más próimos a u úmero l. E tal es ua asítota horizotal de la curva. Por ejemplo, es ácil darse cueta, sobre todo co la ayuda de la calculadora, de que lim =, co lo que la recta horizotal es ua asítota 4 horizotal de la ució ( ) =. E el siguiete apartado veremos métodos prácticos para el cálculo de 4 límites cuado. lim o eiste, es decir, cuado y =, los valores de ( ) i crece i decrece ideiidamete, i se acerca cada vez más a igú úmero. Este comportamieto lo tiee, por ejemplo, las ucioes trigoométricas, pues oscila ideiidamete. Desde el puto de vista gráico, los cuatro casos ateriores los podemos represetar así: l o eiste Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 5

6 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Ca lculó de lí mites e ma s iiitó Matemáticas I - º Bachillerato Al igual que e los límites e u puto, el cálculo de límites cuado preseta ua variedad de casos, que depede del tipo de ucioes que se presete. Los más importates para este ivel de º de Bachillerato so los siguietes. Límites de ucioes poliómicas El límite cuado de ua ució poliómica es siempre o, segú que el coeiciete del térmio de P = a a a a a es u mayor grado (coeiciete líder) sea positivo o egativo. Es decir, si o si a 0 poliomio, etoces lim P( ) = lim ( a a a a ao ) =. Observa que e si a 0 este tipo de límites el protagoismo lo desempeña el térmio de mayor grado del poliomio, es decir, el valor de las potecias de grado ierior es isigiicate comparado co el valor que va tomado el térmio de mayor grado cuado lim a a a a a = lim a.. De este modo podemos escribir tambié: ( ) o Así por ejemplo: lim ( 4 6 ) = lim 4 = ; lim ( ) lim ( 6 5 ) Límites de ucioes iversas de poliómicas Si lim ( ) =, etoces = = lim = 0, pues al dividir por u úmero cada vez más grade, el cociete es cada vez más próimo a cero. E particular, si P( ) es ua ució poliómica, etoces Límites de ucioes racioales lim = 0. P Hemos visto que, cuado, el protagoismo de ua ució poliómica lo desempeña el térmio de mayor grado. De igual modo, e el límite cuado de u cociete de poliomios o ució racioal, sólo importa los térmios de mayor grado del umerador y del deomiador. Por tato, podemos dar la siguiete regla para hallar límites, cuado, de ucioes racioales. m m P( ) am am a a ao Supogamos que ( ) = = es ua ució racioal. Etoces: Q b b b b b Si grado P ( ) gradoq ( ), es decir, si m el del cociete de los coeicietes líderes Si grado P ( ) gradoq ( ) Si grado P ( ) gradoq ( ) o a b, es decir, si m =, es decir, si m m, etoces lim ( ). lim = 0., etoces ( ) =, etoces lim ( ) =. El sigo del iiito será el mismo que a b m =. Veamos tres ejemplos. 4 lim 6 = porque el grado del poliomio de arriba es mayor que el grado del poliomio de abajo 5 4 y, además, el cociete de los coeicietes líderes,, es egativo lim = 0, porque el grado del umerador es meor que el grado del deomiador lim = =, porque los grados so iguales y etoces se divide los coeicietes líderes. 4 4 Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 6

7 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Ramas iiitas. Así tótas Matemáticas I - º Bachillerato A lo largo de esta uidad os hemos ecotrado ya co ramas iiitas, es decir, tramos de curva que se aleja ideiidamete. Cuado ua rama iiita se aproima a ua recta, a esta se la llama asítota de la curva y a la rama correspodiete rama asitótica. Vamos a estudiar co detalle los tipos de ramas iiitas. Ramas iiitas e u puto. Asítotas verticales Las úicas ramas iiitas que puede darse e valores cocretos de la abscisa, verticales. Es decir, e ua ució hay asítota vertical e c lim =. Si simpliicada, es decir, ( ) = si c = c, so las ramas asitóticas ( ) es ua ució racioal P =, dode P y Q so poliomios que o tega raíces comues, sus asítotas Q verticales se ecuetra e los valores de que aula o so raíces del deomiador. Se halla pues resolviedo la ecuació Q( ) = 0. Ua vez calculadas las asítotas de ua ució racioal uo puede posicioar las ramas asitóticas co cierta acilidad. Basta hacer el estudio del sigo del límite ( o ), depediedo de que tedamos al puto por la izquierda o por la derecha, co lo que sabremos hacia qué parte de la asítota (por arriba o por abajo) se aproima la rama iiita de la curva. Veamos u ejemplo. Dada la ució y =, observamos que las solucioes de = 0, so = 0 y =. Estas so las asítotas verticales. Si ahora calculamos el límite de la ució cuado y cuado, teemos: lim 0 si 0 = = 0 si 0 0 lim 5 si = = 0 si Por tato, podemos dibujar de maera aproimada las ramas iiitas o asitóticas de la ució, que las tiee, como hemos visto, cuado 0 y cuado (véase la igura de la derecha). Ramas iiitas e más iiito Hay varios tipos de ramas iiitas cuado. Veamos las más importates. Asítota horizotal. Si lim asítota horizotal de la ució. = l, etoces la recta y = l es ua Asítotas oblicuas. Hay ucioes y = ( ) que, cuado, se aproima mucho a ua recta del tipo y = m, co m 0. Dicha recta es ua asítota oblicua. Ramas parabólicas. Si lim ( ) =, y la curva o tiee asítota oblicua, etoces la curva preseta ua rama parabólica. U ejemplo gráico se vio al ial de la págia 5, cuado se estudió el comportamieto de ua ució e. Hay dos tipos de ramas parabólicas. E uo de ellos la curva crece, o decrece, cada vez más deprisa. U ejemplo so las ucioes poliómicas y epoeciales. E el otro tipo, la curva crece, o decrece, pero cada vez más despacio. Es el caso de las ucioes radicales y logarítmicas. Asítota horizotal Asítota oblicua Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 7

