TEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ).

Transcripción

1 1. Espacios Vectoriales. 2. Subespacios Vectoriales tersecció de Subespacios Uió de Subespacios Suma de Subespacios Suma Directa de Subespacios. 3. Aplicacioes Lieales. Espacio Cociete. 4. Teoremas de Isomorfía. 5. Bases de u Espacio Vectorial Combiacioes Lieales Depedecia e Idepedecia Lieal Bases y Dimesió Bases y Aplicacioes lieales Dimesió de Subespacios y Espacios Cociete. 6. Subespacios Vectoriales Complemetarios. 1/27

2 TEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 deotaremos mediate la letra K u cuerpo comutativo, (K, +, ). 1. ESPACIOS VECTORIALES. DEF Llamamos K-espacio vectorial a la tera formada por u cojuto V, ua ley de composició itera +, y ua ley de composició extera : KxE E, verificado las propiedades: 1) (V, +) es u grupo comutativo. 2) La ley de composició extera satisface las propiedades a) Pseudoasociativa: λ (µ v ) = (λ µ) v b) Distributiva: λ ( v + w ) = λ v + w (λ + µ) v = v + v c) Elemeto Uidad: 1 u = u λ, µ K y v, w V Lo deotaremos por (V, +, K). Los elemetos de V recibe el ombre de vectores y se suele deotar co las letras u, v, w. Los elemetos de K recibe el ombre de escalares y se represeta mediate letras griegas. La operació extera se llama producto por escalares. Deotaremos el eutro de (V, +) por O y el eutro de (K, +) por O. PROP Si V es u K-espacio vectorial se satisface las siguietes propiedades; λ, µ K y u, v V. 1) O u = O = O 2) ( ) u = ( u ) = u 3) (u v ) = u v 4) ( )u = u u 5) u = O = O ó u = O 2/27

3 1) O u = (O + O)u = Ou + Ou Ou = O O = (O + O) = O + O O = O 2) ( )u + u = ( + )u = Ou = O ( )u = u ( u) + u = ( u + u ) = O = O ( u ) = u 3) (u v ) = (u + ( v )) = u + ( v ) = u v 4) ( )u = ( + ( ))u = u + ( )u = u u 5) Si u = O y O 1 K por ser K u cuerpo 1 ( u ) = 1 O ( 1 )u = O 1 u = O u = O Ejemplos: 1) Sea el cojuto K = Kx xk. Defiimos ua operació itera y otra extera co cuerpo de operadores K, como sigue: +: K x K K (u 1, u 2,, u ) + (v 1, v 2,, v ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,., u + v ) : K x K K λ (u 1, u 2, u ) = (λu 1, λu 2,.λu ) Es imediato comprobar que (K, +, ) es u K-espacio vectorial. 2) Sea V u K-espacio vectorial y A u cojuto. Defiimos Si defiimos la operació itera y la operació extera V A = {f: A E/f es aplicació} +: V A x V A V A (f + g) (x) = f(x) + g(x) x A : K x V A V A (λf) (x) = λ f(x) x A etoces (V A, +, ) es u K-espacio vectorial. 3) (Χ, +, ) puede ser u ΙΡ-espacio vectorial y tambié u 0-espacio vectorial, col las operacioes suma y producto habituales. PROP Sea V u K-espacio vectorial. Etoces verifica las leyes de simplificació, que 3/27

4 so: 4/27

5 1) u, v, w V u + v = u + w v = w 2), K y u V o ulo u = u = 3) K o ulo u,v K u = v u = v 1) u + v = u + w Como (V, +) es grupo Comutativo ( u) V ( u) + (u + v) = ( u) + (u + w) ( u + u) + v = ( u + u) + w O + v = O + w v= w 2) u = u u + ( u ) = u + ( u ) u u = u u ( )u = O y como u es u o ulo α - β = O α = β 3) u = v como K es cuerpo y α es o ulo 1 K tal que 1 ( u ) = 1 ( v ) ( 1 )u = ( 1 )v 1u = 1v u = v 2. SUBESPACIOS VECTORIALES. DEF Sea V u K-espacio vectorial y WCV subcojuto o vacío. Diremos que W es u Subespacio Vectorial de V si satisface: 1) (W, +) es subgrupo de (V, +) 2) K y u W u W Es claro que (W, +, ) es u K-espacio vectorial co la suma de V y el producto porescalares restrigidos a W. Todo K-espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales, el {O} y el propio V. Ejemplo. (ΙΡ, +, ) es u subespacio vectorial de (Χ, +, ), siedo el cuerpo de operadores, por ejemplo, 0 ó ΙΡ. PROP Sea V u K-espacio vectorial, W V co W Ø. So equivaletes: 1) W es u subespacio vectorial de V. 2) u, v W y K u + v W y u W 5/27

