Capítulo III Teoría de grupos

Transcripción

1 Capítulo III Teoría de grupos Tema 1. Leyes de composició iteras. 1.1 Leyes de composició iteras. Dado u cojuto A, se defie como Ley de composició itera defiida e A a toda aplicació, A A A ( x, y) x y Dode, A es el cojuto soporte y se deduce que, x, y A,( x y) A 1.2 Propiedades de las leyes de composició itera Asociativa x, y, z A, ( x y) z = x ( y z) Comutativa x, y A, ( x y) = ( y x) Elemeto Neutro x A, e A/( x e) = ( e x) = x Elemeto Simétrico x A, x' A/( x x') = ( x' x) = e Elemeto regular por la derecha x Ax, * a= y* a x= y por la izquierda x Aa, * x= a* y x= y - Cojuto soporte: R Leyes de composició: suma ordiaria multiplicació ordiaria So Leyes de composició iteras pues: x, y R( x y) R x, y R( x y) R Y además cumple las propiedades: Asociativa x, y, z, ( x y) z = x ( y z) x, y, z, ( x y) z = x ( y z) Comutativa x, y, ( x y) = ( y x) x, y, ( x y) = ( y x) El elemeto eutro es: el 0 pues x, ( x 0) = (0 x) = x el 1 pues x, ( x 1) = (1 x) = x El elemeto simétrico es: ( x) pues x, ( x ( x)) = (( x) x) = 0 x pues x, ( x x ) = ( x x) = 1 - Cojuto soporte: M, las matrices reales de orde x m xm Ley de composició: suma de matrices 29

2 Es ua Ley de composició itera pues, A, B M ( A B) M xm xm Y además cumple las propiedades: Asociativa A, B, C M A B C = ( A B) xm Comutativa A, B M A B = ( B A xm ( ) C ( ) ) El elemeto eutro es la matriz ula pues, A M O M / ( A O ) = ( O A ) A = xm xm xm xm xm El elemeto simétrico es: la matriz opuesta -A pues, A M, ( A) M /( A ( A) ) = (( A) A) = O xm xm xm Cojuto soporte: M, las matrices reales, cuadradas y regulares de orde Ley de composició: producto de matrices Es ua Ley de composició itera pues: A, B M ( A B) M Y además cumple las propiedades, Asociativa A, B, C M A ( B C) = ( A B) C No es comutativa A, B M /( A B) ( B A) El elemeto eutro es: la matriz idetidad I pues, A M I M /( A I ) = ( I A) = A El elemeto simétrico es: la matriz iversa A pues, A M A M / A A = ( A A) = I - Cojuto soporte: R Ley de composició: x y = xy Es ua Ley de composició itera pues: x, y R( x y) = ( xy ) R Propiedades que cumple No es asociativa x, y, z R ( x y) z x ( y z) Comutativa ( xy ) z x ( yz ) ( xy ) z x( yz ) xyz z xyz x x, y, ( x y) = ( y x) xy = yx xy = yx 1 = 1 No tiee elemeto eutro pues x R e R /( x e) = ( e x) = x x 1 xe = x e = x El elemeto eutro o es úico. ( ) 30

3 No tiee elemeto simétrico puesto que o existe el elemeto eutro. Sea y dos Leyes de composició itera e A, se dice que so Distributivas: respecto a x, y, z A, x ( y z) = ( x y) ( x z) respecto a x, y, z A, x ( y z) = ( x y) ( x z) E el cualquier cojuto umérico N, Z, Q, R, C, el producto es distributivo respecto a la suma x, y, z x ( y z) = ( xy) ( xz) E el cojuto de las partes de U P(U), la itersecció es distributiva respecto a la uió y viceversa A, B, C P( U ) A ( B C) = ( A B) ( A C) A, B, C P( U ) A ( B C) = ( A B) ( A C) 1.3 Ley de composició cociete Sea u cojuto A e el que se ha defiido ua Relació biaria de equivalecia R. Sea A/R el cojuto de las clases de equivalecia defiidas e A tambié llamado cojuto cociete Sea ua Ley de composició itera e A Se dice que la Relació biaria de equivalecia R y la Ley de composició itera so compatibles si, x, y A [x] [y] = [x y] Ejemplo Se defie la Relació biaria de equivalecia e el cojuto de los úmeros eteros positivos : x R y x y = 4 i El cojuto cociete será: /4 = {[0], [1], [2], [3]}, el cojuto de las clases residuales módulo 4. Se defie las Leyes de composició iteras e : suma () y producto ( ) ordiarios. Ambas Leyes so compatibles co la Relació biaria de equivalecia puesto que, [a b]= [a][b] y [a b]= [a] [b] Lo que se resume e las siguietes tablas,