8 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Obteció de ramas iiitas e ucioes racioales E este apartado cosideraremos el caso particular de ua ució racioal ( ) cuado, procederemos del siguiete modo. ) Si grado P ( ) gradoq ( ), sabemos que ( ) P lim = lim = 0. E este caso la recta Q Matemáticas I - º Bachillerato P =. Para hallar su rama iiita Q asítota horizotal. Para hallar la posició de la curva respecto de la asítota, se estudia el sigo de y = 0 (el eje ) es P Q para u valor grade de. Por ejemplo, la ució y = tiee e el eje ua asítota horizotal. Además, para u valor grade de, tato el umerador como el deomiador so positivos, co lo que la curva estará por ecima de la asítota horizotal cuado. ) grado P ( ) = gradoq ( ), sabemos que lim P = lim = l, co lo que la recta Q y = l es ua asítota P horizotal. Para hallar la posició de la curva respecto de la asítota, estudiamos el sigo de la dierecia l Q para u valor grade de. Por ejemplo, la ució y =, tiee ua asítota horizotal e es positiva si se sustituye por u valor grade. Por tato, la curva se acerca a la asítota por arriba cuado. y =. Además, la dierecia Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 8

9 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas grado grado =. E este caso eectuamos la divisió de ) P ( ) Q ( ) P( ) etre de cociete u poliomio de grado uo, o sea, del tipo m, y de resto u poliomio Q( ) Matemáticas I - º Bachillerato Q( ) R( ), co lo que se obtedrá de grado meor que. Por tato, como dividedo es igual a divisor por cociete más el resto, tedremos que P ( ) = Q ( ) ( m ) R ( ), de dode m 0 P Q R = m. Si ahora tomamos límites cuado, Q R( ) Q( ) m 0 vemos que uestra ució se dirige hacia el mismo sitio que la recta y = m, es decir hacia si, o R( ) hacia si. Esto es porque lim = 0, al ser de grado meor que. Todo este Q( ) razoamieto es para demostrar que la recta y = m es ua asítota oblicua de la ució racioal. La posició de la curva respecto de la asítota se averigua estudiado el sigo de R Q para valores grades de. 5 7 Por ejemplo, y= = y, por tato, la recta y = es ua asítota oblicua. Además, para valores grades de, es positivo, por lo que la curva está por ecima de la asítota cuado. grado grado. E este caso hay ua rama parabólica, hacia arriba o hacia abajo segú que 4) P( ) Q( ) P( ) lim sea Q( ) va hacia abajo cuado ) o. U ejemplo es la ució y =, e la que lim = (la rama parabólica Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 9

10 Uidad 9. Límites, cotiuidad y ramas iiitas Matemáticas I - º Bachillerato Cómpórtamietó de ua ució e meós iiitó Hasta ahora hemos trabajado el comportamieto de las ucioes cuado. Si, por el cotrario, hemos de estudiar el comportamieto de ua ució cuado, las deiicioes, razoamietos y procedimietos sobre el cálculo de límites so similares a los que se ha hecho para los límites cuado. U resume gráico de las tres situacioes más comues sería el siguiete: l Para el cálculo de límites de ucioes poliómicas y racioales, basta razoar sobre las potecias de úmeros egativos. Si es par, lim =, y si es impar, lim =. Teiedo esto e cueta y maejado correctamete la regla de los sigos, los procedimietos para el cálculo de límites de ucioes poliómicas y racioales so idéticos a los ya vistos para el caso de que. Otro tato ocurre co las asítotas y demás ramas iiitas. Así pues: E geeral, todos los límites cuado se resuelve de orma similar a los, teiedo e cueta la regla de los sigos. La obteció de las asítotas horizotales y oblicuas para y la posició de la curva respecto a ellas, es similar a lo ya visto. Si la ució es cociete de dos poliomios y tiee asítota horizotal u oblicua para, tiee la misma asítota para. Ejemplo Como lim = se obtiee la asítota horizotal y = (la misma que se obtedría si ). Además, si tomamos u valor muy grade pero egativo se tiee que 0, co lo que la curva se acerca a la asítota por debajo cuado (cuado la curva se acerca por arriba). Recordemos además (ver págia 7) que = 0 y = era asítotas verticales y se vio la posició de la curva respecto de las mismas. Co esta iormació podemos hacer ua represetació gráica más o meos aproimada de la ució (ver igura de la derecha). Límites, cotiuidad y ramas iiitas Págia 0