6 3) u, v W y, K u + v W 1) 2) Como W es u subespacio, las operacioes de suma y producto por u escalar so cerradas. Luego trivialmete se verifica 2). 2) 3) u, v W 2) u + v W y, K, por hipótesis u W y v W y de uevo aplicado 3) 4) Para ver que W es u subespacio. (w, +) es subgrupo u, v W si tomamos λ = 1 y µ = -1 u v W Para comprobar que la operació extera es cerrada u, v W tomamos µ = O u W K 2.1. Itersecció de Subespacios. DEF Sea V u K-espacio vectorial y {W i i: 1,, } ua familia de subespacios de V. Defiimos la itersecció de subespacios como: W = W = {u v / u W :1,..., } i i i PROP Sea V u K-espacio vectorial y {W i i:1,., } ua familia de subespacios de V. Etoces, la itersecció, W = W i, de subespacios es u subespacio vectorial V. W Ø ya que O W i i por ser u subespacio O W. Sea u, v W u, v W i i u + v W i W es u subespacio., K i u + v W DEF Sea V u K-espacio vectorial y A V u subcojuto o vacío. Llamamos Subespacio Egedrado por A al meor de los subespacios vectoriales que cotiee a A. Se deota por [A]. Es claro que el cojuto [A] es u subespacio de V que cotiee al cojuto A, y si existe otro subespacio W de V que tambié cotiee a A, etoces [A] W. PROP Sea V u K-espacio vectorial y A u subcojuto o vacío de V. Sea {W i /W i es subespacio y A W i i I. Etoces [A] = W i i I 6/27

7 Imediata DEF Sea W u subespacio vectorial de V, K-espacio vectorial, y A V tal que [A] = W. Diremos que el cojuto A egedra W o es u Sistema de Geeradores de W Uió de Subespacios. DEF Sea V u K-espacio vectorial y {W i /i I} ua familia de subespacios de V. Defiimos la uió de subespacios como: W i = {u V / i I,u W i } No podemos afirmar que la uió de subespacios sea u uevo subespacio. Ejemplo. Sea V = ΙΡ 2 y U, W subespacios de V co U = ΙΡx{o} y W = {o}xιρ. Etoces (u, o) U y (o, w) W. E cambio (u, o) + (o, w) = (u, w) U W Suma de Subespacios. DEF Sea V u K-espacio vectorial y {W i /i:1,., } ua familia de subespacios de V. Defiimos la suma de subespacios como: W i = {u V / u = u i co u i W i i : 1,..., } PROP Sea V u K-espacio vectorial y {W i /i:1,, } ua familia de subespacios de V. Etoces la suma de subespacios W = W i es u subespacio de V. Vamos a realizar la demostració por iducció e el úmero de subespacios,. Para = 2 W = W 1 + W 2 1) Como O W 1 y O W 2 O = O + O W W Ø 2) W 1 V y W 2 V W 1 + W 2 V W V 3) Sea u, v W u = u 1 + u 2 y v = v 1 + v 2 co u 1, v 1 W 1 y u 2, v 2 W 2 7/27

8 u 1 + v 1 W 1 y u 2 + v 2 W 2 u + v = (u 1 + u 2 ) + (v 1 + v 2 ) = = (u 1 + v 1 ) + (u 2 + v 2 ) W 1 + W 2 u + v W 4) Sea λ K y u W u = u 1 + u 2 co u 1 W 1 y u 2 W 2 λu 1 W 1 y λu 2 W 2 λu = λ(u 1 + u 2 ) = λu 1 + λu 2 W 1 + W 2 λu W Por tato W es u subespacio. Para 1, por hipótesis de Iducció, W = W i Para 1 1 es subespacio vectorial W = W i = W i + W Ambos sumados so subespacios vectoriales, y como la suma de dos subespacios es otro subespacio (caso = 2) etoces W es subespacio vectorial de V. PROP Sea V u K-espacio vectorial y U, W subespacios vectoriales de V. Se verifica que U + W = [U W] Sea v U + W v = u + w co u U y w W u U W y w U W u + w[u W ] v [U W ] Sea v = [U W ] u U y w W / v = u + w [U W ] u U y v W u + v U + W v U + W 2.4. Suma Directa de Subespacios. DEF Sea V u K-espacio vectorial y W 1, W 2 dos subespacios de V. Diremos que el subespacio W es suma directa de W 1 y W 2, y lo represetaremos por W = W 1 W 2, si se verifica: 1) W = W 1 + W 2 2) W 1 W 2 = {o } PROP Sea V u K-espacio vectorial y W, W 1, W 2 subespacios de V. W = W 1 W 2 w W w 1 W 1 y w 2 W 2 / w = w 1 + w 2 8/27

