CAPÍTULO DOS. TRANSFORMADA Z.

Transcripción

1 CAPÍULO DOS. RANSORMADA Z. II.. INRODUCCIÓN. E el capítulo aterior se demostró que la trasormada de Laplace de ua señal muestreada (t) puede ser expresada e distitas ormas: ( ) s e s (2-) ( ) s ( s j ) ( s) de ( λ) ( s λ ) e polos de ( λ ) ω (2-2) residuos e. (2-3) La ecuació (2-) es ua orma ovedosa de ver ua ució trasormada pues se idica, explícitamete e su estructura, la ubicació temporal de las muestras de la secuecia. Eectivamete, mietras el actor de cada uo de los térmios señala el valor de la muestra el aactor e s idica su desplaamieto. La ecuació (2-2) es iteresate desde el puto de vista didáctico, ya que permite compreder problemas asociados a la recostrucció de señales muestreadas. La ecuació (2-3) preseta la vetaja de ser ua expresió cerrada y particularmete útil para obteer la trasormada de la señal muestreada a partir de tablas de trasormadas de señales cotiuas. II.2. RANSORMADA Z. Observado la ecuació geeral (2-3) se puede ver que s aparece e el actor e s. La presecia de s e orma expoecial, e todas las expresioes cerradas de (s), sugiere la posibilidad de u cambio de variable compleja. Se deie, etoces, la variable como: es decir, s e, (2-4) s l( ). (2-5) como: E estas codicioes se deie la trasormada uilateral de ua señal muestreada ( ) ( s). (2-6) l( ) s

2 La ecuació (2-6) es aáloga a la (2-) y por comparació puede iterpretarse a - como u operador de retardo de ua muestra. Así - idica, para cada valor de, la ubicació relativa e el tiempo de los distitos valores de la secuecia. Cuado se debe aaliar señales deiidas para todo tiempo, como so por ejemplo las señales aleatorias, se suele utiliar la trasormada bilateral e la cual el ídice de la sumatoria se extiede de - a. E el caso de señales causales, (t) es ula para tiempos egativos, por lo tato, el ídice de la sumatoria se extiede de a como lo muestra la ecuació (2-6). Es importate destacar que la trasormació (2-5) se realia e (s) y o e (s). Ejemplo. Calcular la trasormada uilateral de la secuecia que se obtiee al muestrear u escaló uitario, es decir: A partir de la ecuació (2-6) se obtiee: si. (2-7) si < ( ) que puede expresarse e orma cerrada como:, (2-8) ( ) para >. (2-9) II.3. RELACIÓN ENRE LOS PLANOS S MUESREADO Y Z. Cada oa del plao sσ +jω, tiee su correspodiete e el plao M e jφ siedo Me σ y φω. Resulta coveiete deiir esta correspodecia para distitas oas características. Por ejemplo, s jω correspode a e jω, dode represeta el período de muestreo y está relacioado co la pulsació de muestreo ω a través de: ω 2π (2-) Esto sigiica que la porció del eje jω etre -jω /2 y jω /2, se correspode e el plao co ua circuerecia de radio uitario co cetro e el orige de coordeadas. La semibada iquierda correspodiete a σ egativo y limitada por ± jω /2, resulta e putos del plao deiidos por Me σ < y de argumeto φ variado etre -π y π. Esto sigiica que toda la semibada iquierda se trasorma e el iterior del círculo de radio uitario. E orma aáloga, toda la semibada derecha limitada por ± jω /2 tiee como supericie trasormada todo el exterior del círculo de radio uitario. (Ver igura 2.). 2

3 Plao s. jω Plao. ω -ω igura 2.. Correspodecia de putos etre los plaos s y. Puede veriicarse, tambié, que todas las badas que está compredidas e los itervalos j(2+)ω /2 y j(2+3)ω /2, co etero y distito de -, es decir, todas las badas de amplitud ω a partir de la origial (± jω /2), so trasormadas segú ua supericie que coicide co todo el plao. Cuado se trasorma ua señal aalógica e ua señal muestreada y se calcula la trasormada de Laplace de la secuecia, se obtiee ua ució periódica, de período ω e el plao s (ecuació 2-2). Esto sigiica que, por ejemplo, ua señal cuya trasormada tiee u polo, al ser muestreada, preseta iiitos polos (ya que el polo origial aparece e su posició iicial y repetido e múltiplos de ω ). E la trasormació al domiio, debido a que todas las badas está superpuestas, esa catidad iiita de polos se covierte e ua catidad iita, lo cual hace que esta trasormació sea más coveiete para aaliar ua secuecia. E la ecuació (2-2) puede observarse que (s) repite e orma periódica los polos de (s) pero o sus ceros, ya que los ceros de (s) so el resultado de la sumatoria de iiitos térmios. Por lo tato, el proceso de muestreo, cambia la posició de los ceros existetes e iclusive puede geerar uevos. Ejemplo. Cosidere que la señal cotiua es muestreada resultado: t τ ( t) u( t) e (2-) ( s), (2-2) s + τ τ ( t) e δ ( t ). (2-3) La trasormada de Laplace de la secuecia de impulses que deie a la señal muestreada es: 3

