Olimpiada Nacional de Matemática 2018 Fase Final - Nivel U. Soluciones

Transcripción

1 limpiada Nacioal de Matemática Fase Fial - Nivel U Solucioes Problema 1. Sea a y reales positivos. Se defie la curva l como y = ax y como el orige del plao cartesiao. Para u puto cualquiera P sobre la curva l co coordeadas (u, au )yu>, la tagete a l por P iterseca al eje x e el puto Q y R es la proyecció de P sobre el eje x. a) Hallar la razó r() etre las áreas de los triágulos PQ y PR. b) Si r() = 1, hallar todos los posibles valores de. Solució: a) El puto P tiee coordeadas (u, au ). Sea t la tagete a l por P, etoces su pediete m es igual a la derivada e P,esdecirm = au 1, luego la ecuació de t es y = mx + b. Para calcular b, seutilizael hecho que la tagete pasa por P, luego au = au 1 (u)+b =) b =(1 )au Ahora se puede calcular las coordeadas (c, ) de Q, luego Dado que u>, etoces Q = c = tato =au 1 (c)+(1 )au =) c = 1 u area(pq) = 1 1 u y la distacia de P a Q es igual a la ordeada de P, por 1 ( u)(au )= 1 au+1 Es fácil ver que area(pr) = 1 (u)(au )= 1 au+1. Luego se tiee que Claramete r() o depede i de a i de u. r() = area(pq) 1 area(pr) = 1 = 1 b) Si >1, etoces r() = 1 por ede = 19 = 1 < 1. Se cocluye que r() = 1 1 y por ede = 17 > 1. Si <1, etoces r() = para = 17 y = 19. = 1 y Nota: r() =c<1 se cumple para dos valores de, uo mayor a 1 y uo meor a 1; y r = c 1secumple para u valor de, co <1. Se tiee que r 1 =1yy = a p x es la úica curva cotiua difereciable que tiee esta propiedad: es el puto medio de QR para todo puto P distito del orige. FF-NU 1 limpiada Matemática Ecuatoriaa

2 Problema. a) Sea m, eteros positivos y sea A, B, C matrices de, m y m m, respectivamete y es la matriz compuesta de ceros de m. Se defie la matriz X por bloques como X = B C Demostrar que traza(x) = traza(a) + traza(c) ydet(x) = det(a) det(c). apple 1 1 b) Se defie como la matriz de ceros de, A = y Hallar traza(x) y det(x). 3 A A 3A... 17A A A A... 16A 17A A A 3 16A 3 X = A 17 A A Nota: Para ua matriz cuadrada X, traza(x) es igual a la suma de los elemetos de la diagoal de X ydet(x) deota el determiate de X. Solució: a) a) Sea a 1,...,a los elemetos de la diagoal de A y c 1,...,c los elemetos de la diagoal de C, etoces a 1,...,a,c 1,...,c m so los elemetos de la diagoal de X y traza(x) =a a + c c m = traza(a) + traza(c) Si A es sigular, luego det(a) =. Además, u grupo de sus columas so liealmete depedietes y al agregarle ceros al fial, la uevas columas sigue siedo liealmete depedietes, pero éstas sería columas de X, por ede det(x) ==det(a) det(c). Si A o es sigular, cosideremos la idetidad I m de m m y la matriz Y = E I m luego por la regla del determiate, es fácil ver iductivamete que det(y )=det(a) para toda matriz E de dimesioes apropiadas. Ahora cosideremos Z = T I m apple I D C = AD C Por la regla del producto det(z) es igual al producto de los determiates de los factores, pero por el hecho aterior, los factores tiee determiates iguales a det(a) y det(c). Por tato det(z) = det(a) det(c). Fialmete, reemplazamos D = A 1 B ysetieequex = Z y por tato det(x) =det(a) det(c). FF-NU limpiada Matemática Ecuatoriaa

