Coeficientes Binomiales

Transcripción

1 Uiversidad de los Ades Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales Escuela de Estadística Coeficietes Biomiales Prof. Gudberto José Leó Ragel MÉRIDA- VENEZUELA, 5

2 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Coeficietes Biomiales Si es u etero positivo y se expresa el biomio ( x y) e la multiplicació térmio por térmio, cada térmio será el producto de las x y las y, dode ua x o ua y proviee de cada uo de los factores x + y. Por ejemplo, la expresió ( x y) ( x y)( x y)( x y) x x x x x y x y x x y y y x x y x y y y x y y y x x y xy y produce térmios de la forma x, x y, xy e y. Sus coeficietes so,,, y el coeficiete de xy, por ejemplo, es, el úmero de formas e que se puede escoger los dos factores que proporcioa las y. De la misma maera, el coeficiete de x y es, el úmero de formas e que se puede elegir el factor que proporcioa la y, y los coeficietes de x e y so y. E forma más geeral, si es u úmero positivo y se multiplica ( x y) térmio por térmio, el coeficiete de x y es, el úmero de formas e las que se puede elegir los factores que proporcioa las y. Segú esto se llama a coeficiete biomial, así ( x y) x y () para cualquier etero positivo, se cooce como teorema biomial. Basado e Freud, Jho y Walpole, Roald. Estadística Matemática co Aplicacioes. Págs. -8. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

3 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Nota : E lo expuesto e la secció de técicas de coteo, el úmero combiatorio es sigificativo sólo si y so eteros o egativos co. Si embargo, puede ser geeralizado de u etero positivo a cualquier úmero real. Se sabe que para =,,, y para =. ( )( ) ( ),! Se puede observar que la última expresió es sigificativa si es cualquier úmero real y es cualquier etero o egativo. De esta maera se tiee que:!! () Lo que se cooce como el úmero combiatorio egativo. ( 4) ( 7) Así, por ejemplo,. 5 5! Utilizado esta versió extedida de los coeficietes biomiales, puede expresarse la forma geeralizada del teorema biomial ( x y) se cooce tambié como el Biomio de Newto. Tomado de Mood, Graybill y Boes. Itroductio to the Theory of Statistics. Págs. 5; Meyer, Paúl. Probabilidad y Aplicacioes Estadísticas. Pág. 6. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

4 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística ( y) y () Esta serie es sigificativa para cualquier real y para todas las y tales que y. Obsérvese que si es u etero positivo, la serie ifiita se reduce a u úmero fiito de térmios, puesto que e ese caso si. Triágulo de Pascal 4 Los coeficietes de las potecias sucesivas de x + y puede ser distribuidos e ua formació triagular de úmeros, llamada Triágulo de Pascal, como sigue: x y x y x y x y x xy y x y x x y xy y x y x 4 x y 6 x y 4 xy y x y x 5 x y x y x y 5 xy y x y x 6 x y 5 x y x y 5 x y 6 xy y 4 Basado e Lipschutz, Seymour. Op. Cit. Pág.. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 4

5 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Figura. Triágulo de Pascal. El triagulo de Pascal tiee las siguietes propiedades iteresates: a. El primero y último úmero de cada fila es. b. Cada uo de los otros úmeros de la formació se obtiee sumado los dos úmeros que aparece directamete ecima de él. Por ejemplo: = 4+6, 5 = 5+, = +. Teoremas que emplea Coeficietes Biomiales Teorema Fórmula de Steaffel Prueba:!! ( )! ( )! ( )! Para obteer el mismo deomiador e ambas fraccioes, se multiplica la primera fracció por y la seguda fracció por. Etoces: Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 5

6 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística! ( )! ( )! ( )!! ( )( )!! ( )!! ( )!! ( )!! ( )! ( )!! ( )!! ( )! ( )! ( )!! ( )!! ( )! Teorema Teorema Biomial ( x y) x y Prueba: 5 Por iducció matemática se tiee que: El teorema es cierto para =, puesto que: x y x y x y x y x y Se supoe que el teorema se cumple para x y y se prueba que es cierto para x y : x y ( x y)( x y) ( x y) x x y x y x y xy y Ahora el térmio del producto que cotiee y se obtiee de 5 Basada e Lipschutz, Seymour. Probabilidad. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 6

