1 SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

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1 UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof DORIS HINESTROZA SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS Sea C el cojuto de parejas ordeadas (a, b) deúmeros reales, esto es C = {(a, b) :a, b R} Diremos que dos complejos so iguales, esto es (a, b) =(c, d) siysólo si a = c y b = d E este cojuto C defiimos la suma y el producto de dos úmeros complejos como: (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc) Podemos deducir fácilmete que los úmeros complejos satisface la propiedades comutativas, asociativas y distributivas que se da e los úmeros reales Podemos idetificar aturalmete los úmeros complejos cuya seguda compoete es cero como úmeros reales y e este setido los reales los podemos ver como u subcojuto de los úmeros complejos Así podemos expresar el úmero complejo (a, 0) por el úmero real a Sobre el cojuto podemos observar lo siguiete: si λ R etoces λ (a, b) =(λa, λb) El cojuto C, sólo co la operació + es u grupo Defiiedo la multiplicació por escalares reales C se covierte e el cojuto vectorial sobre R, R 2 Claramete el úmeroceroec es (0, 0) y lo represetaremos por 0 y el elemeto uo es (, 0) Si (a, b) C co (a, b) 6= (0, 0) (esto es a 6= 0ob 6= 0 Vamos a hallar el iverso de (a, b), esto es hallar el complejo (c, d) talque (a, b)(c, d) =(ac bd, ad + bc) =(, 0), oseaque ac bd = y ad + bc =0 Este sistema lo podemos expresar matricialmete como Ã!Ã! Ã! Ã a b c a = Tomado A como la matri A = b a d 0 b b a! co det(a) =a 2 +b 2 6=0 teemos que Ã! Ã c a = d b b a! Ã 0! = Ã a b det A b a!ã 0! = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2

2 Así eliversode(a, b) que deotaremos por (a, b) es dado por (a, b) = µ (a, b) = a a 2 + b 2, b a 2 + b 2 Si llamamos i al complejo (0, ) esto es i =(0, ), teemos que todo úmero complejo (a, b) lo podemos expresar como (a, b) =a(, 0) + b(0, ) = a + ib Observemos que ii =, oseaquei es solució de la ecuació 2 + = 0 e C Claramete 2 +=( + i)( i) o 2 + w 2 =( + iw)( iw) Defiimos la parte real e imagiaria de u úmero complejo = a + ib como Re = a, Im = b El úmero cojugado de, que deotamos por está dado por = a ib Claramete teemos que Re = + yim = 2 2i Tambié defiimos, la orma del úmero complejo = a + ib como Claramete Co todas estas defiicioes teemos que: = p a 2 + b 2 2 = = a 2 + b 2 + w = + w y w = w, w = w y =, R si y s lo si = Puesto que 2 = etoces = 2 ( 6= 0) o = 2 Observado que siempre es u úmero real y mayor o igual que 0 Observemos que si teemos el cociete de dos complejos w co w =(c + id) y =(a + ib) 6= 0 teemos que w = w = (c + id)(a ib) a 2 + b 2 = ac + bd bc a 2 + iad + b2 a 2 + b 2 Plao Complejo El úmero complejo (a, b) = a+ib lo podemos represetar como u puto e el plao xy de coordeadas (a, b) La orma = a 2 + b 2 os represetaria la distacia de dicho puto desde el orige de coordeadas Cuado utiliamos el plao xy para represetar úmeros complejos, el plao toma el ombre de plao Argad, e hoor a Jea Argad ( ), matemático suio que e 806 propuso esta represetació para los úmeros complejos 2

3 y (x,y) y (x,y) Puto P=(x,y) que Represeta a =x+iy x x Obsevemos que el úmero complejo, geométricamete lo podemos ver como la reflexió de respecto al eje x El proceso de sumar tiee ua iterpretació muy simple e térmios vectoriales como se muestra e la figura: 3