4 Tema 2. Estructuras algebraicas 2.1 Estructuras algebraicas Sea u cojuto A dode se ha defiido u Ley de composició itera, etoces se dice que el par (A, ) es ua estructura algebraica. 2.2 Homomorfismos Dadas dos estructuras algebraicas (A, ) y (B, ), se dice que la aplicació f: (A, ) (B, ) es u homomorfismo si para cualquier x, y A se verifica f ( x y ) = f (x) f (y) - Sea (A, ) la estructura algebraica cuyo cojuto soporte es el cojuto de las fucioes reales itegrables e el itervalo [0,1], y la Ley de composició itera es la suma de fucioes. La aplicació: f : A R Es u homomorfismo puesto que, 1 ϕ φ φ φ = φ φ La aplicació * f : ( R, ) ( R, ) x l( x) Es u homomorfismo puesto que: f ( x y) = f ( x) f ( y) l( x y) = l x l y 2.3 Grupo Sea G u cojuto o vacío, * ua Ley de composició itera defiida e G Se dice que el par (G, ) tiee estructura de grupo si se verifica las siguietes propiedades para la ley *, Asociativa, * tiee Elemeto eutro e G, existe elemeto simétrico x G. Se dice que (G, ) es u grupo abeliao si, además se verifica la comutativa. 2.4 Propiedades - El elemeto eutro es úico - Cada elemeto x G tiee u solo elemeto simétrico x G - (a b) = b a para cualesquiera a, b G - (a ) = a para todo a de G - Todos los elemetos de G so regulares o simplificables - La ecuació a x = b tiee solució úica x = a b y la ecuació x a = b tiee solució úica x = b a (N, ) o es grupo (Z, ), (Q, ), (R, ) y (C, ) so grupos abeliaos (N-{0}, ), (Z-{0}, ) o so grupos 0 32

5 (Q-{0}, ), (R-{0}, ) y (C-{0}, ) so grupos abeliaos ( M,) siedo M el cojuto de las matrices reales de orde x m, (,m xm xm aturales) es u grupo abeliao. ( M, ) siedo M el cojuto de las matrices reales y cuadradas de orde ( atural) o es u grupo. 2.5 Grupos fiitos Se dice que u grupo es fiito cuado tiee u úmero fiito de elemetos. Orde de u grupo fiito o(g): es el úmero de elemetos del grupo. - El grupo [Z(), ]; N, > 1 es fiito pues o(g) = siedo los elemetos de Z() = {0, 1, 2,..., -1} - El grupo {-1, 1, i, -i} es fiito de orde Orde de u elemeto Es el meor úmero atural que verifica veces a a... a= e a = e - El grupo [Z(4), ] cuya Tabla de Cayley es, El orde de 1 es 4 pues = 1 4 = 0 2 El orde de 2 es 2 pues 2 2 = 2 = 0 4 El orde de 31 es 4 pues = 3 = 0 1 El orde de 0 es 1 pues 0= 0 - El grupo (A, ) co A = {-1, 1, i -i} cuya Tabla de Cayley es o(-1) = 2 pues o(i) = 4 pues o(-i) = 4 pues 2 ( 1) = ( )( 1) = 1 4 () i = ()()()() i i i i = 1 4 ( i) = ( i)( i)( i)( i) = i -i i -i i i i i -i i -i i

6 2.5 Subgrupos Sea (G, ) u grupo y sea H u subcojuto de G. Se dice que (H, ) es subgrupo de G si: - ( a, b H ) a b H - El elemeto eutro e de (G, ) perteece a H - a H a' H 2.6 Teorema de caracterizació de subgrupos (H, ) es subgrupo de (G, ) si y solo si se verifica las dos codicioes: i ) H ii ) a, b H a b H La itersecció de subgrupos de G es a su vez u subgrupo de G. - Todo grupo G tiee como subgrupos, etre otros, a (G, ) y a ({e}, ), llamados subgrupos impropios. - (Z, ) es subgrupo de (R, ) - El grupo aditivo de las matrices cuadradas de orde admite como subgrupo al cojuto de las matrices cuadradas simétricas de orde - El grupo multiplicativo de los reales o ulos admite como subgrupo al cojuto de los reales estrictamete positivos 2.7 Teorema de Lagrage Los órdees de los posibles subgrupos so divisores del orde del grupo. 2.8 Subgrupo ormal, ivariate o distitivo U subgrupo H de G se cosidera ormal o ivariate si para todo x G se verifica x H = H x, es decir, todos los elemetos de G comuta co u elemeto cualquiera h de G. La codició ecesaria y suficiete para que el subgrupo H de G sea ormal es que x G; h H; x h x' H El grupo o comutativo dado por la Tabla de Cayley * e u v a b c e e u v a b c u u v e c a b v v e u b c a a a b c e u v b b c a v e u c c a b u v e Etoces, u subgrupo ormal o ivariate de G es {e,u,v} pues basta probar que: a * H = H * a, b* H = H * b, c * H = H * c, efectivamete, a * {e,u,v}= {a, b, c}={a, c, b}= {e,u,v}* a b * {e,u,v}= {b, c, a}={b, a, c}= {e,u,v}* b c * {e,u,v}= {c, a, b}={c, b, a}= {e,u,v}* c 34

