EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 2

Transcripción

1 EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asigatura VCAF) HOJA Ejercicio : Idicar u ejemplo de la sucesió x () (x (),x (),...) que perteezca a cada uo del par cosiderado de los espacios y que: a) Coverja e l,peroocoverjael. Cosidero la siguiete sucesió, x () (,...,,,...) dode el aparece e las primeras posicioes y luego so ceros. ) Vemos que la sucesió perteece a ambos espacios. x () l esclaroyaquecadax () k <. Luego está acotada etoces se tiee lo que querí amos. x () l esclaroyaque que queríamos. x () k < etoces se tiee lo ) Vemos que x () coverge e l. Vemos que x () l (,...,,...). Como x () cuado es claro que, x() l (,...,,...). 3) Vemos que o coverge e l. Vemos primero que si la sucesió coverge e l a x etoces tiee que coverger coordeada a coordeada etoces él úico posible límite es. ero como x (). Luego es claro que si tomo <ε< o existe u N tal que x () l <εcuado.luego o coverge. b) Coverja e l,peroocoverjael. Cosidero la siguiete sucesió, x () (,...,,,...) dode el aparece e las primeras posicioes y luego so ceros. ) Vemos que la sucesió perteece a ambos espacios. x () l esclaroyaquecadax () k <. Luego está acotada etoces se tiee lo que querí amos. x () l esclaroyaqueuavezfijado se tiee que x () k " # ( ) < etoces se tiee lo que queríamos. ) Vemos que x () coverge e l. Vemos que x () l (,...,,...).

2 ero esto es claro ya que x () cuado. 3) Vemos que o coverge e l. Si e este espacio la sucesió coverge es claro que lo debería hacer a (,...,,...) ya que. ero x () luegoocoverge. c) Coverja e l,peroocoverjael. Cosidero la siguiete sucesió, x () (,...,,,...) dode el aparece e las primeras posicioes y luego so ceros. ) Vemos que la sucesió perteece a ambos espacios. x () l esclaroyaque x () k < etoces se tiee lo que querí amos. x () l esclaroyaqueuavezfijado se tiee que x () k ) ( < etoces se tiee lo que queríamos. ) Vemos que x () coverge e l. Vemos que x () l (,...,,...). Esto es claroyaque x (). 3) Vemos que o coverge e l. Esto lo hemos visto e el apartado a) de este ejercicio. d) Coverja e c,peroocoverjael. Cosidero la siguiete sucesió, x () (,...,,,...) dode el aparece e las primeras posicioes y luego so ceros. ) Vemos que la sucesió perteece a ambos espacios. x () c es claro ya que la sucesió termia e ua cola de ceros. x () l esclaroyaque x () < etoces se tiee lo k que queríamos. ) Vemos que x () coverge e c. Vemos que x () l (,...,,...), ya que x (). 3) Vemos que o coverge e l. x (). Luego es claro que si tomo <ε< o existe u N tal que x () l <εcuado. e) Coverja e c,peroocoverjael.

3 Cosidero la siguiete sucesió, x () (,...,,,...) dode el aparece e las 3 primeras posicioes y luego so ceros. ) Vemos que la sucesió perteece a ambos espacios. x () c es claro ya que la sucesió termia e ua cola de ceros. x () l esclaroyaqueuavezfijado se tiee que x () k " # 3 ( ) < etoces se tiee lo que queríamos. ) Vemos que x () coverge e c. Vemos que x () l (,...,,...) ya que x () 3) Vemos que o coverge e l. Si e este espacio la sucesió coverge es claro que lo deberí a hacer a (,...,,...) ya que. x () " 3 # h i 3. ero si. Luegoesclaroqueoexisteu N tal que x () l <εcuado. Ejercicio : Demostrar que para cualquier p todo elemeto del espacio l p es u elemeto del espacio c,pero el elemeto x (,,,...,,...) c l l 3 l o perteece a l p para igú p. Si x l p x k p < esto sigifica que esta serie es covergete, etoces sabemos por el criterio del lí mite para series, que lim x k p k x k p <ε k k x k <ε p k k lim x k. k ero como x k x k x k lim x k x c. k Vemos ahora que x (,,,...,,...) c l l 3 l y x/ l p. lim x k lim x (,,,...,,...) c k k l k l l 3 l. or otro lado x k p + p > + p +. Esta desigualdad k l k k l k k setieeporquesabemosqueparauúmerosuficietemete grade se verifica que (l ) p <. Ua vez que ya teemos esta desigualdad y utilizado que el último sumado es divergete se tiee que x/ l p. Ejercicio 3: Coverge e el espacio C[,] las siguietes sucesioes? a)x (t)t -t +. 3