4 + 2 2 Co el fi de iterpretar geometricamete la multiplicació compleja itroduciremos la represetació polar de los complejos Represetacio Polar Dado (xy) R 2, (xy) 6= (0, 0) Sea (r, θ) sus coordeadas polares Así podemos escribir = r(cos θ + ise θ), dode r = y el úmero θ, llamado argumeto de, tiee diferetes posibilidades para θ U úmero complejo tiee ifiitos argumetos, cualquier dos de ellos difiere e múltiplos de 2π Vamos a deotar todos estos argumetos por arg Defiimos el argumeto pricipal de como el úico argumeto que está defiido e el itervalo ( π, π], y que deotaremos por Arg ; así π <Arg π Co esta otació es claro que arg = Arg +2kπ, k Z Observemos que si y = r (cos θ + ise θ ) 2 = r 2 (cos θ 2 + ise θ 2 ) etoces 2 = = r r 2 {[cos θ cos θ 2 se θ se θ 2 ]+i[se θ se θ 2 + se θ se θ 2 ])} = r r 2 [cos (θ + θ 2 )+ise( θ + θ 2 )] Claramete teemos que arg( 2 ) = θ + θ 2 +2kπ, k Z arg( ) = θ +2π, Z arg( 2 ) = θ 2 +2mπ, m Z Por otro lado Así θ + θ 2 +2kπ = θ +2π +(θ 2 +2(k )π) arg( 2 )=arg( )+arg( 2 ) Nota : No siempre es cierto que Arg( 2 )=Arg() +Arg( 2 ) Observemos por ejemplo que si = y = i, etoces Arg = π y Arg = π/2, etoces 4

5 Arg( )+Arg( 2 )= 3 2 π Por otro lado Arg( 2 )=Arg( i) = π/2 Luego Arg( 2 ) 6= Arg( )+ Arg( 2 ) Nota 2: Si = r(cos θ + ise θ) etocesi = = r(cos(θ + π/2) + ise (θ + π/2)) Como podemos observar i se obtiee rotado geometricamete el vector e setido positivo u águlo π/2, si cambiar la logitud i π / 2 θ Nota 3: Si = r(cos θ + ise θ) 6= 0, etoces = r (cos( θ)+ise ( θ)), puesto que = Así teemosque = r [cos (θ θ 2 )+ise( θ θ 2 )], 2 6=0 2 r 2 Claramete arg( )=arg( ) arg( 2 ) 2 Ecuació biomial Si a = r(cos θ + ise θ), a6= 0 teemos que Para =0, teemos que a 0 = y puesto que a = r (cos θ + ise θ) = r (cos θ + ise θ) a = (cos( θ)+ise ( θ)), r la fórmula de potecias es válida tambié para los eteros egativos E particulas si <0, defiimos a =(a ) Claramete si r =, teemos la fórmula de Moivre (cos θ + ise θ) = (cos θ + ise θ), lo cuál os dá ua fórmula que os permite calcular la ecuació Si escribimos = ρ(cos ϕ + ise ϕ) Etoces, = a, a 6= 0 ρ (cos ϕ + ise ϕ) =r(cos θ + ise θ) 5

6 Lo cual implica que ρ = r, osea Observemos que ρ = r /, ϕ = θ +2kπ, k Z ϕ k = θ + 2kπ,k Z Los úicos valores que da distitos k tales que k = a so k =0,,, Así teemos: µ θ k = r µcos / + 2kπ µ θ + ise + 2kπ, k =0,,, E el caso que a =, la ecuació se covierte e =, cuyas raíces está dadas por µ µ 2kπ 2kπ k =cos + ise, k =0,,, Si hacemos w =cos 2π + ise2π, teemos que o = w o = = w 2 = w 2 = w, Asílasraíces de la uidad so,w,w 2,,w, dode w = Esto os uestra que si a es cualquier raí sima de a, etoces w k a, k =0,,, ³ so todas las ráices, Puesto que w k a = a Plao Complejo extedido y proyecció estereográfica Cuado usamos los úmeros reales, empleamos el cocepto de ifiito y cosideramos los simbolos + y Porjemplodecimosquelasucesió, 2, 3,,diverge a + y la sucesió, 2, 3,,diverge a Co úmeros complejos tambié se hace importate hablar del cocepto del ifiito y deotaremos el símbolo e el caso complejosi quisieramos represetar el ifiito e el plao, tedríamos problemas para represetarlo Podríamos pesar el ifiito cuado aumeta si límite, siguiedo ciertas trayectoria e el plao complejo, por ejemplo 6

