TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER (FFT)

Transcripción

1 Capítulo 6 TRASORADA RAPIDA DE OURIER (T) Los temas a tratar e el presete capítulo so: 6. Algoritmo T 6. T Iversa. 6.3 Implemetació

2 Televisió Digital 6- La implemetació de la ec. (4.5) ivolucra u úmero de sumas y multiplicacioes complejas que es proporcioal a. Lo aterior se puede apreciar fácilmete ya que para cada uo de los valores de, la expasió jπ de la sumatoria requiere multiplicacioes complejas de f(x) por e y (-) sumas de resultados. jπ El térmio e puede ser calculado de ua vez y almaceado e ua tabla para las aplicacioes subsecuetes; por tal razó, la multiplicació de por x e este térmio o se cotabiliza ormalmete como parte de la implemetació. Se demuestra e lo que sigue que la descomposició de la ec. (4.5) (se reitera para mayor comodidad): jπ ( ) = f ( x) e ((4.5)) permite reducir el úmero de sumas y multiplicacioes a u valor proporcioal a log. El procedimieto de descomposició se deomia Algoritmo de Trasformada Rápida de ourier (T). El ahorro o reducció e el úmero de operacioes es sigificativo para valores de como los que es doble esperar e imágees prácticas, por ejemplo, para ua image de 4 x 4 pixels, = 4, se tedría: Co T = operacioes complejas, log =.4 operacioes complejas Co ua reducció de.4:, el tiempo de cómputo, empleado máquias equivaletes, se reduce a meos del %. La descripció que sigue se refiere al desarrollo de u algoritmo de T para ua variable. Tal como se señala e la ecuació (4.5.) ( Separabilidad ), ua T.. de dos variables puede ser calculada por aplicació sucesiva de la T.. de ua variable. 6. Algoritmo para T. El algoritmo que se platea está basado e el método deomiado doblamieto sucesivo. Para simplificar las expresioes, la ec. (4.5) se reescribe: ( ) = f ( x) (6.) dode y se supoe de la forma : jπ / = e (6.) = (6.3)

3 Televisió Digital 6-3 co etero positivo. Etoces puede expresarse: co tambié etero positivo. Sustituyedo (6.4) e (6.) se tiee: = (6.4) ( ) = f ( x) = f ( ) ( x) ( ) ( x+ ) x + f x + (6.5) x x Puesto que, de ec(6.), =, la ec. (6.5) puede expresarse: ( ) = f ( x) + f ( x + ) (6.6) Si se defie: para =,,, - y: ( ) par = f ( x) (6.7) ( ) impar = f ( x + ) (6.8) para =,,, -, etoces la ec. (6.6) se hace: + Tambié, dado que = { } ( ) = par ( ) + impar ( ) (6.9) y + = ( ) = ( ) ( ), { } + (6.) par impar U aálisis cuidadoso de las ecuacioes (6.7) a (6.) muestra alguas propiedades iteresates de dichas expresioes. ótese que ua trasformada de -putos puede ser calculada dividiedo la expresió origial e dos partes, como se idica e las ecs (6.9) y (6.). El cálculo de la primera mitad de ( ) requiere de la evaluació de las dos trasformadas de / putos segú las ecs. (6.7) y (6.8). Los valores resultates de impar ( ) y par ( ) se sustituye e la ecuació (6.9) para obteer ( ) para =,,,, (/-). La otra mitad se obtiee mediate la ecuació (6.) si requerir evaluacioes adicioales de la trasformada. Cosiderado u úmero de muestras igual a, co etero positivo, se puede demostrar que el úmero de operacioes complejas (multiplicacioes y sumas) está dado por: ( ) = m( ) + m. (6.)