4 Coverge putualmete e C[, ]. Vemos que x cuado. Sea ε> x () max x (t) max t [,] t [,] (t t + ) max t [,] t ( t) <ε, ya que si t [, ) t t cuado y por otro lado si t. Luego por tato max t [,] t ( t) si. Vemos que coverge uiformemete. Calculamos el máximo de x (t) x (t) t ( +)t t. + Como x () y x () etoces el máximo se alcaza e t x ( ) quees: + + kx k. b)y (t)t -t. No coverge ya que si esta sucesió covergiera co la orma ifiito,loharíaa yaquecovergeputualmetea,perot ( t ) tiee máximo e y se tedría kt ( t )k max t [,] t ( t ) ( ) > 9, luegoocoverge. 4 e los siguietes es- Ejercicio 4: Coverge la sucesió x (t) t pacios? - t+ + + a)c[,]. Si coverge e C[, ] ya que como t [, ]. Se tiee que: t t kx + + k b)c [,]. Si coverge e C [, ]. Ya que x (t) ( +) t + la orma de este espacio, cuado y t [, ]. Sea ε> kx (t) k max x (t) +max t [,] ( +)t+ + t t +. Vemos que x (t), co t [,] x (t) kx (t) k +kx (t) k. or otro lado sabemos, por el apartado aterior, que x (t) e C[, ], luego existe N tal que kx (t) k < ε. Del mismo modo por el apartado a) del ejercicio 3, de esta hoja, sabemos que, t t + ; luego existe N tal que kx (t) k < ε kx (t) k <ε siedo max{, }. Ejercicio 5: Será: a) abierto; b) cerrado el cojuto de todos los poliomios e el espacio C[a, b]? 4

5 a) No es abierto ya que el complemetario de este cojuto o es cerrado. ara ver que el complemetario o es cerrado, cosidero ua sucesió e el complemetario de [x] ( cojuto de todos los poliomios) y veo que coverge a u poliomio, luego el lí mite o perteece al complemetario, lo que idica que el complemetario o es cerrado. {x (t)} N se(t + ) para t [a, b] y N, es obvio que {x (t)} N C[a, b], ya que la fució seo es cotiua. Vemos que x (t) cuado y t [a, b]. ara todo t [a, b] se tiee que x (t) se(t + ) cuado kx (t) k cuado. ero todos sabemos que es u poliomio que tiee todos sus coeficietes iguales a cero. b) No es cerrado, para ver que o es cerrado, tomo ua sucesió de poliomios que o va a coverger a u poliomio, etoces la clausura de [x] o coicide co él y por tato o puede ser cerrado. Sea x (t) + t k t [a, b] como todos sabemos este es el desarrollo e k! serie de la fució x(t) e t etoces x (t) x(t) cuado y t [a, b] pero e t / [x]. Luego [x] o es cerrado. Ejercicio 6: Demostrar que u espacio ormado lieal X es estrictamete ormado si, y sólo si, la esfera S o cotiee i u solo segmeto, es decir, de x, y S co x 6 y se desprede que αx +( α)y / S para cualquier α (, ). Nota: S {x X : kxk }. X es estrictamete ormado si e él, la igualdad kx + yk kxk + kyk siedo x 6,y6 se cumple solamete para y λx, dodeλ>. Co las cosideracioes de la ota vamos a demostrar lo que os pide el euciado. ] lo hacemos por educció al Absurdo: Supogamos que αx +( α)y S α (, ) kαx +( α)yk α (, ) etoces, e particular se cumple para α x +( )y x + y kx + yk kx + yk. or otro lado x S kxk,y S kyk kxk + kyk kx + yk kxk + kyk y λx pero kxk kyk λ y x pero esto es ua cotradicció. Luego el segmeto [x, y] o puede estar e S. ] lo hacemos por educció al Absurdo: 5

