Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso
|
|
- Ana Segura Caballero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso
2 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los coceptos de, vectores, depedecia e idepedecia lieal, matrices operacioes, determiates, sistemas de ecuacioes lieales. El programa poe:. Espacio Vectorial. Cambios de bases. Espacios afies. Cambios de sistemas de referecia. Producto escalar, ormas y distacias. 2. Aplicacioes lieales y matrices. 3. Matrices equivaletes y semejates. Operacioes y matrices elemetales, aplicació al cálculo del rago y de la matriz iversa. Determiates: propiedades y aplicacioes Bibliografia.- De Burgos, J Álgebra Lieal. J.. Ed. Mc. Graw Hill. López Pellicer y García García Álgebra lieal y Geometría. Ed. Marfil. De la Villa A. Problemas de Álgebra Lieal Tébar Flores Problemas de Álgebra Lieal.
3 Guió del tema 3 Espacio Vectorial Defiició e R o e C Ejemplos. Propiedades. Sistemas de vectores. Depedecia e idepedecia lieal. Rago de u cojuto de vectores. Subespacio vectorial, defiició, C N y S. Subespacio geerado. Sistema geerador. Bases. Coordeadas. Dimesió. Ecuacioes de los subespacios. Cambios de bases, ecuacioes. Aplicació lieal etre e.v. Cocepto, ejemplos. Alguas propiedades. Núcleo e image. Tª de las dimesioes. Matriz de ua aplicació lieal Cambio de bases e ua aplicació lieal, matrices equivaletes y semejates. Espacios vectoriales afies. Defiició. Sistemas de referecia. Cambios del Sistema de Referecia. Espacios vectoriales co producto escalar. Defiició, ormas distacias, águlos, ortogoalidad.. Expresió matricial del p.e. Operacioes elemetales sobre matrices, Recordatorio sobre determiates, SEL etc
4 Defiició de E.V. 4 Defiició U espacio vectorial es u cojuto V dotado de dos operacioes, ua itera + (lci), y otra extera. (lce) Co la lci es u grupo esto es: Comutativa, asociativa, e.eutro, e. opuesto Y co la lce cumple las propiedades:. α (x + y) = α x + α y 2. ( α+ β) x = α x + β x x, y V αβ, K 3. α ( β x) = ( αβ ) x 4..x = x elemeto uidad de K Al cojuto (V,+, K) se le llama ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo K, o tambié K-espacio vectorial. A los elemetos de V los llamaremos vectores; a los del cuerpo K, escalares y los habitualmete los escribiremos co letras griegas α, γ, λ, µ,...
5 Ejemplos de E.V. 5.- R 2.- El cojuto de los poliomios co coeficietes reales co grado 3 (P (x), +, R) 3. Las matrices M p,q co la suma y producto por úmeros reales. 4.- Las sucesioes reales. 3 (x,..., x ) + (y,..., y ) = (x + y,..., x + y ) α (x,..., x ) = ( α x,..., α x ) α R y (x, x,..., x ),(y, y..., y ) R 2 2, { 2 } P (x) = a + a x + a x / a R i { x} + { y} = { x + y} { } { } { } { } a x = ax a R y x, y Sucesioes de º reales
6 Propiedades.c.l, sistema geerador 6 Otras propiedades que se cumple e u e.v.. 0 x = 0; x V 0 R 5. si α 0 y α x = α y x = y 2. α 0 = 0; α k 6. a) α ( x) = ( α x) = ( α) x 3. α x = 0 α = 0 ó x = 0 b) ( α) ( x) = α x 4. x V, x 0 y α x = β x α = β 7. α (x y) = α x α y; α R, x, y V Sea (V,+, K) u espacio vectorial sobre K y S V, decimos que S es subespacio vectorial cuado (S,+, K) es tambié u e.v. sobre K. S es subespacio de V α, β K, x, y S : α x + β y S Ejemplos:. S={(-a,a)/a R}, es u subespacio vectorial de R P 2 (x) es u subespacio vectorial de P 3 (x). 3.- S={(-a+,a)/a R}, NO es u subespacio vectorial de R 2.
