OBTENCIÓN DE FACTORES DE LA FORMA (x m b), DE UN POLINOMIO DE GRADO n m

Transcripción

1 OBTENCIÓN DE FACTORES DE LA FORMA x m b), DE UN POLINOMIO DE GRADO m Ricardo Alberto Idárraga Idárraga Uiversidad de Caldas TEOREMA Método para hallar factores de la forma x m b), com N, m, yb C, de u poliomio de grado, co N y coeficietes complejos Sea P x) =a x +a 1 x 1 + +a x +a 1 x 1 +a 0,coa 0,a 1,,a 1,a complejos, a 0 0,y,a 0;six m b) esufactordep x), y si = km+i co k Z +, i Z +,0 i<m, etoces b lo podemos hallar como u cero de cada uo de las siguietes ecuacioes poliómicas e b: P b) = a pm+ j b p =0,, 1,, i; y, p =0 P b) = a pm+ j b p =0, j = i +1,i+,, m p =0 Prueba El residuo de dividir px) etre x m b) es: Rx) = [ i ) ] a pm + j b p x j + p =0 j = i +1 [ k p =0 ) ] a pm + j b p x j ótese que es de grado m, y el cociete es:

2 Memorias XIII Ecuetro de GeometríayIdeAritmética Cx) = a mk+ i j x k )m + i j + a k )m + i j + a km+ i j b ) x k )m + i j + a k )m + i j + a k )m + i j b + a km+ i j b ) x k 3)m + i j a m + i j + a 3 m + i j b + + a km+ i j b k ) x m+i j a m + i j + a m + i j b + + a km+ i j b k ) x i j Cuado x m b) esfactordep x), etoces Rx) = 0, luego, cada uo de los poliomios e b coeficietes de los x j e Rx) ) es cero, por lo tato, si existe algú úmero racioal b que es cero de cada uo de los poliomios e b, dichoúmero es tal que x m b )esfactordep x) Completa la demostració el hecho de que co las expresioes ateriores se tiee que: x m b) Cx)+Rx) =P x) Falta probar que efectivamete [Cx)] x m b) +Rx) =P x) o que Cx) x m b Cx)+Rx) =P x) 340

3 Obteció de Factores de la Forma x m b), de u Poliomio Cx) x m = a mk+ i j x km+ i j + a k )m + i j + a km+ i j b ) x k )m + i j + a k )m + i j + a k )m + i j b + a km+ i j b ) x k )m + i j + + a m + i j + a 3 m + i j b + + a km+ i j b k ) x m + i j + a m + i j + a m + i j b + + a km+ i j b k ) x m + i j bcx) = a mk+ i j bx k )m + i j a k )m + i j b + a km+ i j b ) x k )m + i j a k )m + i j b + a k )m + i j b + a km+ i j b 3) x k 3)m + i j a m + i j b + a 3 m + i j b + + a km+ i j b k ) x m + i j a m + i j b + a m + i j b + + a km+ i j b k) x i j 341

4 Memorias XIII Ecuetro de GeometríayIdeAritmética Cx) x m bcx) = a k )m + i j x k )m + i j a km+ i j x km+ i j + a m + i j x m + i j + a k )m + i j x k )m + i j a m + i j x m + i j a m + i j b + a 3 m + i j b + + a km+ i j b k ) x m + i j a m + i j b + a m + i j b + + a km+ i j b k) x i j Rx) = + j = i +1 i a j + a m + j b + + a km+ j b ) k x j a j + a m + j b + + a k )m + j b k ) x j Rx) = a 0 + a m b + + a km b ) k + a 1 + a m +1 b + + a km+1 b ) k x + + a i + a m + i b + + a km+ i b ) k x i + a i +1 + a m + i +1 b + + a k )m + i +1 b ) k x i a m + a m b + + a km b ) k x m + a m + a m b + + a km b k ) x m De dode: 34