4 Televisió Digital 6-4 a ( ) a( ) + =. (6.) expresioes recursivas que idica el úmero de multiplicacioes (ec. 6.) y de sumas (ec. 6.). para las que m() y a() so iguales a cero, puesto que la trasformada de u puto o requiere operació algua. úmero de operacioes. Es posible cocluir, por iducció, que el úmero de operacioes, sumas y multiplicacioes complejas, que se requiere para implemetar u algoritmo para T como el recié descrito está dado por: m( ) = log = log = (6.) y ( ) = = log = para multiplicacioes (6.) y sumas (6.3). 6. La T iversa. a log (6.3) Resulta que todo algoritmo que se implemete para calcular la T discreta co modificacioes simples e sus etradas, puede ser utilizado para el cálculo de la iversa. La ecuació de la directa: y jπ ( ) = f ( x) e (6.4) f = ( x) = ( ) jπ e (6.5) para la iversa, permite el siguiete procedimieto: -Tomado la ecuació (6.5) e su cojugada y dividiedo ambos lados por, resulta: * * jπ x f ( x) = ( ) e / (6.7) al comparar se aprecia que el lado derecho tiee la misma forma que la ecuació (6.4). * Etoces, usado ( ) como etrada para el algoritmo empleado e el cálculo de la T directa, el resultado que se obtiee es f * ( x).

5 Televisió Digital 6-5 Al resultado obteido se le cojuga (se obtiee su complejo cojugado) y se multiplica por, f x. resultado la iversa deseada ( ) Para el caso bidimesioal correspode obteer el complejo cojugado de la ec. (4.3), resultado: f * * jπ ( ) ( ) ( + vy) x, y =, v e = v= / (6.8) que tiee la misma forma que la T directa para dos dimesioes de la ec. (4.). Etoces, aplicado (, v) * directa, el resultado obteido será f ( x, y) se obtedrá f ( x, y). aturalmete, si f ( x) o ( x y) iecesaria. 6.3 Implemetació. * a u algoritmo desarrollado para el cálculo de la trasformada ; tomado el complejo cojugado de este resultado f, so reales, la operació de complejo cojugado es El algoritmo plateado e 6. es directo; la cuestió relevate es que los datos de etrada debe ser reordeados para la aplicació sucesiva de las ecs. (6.7) y (6.8). U ejemplo simple: cálculo de la T, por el algoritmo de doblamieto sucesivo, de ua fució f, f,..., f 7. de 8 putos { ( ) ( ) ( )} La ecuació (6.7) usa los argumetos de tipo par: { f ( ) f ( ), f ( 4), f ( 6) } impar: { f (), f () 3, f ( 5), f ( 7) }.,. La ec. (6.8) los de tipo Cada trasformada de 4 putos se calcula como trasformadas de putos; esto utiliza tambié las ecs. (6.7) y (6.8), co su uevo carácter de par/impar para los argumetos de cada grupo. Así, para el primer cojuto la subdivisió geera { f ( ), f ( 4) } como parte par y { ( ) f ( 6) } parte impar. Igualmete { f (), f () 5 } para la parte par y { f ( 3), f ( 7) } para parte impar. f, como De acuerdo a lo aterior, el ordeamieto requerido para aplicar directamete el algoritmo es: { f ( ), f ( 4), f ( ), f ( 6), f ( ), f ( 5), f ( 3), f ( 7) } El dibujo siguiete ilustra la forma e que opera el algoritmo:

6 Televisió Digital 6-6 f() f(4) f() f(6) f() f(5) f(3) f(7) Trasformada de putos Trasformada de 4 putos Trasformada de 8 putos T El primer ivel de cálculo icluye 4 trasformadas de putos. Estos 4 resultados se utiliza para el segudo ivel formado dos trasformadas de 4 putos cuyos resultados llega al último ivel dode el cálculo produce la trasformada deseada. Al observar el reordeamieto geerado para el cálculo, se aprecia que (felizmete) éste sigue ua regla simple: reversió de los bits. Para el ejemplo de 8 putos, so tres los bits que idetifica cada elemeto:,,...,. Orde Iicial Argumeto Orde odificado Argumeto f() f() f() f(4) f() f() f(3) f(6) f(4) f() f(5) f(5) f(6) f(3) f(7) f(7)