7 Operacioes co subespacios 7 Itersecció.- Teorema: Sea (V,+, K) u K-espacio vectorial y sea S y S 2 dos subespacios vectoriales de V, etoces S S2 S = { x / x S y x 2} es tambié subespacio vectorial de V. Suma de subespacios.- Defiició: Sea S, S 2 dos subespacios vectoriales del K-espacio vectorial (V,+, K) se defie la suma: S S = x V / x = x + x, 2 x i S ; i,2 { } + 2 i = Teorema: S +S 2 es tambié subespacio vectorial.
8 Operacioes co subespacios 8 Teorema de las dimesioes.- Si L y M so subespacios de V, etoces: dim(l+m) = dim(l) + dim(m) dim (L M) Ejemplo: M ={ (x,0): x R} subesapcio de R 2.. L ={ (o,y) : x R} subespacio de R 2. M L No es subespacio de R 2. Pues (,0) M y (0,) L y (,0) + (0,)=(,) M L. Ejercicio: Sea M geerado por {(,0,); (0,,)} y L geerado por {(,,); (2,0,)}. Hallar S + L y S L.
9 Combiacioes lieales, sistema geerador 9 A cualquier cojuto de vectores se le suele llamar Sistema de vectores x es combiació lieal de x, x,..., x : α, α,..., α K / x = α x 2 2 i i i= Al cojuto de todas las c.l. de x, x,..., x se le llama geerada o subespacio geerado 2 { } a los vectores x i se le llama sistema geerador (s.g.) x, x 2,..., x = αi x i / αi K i= Ejemplos.-.- E R 3 u sistema geerador es (,0,0),(0,,0),(0,0,) Y tambié lo es (,0,0),(0,,0),(0,0,), (6,7,8), (4,5,6) variedad lieal 2.- E R 3 L={(a+b, b,2a)/a,b R} es u subespacio geerado por los vectores ((,0,2) y (,,0) 3.- P 3 (x) esta geerado por {,x,x 2,x 3 }, tambié está geerado por {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 }
10 Depedecia e idepedecia lieal rago 0 { }...Se dice que x, x,..., x so vectores liealmete idepedietes (l.i.) 2 o tambie familia libre cuado se verifica Si α x = 0 α = 0 i 2 i= i i i { 2 } ( ) i= i i i...el cojuto de vectores x, x,..., x se dice que es u cojuto de vectores liealmete depedietes l.d. o tambie familia ligada cuado Si α x = 0 α 0 para cierto i... Esta defiicio es equivalete a: Ejemplos: { } x, x,..., x es l.d. uo de ellos es c.l. de los demás 2. E R 2, (,-2)(2,-4) so l.d. 2. E R 3 a)(,2,3), (,,0), (,0,0) so l.i. b) (,2,3), (,,0), (,3,6) so ld 3. E P 3 (x) {+x+x 3, 2x+x 2, 2-x 2 +2x 3 } so l.d. Llamamos RANGO de u sistema de vectores: al úmero máximo de vectores libres
11 Defiició { } Bases, dimesió. : Base de u E.V. es u sistema de vectores { v,..., v } que a) so l.i b) sistema geerador Todas las bases de u E.V. tiee el mismo úmero de vectores. Ese úmero es la dimesió del E.V. { } = ( ) = ( ) 2.- E R ua base es e,e 2 co e,0 y e2 0, llamada base caóica = = 2 El cojuto v, v2 dode v (,2), v 2 (3, 4) tambie es base de R 2.- E ( P 3 (x), +, R) teemos {, x, x 2, x 3 } es base. Tambié es base el cojuto {, +x, +x+x 2, +x+x 2 +x 3 } 3.- E las matrices M 2,3 las matrices A,B,C,D,E,F so ua base del E.V A=, B= C=, D=, E=, F=, { } α i α i i i= Si B= v,..., v es ua base de u e.v. etoces si x V x = v K A los escalares ( α, α,..., α ) le llamamos coordeadas de x e la base B 2 lo expresaremos co x B Las coordeadas de u vector so úicas...si se cambia la base cambia las coordeadas...