7 y x Co el objetivo de hacer más tagible este puto del ifiito usaremos lo que se cooce como proyecció estereográfica Cosideramos el plao provisto de u tercer eje perpedicular al plao Cosideraremos ua esfera cetrada e el orige de radio x

8 lo cual implica que x = x, y y = x 2 x 3 x 3 Por lo tato el úmero complejo asociado al puto P =(x,x 2,x 3 )está dado por Observemos que Despejado x 3 teemos que Igualmete observemos que x = x( x 3 )= = x + ix 2 x 3 2 = x2 + x2 2 ( x 3 ) 2 = x2 3 ( x 3 ) 2 = +x 3 x 3 x 3 = , x 2 = y( x 3 )= i( + 2 ) fácilmete deducible por cuato x 3 = = + 2 ( 2 ) = + 2 Completamos la correspodecia asigado al puto e el ifiito el puto N =(0, 0, ) Así podemos cosiderar la esfera como la represetació del plao complejo extedido Observemos que el hemisferio x 3 < 0, correspode a los valores de tales que < yelhemisferiox 3 > 0, correspode a los valores de tales que > Esta esfera es coocida como esfera de Riema Los putos (x, y, 0), (x,x 2,x 3 )y(0, 0, ) está e líea recta Esta proyecció es llamada proyecció estereográfica que podemos deotar por la fució dada por ϕ : S C ϕ(x,x 2,x 3 ) = x + ix 2 x 3, ϕ(0, 0, ) = La iversa es defiida por ϕ () = Ã! + + 2, i( + 2 ), ϕ ( ) = (0, 0, ) ( ) Por la proyecció estereográfica cada u circuferecia sobre S que pasa por el puto (0, 0, ), se trasforma geometricamete e ua líea recta e el plao y viceversa Más geeralmete podemos mostrar que cada circuferecia e la esfera se trasforma e ua circuferecia o e ua líea recta e el plao Observemos que cada circuferecia e la esfera está determiada por la itersecció de la esfera co u plao Así podemos asumir que ua circuferecia yace e el plao λx +µx 2 +νx 3 = p, p 0,x 2 + x2 2 + x2 3 = y dode podemos supoer que λ2 + µ 2 + ν 2 =pdebe ser meor que, para poderlo itersectar co la esfera 8

9 De acuerdo co ( ) λ µ i( + 2 ) + v = p, o λ( + ) µi( )+ν( 2 ) = p( 2 +) λ( + ) µi( )+ν( 2 + 2) = p( 2 +) ()( 2 +) = λ( + ) µi( ) 2v Reorgaiado los térmios teemos Así teemosque ()(x 2 + y 2 +)=2λx +2µy 2v y observemos los siguietes hechos: Si p = v, etoces la circuferecia se trasforma e la recta 2(λx+µy v) = 0 Observemos que e este caso la ecuació del plao es dada por λx +µx 2 +νx 3 = p = v o λx +µx 2 +ν(x 3 ) = 0, plao que pasa por el puto N(0, 0, ) Mostrado que las circuferecias que pasa por el polo se trasforma e rectas Si p 6= v, etoces la circuferecia se trasforma e ua circuferecia dada por ()(x 2 + y 2 +) 2λx 2µy = 2v x 2 + y 2 + 2λ x 2µ y = 2v x 2 + y 2 2λ x 2µ 2v y = = p + v Completado cuadrados teemos que µ x λ 2 µ + y µ Distacia estereográfica 2 λ2 () 2 µ2 () 2 µ = p + v, x λ 2 + µ y µ 2 = p + v + λ2 + µ 2 () 2 = p + v + v2 () 2 = v2 (p + v)() () 2 = p2 () 2 Dados dos putos del plao extedido defiimos para, 0 ua distacia defiida de la siguiete forma d(, 0 ) = d(ϕ (),ϕ ( 0 0 )) = 2q+ 2q, d(, ) = d(ϕ (),ϕ ( )) = 2 q + 2 (Probar este resultado) 9