4 ( ) s e τ e s, (2-4) es: ( τ + s) ( s) válida para e e >. (2-5) τ s e - /τ Haciedo ahora αe y e s ; se tiee la trasormada, que para la orma cerrada Por otra parte, a partir de la ecuació (2-2), se obtiee: ( s) ( ). (2-6) α s + ( τ jω ). (2-7) actoriado la ecuació (2-7) se observa que posee iiitos polos separados e jω. La expresió (2-6) de la trasormada, e cambio, tiee u sólo polo e α. jω jω jω -jω igura 2.2. Correspodecia etre los plaos s y para u polo real. La igura 2.2 represeta la correlació etre los plaos s y. El polo e α, correspode a los iiitos polos e s -/(τ-jω ) debido al hecho que el plao puede verse como la superposició de las badas del plao s plegadas ua ecima de la otra. De modo que los iiitos polos se superpoe dado u úico polo e. II.4. PROPIEDADES DE LA RANSORMADA Z. A cotiuació se eucia las pricipales propiedades e la aplicació de la trasormada y se aalia las más importates. Liealidad: { a x + b x2 } a Z{ x } + b Z{ x } Z 2 (2-8) 4

5 Desplaamieto a la derecha: Z { } d x X ( ) ; d > d (2-9) Desplaamieto a la iquierda: Z d + d q d q d q { x } [ X ( ) x ] ; > (2-2) Amortiguamieto: Z α α { x e } X ( e ) (2-2) eorema del valor iicial: Da el valor iicial de ua señal causal muestreada a partir de la trasormada de esa secuecia. (2-6). ( ) lím ( ). (2-22) La ecuació (2-22) se obtiee e orma imediata aplicado el límite a la ecuació eorema del valor ial: Da el valor al cual tiede la señal muestreada a partir de su trasormada. ( ) ( ) lím lím. (2-23) Para su demostració, se deie la trasormada de la secuecia trucada e N como: N N ( ). (2-24) Retardado la ució ua muestra y mateiedo el trucamieto e N resulta: ( ) N N (2-25) Como se sigue trucado la secuecia e N muestras, la última ució tiee ua muestra meos que la (2-24). Haciedo la dierecia etre las dos y tomado el límite de esta dierecia para tediedo a, se obtiee la muestra -ésima: lím N ( ) N ( ) N. (2-26) 5

6 Nótese que cada ua de las sumatorias ateriores, e las ecuacioes (2-24) y (2-25), para N tediedo a iiito, coverge a (). De modo que: lím N N. (2-27) ( ) N ( ) ( ) ( ) eiedo e cueta las ecuacioes (2-26) y (2-27) se obtiee la ecuació (2-23). II.5. ANIRANSORMADA Z. Hasta aquí se ha visto cómo se trasorma ua secuecia de muestras e ua ució de variable compleja. El problema iverso es la atitrasormació. Es decir, dada ua ució trasormada e, poder extraer la secuecia que le dio orige. La ecuació (2-6) es la deiició de la trasormada uilateral y tiee la orma de ua serie de Lauret, cuyos coeicietes so las muestras. Es así, que puede ser deiida a través de ua itegral de Cauchy: 2π j C ( ) d. (2-28) La itegral de líea, se extiede a ua curva cerrada C que debe evolver a todos los polos del itegrado y debe estar icluida e la regió de covergecia de (). La resolució de la itegral puede eectuarse por el teorema de los residuos: ( ) ] e los polos de ( ) Res [. (2-29) Para ua ució co u polo simple e p el residuo resulta: ( p ) ( ) p Res. (2-3) De modo que, coocida (), se calcula los residuos del itegrado y luego aplicado la ecuació (2-29) se puede hallar, que es la secuecia temporal resultate del muestreo que dio orige a (). Ejemplo. A Sea ( ) dodeα <. (2-3) α Es decir Si se aplica (2-29) para obteer la atitrasormada de () resulta ( ) A α Res. (2-32) α A α. (2-33) Aplicado el teorema del valor iicial se obtiee () A y aplicado el teorema del valor ial ( ). Del mismo modo que para la trasormada de Laplace, existe tablas para la trasormada. Así es posible atitrasormar ua ució expresádola como ua suma de ucioes más elemetales cuyas atitrasormadas se ecuetra e las tablas. 6

7 Ejemplo. Cosidere la trasormada: ( ) () puede expresarse de la siguiete orma: α ( ) ( e ). (2-34) α e ( ). (2-35) α α e e Si se cosulta ua tabla se ve que el primer térmio detro del corchete correspode a ua secuecia u (escaló), y el segudo, a e -α, (serie expoecial decreciete). De modo que: α ( ) [ e ] + (2-36) α e INVERSIÓN NUMÉRICA. Este método resulta útil cuado la trasormada es relativamete compleja, o siedo ácilmete distiguibles sus polos. La ució () puede ser expresada como cociete de poliomios: ( ) m i i α β i i i i. (2-37) Para el caso e dode los coeicietes vega dados e orma umérica puede hacerse directamete la divisió de los poliomios tal como lo idica la expresió. De esta orma surgirá u uevo poliomio: ( ) C + C + C + + C (2-38) Por comparació co la deiició de trasormada, (ecuació (2-6)), se obtiee los valores de. Luego, eectuado la divisió de los poliomios compoetes de () puede obteerse, e cosecuecia, la secuecia origiaria de esa trasormació. Ejemplo. Sea ( ). (2-39) 2,44 + Realiado el cociete de los poliomios umerador y deomiador se obtiee: ( ) +,44 + +,44 (2-4) De modo que: 7

8 () (4) (8) () (3) (9) (2) ().44 (5) (7) (3) (6) (4).44 Si se represeta gráicamete los valores ateriores puede ituirse que correspode a ua ució seo muestreada (igura 2.3). igura 2.3. Muestras de la ució seo cada segudos. 8