12 Cambios de bases e e.v. 2 { } { } α 2 Sea B = x, x,..., x y B = y, y,..., y dos bases de V y sea x V / x = y =x i i B i= queremos obteer las coordeadas e la base B, que llamamos γ K / x = γ x =x i i i B i= Supoemos que os da las coordeadas de los vectores de la base B e la base B 2 y = β x β x... y = β x β x... y = β x β x Las ecs. del cambio bases so: γ = α β + α β α β... γ = α β + α β α β γ = α β + α β α β... o e forma matricial β β2... β β2 β22... β = X B = X B.(B 2 2) B β β2... β o simplificadamete podremos... X = X.P X las coordeadas del vector e la base primera, ( γ γ γ ) ( α α α ) X las coordeadas del vector e la base seguda y P la matriz de la seguda base respecto la primera Ates ecs. Subespacios
13 Aplicacioes Lieales. 3 Ates Defiició: Sea dos e.v. E y F, sobre u cuerpo K, decimos que la aplicació f: E F es ua aplicació lieal u homomorfismo cuado: f (x + y) = f(x) + f(y) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Nota: Cuado F = K se llama forma lieal. Ejemplos:.- f: R R f(x)=3x es ua aplicació lieal de (R,+, R) e si mismo. 2.- f: P 2 (x) P (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (se llama homotecia) 5.- V = {fucioes reales itegrables} F: V W = R F(φ) = a b φdx. Y o lieales???? Teorema. (Codició ecesaria y suficiete de aplicacioes lieales). Sea E, F e. v. sobre K: f es aplicació lieal f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V
14 Aplicacioes Lieales. 4 Alguas propiedades: f(0 E )=0 F f(-x)=-f(x).. f(x-y)=f(x)-f(y) Hay dos cojutos importates e toda aplicació lieal Sea f:(e,+,.k) (F,+,.K) Defiició : llamamos Image de la aplicació lieal y lo deotamos por Im(f) al cojuto: f(e) = Im (f) = {y F / x E, f(x) = y} F Defiició 2: llamamos úcleo del homomorfismo, y lo deotamos por Ker(f) a: Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E» Siempre hay al meos u vector pues f(0 E )=0 F Ambos so subespacios vectoriales y se cumple: Teorema de las dimesioes» dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)).
15 Matriz de ua aplicació lieal 5 Sea f:e F y sea uas bases e E y F que llamamos B y B p q E F { } { } B = u,u,u,...,u y B v, v, v,..., v llamamos matriz de f referida a las bases E 2 3 p F 2 3 q B y B a la matriz que tiee por filas las imágees de los vectores de la base de B E F a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v M(f) = M = dode a a a... a f(u ) = a.v + a.v a.v 2 3 q 2 2 q q q q q p p2 p3 pq pxq Se prueba que si X=(x, x, x,..., x ) a a2 a 3... aq a2 a22 a a2q (y, y 2, y 3,..., y q) = (x, x 2, x 3,..., x p) a a a... a p p p2 2 pq q y f(x)=y=(y, y, y,..., y ) etoces 2 3 p 2 3 q p p2 p3 pq pxq las matrices traspuestas o sea covirtiedo filas e columas E Y = X.M tambie podría expresarse co t t t Y = M.X Obsérvese que la matriz de ua aplicació depede de las bases elegidas B E y B F
16 Matrices equivaletes y semejates 6 Cambio de bases e la ecuació de ua aplicació lieal. Matrices equivaletes: Si A, B Є M pq decimos que A es equivalete a B (A B) si P Є M p y Q Є M q / B= PAQ - ( P y Q regulares) Veamos que ocurre e la ecuació de ua aplicació lieal si se cambia las bases Sea f: E F de ecuació Y=X M co M = matriz de f referida a B E y B F. Supogamos que se cambia las bases: Sea el cambio e E: B E B E X = X P P matriz del cambio de bases e E Sea el cambio e F B F B F Y = Y Q Q matriz del cambio de bases e F Etoces si Y=X.M Y Q = (X P).M.. Y = X (PMQ - ) Y = X H O sea la ueva matriz de f (referida a B E y B F es H = PMQ -» Segú la defiició aterior so matrices equivaletes Por tato, tambié podemos defiir: Dos matrices so equivaletes si so matrices de ua misma aplicació lieal referida a bases distitas Matrices semejates : Si A, B Є M p A es semejate a B P Є M p regular / B = PAP - (es el caso aterior co E = F ó P=Q)