9 Como W = W 1 W 2, etoces e particular W = W 1 + W 2. Sea w W w = w 1 + w 2 co w 1 W 1 y w 2 W Para ver que esa expresió es úica, vamos a supoer que existe otra: Sea w = w 1 +w 2 co w 1 W 1 y w 2 W 2 Etoces w 1 + w 2 = w 1 +w 2 w 1 w 1 = w 2 w 2 Como w 1 w 1 W 1 y w 2 w 2 W 2 y ambos so iguales w 1 w 1 W 1 W 2 y w 2 w 2 W 1 W 2 Pero como la suma es directa se da que W 1 W 2 = {o } w 1 w 1 w = 0 y w 2 2 = 0 w 1 = w 1 y w 2 = w 2 Por tato la expresió es úica. 1) Como w W w = w 1 + w 2 co w 1 W y w 2 W 2 W = W 1 + W 2 Como w W 1 w = w 1 + o 2) Sea w W 1 W 2 Como w W 2 w = o + w 2 Y al ser la expresió úica w = o, w = o w = o 1 2 W 1 W 2 = {o} Lo visto de suma directa de dos subespacios se puede geeralizar fácilmete a u cojuto de subespacios. DEF Sea V u K-espacio vectorial y {W i /i:1,.,} ua familia de subespacios de V. Diremos que el subespacio W es suma directa de los subespacios {W i / i:1,..,}, y se represeta por W = W i si se verifica 1) W = W i 2) W i W j = {o} j =1 j i PROP Sea V u K-espacio vectorial y W, {W i /i:1,., } subespacios de V. 9/27

10 w W w W i i : 1,..., / w= i w i W = W i Aáloga a la aterior COROLARIO Sea V u K-espacio vectorial y {W i / i:1,., }, W subespacios de V. W = W i Si w i = o co w i W i i implica w i = o i Solo hemos de teer e cueta que o = o + o o. 3. APLICACIONES LINEALES. ESPACIO COCIENTE. DEF Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales. Diremos que la aplicació f: V 1 V 2 es u homomorfismo de espacios vectoriales (o simplemete lieal) si: 1) f (u + v ) = f (u ) + f (v ) u,v V 1 2) f ( u ) = f (u ) K u V 1 OBS La codició 1) os idica que f es u hormomorfismo de grupos etre (V 1, +) y (V 2, +). PROP Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2 ua aplicació lieal. Si {v i / i :1,..., } so vectores de V 1 y { 1 / i :1,..., } escalares se verifica f i v i = i f (v i ) Imediata. PROP Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2 ua aplicació lieal. Se satisface las siguietes propiedades. 1) f (o ) = o 2) f ( v ) = f (v ) v V 1 3) f (v w) = f (v ) f (w) v, w V 1 10/27

11 1) v V 1 f (v ) = f (o + v ) = f (o ) + f (v ) f (o ) = o 2) v V 1 f (o) = f (v + ( v)) = f (v ) + f ( v ) f (v ) + f ( v ) = o por 1) f ( v) = f (v ) 3) v, w V 1 f (v w) = f (v + ( w)) = f (v ) + f ( w) = f (v ) f (w). PROP Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales. F: V 1 V 2 es lieal v, w V y, K f ( v + w) = f (v) + f (w) 1 f ( v + w) = f ( v ) + f ( w) = f (v) + f (w) Si λ = µ = 1 f (1v + 1w) = 1 f (v ) +1 f (w) = f (v ) + f (w) Si µ = 0 f ( v + ow) = f (v) + o f (w) = f (v ) Luego f es lieal. PROP Sea V 1 y V 2 satisface: K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2 ua aplicació lieal. Se 1) Si W 1 es u subespacio vectorial de V 1 f(w 1 ) es u subespacio vectorial de V 2. 2) Si W 2 es u subespacio vectorial de V 2 f -1 (W 2 ) es u subespacio vectorial de V 1. 1) Como f, e particular, es u homomorfismo de grupos, se verifica que f(w 1 ) es u subgrupo de V 2. Sea λ K y f (v ) f(w 1 ) co v W 1 Etoces f (v ) = f ( v ) f (W ) 1 Luego f(w 1 ) es u subespacio vectorial de V 2. 2) Igualmete, f -2 (W 2 ) es u subgrupo de V 1. Sea λ K y v f 1 (W ) f (v ) f ( f 1 (W )) = W /27