7 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística y x y x x y x y x y x y Pero por el Teorema se sabe que x y.. Es decir, el térmio que cotiee y es Se observa que ( x y)( x y) es u poliomio de grado + e y. E cosecuecia, ( x y) ( x y)( x y) x y Coeficietes Multiomiales 6 So los coeficietes que se preseta e la expasió de x x x. El coeficiete multiomial del de la expasió de x x x térmio x x x es!,,,!!! Este úmero se deomia coeficiete multiomial debido a que aparece e el teorema multiomial, el cual se puede euciar como sigue: 6 Basado e Freud, Jho y Walpole, Roald. Estadística Matemática co Aplicacioes. Pág. 8; DeGroot. Morris, Probabilidad y Estadística. Págs. -. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 7

8 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Teorema Teorema Multiomial Para cualesquiera úmeros x, x,, x y cualquier etero positivo,! x x x x x x!!! E esta ecuació la suma se extiede sobre todas las combiacioes posibles de eteros o egativos,,, tales que. Nota : U coeficiete multiomial es ua geeralizació del coeficiete biomial tratado ateriormete. Para =, el teorema multiomial es el mismo que el teorema biomial y el coeficiete multiomial se covierte e u coeficiete biomial. Teorema 4 7 r m m r r Prueba: 8 Se probará el teorema igualado los coeficietes de ecuació y = y y m m. y e las expresioes que figura e ambos lados de la El coeficiete de y e m y es m, y el coeficiete de y e m m m m m y y y y y y m 7 Esta propiedad es utilizada e cosideracioes teóricas de la distribució Hipergeométrica. 8 Tomado de Freud, Jho y Walpole, Roald. Op. Cit. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 8

9 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística es la suma de los productos que se obtiee al multiplicar el térmio costate del primer factor por el coeficiete de y e el segudo factor, el coeficiete de y e el primer factor por el de y del segudo factor,, y el coeficiete de y del primer factor por el térmio costate del segudo factor. Por tato, el coeficiete de y e m y y es: m m m m m r r r Lo cual completa la demostració: r m m r r Teorema 5 9 (4) m m dode m es u úmero etero y tambié es u etero co. Prueba: Se procederá por iducció completa e el valor de m. Para m =, Si, ambos miembros vale. Si =, m y m ecuació (4) so iguales a., etoces ambos lados de la 9 Tomado de Uiversidad Nacioal Abierta. Itroducció a la probabilidad. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 9

10 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Si =, el primer miembro de (4) es: que coicide co el segudo miembro: m Se puede admitir etoces que el teorema es válido hasta m y se probará que de allí resulta que tambié lo es para m (m ) Aplicado la fórmula de Steaffel del Teorema, adaptada para esta demostració (haciedo +=m e la relació del Teorema ): m m m ; ( ), Se tiee que: m m m m m m (5) * Ahora se desarrollará * de la ecuació (5): m m m Sustituyedo e la ecuació (5): m m m (6) Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

11 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Aplicado ahora la hipótesis de iducció (el resultado es válido para m ), se tiee que: m m m Y m m Reemplazado e (6): m m m m m m m Aplicado uevamete la fórmula de Steaffel, m m Alguas Relacioes que emplea Números Combiatorios. Basado e Torres, Erique. Problemario de Matemáticas I. Págs. -6; Freud, Jho y Walpole, Roald. Op. Cit. Págs. -; Mood, Graybill y Boes. Op. Cit. Págs Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

12 Teoría Estadística I Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística ; (Fórmula de Steaffel) !. y y y. Si R y y < etoces: y. y. y y, y < x y z x y z a b c 4. a b c 5. y m m Z y ; a, b, c tales que a+b+c= (Teorema Triomial) Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

13 Teoría Estadística I Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística x y x y x y x y x y y y mm m. 4. ; para =,, y,,, Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve

14 Profesor Gudberto Leó Uiversidad de Los Ades - Facultad de Ciecias Ecoómicas y Sociales - Escuela de Estadística Departameto de Estadística Referecias DeGroot, M. (988). Probabilidad y Estadística. Seguda Edició. Readig, Massachusetts: Addiso-Wesley Publishig Compay, Ic. Freud, J. y Walpole, R. (99). Estadística Matemática co Aplicacioes. Cuarta Edició. México: Pretice-Hall. Lipschutz, S. (996). Probabilidad. México: McGraw-Hill. Meyer, P. (998). Probabilidad y Aplicacioes Estadísticas. México: Addiso Wesley Logma. Mood, A., Graybill F. y Boes, D. (974). Itroductio to the Theory of Statistics. Tercera edició. Nueva Yor: McGraw-Hill Boo Co. Uiversidad Nacioal Abierta. (987). Itroducció a la probabilidad. Caracas: UNA. Direcció: Av. Las Américas. Uiversidad de los Ades Cojuto La Liria. Edif. F. Piso. Departameto de Estadística. Cubículo 58. Mérida Veezuela. Telf. (74) 45 (directo) 4 (secretaria). gudberto@ula.ve 4

15