Aplicaciones Lineales. Diagonalización 1.- Sean xy

Transcripción

1 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació.- Sea xy, vectores propios de ua matriz A asociados al mismo valor propio. Etoces: a) x+ y tambié es vector propio de A. b) x+ y tambié es vector propio de A, si x + y 0. c) x+ y o es u vector propio de A pues { x, y, x + y} es ligado..- Para cada valor propio simple de ua matriz cuadrada A. Se verifica: a) Existe u úico vector propio asociado. b) El cojuto de vectores propios correspodietes a dicho valor propio es u subespacio vectorial. c) La dimesió del subespacio propio correspodiete es uo..-toda trasformació lieal f de R: a) Su matriz asociada tiee determiate 0. b) Trasforma subespacios vectoriales e subespacios vectoriales de la misma dimesió. c) Trasforma subespacios vectoriales e subespacios vectoriales 4.- Sea A M y el úmero real 0 u valor propio de A, etoces: A) Av = 0, v R b) A = 0 c) A= (0) 5.- Ua de las afirmacioes siguietes es cierta: a) Ua matriz A M es diagoalizable si existe ua matriz diagoal D M semejate a A. b) Si A M es diagoalizable, las columas de su matriz diagoal semejate so vectores propios de A. c) Dos matrices que tiee los mismos valores propios so semejates. 6.- E ua aplicació lieal f: V--->W se verifica: a) f( 0V) = 0W b) Nf ( ) = { y W/ f ( y) = 0 W} c) Im( f) = { x V/ y W, f( x) = y} 7.- Sea. A M ( R). Se verifica que: a) I- AI = - I A I b) A puede teer todos los valores propios complejos. c) Si A es diagoalizable, etoces IAI De las siguietes afirmacioes sólo ua es FALSA. Cuál? a) Todas las raíces del poliomio característico de ua matriz simétrica real so reales. b) El vector ulo es u vector propio de cualquier matriz cuadrada. c) Toda matriz sigular tiee al cero como valor propio. 9.- Sea A M ( R). Ua de las afirmacioes siguietes es FALSA: a) A = A b) A tiee al meos u valor propio real, o puede ser todos complejos. c) Si A es diagoalizable, etoces A = Sea A M (R) semejate a ua matriz diagoal λ 0 D =. Ua de las afirmacioes 0 λ siguietes es FALSA: a) det(a) = λ λ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 5

2 5 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació b) traza(a) = λ + λ c) det(a) det(d).- Si f es ua trasformació lieal de R defiida por la matriz A, etoces: a) A = 0 b) Ax ( + y) = Ax+ Ay c) Ax Ay = x y ( es el producto escalar).- Sea f ua trasformació lieal del espacio vectorial V. Se verifica: a) El vector 0 puede ser u vector propio de f. b) El vector 0 es u vector ivariate por f. c) El subespacio { 0 } puede ser u subespacio propio de f..- Sea f ua trasformació lieal del espacio vectorial V que verifica f( u) = u, f( u ) = u, f( u) = 0, etoces: a) < u, u > es el subespacio de vectores ivariates por f. b) < u > es u subespacio ivariate por f. c) 0 es u vector propio. 4- Ua de las afirmacioes siguietes es cierta a) Si A es diagoalizable, etoces A 0 b) Si A M ( R) es diagoalizable, las columas de su matriz diagoal semejate so vectores propios de A. c) Ua matriz A M ( R) es diagoalizable si existe ua matriz diagoal D M ( R) semejate a A. 5.- Ua trasformació lieal fr : R que sea biyectiva, verifica: a) Niguo de sus valores propios es ulo. b) Tiee a λ=0 como valor propio. c) Puede teer a λ = 0 como valor propio 6.- Si M B y M B so las matrices asociadas, respectivamete, a ua aplicació lieal f, respecto de C cierta base B={ u,u, } i, j,k, etoces se verifica: u a) M = P M P B B C b) M = P M P c) M B C B = PM BC B P y respecto de la base caóica B C= { } dode P es la matriz de cambio de la base B a la base caóica B C 7.- Sea f ua trasformació lieal de R y M su matriz asociada respecto de cierta base B. Desigado por F al subespacio vectorial de vectores ivariates por f, se verifica: a) si F { 0 } etoces λ= es u valor propio de M y V =F (V es el subespacio vectorial de vectores propios asociado a λ=). b) Si F={ 0 } etoces f es biyectiva. c) V =F sea quie sea F. 8.- Si u es u vector propio de M, se verifica: a) Mu = λu λ R b) Mu = u c) k u es tambié vector propio k 0; k R U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía

3 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació 9.- Sea f ua trasformació lieal de R y M su matriz asociada respecto de cierta base B. Si N(f ) {} 0, etoces se verifica: a) f es biyectiva. b) dim N(f)=. c) N(f)=V 0, siedo V 0 el subespacio de vectores propios asociado al valor propio λ = Si u es u vector propio de ua matriz A, etoces: a) Los vectores Au y u so liealmete idepedietes. b) Au = 0 c) Los vectores Au y u so liealmete depedietes..- U vector u o ulo, es u vector propio de ua trasformació lieal f si y sólo si: a) Existe u escalar λ o ulo tal que b) f (u) = 0. f (u) = λ u. c) Existe u escalar λ tal que f (u) = λ u..- Sea f ua trasformació lieal del espacio vectorial V que verifica f( u) = u; f( u) = u; f( u ) =. La matriz asociada a f respecto de la base B={ u,u, } es: 0 u 0 0 a) b) c) Sea A ua matriz simétrica de orde, señalar la FALSA: a) Todos los valores propios de A so reales. b) Existe ua matriz P ortogoal ivertible tal que P AP es ua matriz diagoal. c) A tiee valores propios, pero uos puede ser reales y otros complejos. 4.- Sea A y M dos matrices asociadas al edomorfismo f respecto de dos bases distitas B={ u,u, } y B ={ ',u ',u '} respectivamete, etoces: u a) A=M. b) A = M. u c) M es diagoal. 5.-Sea f ua trasformació lieal de R que tiee a λ = 0 como valor propio, etoces: a) Im(f)=R. b) dim Im(f) c) dim Im(f)=. 6.- Sea f: V V ua trasformació lieal. Sea F u plao de V.Etoces: a) f(f) tambié es u plao de V b) f(f) puede ser { 0}, ua recta o u plao de V U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 5

4 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació c) f(f) o tiee porqué ser u subespacio de V 7.-Sea f: V V ua trasformació lieal biyectiva. Etoces se verifica: a) f es diagoalizable. b) f o es diagoalizable. c) o puede saberse si f es o o diagoalizable. 8.- Sea A,B,P M tales que P = y B = P A P, etoces: a) B 0. b)a es diagoalizable. t a) A = PB P si P es ortogoal. 9.- Sea f : V V ua trasformació lieal, dimv=, y A es la matriz que defie f, etoces: a) f es biyectiva la image de cualquier sistema geerador de V es u sistema geerador de f(v). b) f es biyectiva úcleo de f es { 0 }. c) f es iyectiva A = Sea A M (R) que tiee de valores propios λ, λ, λ (iguales o diferetes etre sí). Se verifica : a) A = λ. λ. λ b) Si λ = 0, etoces A = 0 c) Nigua de las dos ateriores, salvo que A sea diagoalizable..- Sea A M (R) diagoalizable. Si A = 0, podemos afirmar que: a) λ = 0 es u valor propio de A. b) La aplicació lieal f (x) = A x, x R, es biyectiva. c) Los valores propios de A so distitos etre sí..- Si ua matriz M (R) es simétrica, etoces: a) A =. A b) Es diagoalizable. t c) A = A..- Para cada valor propio simple de ua matriz A: a) La dimesió del subespacio propio correspodiete es. b) El cojuto de vectores propios correspodietes a ese valor propio es u subespacio vectorial. c) Existe u úico vector propio asociado. 4.- Sea f ua trasformació lieal de u espacio vectorial V tal que 0 es valor propio de f. Etoces: a) f es iyectiva. b) f o es diagoalizable. c) El úcleo de f es u subespacio propio de f. 5.- De las siguietes afirmacioes sólo ua es FALSA. Cuál? a) Todas las raíces del poliomio característico de ua matriz real simétrica so reales. b) El vector ulo es u vector propio de cualquier matriz cuadrada. c) Toda matriz sigular tiee al cero como valor propio. 6.- Si f es ua trasformació lieal de R y N(f ) = { 0} podemos afirmar que: a) 0 es u valor propio de f. b) f es diagoalizable. 54 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía

5 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació c) f es biyectiva. 7.- Si f es ua trasformació lieal de R y existe ua base B de R formada por vectores propios de f, etoces: a) f es diagoalizable si sus valores propios so o ulos. b) f es diagoalizable solo si además f es biyectiva. c) f es diagoalizable. 8.- Sea A la matriz asociada a ua trasformació lieal f de V, etoces: a) N(f ) = { 0 } A 0. N = =. b) (f ) { 0} A 0 c) N(f ) { 0 } A Sea f ua trasformació lieal (edomorfismo) de V, se verifica que f trasforma toda base de V e: a) otra base de V. b) ua base de Im(f). c) u sistema geerador de Im(f) Sea A = 0 y (,0,) u vector propio de A, a qué valor propio correspode? a) λ =. b) λ = 0. c) λ =. 4.- Si v y v so dos vectores propios asociados respectivamete, a dos valores propios distitos λ y λ de ua matriz A simétrica, etoces v y v so: a) liealmete depedietes. b) paralelos. c) ortogoales. 4.- Sea la trasformació de R : f(x,y,z)=(x+y,x+y-,0). Se verifica: a) f o es lieal. b) f es lieal. c) El úcleo es el { 0 }. 4.- Si A es ua matriz simétrica, etoces: a) es diagoalizable. b) es ortogoal. c) es ivertible Si ua matriz A M (R) es ortogoal, etoces: a) A =. b) Es diagoalizable. t c) A = A Sea ua matriz A ortogoal de orde, etoces: a) Su determiate es distito de cero b) Existe ua matriz diagoal semejate a A c) A tiee valores propios reales y distitos etre sí 46.- Sea A y A matrices asociadas a cierta trasformació lieal f:v V respecto de sedas bases B y B respectivamete. Se verifica: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 55

6 56 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació a) A = P - A P dode P es la matriz de cambio de la base B a B b) A = P - A P dode P es la matriz de cambio de la base B a B c) A = P - A P solamete si A es diagoal y P es la matriz de cambio de la base de vectores propios a la caóica Si ua matriz M es diagoalizable, podemos asegurar que: a) M es semejate a ua matriz diagoal. b) M 0 c) M es semejate a ua matriz ortogoal Sea A ua matriz real simétrica de orde, etoces: a) Todos los valores propios de A so reales. b) A es ua matriz ortogoal. c) A tiee valores propios, pero, uos puede ser reales y otros complejos Si A y A so dos matrices distitas que represeta a la misma trasformació lieal f de V respecto de las bases B y B y A=P - A P, etoces: a) P es la matriz de paso de la base B a la base B. b) P es la matriz de paso de la base B a la base B. c) P es ortogoal Sea f ua trasformació lieal de V. Se verifica: a) dim N(f) + dim Im(f) = b) dim N(f) = dim Im(f) c) N(f) + Im(f) es suma directa La matriz M = a) Es diagoalizable. b) No es diagoalizable por ser M = 0. c) Es ortogoal. 5.- Sea A M(R) y el úmero real 0 u valor propio de A, etoces: a) Av = 0, v R b) N(f) { 0 } f(x) Ax, x R =, es biyectiva c) La aplicació lieal 5.- Sea A la matriz asociada a ua trasformació lieal iyectiva f de R. Se verifica: a) Im(f)=R b) r(a)< c) N(f)=R 54.- Sea A M ( R). Etoces: a) Si A es diagoalizable A tiee valores propios reales diferetes. b) Si A tiee valores propios reales diferetes A es diagoalizable. c) Si A es simétrica A tiee valores propios reales diferetes Sea f:r R u edomorfismo tal que f (u) = u, f (v) = v, f (w) = 0 vectores o ulos u,v,w R. Etoces: a) El edomorfismo f o puede ser diagoalizable. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía, para ciertos