12 2 2 2 f (v ) = f ( v ) W v f (W 2 ) 12/27

13 DEF Si f: V 1 V 2 es ua aplicació lieal etre K-espacios vectoriales, defiimos el úcleo del f, y se deota por Kerf, al cojuto de los v V 1 tales que f (v )= o. Y la Image de f, Imf, como el cojuto formado por las imágees de f. Kerf = {v V 1 / f (v ) = o} Im f = {w V 2 / vv 1 co f (v ) = w} = f (V 1 ) COROLARIO Sea f: V 1 V 2 ua aplicació lieal etre K-espacios vectoriales. Los cojutos Kerf e Imf so subespacios vectoriales. Kerf = f -1 ({o }) y {o} es u subespacio de V 2 Imf = f(v 1 ) y V 1 es u subespacio de V 1. PROP Si V 1, V 2 y V 3 so K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2, g: V 2 V 3 aplicacioes lieales, la aplicació compuesta g f : V 1 V 3 es lieal. Imediata. PROP Si V 1 y V 2 so K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2 es ua aplicació lieal biyectiva, la aplicació iversa f -1 : V 2 V 1 es lieal. Sabemos que f -1 : V 2 V 1 es u homomorfismo de grupos, luego solo hemos de probar el producto por u escalar. Si w V 2 v V 1 / f (v ) = w Sea λ K f 1 ( w) = f 1 ( f (v )) = f 1 ( f ( v )) = v = f 1 (w) DEF Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales y f: V 1 V 2 aplicació lieal. 1) f es moomorfismo si f es iyectiva. 2) F es epimorfismo si f es suprayectiva. 3) F es isomorfismo si f es biyectiva. 4) F es edomorfismo si V 1 = V 2 5) F es automorfismo si es simultáeamete isomorfismo y edomorfismo. PROP Sea V u K-espacio vectorial y N V u subespacio vectorial. Existe etoces u K-espacio vectorial, W, y ua aplicació lieal θ: V W tal que Ker θ = N. 13/27

14 θ. Vamos a realizar la demostració e dos pasos; primero costruiremos W y después 1) Costrucció de W. Por ser N subespacio vectorial de V (N, +) es u subgrupo de (N, +) y como es comutativa N es u divisor ormal de V. Vamos a cosiderar el cojuto cociete V/N, siedo sus elemetos clases de equivalecias de V respecto de la relació R defiida por v, v V vrv v v N La suma de clases estaría defiida por [v ]+ [v ] = [v + v ] siedo (V/N, +) grupo comutativo Defiimos la operació extera K [v] = [ v] y esta bie defiida ya que si [v] = [v ] v v N v v N [ v] = [ v ]. (v v ) N al ser subespacio La operació extera que acabamos de defiir verifica las propiedades Pseudoasociativas, distributivas (de la suma respecto del producto por escalares y viceversa) y existecia de elemeto uidad. Su demostració es imediata y o la hacemos. Por tato, el cojuto (V/N, +, K ) es u K-espacio vectorial. Tomaremos W = V/N. 2) Costrucció de θ. Defiimos θ: V V/N como lieal: ε(v ) = [v] v V. Así defiida, θ es ua aplicació ε(v + v ) = [v + v ] = [v]+ [v ] = ε(v ) + ε(v ) v, v V ε( v ) = [ v] = [v] = ε(v ) K v V Es claro que Kerθ = N v Kerε ε(v ) = o [v] = [o] v o N v N DEF El espacio vectorial V/N recibe el ombre de Espacio Vectorial Cociete de V por N. 14/27

15 DEF La aplicació θ:v V/N recibe el ombre de Proyecció Natural del espacio vectorial V sobre V/N. OBS Si N = {o} θ es iyectiva y V {o} V 4. TEOREMAS DE ISOMORFÍA. Teorema: 1 er Teorema de Isomorfía. Sea V y W K-espacios vectoriales y f: V W aplicació lieal. Etoces existe ~ u úico isomorfismo de espacios vectoriales f : V Kerf Im( f ) tal que ~ f = f ε, siedo θ:v V/Kerf la proyecció atural de V e V/Kerf. Brevemete escribimos V Kerf Im( f ). ~ Costruyamos la aplicació f y comprobemos que es isomorfismo y úica. Defiimos ~ f esta bie defiida. ~ f es lieal. ~ ~ f : V Kerf Im( f ) co f ([v]) = f (v) [v ] V Kerf Si [v ] = [v ] v v Kerf f (v v ) = o f (v ) f (v ) = o f (v ) = f (v ) ~ ([v]) = ~ ([v ]) f f Sea λ, µ K y [v ], [v ] V Kerf ~ ( [v] + [v ]) = ~ ([ v + v ]) = f ( v + v ) = f (v ) + f (v ) = ~ ([v]) + f f f f ~ f es suprayectiva. Sea w Im( f ) v V / w = f (v ) [v ] V Kerf tal que f ([v]) = f (v ) = w ~ ~ ([v ]) ~ Luego f : V Kerf diagrama ~ f = f ε Im( f ) es u isomorfismo, que además hace comutativo el 15/27