3 b) De los hechos ateriores se tiee que traza(x) = traza(a) + traza A traza A det(x) =det(a)det A...det A Como det(a) = 6, etoces det(a i )=6 i para todo etero i. Por tato det(x) = = = Por el teorema de Cayley-Hamilto, la matriz A cumple su poliomio característico, etoces se obtiee que A 5A +6I = y por tato A +1 =5A 6A 1 para todo etero positivo. Luego traza A +1 = 5traza (A ) 6traza A 1 Se puede demostrar iductivamete que traza(a )= +3, los casos base so triviales y de la recurrecia aterior se tiee que traza A +1 =5( +3 ) = 1 (1 6) (15 6) = Lo aterior cocluye la iducció. Fialmete, se tiee que traza(x) = = traza(x) = = Nota: La propiedad del determiate e la parte a es ua cosecuecia directa de la regla de Laplace para evaluar determiates. Para la parte b, la matriz A tiee valores propios, 3, luego las matrices A tiee valores propios, 3. Como el determiate es el producto de los valores propios, etoces det(a )=6 ; y como la traza es la suma de los valores propios, etoces traza(a )= +3. Problema 3. Sea f(x, y) ua fució cotiua difereciable que toma valores reales y cumple que f(x, y) apple1 para x + y apple 1. Demostrar que existe u puto (a, b) e el iterior del círculo uitario (a, b) + (a, b) Solució: Defiimos la fució g(x, y) =f(x, y) + (x + y ). Luego hay dos posibilidades: g es costate o o es costate e el iterior del círculo uitario. Si g es costate, etoces f(x, y) =c (x + y ), etoces para todo puto (a, b) e el iterior del círculo uitario se (a, b) + (a, b) = 16(a + b ) Si g o es costate. Para cualquier puto e la circuferecia uitaria, es decir x + y = 1, se cumple que 1 apple f(x, y) apple 1 =) g(x, y) =+f(x, y) 1 Además, para el orige g(, ) = f(, ) apple 1. Como g o es costate y el círculo uitatio es u cojuto cerrado, g toma su valor míimo e u puto e el iterior del círculo uitario. Llamemos (a, b) a dicho puto. FF-NU 3 limpiada Matemática Ecuatoriaa

4 Como f es difereciable, etoces g es difereciable, y como (a, b) es u puto iterior y alcaza el míimo, etoces las derivadas parciales de g se aula e (a, b) = =) (a, (a, b) = =) (a, b) + (a, b) = 16(a + b ) apple Problema. cumple Hallar todas las fucioes cotiuas y difereciables e la recta real tal que para todo x se (f(x)) = Z x (f(t)) +(f (t)) dt + Solució: Derivado a ambos lados de la expresió dada, se obtiee f(x)f (x) = d dx El teorema fudametal del cálculo afirma que d Z x [(f(t)) +(f (t)) ] dt dx (R x g(t) dt) =g(x), y por tato f(x)f (x) =(f(x)) +(f (x)) =) =(f(x)) f(x)f (x)+(f (x)) =(f(x) f (x)) Como la fució toma valores reales, se cocluye que f(x) =f (x) para todo x y cosecuetemete f(x) =Ce x. Fialmete se reemplaza e la expresió iicial C e x = Z x [C e t ] dt + C e x =(C e x C ) + =) C = Como la fució es cotiua, la costate C es la misma para todos los reales. Fialmete, se cocluye que hay dos solucioes f(x) = p e x y f(x) = p e x. Problema 5. Los extraterrestres fialmete llega al plaeta Tierra y el ecargado de comuicarse co ellos es el famoso matemático Daiel. Como prueba de su iteligecia, los extraterrestres le preseta ua secuecia de 1 úmeros extraterrestres a 1,a,,a que Daiel o recooce. Si embargo, los extraterrestres le asegura que dichos úmeros tiee ua relació de orde defiida. El objetivo es que Daiel ordee los úmeros extraterrestres, es decir, que obtega ua permutació a 1,a,...,a de a 1,a,,a tal que a 1 apple a apple applea. La úica ayuda que Daiel tiee es u aliado extraterrestre, al cual puede hacerle pregutas del tipo a i apple a j para dos elemetos a i,a j, y el extraterrestre respode o o y siempre dice la verdad. a) Demostrar que 1 log apple log (!) apple log para todo etero positivo. b) Demostrar que si importar el método que use para lograr el objetivo, existe ua secuecia iicial l log m a 1,a,,a para la cual Daiel tedrá que hacer como míimo pregutas a su aliado. FF-NU limpiada Matemática Ecuatoriaa