7 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació b) dim Im(f)=. c) dim N(f)= Si 0 es u valor propio de la trasformació lieal f, se verifica: a) N(f) = { 0 }. b) dim N(f ) c) Que λ= 0 sea u valor propio de f o proporcioa igua iformació acerca del N(f) Si dos matrices A y B tiee los mismos valores propios podemos afirmar que: a) A y B so semejates. b) Tiee los mismos subespacios de vectores propios asociados. c) Tiee la misma ecuació característica Señalar la afirmació correcta: a) Si v y v so vectores propios de A M (R) v + v es u vector propio de A. b) Si λ es u valor propio de A M (R) rago(a λ I) <. c) Si λ y λ so valores propios de A M (R) λ + λ es u valor propio de A Si A M = (R) es diagoalizable y λ, λ y λ so sus valores propios, etoces: a) λ + λ + λ =. b) λ, λ y λ ha de ser distitos etre sí. c) V V V = R. λ λ λ 60.- Sea f ua trasformació lieal de R que tiee a A como matriz asociada cuál de las siguietes implicacioes es correcta? a) f es iyectiva dimn(f) b) f o es iyectiva f o es sobreyectiva c) det(a) = 0 f es iyectiva 6.- Sea f ua trasformació lieal de R que tiee a A como matriz asociada cuál de las siguietes implicacioes es correcta? a) Si los subespacios propios de f tiee dimesió, etoces A es diagoalizable b) Si det(a) 0, etoces A es diagoalizable c) Si A es simétrica etoces sus subespacios propios so ortogoales etre sí. 6.- Sea (,) u vector propio de la matriz A, tal que: A=. Etoces: a) λ= 0 es u valor propio de A asociado a dicho vector propio. b) λ= es u valor propio de A asociado a dicho vector propio. c) λ= es u valor propio de A asociado a dicho vector propio. x 6.- Dada la matriz A = 0. Etoces: a) Es diagoalizable para todo x real. b) Solamete es diagoalizable si x = 0. 0 c) No puede ser semejate a la matriz A = 0 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 57

8 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació 64.- El úcleo de u edomorfismo f: R R es el subespacio Núcleo(f) = {( x, y, z) / x y + z = 0}. Etoces se verifica que: a) f es iyectiva b) f es biyectiva c) f o es iyectiva 65.- Ua matriz que tiee todos los autovalores reales y co multiplicidad es: a) Diagoalizable b) No siempre es diagoalizable c) Es diagoalizable si sus autovalores so positivos Sea f:r R ua aplicació lieal. a) Dim N(f) tiee que ser 4. b) Dim Im(f) tiee que ser 4. c) Dim Im(f) es 4 si N(f)={ 0 } Sea f: R R u edomorfismo y λ, μ R co λ μ, valores propios de f. a) Si u y v so vectores propios de f asociados a λ, etoces u y v so liealmete depedietes. b) Si u y v so vectores propios de f asociados a λ, etoces u y v so liealmete idepedietes. c) Si u es u vector propio de f asociado a λ y si v es u vector propio de f asociado a μ, etoces u y v so liealmete idepedietes 68.- Si A M (R) es ua matriz diagoalizable y λ R u valor propio de A. Etoces: a) A λ I, es ua matriz diagoal. b) A λ I = 0. c) A λ I, es ua matriz ula Si P( λ ) = ( λ )( λ+ ) es el poliomio característico de ua matriz cuadrada A, etoces: a) A = 0. b) Traza(A)=0. c) La matriz A puede ser o diagoalizable Si el poliomio característico de ua matriz A es ( )( )( x) λ λ λ, etoces: a) A es diagoalizable siempre que x= ó x=. b) A es diagoalizable siempre que x y x, simultáeamete. c) A es diagoalizable siempre. 7.- Sea f: R R ua aplicació lieal, etoces: a) f(0) = 0 sólo si f es sobreyectiva (epimorfismo). b) f(0) = 0 sólo si f es iyectiva (moomorfismo). c) f(0) = 0 siempre. 7.- Sea f: R R ua aplicació lieal iyectiva (moomorfismo), etoces: a) dim(im(f))= b) dim(im(f))=. c) dim(im(f))= Sea f ua trasformació lieal de R y sea A la matriz asociada a f respecto de la base caóica. Se verifica: 58 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía

9 Aplicacioes Lieales. Diagoalizació a) A 0 f es diagoalizable. b) A = 0 f es diagoalizable. c) El determiate de ua matriz diagoalizable puede ser distito o igual a 0. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesia y Cartografía 59