16 ~ ~ ( f ε)(v ) = ~ f (ε(v )) = f ([v ]) = f (v ) ~ f es úico. ~ Supogamos que f : V Kerf Im f / f ~ = f ε Etoces ( f ε)(v ) = f ([v ]) = f (v ) = f ([v]) = ( f ε)(v ) ~ ~ ~ ~ ~ Luego f = f OBS Sea V u K-espacio vectorial y U, W subespacios vectoriales de V co U W. Podemos defiir ua aplicació ϕ: V/U V/W de forma atural co (v +U ) = v +W, v V. La defiició es correcta pues si v +U = u +U v v U v v W v + W = v +W (v + U ) = (v +U ) Además, ϕ es lieal y suprayectiva (epimorfismo) y su úcleo es W/U ya que Kerf = {v + U / (v +U ) = o +W } = {v +U / v + W = o +W } = {v + U / v W } = W / U COROLARIO 2º Teorema de Isomorfía. Sea V u K-espacio vectorial y U, W subespacios de V co U W. : V U V W lieal, existe u úico isomorfismo ~ = f ε dode θ es la proyecció atural de V/W e U W V Dada ~ (V ) f : U ( U ( V ) W ) V W tal que ( ) La demostració es imediata aplicado el 1 er teorema de isomorfia y teiedo e cueta que Kerϕ = W/U. Teorema. 3 er Teorema de Isomorfía. Sea V u K-espacio vectorial y U, W subespacios de V. Etoces los espacios U + V y W so isomorfos. U U W Cosideremos la proyecció θ: V V/U co ε(v ) = [v],ε es lieal. Si lo restrigimos a W obteemos la aplicació lieal 16/27

17 ε w : W V U ε w(v ) = [v] v W 1) Comprobemos que Im(ε w) = U +W U Si [v] Im(ε w) [v] = ε w(w) = [w] co w W v w = u U v = u + w co u U y w W v U + W [v ] U + W U 2) Comprobemos que Ker(ε w) = U W v W Si v Ker(ε w) ε w(v ) = [o] [v] = [o] v o U v U W Ker(ε w) U W W Si v U W ε w (v ) = ε(v ) = [v] y como v U [v] = [o] v Ker(ε w) U W Ker(ε w) Luego Ker(ε w) = U W Aplicado el 1 er teorema de isomorfia a la aplicació ε w obteemos Ker(ε w) Im(ε w) que resulta ser: W 5. BASES. DIMENSIÓN Combiacioes lieales. DEF U + W U W U Sea V u K-espacio vectorial y {v i / i :1,..., } vectores de V. Diremos que v V Es combiació lieal de los vectores {v i / i :1,..., } si existe { i / i :1,..., } escalares del cuerpo K, tales que combiació Lieal. v = i v i. Los λ i recibe el ombre de coeficietes de la PROP El vector ulo es Combiació lieal de cualquier cojuto de vectores. Sea {v 1, v 2,..., v } u cojuto del K-espacio vectorial V. Basta tomar los coeficietes todos cero para que o = o v i. 17/27

18 PROP 1) U vector cualquiera es combiació lieal de si mismo. 2) U vector perteece a u cojuto es Combiació lieal de dicho cojuto. 1) v = 1 v v es combiació lieal de {v} 2) Sea {v 1, v 2,..., v } u cojuto. i 1 v i = o v j + 1 v i + o v j j=1 j=i+1 i :1,..., Luego v i es Combiació lieal de {v 1,..., v } PROP Si u vector w es Combiació Lieal del cojuto {v 1,..., v } y cada uo de los v i es combiació lieal del cojuto {u 1,..., u m }, etoces w es combiació lieal de {u 1..., u m } Sabemos que w = i v i m y cada v i = ij u j j=1 i : 1,..., m m m Etoces w = i v i = i iju i = i iju j = i ij u j j =1 j =1 j =1 PROP Sea V u K-espacio vectorial y A u subcojuto o vacío de V. El subespacio egedrado por A, [A], es el cojuto de todos los vectores V que se puede escribir como combiació lieal de los vectores de A. Sea A = {v 1,..., v } Defiimos S = v V / ( i ) i:1,.., K co v = i v i Hemos de comprobar que S = [A], para lo cual hay que verificar tres codicioes. S es u subespacio de V. Sea u, v S u = i v i y v = i v i 18/27