5 Obteció de Factores de la Forma x m b), de u Poliomio [Cx)] x m b) = a km+ i j x km+ i j + a k )m + i j x k )m + i j + + a m + i j x m + i j ) a m + i b + a m + i b + i a m + i j x m + i j + + a km+ i b k ) x i a m + i b + a m + i b + + a km+ i b k) x i a m +1 b + a m +1 b + + a km+1 b k) x a m b + a m b + + a km b k) a m b + a 3 m b + + a km1 b ) k x m a m b + a 3 m b + + a km b ) k x m a m + i + b + a m + i + b + + a k )m + i + b ) k x i + a m + i +1 b + a m + i +1 b + + a k )m + i +1 b ) k x i +1 Haciedo : Rx) + [Cx)] x m b) = a km+ i j x km+ i j + a k )m + i j x k )m + i j + ) i + a m + i j x m + i j + a m + i j x m + i j + a 0 + a 1 x + + a i x i + a i +1 x i +1 + a i + x i a m x m + a m x m 343

6 Memorias XIII Ecuetro de GeometríayIdeAritmética = a km+ i x km+ i + a km+ i x km+ i + + a k )m + i x k )m + i + a k )m + i x k )m + i + + a k )m + i +1 x k )m + i a m + i x m + i + a m + i x m + i + + a m + i+1 x m + i+1 + a m + i x m + i + a m + i x m + i + + a m x m + a m x m + a m x m + + a 1 x + a 0 Como km + i = : Rx) +[Cx)] x m b) = a x + a 1 x a 1 x 1 + a 0 = P x) COROLARIO I U poliomio como el descrito e el euciado del teorema, admite posibles factores de la forma x m + t b), co: 1 m +1),yt =0,si es impar y el poliomio es completo 1 m +1),y,1 t 1),sies impar y el poliomio es icompleto pero su icompletez cosiste e: a { +1) a,y, +1) { }+t1 }t =0=a { +1) }t +1 = = a +1) = a { +1) }+1 = = Si algú a i =0,co1 i { +1) }t1, etoces tambié a = 0 y viceversa i + { +1) } + t 3 m,y,t = 0, si es par y el poliomio es completo 4 1 m,y,1 t, si el poliomio es icompleto pero su icompletez cosiste e a t +1 =0=a t + = = a = a = a +1 = = a +t1,y,sialgú a i =0,co1 i t, etoces tambié a i + +t = 0, y viceversa 344

7 Obteció de Factores de la Forma x m b), de u Poliomio Prueba Si es impar, el poliomio tiee máximo +1térmios, supogamos que x { +1) { } }+t b, co1 t ), t Z, es u posible factor de P x), las +1) + t ecuacioes poliómicas e b que resulta de aplicar el teorema so P 1 b) =a 0 + a { +1) }+t b =0 P b) =a 1 + a { +1) }+t+1 b =0 P { b) =a +1) }t { + a +1) }t1 { +1) }t1+{ b = +1) }+t = a { + a +1) }t1 b =0 P { b) =a +1) }t+1 { =0 +1) }t P +1) b) =a { +1) }1 =0 P { +1) b) =a +1) =0 }+1 P { b) =a +1) }+ { =0 +1) }+1 P { b) =a +1) }+t { =0 +1) }+t1 Para que el sistema de ecuacioes pueda teer ua solució comú b, esecesario que todos los coeficietes que costituye las ecuacioes moómicas sea ceros y que si algú coeficiete de las ecuacioes biómicas es cero, etoces el otro coeficiete de la misma ecuació tambié es cero obteiédose así idetidades de la forma 0 = 0 que admite las solucioes de las demás ecuacioes, co esto queda probados los umerales 1) y ) del euciado del corolario Si es par, el poliomio tiee como máximo +1 térmios, supogamos que 345