5 Solució: a) Para la cota superior teemos que: log (!) = log(1 ) = log (1) + log () + + log () apple log () + log ()+ + log () = log (). Es fácil verificar la cota iferior para <. Si, teemos que log (). Multiplicado ambos lados por y moviedo todo al lado izquierdo teemos que: Luego, log () log (!) = log(1 ). = log (1) + log () + + log (). Si os olvidamos de la mitad iferior de los térmios (asumiedo si pérdida de geeralidad que es par): log ( ) + log ( + 1) + + log () = log ( ) = (log () 1) = log () =( log () log (). )+ log () b) Empecemos co casos particulares. bviamete para = 1 o hay ada que hacer, y para cualquier secuecia Daiel tiee que hacer pregutas. Para = Daiel puede realizar dos posibles pregutas, a 1 apple a o a apple a 1. Depediedo de las posibles respuestas de su aliado, Daiel decide como los ordea. Esto os lleva a caracterizar el método que Daiel emplea como u árbol de decisió. Cada ódulo represeta la preguta que Daiel hace y cada arista represeta ua respuesta de el aliado extraterrestre o o. Las hojas (ódulos fiales) so las permutacioes ordeadas dadas producidas por las respuestas del aliado. Por ejemplo, para = uo de los posibles árboles es: a 1 apple a? o a 1 apple a a apple a 1 El otro árbol óptimo posible se da si Daiel preguta a apple a 1. Claramete Daiel puede seguir pregutado cosas que so redudates y geerar más arboles, pero e el caso = solamete hay árboles óptimos (co FF-NU 5 limpiada Matemática Ecuatoriaa

6 solamete 1 preguta). Podemos geeralizar esta idea para cualquier si igú problema. Por ejemplo, u posible árbol óptimo para = 3 puede ser de la siguiete forma: 1, o,3 1,3 o o 1,,3 1,3,1,3,3 o o 1,3, 3,1,,3,1 3,,1 Los ódulos iteros i, j represeta la preguta a i apple a j y las hojas represeta ua permutació ordeada. Notemos que el úmero de ódulos atravesados e u camio (distacia de la raíz a la hoja) correspode al úmero de pregutas que realiza Daiel. La altura h de u árbol es la mayor distacia posible de la raíz a la hoja, e otras palabras, la mayor catidad de pregutas posibles. Sea l la catidad total de hojas alcazables e el árbol desde la raíz. Cada método que use Daiel se correspode co u árbol de decisió de altura h y l hojas alcazables. U árbol biario (como el que describimos) de altura h tiee a lo sumo h hojas. Es claro que la catidad de hojas alcazables es meor a la catidad total de hojas posibles, por lo tato l apple h Por otro lado, otemos que cada ua de las! permutacioes posibles tiee que aparecer al meos ua vez e las hojas alcazables. Esto se debe a que es posible empezar co cualquier secuecia iicial de úmeros y su verdadero orde puede ser cualquiera de las! permutacioes posibles. Por lo tato,! apple l. Combiado las dos desigualdades, teemos que:! apple l apple h. Tomado logaritmos base e ambos lados de la desigualdad, obteemos que: log (!) apple h. Se sigue que el camio más largo posible de la raíz a ua hoja cotiee al meos log (!) ódulos. La hoja fial de este camio correspode al verdadero orde de la secuecia iicial, por lo tato dicha secuecia hace que log Daiel haga el meos log (!) pregutas. Por la cota iferior de la parte a) teemos que log (!). Ya que el úmero de pregutas es úmero etero ecesariamete, existe ua secuecia iicial para la cual Daiel l log m debe hacer al meos a su aliado si importar el método que use. Problema 6. Sea, k eteros positivos. G es u cojuto fiito de matrices reales {M 1,M,...,M k } todas de tamaño, tal que G forma u grupo bajo la operació de la multiplicació. Si se sabe que traza(m 1 ) + traza(m )+...+ traza(m k )=, demostrar que M 1 + M M k es la matriz ula de. Nota: Para ua matriz cuadrada X, traza(x) es igual a la suma de los elemetos de la diagoal de X. FF-NU 6 limpiada Matemática Ecuatoriaa

7 Solució: Deotemos S = M 1 + M M k. Para u cierto etero 1 apple i apple k, se cumple que las matrices M i M 1,M i M,...,M i M k está e G porque la operació de multiplicació es cerrada. Además, el cojuto aterior es ua permutació del cojuto G, y por ede al sumar de ambos lados se tiee que M i S = S. Ahora sumamos las igualdades ateriores para todo 1 apple i apple k y obteemos S = M 1 S + M S M k S = S + S S = ks Se tiee que S ks =. Sea u valor propio de S, etoces por la propiedad aterior se tiee que ( k) = y se cocluye que =o = k. Pero traza(s) = traza(m 1 + M M k ) = traza(m 1 ) + traza(m )+...+ traza(m k )= Sabemos que la traza de ua matriz es igual a la suma de sus valores propios. Como k>, etoces todos los valores propios de S so iguales a. Luego los valores propios de S ki so iguales a k 6= y por ede S ki o es sigular, dode I es la idetidad de. Fialmete teemos que Se cocluye que S =. S(S ki) =S ks = =) S = S(S ki)(s ki) 1 = (S ki) 1 = FF-NU 7 limpiada Matemática Ecuatoriaa