17 E resume 7
18 Espacio Afí 8 Sea Π u cojuto de putos y sea V u e. v., llamaremos espacio afí asociado al e.v. V a la tera formada por: ( ) ( ) ( ) ( ) A ) ϕ P,Q =ϕ P,R +ϕ R, Q P,Q,R Π Π, V, ϕ A. Siedo ϕπ Π : V/ A Π A 2) B Π / ϕ ( A,B) = v v V A los elemetos de Π les llamaremos putos del espacio afí. El vector ϕ ( ) a) A Π, ϕ A,A = 0 A,B se desigará habitualmete por AB Al puto B le llamaremos extremo y a A, orige. + PROPIEDADES. Ejemplos.- Plao afí A 2= (R 2, V 2, φ) Espacio afí tridimesioal A 3 =(R 3, V 3, φ) Siedo φ(p,q)=(q -p,q 2 -p 2,...) y P=(p,p 2,.. ) y Q=(q,q 2,.. ) ( ) ( ) = ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) A,B Π, ϕ A,B B, A c) A,B,C Πse cumple ϕ A,B =ϕc,d ϕ A, C =ϕb,d
19 Sistemas de referecia..coordeadas 9 { OU } OU ( ) { } Sea u esp. afí A = Π, V, φ y sea R= O, U,..., U ( + pu t os) { OU } OU se dice que R es u sistema de referecia cuado,..., es base del e.v. V A,..., le llamaremos base vectorial asociada al sist. de { } referecia afí OU,,..., U { OU } U Habitualmete u SR afi R se suele expresar como,,..., dode U = OU,..., U = OU Es decir u SR so + putos ó u puto y ua base del e.v Dado u puto del espacio afi llamaremos vector de posició al vector OP siedo O el puto fijo del S.R. Existe ua biyecció etre los putos de u EAfi y sus vectores de posició. Llamamos rdeadas afies de u puto P(p,p,...p ) a las coordeadas vectoriales coo 2 de su vector de posició OP = p U +p U +...+p U 2 2
20 Sistemas de referecia..coordeadas 20 Defiició: Llamamos dimesió del espacio afí a la dimesió del e.v. asociado. Ejemplos E el plao R ={O,E,E 2 } co O=(0,0), E =(,0),E 2 =(0,) es u S.R. E el plao R 2 ={A,P,P 2 } co A=(,), E =(2,3), E 2 =(4,6) es otro S.R. E el espacio R ={0,E,E 2,E 3 } co O=(0,0,0), E =(,0,0), E 2 =(0,,0) E 3 =(0,0,) es u S.R. E el espacio R 2 ={A,P,P 2,P 3 } co A=(,,0), P =(,2,3), P 2 =(2,4,6) P 3 =(4,5,8) es otro S.R. Ejercicios.- Obteer las coordeadas del puto P(8,9) del plao afí e el sistema R 2 Obteer las coordeadas del puto P(6,7,8) del espacio afí e el sistema R 2
21 Cambios de sistemas de referecia 2 ( φ) { } { } Sea el EAfi A=Π,V, y los S.R. R= O,u,...,u R'= O',v,...,v Sea ( ) X = X = x,..., x OX = x u x u R ( ) ( ) Sea X=X = x',...,x' O'X= x' v y sea OO'= a,...,a = a u R' i i i i i= i= = v aiui i = Sea... P = aij co P "matriz del cambio de bases" v = a iui etoces sustituyedo obteemos las ecs. del cambio de S.R. x = a + x' a x' a... que e forma matricial sería x = + ' a x a x' a
22 Cambios de sistemas de referecia 22 ( x,..., x ) = ( a,..., a ) + ( x',..., x' ) ( X=A+X.P) ( x x ) ( x x ) a a 0,,..., =, ',..., ' simplificadamete X=X.B P 0 ( ) ( ) (siedo la matriz B y X=,x,...,x y X =,x',...,x' ) a a a a Ejercicios.. Buscar las ecs. de los cambios de sistemas de referecia e el plao y e el espacio de los ejemplos ateriores. 2. Obteer las ecuacioes de algua variedad afí.