8 Memorias XIII Ecuetro de GeometríayIdeAritmética x )+t b, co1 t, t Z, es u posible factor de P x), las ) + t ecuacioes que resulta de aplicar el teorema so: P 1 b) =a 0 + a )+t b =0 P b) =a 1 + a )+t1 b =0 P )t+1 b) =a )t + a )t+ )+t b = a )t + a b =0 P )t+ b) =a )t+1 =0 P )t+3 b) =a )t+ =0 P ) b) =a )1 =0 P )+1 b) =a ) =0 P )+ b) =a )+1 =0 P )+t1 b) =a )+t =0 P )+t b) =a )+t1 =0 Las mismas cosideracioes que se hiciero ateriormete prueba lo euciado e los umerales 3) y 4) del corolario NOTA A partir del criterio de las derivadas del poliomio P x), a saber: si P c) =0, P c) =0,P c) =0,, P r1) c) =0y P r) c) 0, etoces P x) admiteelfactorxc) r, al hallar u factor de la forma x m b), hemos hallado m factores lieales de la forma x b i,co1 i m, los cuales so las m raíces m ésimas de b, porlotatoacáesválido el mismo y se aplicaría como se aplica el teorema, es decir, se platea las m ecuacioes poliómicas e b y se ecuetra el úmero b que las satisfaga, luego se deriva P x) yse 346

9 Obteció de Factores de la Forma x m b), de u Poliomio platea las m ecuacioes poliómicas e b para probar que b es raíz de todas, y se cotiúa aplicado este procedimieto hasta probar que b satisface las m ecuacioes poliómicas plateadas a partir de P r1) x), pero o a las de P r) x), este procedimieto se vuelve algo egorroso y se puede cambiar por probar que b satisface las derivadas hasta de orde r y o satisface la de orde r de las m ecuacioes poliómicas e b plateadas a partir de P x) si ecesidad de estar derivado sucesivamete P x) y posteriormete plateado las m ecuacioes e b y evaluado, este procedimieto se valida a partir del siguiete corolario COROLARIO II Prueba 1 Si P b) = y P b) = a pm+j b p =0,, 1,,i 1) pm + j)a pm+j b p =0,, 1,,i1 ) etoces P b )= pa pm+j b p1 =0,, 1,,i 3) P =1 Derivado 1) co respecto a b se obtiee P b )= pa pm+j b p1 = pa pm+j b p1 = p=1 De ) se tiee P b) =m pa pm+j b p + j ) 1 pa pm+j b p 4) b a pm+j b p =0,, 1,,i 5) De 1) j a pm+j b p =0 6) 347

10 Memorias XIII Ecuetro de GeometríayIdeAritmética Sustituyedo 6) e 5) resulta pa pm+j b p =0, 7) y sustituyedo 7) e 4) resulta pa pm+j b p1 =0 p=1 k1 Si P b) = a pm+j b p =0, j = i +1,i+,, m 8) k1 y P b) = pm + j)a pm+j b p =0, j = i, i +1,,m, 9) etoces k1 P b )= pa pm+j b p1 = 0 10) p=1 La prueba de 10) a partir de 8) y 9), se efectúa e forma aáloga a como se hizo para 3) OBSERVACIÓN Otro método para hallar las ecuacioes poliómicas e b cosiste e aplicar la divisió sitética co ua costate b por determiar, ordeado los coeficietes de P x) e forma descediete y tomado cada segudo coeficiete si m =, cada tercer coeficiete si m = 3, etc, las ecuacioes poliómicas buscadas será los residuos o últimas expresioes igualadas a cero, como se muestra a cotiuació para la siguiete ecuació: P x) =x 9 x 8 +x 7 5x 6 x 5 8x 4 +4x 3 0x 6x = 0 Buscamos factores de la forma x 4 b), aplicamos la divisió sitética cada cuarto coeficiete 348

11 Obteció de Factores de la Forma x m b), de u Poliomio b b b b 1 b1 b b6 -b -b 8b -1 -b8 -b 8b1 b b+4-5b -5-5b10 Las ecuacioes poliómicas e b buscadas so respectivamete b b 6=0 b 8b = 0 b +4=0 5b 0 = 0 Obsérvese que so las ecuacioes obteidas al aplicar el teorema CONCLUSIONES El grado de dificultad para hallar factores de la forma x m b) dismiuye amedidaqueaumetam puesto que las ecuacioes e b resultates para resolver tiee cada vez meos térmios El teorema se puede cosiderar como ua extesió a grado m del ya existete que permite hallar los factores de la forma x b) cob racioal, además aplica éste e la solució de los poliomios e b 349