19 u + v = i v i + i v i = ( i + i )v i S i =1 ya que ( i + i ) K i u = i v i = ( i )v i S ya que i K i Etoces S es subespacio vectorial de V. A S Por ua proposició aterior, todo vector de u cojuto, se puede escribir como combiació lieal de dicho cojuto. S es el más pequeño que lo verifica. Sea S u subespacio vectorial de V tal que A S. Si v A y i K i v i S i Etoces i v i S S S OBS El cojuto A = {v 1,..., v } es u sistema de geeradores de S Depedecia e Idepedecia Lieal. DEF Sea V u K-espacio vectorial. El cojuto {u 1,..., u } de vectores de V diremos que es Liealmete Idepediete si la relació i u i = o i = o i. se verifica solamete para DEF El cojuto {u 1,...u } Idepediete. es Liealmete Depediete cuado o es Liealmete OBS Es lo mismo decir que {u 1,...u } es u cojuto Liealmete idepediete y que los vectores {u 1,..., u } so liealmete idepedietes. OBS Si u cojuto de vectores es Liealmete idepediete, el vector o se expresa de forma úica como combiació lieal de los mismos. E caso de que el vector ulo o se exprese de forma úica es cuado decimos que el cojuto es liealmete depediete. PROP Sea V u K-espacio vectorial. Se verifica: 1) {o} es u cojuto liealmete depediete. 19/27

20 2) {u} co u o es u cojuto liealmete idepediete. 1) 1 o = o es ua combiació lieal del o co escalar o ulo {o} es Liealmete Depediete. 2) Ua combiació lieal de {u} es Liealmete Idepediete. u y u = o si λ= 0 ya que u o {u} es PROP Sea V u K-espacio vectorial. Se verifica 1) Todo subcojuto de u cojuto Liealmete idepediete es liealmete idepediete. 2) U cojuto que cotega u subcojuto liealmete depediete es liealmete depediete. Imediata. COROLARIO Sea V u K-espacio vectorial. Se verifica: 1) Todo vector de u cojuto liealmete idepediete es o ulo. 2) Si u cojuto cotiee al vector o es liealmete depediete. Imediata. PROP Sea V u K-espacio vectorial. El cojuto {u 1,..., u } es liealmete depediete si y sólo si al meos uo de ellos es combiació lieal del resto. Si {u 1,..., u } so L. D. λ 1,, λ K o todos ulos tal que i u i = o Sea j o co j {1,..., } 1 K j 1 u = j i i j i =1 1 o ( 1 )u = o u + ( 1 )u = o u = ( 1 )u j i i j i j j i i j i j j i i Supogamos que u j es combiació lieal del resto. 20/27

21 Etoces i u i = o ( i ) K / u j = i u i Si tomamos λj = -1 podemos escribir i j y o todos los escalares so ulos {u 1,..., u } so L. D. PROP Sea V u K-espacio vectoria l. Si u vector es combiació lieal de u cojuto {u 1,..., u } de vectores liealmete idepedietes etoces dicha combiació lieal es úica. Sea u V u vector tal que u = i u i i =1 co i K i. Supogamos que 1,..., K tal que u = i u i o = u u = i u i iu i = ( i i )u i Como {u 1,..., u } so L. I. λ i - µ i = o i λ i = µ i i Por tato, la C. L. es úica. PROP Si el cojuto {u 1,..., u } es liealmete depediete y es u sistema geerador para el K-espacio vectorial V, etoces existe u vector u j {u 1,.,u } tal que el cojuto {u 1,, u j-1, u j+1,, u } sigue siedo u sistema geerador de V. Como {u 1,..., u } es L. D. u j {u 1,..., u }/ u j = i u i i j Vamos a comprobar que {u,..., u j 1, u,...,u j+1 } es Sist. Geerador de V. 1 u V i K i : 1,..., / u = i u i ya que {u 1,..., u } es S. G de V. u = i u i = i u i + ju j = i u i + j i u i = ( i + j i )u i i j i= j i j i =1 i j i j Etoces u V u es C. L. de {u,..., u j 1, u j+1,...,u } luego es u sistema de geeradores de V. 1 21/27