6 Supogamos que X o es estrictamete ormado etoces existe x 6,y6, tales que kx + yk kxk + kyk yoexisteλ> tal que y λx. Cosidero a x,b y vamos a comprobar que αa+( α)b S α (, ). kxk kyk Ates de demostrar esto vamos a demostrar que si x, y, x+y S [x, y] S. Supogamos que existe z [x, y] tal que z/ S kzk < por covexidad ya que tedríamos la siguiete situació: x z y Etoces puede pasar dos cosas x+y [x,z] ª x+y los dos casos so aálogos asi que [z,y] os cetramos e el segudo de ellos, x+y λ kzk +( λ) kyk < pero esto es ua cotradicció ya que supoíamos que x+y S, luego para demostrar que todo segmeto [a, b] S basta co demostrar que a+b S. ) Si kxk < kyk. Si ( x + y ) / S x + y kxk kyk kxk kyk < kxk x + kxk y kyk < x + kxk y kyk < kxk kx + yk kxk kyk kyk < kxk kxk + kyk kxk kyk kyk < kxk kyk kxk kyk kyk < kxk. Como ³ kxk ³ < kyk se tiee que: kyk kxk kyk Luego ( x + y ) S. kxk kyk ) Si kxk kyk. ( x a+b kxk + y ) kxk kyk kxk < kxk kyk kxk kyk (x + y) kx + yk kxk+kyk kxk < kxk pero esto es ua cotradicció. etoces es claro que a+b S. 6

7 Luego por el resultado que hemos demostrado previamete teemos que, αa +( α)b S α (, ), lo cual es ua cotradicció co la hipótesis de que la esfera o cotiee i u solo segmeto. Ejercicio 7: ormados? Cuáles espacios etre los siguietes so estrictamete a) c o es estrictamete ormado. Si tomamos x (,,,...,,...) y y (,,,...,,...) es claro que, x, y c yque,y 6 λx λ> ya que o existe λ> tal que λ N. Vemos que kx + yk kxk + kyk, x+ y (, 3 +,...,,...) kx + yk sup{ x 4 + y : N}. or otro lado kxk sup{ x : N} y kyk sup{ y : N} kx + yk kxk + kyk. b) l o es estrictamete ormado. Si tomamos x (,,,...,,...) y y (,,,...,,...) es claro que, x, y l yque,y 6 λx λ > ya que o existe λ > tal que λ. Vemos que kx + yk kxk + kyk, x+ y (,,...,,...) kx + yk sup{ x + y : N}. or otro lado kxk sup{ x : N} y kyk sup{ y : N} kx + yk kxk + kyk. c) l. Si es estrictamete ormado, lo vemos por la defiició. Sea x, y l si kx + yk kxk + kyk (kx + yk ) (kxk + kyk ) pero l es u espacio de Hilbert como veremos e la hoja 3; luego teemos que: (kx + yk ) hx + y, x + yi hx, xi +hx, yi + hy, yi. or otro lado (kxk + kyk ) (kxk ) +kxk kyk +(kyk ) faltarí a ver que hx, yi kxk kyk, yaqueesobvioquehx, xi (kxk ) yque hy, yi (kyk ), pero por la desigualdad de Cauchy-Schwarz sabemos que: hx, yi kxk kyk Y tambié sabemos que se da la igualdad cuado y λx λ>. Luego si se verifica kx + yk kxk + kyk se tiee que verificar que y λx λ>. Luego por tato este espacio es estrictamete ormado. d) l. No es estrictamete ormado, para demostrarlo vale co tomar el mismo ejemplo que e el apartado a). e) C[, ]. No es estrictamete ormado, ya que si tomamos x x(t) t y y y(t) t 3 es claro que x, y C[, ] yquey 6 λx λ>, ya que o existe λ> tal que y λx, ver el dibujo. 7