23 Producto Escalar 23 Defiició.- Sea V u espacio vectorial, llamaremos ( pe..) de los vectores V, a toda aplicació f : V xv R que cumple:.- x.y = y.x 2.- x.(y+z) = x.y+x.z x, y,z V, 3.- ( α.x)= α.(x.y) 4.- x.x > 0 x 0 El e.v. V co el p.e. se le llama producto escalar α K Espacio vectorial euclídeo e.v.e. Ejemplos : x.y = x.y + x y es u p.e. 2 2 { } = ( ) = ( ).- E el e.v V = (x,y)/ x,y R si x x,x y y,y = + ( + 2) ( 2) ( ) 2.- E el mismo e.v. a) x.y x y x x y +y tambie es p.e. b) x.y == x y + 2x y + 3 x y + y es otro p.e { } 3.- Si Fc a,b = fucioes cotiuas defiidas e el itervalo real a,b ( ) y sea φ: F xf R defiida φ f, g = f(x)g(x)dx f, g F es u p.e. c c a c b
24 Norma y águlo e el e.v.e. 24 E u e.v.e. E se defie orma de u vector como x = x x La orma cumple las propiedades:.- x 0 x E x = 0 x = λ x = λ x λ R 3.- x + y x + y x, y E A partir de la orma se defie la distacia como : d(x, y) = x y siedo x, y E... Y el águlo formado por dos vectores como: xy= θ como el úico θ [0, π] tal que cos( θ)= x.y x y
25 Ortogoalidad e u e.v.e Se dice que x es ortogoal y x y = 0 se expresa x y { } i p - U sistema de vectores u se dice ortogoales dos a dos { } e i ortogoal ei ej = 0 i j { } i i j e e = 0 i j ei ei = i = j cuado: ui uj = 0, para i j - U vector a es ortogoal a u subespacio S cuado es ortogoal a todos los vectores de S: a S a y = 0 y S - Para que a sea ortogoal a S basta co que lo sea a ua cualquiera de sus bases. - Ua base de u e.v. se dice ORTOGONAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos - Ua base de u e.v. se dice ORTONORMAL cuado sus vectores so ortogoales dos a dos y uitarios (de orma ) e ortoormal
26 Ortogoalidad e u e.v.e Expresió matricial de u p.e. 26 Esta defiició se extiede a las matrices. Ua matriz se dice ORTOGONAL cuado sus vectores filas (o columas) so ua base ortoormal. Esto es equivalete a que M.M t =I M=M - Por último recordaremos que u p.e. se puede expresar como : EXPRESIÓN ANALÍTICA del producto escalar ( ) { } i i i i toces : Si E = V,. = e.v. euclídeo y B= u,u, _,u ua base de V 2 y sea x = x u e y = y u e x.y = ( x,..., x )((g ij))... dode g ij es la matriz cuadrada defiida por gij = u i.u j ( ij ) ( ) ij y y A la matriz G g le llamamos matriz del producto escalar G es simétrica pues g = ( MATRIZ DE GRAMM) = > t g ji i,j y defiida positiva (xgx ) 0 x
27 Fi Tema APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Volver
28 Fució Aplicació 28 Fució f: A B Origial x Image f(x) Domiio o campo de existecia. Cojuto Image Aplicacioes Iyectiva Suprayectiva..Biyectiva EJERCICIOS Estudiar f: R R = = = x = x + 2 f(x) x... f(x) x... f(x)...f(x) l(x)... = + = = x x 2 2 f(x) x...f(x) x 4...f(x)... Volver
29 29 Fució Aplicació Volver
30 Ecuacioes de los Subespacios 30
31 3
32 32
33 33
34 34 Volver
35 Itroducció a la expresió matricial 36 * Sea f: R 2 R 2 defiida por f(a,b)=(a+b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Expresarla e forma matricial * Idem co Sea f: R 2 R 3 defiida por f(a,b)=(a+b,a-b, 2.a) Para todo (a,b) de R 2 Volver
36 37
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:
Más detallesAPLICACIONES LINEALES.
APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B
Más detallesCapítulo 2. Operadores
Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática
Más detallesTransformaciones Lineales
Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,
Más detallesEspacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales
ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de
Más detallesFigura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,
VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL
GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)
Más detallesGradiente, divergencia y rotacional
Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para
Más detallesTEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:
TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a
Más detallesTema 2: Diagonalización de matrices cuadradas
Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Tema : Diagoalizació de matrices cuadradas.1. El cojuto R Defiició: Dados úmeros reales x 1, x,..., x R, se llama -tupla ordeada a x = ( x 1,, x,...,
Más detallesAsignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales
Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio
Más detallesA = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.
. POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesVectores y matrices. x 1. x 2. x n. vector columna. X x 1, x 2,...,x n vector fila. a 11 a a 1m. a 21 a a 2m... a n1 a n2...
Vectores y matrices x 1 X x 2. x vector columa X x 1, x 2,...,x vector fila a 11 a 12... a 1m A a 21 a 22... a 2m............ a 1 a 2... a m Matriz traspuesta a 11 a 21... a 1 A a 12 a 22... a 2............
Más detalles2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.
2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios
Más detallesen. Intentemos definir algunas operaciones en
OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos
Más detalles1.1. Campos Vectoriales.
1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal
Más detalles5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras
Más detallesLey de los números grandes
Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.
Más detallesTEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.
Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de
Más detallesEspacio Vectorial Definición: Sea V un conjunto donde hemos definido una ley u operación interna, que
Sea V u cojuto dode hemos defiido ua ley u operació itera, que desigaremos por + V V. Sea K u cuerpo (comutativo) y sea, por último, ua operació extera que desigaremos por K V V. Diremos que (V,+, ) tiee
Más detallesTema 2. Aplicaciones lineales y matrices.
Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................
Más detallesAplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales
Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción
Más detallesAplicaciones lineales. Diagonalización. . La aplicación f es lineal si se verifican las dos condiciones siguientes:
Aplicacioes lieales Diagoalizació Defiició: Sea V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y sea la aplicació f:v W v f v w La aplicació f es lieal si se verifica las dos codicioes siguietes:
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)
Más detallesAMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA
AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSO ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES Profesores Titulares de la Escuela Politécica Superior de la Uiversidad de Alicate
Más detallesPRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O
PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detallesAplicaciones Lineales. Diagonalización 1.- Sean xy
Aplicacioes Lieales. Diagoalizació.- Sea xy, vectores propios de ua matriz A asociados al mismo valor propio. Etoces: a) x+ y tambié es vector propio de A. b) x+ y tambié es vector propio de A, si x +
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesTEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.
MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las
Más detallesvectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:
.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)
Más detallesCapítulo III Teoría de grupos
Capítulo III Teoría de grupos Tema 1. Leyes de composició iteras. 1.1 Leyes de composició iteras. Dado u cojuto A, se defie como Ley de composició itera defiida e A a toda aplicació, A A A ( x, y) x y
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detallesPráctica 6: Vectores y Matrices (I)
Foamets d Iformàtica 1r curs d Egiyeria Idustrial Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Objetivos de la práctica El objetivo de las prácticas 6 y 7 es itroducir las estructuras de datos vector y matriz e
Más detallesCUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS
1 CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS Miguel A. Saiz, Joa Serarols, Aa M. Pérez Dep. de Iformática y Matemática Aplicada Uiversidad de Giroa RESUMEN: La matriz asociada a u edomorfismo f
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesFormas bilineales y cuadráticas.
Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos
Más detallesMARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009
1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre
Más detallesPolinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios
Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua
Más detallesLOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2
LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos
Más detallesMatemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton
Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete
Más detallesÍNDICE. Prólogo Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Generalidades.. 11 Introducción teórica Ejercicios resueltos...
ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. Ecuacioes difereciales ordiarias. Geeralidades.. 11 Itroducció teórica... 13 Ejercicios resueltos.... 16 Capítulo 2. itegració de la ecuació de primer orde. La ecuació lieal...................................................................
Más detallesTEMA 5: INTERPOLACIÓN
5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Más detallesEstadística Descriptiva
Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se
Más detallesTransformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)
Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos
Más detalles0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1
IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial
Más detallesSeñales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones
Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas
Más detallesOBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con
Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió
Más detallesMC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2
Más detallesPor: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS
Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL
GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema. Espacios Vectoriales ) LOS NÚMEROS El sistema de úmeros reales cosiste e u cojuto R de elemetos llamados úmeros reales y dos operacioes deomiadas: adició y multiplicació,
Más detallesSolución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004
Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos
Más detallesTEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS
Tema IV-Itegrales Ideiidas TEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS Dada ua ució ( ) deiida e u cierto domiio D, os plateamos si eiste ua ució F( ) deiida e el mismo domiio, tal que su derivada coicida co la ució
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:
Más detallesCAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica.
5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto
Más detallesLos vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.
ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real.
Más detalles1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
Más detallesAnexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental
Más detallesCAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS
9 CAPÍTULO 7 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 7 INTRODUCCIÓN E el capítulo 3 calculamos el águlo etre dos vectores del espacio y obtuvimos que si ad be cf u a, b, c, v d, e, f y es el águlo etre u y v,
Más detalleswww.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com
Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesα, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)
HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)
Más detallesLa propiedad de Dieudonné y la propiedad V de Pelczynsiii sobre los espacios C(íl, E)
La propiedad de Dieudoé y la propiedad V de Pelczysiii sobre los espacios C(íl, E) Por BALTASAR RODRIGUEZ-SAUNAS Recibido: 8 mayo 985 Abstract I this paper obtai a class of separable Baach spaces E verifyig
Más detalles= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de
Más detallesSOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso
Más detallesTema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)
Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete
Más detallesTEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA
TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Más detallesMedia aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin
Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovki Media geométrica y media aritmética Si,,, so úmeros positivos, los úmeros + + + a = g = formados a base de ellos, se deomia, respectivamete,
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES. Profesora: Mª Cruz Boscá TEMA 2: ESPACIOS EUCLÍDEOS Y DE HILBERT
ÉTODOS ATEÁTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES Profesora: ª Cruz Boscá TEA : ESPACIOS EUCLÍDEOS Y DE HILBERT Sea u espacio lieal L (X, +, ) sobre el cuerpo k Producto itero o escalar y espacio
Más detalles21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Más detallesOperaciones con vectores y matrices ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES. Ana Morata Gasca
ECONOMETRÍA I OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES Ana Morata Gasca 1 DEFINICIÓN DE VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Origen o Punto de aplicación:
Más detallesMétodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B
Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete,
Más detallesUNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.
UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses
Más detallesPráctica de Aplicaciones Lineales
practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Más detallesTema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.
UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios
Más detallesMATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.
MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre
Más detallesSucesiones y ĺımite de sucesiones
Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................
Más detallesTema 3: Producto escalar
Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica
Más detallesTEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ).
1. Espacios Vectoriales. 2. Subespacios Vectoriales. 2.1. tersecció de Subespacios. 2.2. Uió de Subespacios. 2.3. Suma de Subespacios. 2.4. Suma Directa de Subespacios. 3. Aplicacioes Lieales. Espacio
Más detallesPrácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 136
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II co DERIVE 6. DIGONLIZCIÓN... PRINCIPLES FUNCIONES DE DERIVE PR L DIGONLIZCION: CLCULO DE UTOVLORES Y UTOVECTORES. tes de iiciar el estudio de los pricipales
Más detallesLA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción
CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada
Más detalles4 Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación
Más detalles