22 PROP Sea V u K-espacio vectorial, L = {u 1,..., u } u cojuto liealmete idepediete y v V tal que v L siedo L {v} u cojuto liealmete depediete. Etoces v [L]. Sea i u i + o v = o ua combiació lieal del vector o. Como L {v} es L. D. j K co j: 0,., o ulo. Si λ o = 0 Es escalar o ulo tedría que ser λ j co j 1,., pero eso etra e cotradicció co que L es L. I. Luego λ o 0 1 K y por tato o v = ( 1 o i i )u [L] 5.3. Bases y Dimesioes. DEF Sea u cojuto B = {u 1,..., u } de vectores del K-espacio vectorial V. Diremos que B es ua Base de V si B es u cojuto Liealmete Idepediete y Sistema Geerador de V. OBS Si v V es v = i u i co {u 1,..., u } base de V, la expresió es úica y λ i recibe el ombre de compoete i-ésima del vector v e la base {u 1,..., u }. DEF Diremos que el K-espacio vectorial V es fiitamete geerado si existe {u 1,..., u m } u cojuto fiito sistema geerador de V. PROP Sea V u K-espacio vectorial, S u cojuto fiito sistema geerador de V y L S u subcojuto liealmete idepediete. Etoces ua base B tal que L B S. Vamos a cosiderar el cojuto de cojutos C(G ) = {G / L G S y G es L.I.} Este cojuto es o vacío ya que, al meos, A perteece a él. Sea B C(G) u cojuto tal que Card (B) Card (G) G C(G) B es L. I. ya que B C(G) Si Card (B) = Card (S) B = S y B es S. G. de V. 22/27

23 Supogamos B S. Sea v S B. B {v} es L. D. Por ua proposició aterior v [B]. u V u = i u i = i u i + iu i = i u i + i j u j = u i S u i B u i S B u i B u S B = u + + u u = u i B u i B u i S B u i B u K S B i i i j i i K j i [ ] Etoces B es S. G. de V. Si B es L. I. y S. G. de V B es base de V. COROLARIO Todo K-espacio vectorial V fiitamete geerado y o ulo (V {o} ) posee ua base. Como V es fiitamete geerado, sea S u cojuto fiito de geeradores de V. Como V = {o} u V / u o. Sea L = {u} que es L. I. u j B Aplicado la proposició aterior, existe B base tal que L B S. COROLARIO Sea V u K-espacio vectorial fiitamete geerado y N u subcojuto fiito liealmete idepediete de V. Etoces existe u subcojuto fiito N de V tal que N N es base de E. Como V es fiitamete geerado, sea S u cojuto S. G. de V. Aplicado la proposició aterior tomado S = S N y L = N etoces B base tal que N B S N Basta tomar N = B N para demostrar lo pretedido. OBS Podemos deducir que este corolario que dado u cojuto de vectores liealmete idepedietes de u K-espacio vectorial V fiitamete geerado, siempre se puede exteder ese cojuto a ua base, añadiedole vectores adecuados. Veamos ahora que relació existe etre dos cojutos que sea base de u mismo K-espacio vectorial V. B 23/27

24 TEOREMA Teorema de la Base. Todas las bases de u mismo K-espacio vectorial fiitamete geerado tiee el mismo úmero de elemetos. Sea B y B dos bases de V. Si Card (B) = y Card (B ) = m hemos de comprobar que = m. Sea B = {u 1,..., u } y B = {v 1,..., v m } v j B v j = ij u j i =1 por ser B = {u 1,..., u } base de V. Sea el cojuto B {v 1 } que es S. G. ya que B es S. G. y L. D. ya que v 1 es combiació lieal de B. Podemos extraer ua base B = {v,u,..., u } co p < y 1 + p p Repitiedo el proceso, el cojuto B {v } es S. G. y L. I. 1 2 Podemos extraer ua base B 2 = {v 1, v 2, u 1,..., u s } s < p y 2 + s. Reiterado el proceso m veces ecotramos ua base B m = {v 1, v 2,..., v m,u 1,...u r } co m m + r m. Si realizamos el mismo razoamieto, pero ivirtiedo los papeles de B y B llegamos, después de pasos, a ua base Luego = m. B = {u 1,...,u, v 1,..., v t } co + t m DEF Llamamos dimesió de u K-espacio vectorial fiitamete geerado al úmero de vectores de ua cualquiera de sus bases. Se represeta por dim V. COROLARIO Si V es u K-espacio vectorial de dimesió y B es u cojuto de vectores liealmete idepedietes tal que Card (B) =, etoces B es base de V. Por u corolario previo, existe B fiito tal que B B es base de V. Etoces Card (B B ) = 24/27

25 Y como Card (B) = B Ø y B es base de V. COROLARIO Si V es u K-espacio vectorial de dimesió fiita y K es u cojuto de vectores liealmete idepedietes, etoces Card (L) dim V. Supogamos que Card (L) > dim V L L formado por dim V vectores y L. I. Por el corolario aterior L es base. Sea v L L v es C. L. de los vectores de L L {v} es L. D. y como L {v} L es L. D. lo que es ua cotradicció co la hipótesis. Luego la suposició es falsa y Card (L) dim V Bases y Aplicacioes Lieales. PROP Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales de dimesió fiita, B 1 = {u 1,..., u } ua base de V 1 y B 2 = {v 1,..., v } u cojuto de vectores que V 2. Etoces existe ua úica aplicació lieal f: V 1 V 2 tal que f (u i ) = v i i = 1,..., verificádose que f es u isomorfismo si y solo si B 2 es base de V 2. Existecia de f. Sabemos que u V 1 u = i u i co i K i Defiimos f (u ) = i v i - f es lieal Sea u = i u i y v = i u i i =1 vectores de V 1 y λ K. f (u + v) = f ( i + i )u i = ( i + i )v i = i v i + i v i = f (u ) + f (v ) i =1 f ( u) = f ( i )u i = i v i = i v i = f (u ) 25/27