8 t 3 t Vemos que kx + yk kxk + kyk. kx + yk max t [,] t + t 3. or otro lado kxk y kyk kx + yk kxk + kyk. f) L [, ]. Como veremos e la hoja 3, L [, ] es u espacio de Hilbert, etoces al igual queeelapartadoc)severifica que, si x, y L [, ] ysotalesquekx + yk kxk + kyk equivale a que hx, yi kxk kyk y como sabemos por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiee la igualdad sólo cuado y λx λ>. Luego si se verifica kx + yk kxk + kyk se tiee que verificar que y λx λ>. Luego por tato este espacio es estrictamete ormado. Ejercicio 8: Será covexos e el espacio C[a, b] los siguietes cojutos? a) los poliomios de grado k; No es covexo, ya que si tomo dos putos e este cojuto, por ejemplo: (x) x k + a k x k a y Q(x) x k + b k x k b Etoces el segmeto [, Q] o perteece al cojuto ya que: α +( α)q α(x k + a k x k a )+( α)( x k + b k x k b ) α (, ), etoces e el caso particular, e que α se tiee que el puto resultate sería (a k + b k )x k (a + b ), que es u poliomio de grado k <k; luego este puto o perteece al cojuto, por lo tato, el segmeto o está totalmete coteido e el cojuto, luego el cojuto o es covexo. 8

9 b) los poliomios de grado k; Si es covexo, sea (x) a x a dode k y Q(x) b m x m b dode k etoces estos so dos putos cualquiera del cojuto y su segmeto [, Q] perteece al cojuto, ya que α +( α)q α(a x a )+ +( α)(b m x m b ) α (, ), etoces cada puto de este segmeto es u poliomio de grado max {, m} k; luego está e el cojuto, por lo tato, el segmeto está totalmete coteido e el cojuto, luego el cojuto es covexo. c) las fucioes cotiuas que satisface la codició, x(t) dt ; Si es covexo, sea f(t) y g(t) dos fucioes del cojuto, Vemos que su segmeto [f,g] perteece al cojuto, para ello cosideramos αf +( α)g yvemosque perteece al cojuto α (, ), αf +( α)g dt αf dt + ( α)g dt α f dt +( α) g dt α +( α) etoces el segmeto está totalmete coteido e el cojuto, luego el cojuto es covexo. d) las fucioes cotiuas que satisface la codició, x(t) dt ; Si es covexo, sea f(t) y g(t) dos fucioes del cojuto, Vemos que su segmeto [f,g] perteece al cojuto, para ello cosideramos αf +( α)g yvemosque perteece al cojuto α (, ), αf +( α)g dt (α f +( α) g ) dt α f +( α) g + +α f ( α) g dt α f dt + ( α) g dt+ + α f ( α) g dt α +( α) +α( α) etoces el segmeto está totalmete coteido e el cojuto, luego el cojuto es covexo. E la última desigualdad hemos utilizado la desigualdad de Hölder que dice lo siguiete. Si p, q [, ] y + y f L p q p y g L q etoces µ fg X X f p p µ X g p p. e) las fucioes cotiuamete difereciables que sastiface la codició, max x (t) +max t [,] t [,] x (t) ; 9

10 ero esto es la bola cerrada de cetro yradio e el espacio C [, ] ylasbolas sabemos que so siempre covexas. Ejercicio 9: Será equivaletes las ormas kxk y kxk sobre C[a, b]? No so equivaletes.odemos supoer que [a, b] [, ] porque es más fácil y luego geeralizamos para u itervalo cualquiera. Si cosideramos la sucesió: x (t) si t ª 3 (t +. ) si t Vemos que x (t) coverge co la seguda orma del euciado, pero o co la primera etoces ambas ormas o podra ser equivaletes. µ kx (t) k x (t) dt + 3 t +( + ) dt 3 (t +( + ) +t( + ))dt µ h 3 ( t3 3 +( + ) t + t ( + )) i h 3 +( + ) +( + ) h ( ii 3 )3 +( ) 3 ( ) cuado. ero por otro lado x () 3 4 cuado. Luego co la orma kk o coverge. Luego estas ormas o puede ser equivaletes. ara verlo e u itervalo geeral [a, b] sería modificar esta misma sucesió, es decir, covertir el itervalo [a, b] e el [, ] por traslacioes y homotecias.