7 2.9 Subgrupo geerado por C Dado u subcojuto C de u grupo G se llama subgrupo geerado por C al subgrupo H itersecció de todos los subgrupos de G que cotiee a C. El cojuto C se llama sistema de geeradores de H Grupo moógeo egedrado por a E el caso particular de que el subcojuto C sea uitario, esto es, C = {a}, el subcojuto { a, Z}, dode toma valores positivos, 0 o egativos: veces 0 > 0 : a = a a... a; = 0 a = e ; < 0 Se dice que C es u grupo moógeo egedrado por a. veces a = a a... a 2.11 Grupo cíclico Si las potecias de a x o so todas distitas, etoces existe u N tal que x a = e y el meor úmero atural que satisface la igualdad aterior o es mas que el orde de a =y el orde de G, etoces G es u grupo cíclico de orde. - El grupo [Z(4), ] cuya Tabla de Cayley es: Es u grupo cíclico de orde 4 geerado por 3 pues o(3) = o(z(4)) y las sucesivas potecias de 3 geera los elemetos del grupo: - El grupo (A, ) co A = {-1, 1, i -i} cuya Ttabla de Cayley es: = 0; 3 = 1; 3 = 2; 3 = i -i i -i i i i i -i i -i i 1-1 Es u grupo cíclico de orde 4 geerado por i pues o(i) = o(a) y las sucesivas potecias de i geera los elemetos del grupo: i 4 = 1; i 3 = i; i 2 = 1; i 1 = i. Pruebe que -i tambié geera al grupo Propiedades de los grupos cíclicos - Los grupos cíclicos so abeliaos - Todos los subgrupos de u grupo cíclico so cíclicos - A cada divisor del orde de u grupo cíclico le correspode u úico subgrupo 35

8 - Cosiderado que todos los elemetos del grupo cíclico será de la forma a el elemeto geerador, etoces: Si m es divisor de (orde del grupo) etoces el elemeto geera u subgrupo m Si m es primo co etoces a geera al grupo Homomorfismos de grupos Dados dos grupos (G, ) y (B, ), se dice que la aplicació: f : (G, ) (B, ) Es u homomorfismo de grupos si: x, y G f (x y) = f (x) f (y) Ejemplo - La aplicació: f : ( R, ) ( R, ) * x x e Es u homomorfismo de grupos puesto que: f ( x y) = f ( x) f ( y) - La aplicació: e x y x y = e e d : ( D, ) ( F, ) d( f ) f ' Dode F es el cojuto de las fucioes reales defiidas e R D es el cojuto de las fucioes reales defiidas e R que so derivables (D, ) y (F, ) so grupos d es la aplicació que a cada fució le asiga su derivada Es u homomorfismo de grupos puesto que: d( f g) = d( f ) d( g) ( f g)' = f ' g' m a, siedo m a y sus potecias 2.14 Propiedades de los Homomorfismos Si f : G B es u homomorfismo del grupo (G, ) e el grupo (B, ) se verifica, - f (e) = E (dode e y E so los elemetos eutros de G y B) - f (a ) = f (a) a G - G* es subgrupo de G f (G*) es subgrupo de B - La composició de aplicacioes de dos homomorfismos es tambié u homomorfismo Núcleo e Image de u Homomorfismo Si f : G B es u homomorfismo del grupo (G, ) e el grupo (B, ) se verifica: - El cojuto image f (G) es u subgrupo de (B, ) y se deomia Image del homomorfismo f, Im ( f ) - Siedo E el elemeto eutro de B se llama Núcleo del homomorfismo f, N( f ) a: N( f )= {x G / f (x) = E} 2.16 Homomorfismos iyectivos Se dice que u homomorfismo de grupos es iyectivo si y solo si su úcleo está formado solamete por el elemeto eutro. 36