26 - Podemos afirmar que f (u i ) = v i i Uicidad de f. Sea g: V 1 V 2 lieal tal que g(u i ) = v i i Dado u = i u i i =1 g(u ) = i g(u i ) = i v i = f (u ) Por tato g = f. Veamos ahora la seguda parte. Es fácil comprobar que; * Si quieres compruébalo* 1) f iyectiva B 2 es L. I. 2) f suprayectiva B 2 es S. G. Por tato, se deduce que f es biyectiva B 2 es base de V 2. COROLARIO Sea V 1 y V 2 K-espacios vectoriales de dimesió fiita. V 1 V 2 dim V 1 = dim V 2 Sea f: V 1 V 2 isomorfismo y B 1 = {u 1,..., u } base de V 1. Por el teorema aterior B 2 = { f (u 1 ),..., f (u )} es base de V 2. Es claro que Card (B 1 ) = Card (B 2 ) dim V 1 = dim V 2. teorema aterior os dice que la úica aplicació lieal f: V 1 V 2 tal que Sea B 1 = {u 1,..., u } y B 2 = {v 1,..., v } bases de V 1 y V 2 respectivamete. El f (u i ) = v i i : 1,..., tiee que ser isomorfismo. Etoces V 1 y V 2 so isomorfos Dimesió de Subespacios y Espacios Cociete. PROP Sea V u K-espacio vectorial, B base de V, W el subespacio vectorial egedrado por u subcojuto B de B co B B. Etoces el cojuto B B es base de V/W. 26/27

27 Sea B = {u 1,..., u } y, por ejemplo, B = {u 1,..., u s } co s <. Por hipótesis W = [B ] y B B = {u,...,u } s+1 Comprobemos que B B es S. G. de V/W. Sea [v ] V/W. Como B es base de V v = u i i Por tato [v ] = i [u i ] = i [u i ] i =1 i=s +1 ya que [u ] = [o] : 1,..., S porque u W B B es L. I. i i i i :1,..., S Sea i [u i ] = [o] i u i W i= S +1 i=s +1 S S Como B es base de W i u i = i u i i u i i u i = o i= S +1 i= S +1 Por ser B base de V, e particular so L. I. λ i = 0 i: 1,.., Etoces λ i = 0 i: S+1,., y B B so L. I. Por tato B B es base de V/W. PROP Sea V u K-espacio vectorial de dimesió fiita y W u subespacio vectorial de V. Se verifica la relació dim V = dim W + dim V/W Si W = {o} V {o } V y dim W = 0, dim V W = dim V Si W = V V V {o} y dim V W = 0, dim V = dim W E caso cotrario, sea {u 1,..., u s } base de V. base de W y se puede exteder a {u 1,..., u s,...,u } Por la proposició aterior {u s+1,..., u } es base de V/W y 27/27

28 verificádose la igualdad dim V =, dim W = S dim V/W = S dim V = dim W + dim V/W COROLARIO la igualdad Si U 1 y U 2 so subespacios de u K-espacio vectorial V, se satisface dim (U 1 + U 2 ) + dim (U 1 U 2 ) = dimu 1 + dimu 2 Por el 3 er teorema de isomorfía: U 1 +U 2 U 1 U 2 U 1 U 2 y podemos afirmar que dim U + U 1 2 = dim U 2 U 1 U Aplicado la proposició aterior obteemos 1 U 2 dim (U 1 +U 2 ) dim U 1 = dim U 2 dim (U 1 U 2 ) de lo cual se deduce la igualdad a comprobar. OBS Si la suma es directa dim (U 1 U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 6. ESPACIOS VECTORIALES COMPLEMENTARIOS. DEF Sea V u K-espacio vectorial y W u subespacio vectorial de V. Diremos que U es u subespacio vectorial complemetario de W si V = W U. PROP Sea V u K-espacio vectorial de dimesió fiita. Todo subespacio W de V admite complemetario. Deotemos por U el complemetario de W. Si W = {o} U = V Si W = V U = {o} Supogamos que W es u subespacio o trivial. Sea B ua base de W (W es ua dimesió fiita al serlo V). 28/27

29 B subcojuto de V B B es base de V. Veamos que U = [B ] u V u = v v + v v V = W + U v B v B 29/27