Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales
|
|
- Ernesto Lara Campos
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Aplicciones lineles Bloque 2 Lección Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción linel entre espcios vectoriles f: E: F Ejemplos. Condición Necesri y Suficiente de plicción linel. Propieddes derivds. 2- Núcleo e Imgen de un plicción linel. Rngo de un plicción linel Teorem 1.- Si L es subespcio de E, entonces f(l) es un subespcio de F. Teorem 2.- Im(f) es un subespcio vectoril de F. Teorem 3.- Ker(f) es un subespcio vectoril de E. Teorem 4.- Teorem de ls dimensiones: dim (ker(f)) + dim Im(f)= dim E. Teorem 5.- f inyectiv ker(f)= {O E }. Teorem 6.- f es supryectiv rngo (f)=dim F. Corolrio.- Si dim (E)= dim(f): f inyectiv f supryectiv. Teorem 7.- Si f es supryectiv rngo (f)= dim E. Teorem 8.- Si dim E=n, entonces E K n. 3.- Aplicciones lineles y l dependenci e independenci linel. Teorem 1.- Si {g i } i=1,,n es un sistem de generdores de E entonces {f(g i )} i=1,..,n es un sistem de generdores de f(e). Teorem 2.- Si {x 1,..,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Teorem 3.- Si f es inyectiv y {x i } i=1,..,n son l.i. {f(x i )} i=1,..,n tmbién son l.i. 4.- Expresión nlític de un plicción linel. Mtriz de un homomorfismo. Mtriz de l sum, producto por un esclr y composición de plicciones 5.- Estructur lgebric de ls plicciones lineles entre espcios vectoriles. Bibliogrfí.- Álgebr Linel Jun de Burgos (cp VI). Problems de Álgebr A. de l Vill (cp IV) Álgebr linel y Geometrí (López-Pellicer y Grcí Grcí 1/8
2 1.- CONCEPTO DE APLICACIÓN LINEAL. PROPIEDADES. Aplicciones lineles Definición: Sen dos k-espcios vectoriles, E y F, decimos que l plicción f: E F es un plicción linel u homomorfismo cundo: 1) f (x + y) = f(x) + f(y) 2) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Not: Cundo F = K se llm form linel. Ejemplos: 1.- f: R R f(x)=3x es un plicción linel entre los R-espcios vectoriles (R,+, k). 2.- f: P 2 (x) P 1 (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (Homoteci) 5.- V = {funciones reles integrles} F: V W = R F(φ) = b φdx. Teorem. (Condición necesri y suficiente de plicciones lineles). Se E, F dos K- espcios vectoriles: F es plicción linel f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V f(αx + βy) = f(αx) + f(βy) = αf(x) + βf(y) α,βєk y x,yєe tomndo α=1=β f(x+y) = f(x) + f(y) tomndo α=1,β=0 f(αx + 0y) = αf(x) + 0f(y) c.q.d. Definición: Si f es: 1. Inyectiv el homomorfismo se llm monomorfismo. 2. Supryectiv el homomorfismo se llm epimorfismo. 3. Biyectiv el homomorfismo se llm isomorfismo. 2/8
3 Propieddes: Aplicciones lineles 1.- f(0 E ) = 0 F En efecto, x + 0 = x f(x + 0) = f(x) f(x) + f(0) = f(x) f(0 E ) = 0 F 2.- f(-x) = -f(x) xєe x +(-x) = 0 f(0) = f((x) + f(-x)) = f(x) + f(-x) = f(0) =0 F f(-x) = -f(x) c.q.d. 3.- f(x-y) = f(x) f(y) x,y E por 2) f(x-y) = f(x+(-y)) = f(x) + f(-y) = f(x) + (-f(y)) = f(x) f(y). 2.- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL. Definición 1: Se f:(e,+,. K ) (F,+,. K ) llmmos imgen de l plicción linel y lo denotmos por Im(f) l conjunto: f(e) = Im (f) = {y F / x x E, f(x) = y} F Definición 2: Se f: E F plicción linel definimos el núcleo del homomorfismo, y lo denotmos por Ker(f) : Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E Teorem 1: Se f: E F donde E, F son dos K-espcios vectoriles entonces, si L E es un subespcio de E f(l) es subespcio de F. q.d. α,β, y y 1,y 2 f(l) } αy 1 + βy 2 f(l) y 1 f(l) x 1 L / f(x 1 ) = y 1 y 2 єf(l) x 2 L / f(x 2 ) = y 2 Como L es subespcio: α,βєk αx 1 + βx 2 L f(αx 1 + βx 2 ) f(l) αf(x 1 ) + βf(x 2 ) f(l) αy 1 + βy 2 f(l) c.q.d. Teorem 2: Im(f) es subespcio vectoril de F. Es consecuenci del teorem 1 pues Im(f) = f(e). 3/8
4 Teorem 3: Ker(f) es subespcio vectoril de E. Aplicciones lineles q.d. x,y Ker(f) y α,β k } αx +βy ker(f) Si x,y Ker(f) f(x) = f(y) = 0 F αf(x) + βf(y) = 0 F f(αx + βy) = 0 F αx + βy Ker(f). Observción: Por l propi definición de Ker(f), tmbién se escribirá Ker(f) = f -1 ({0 F }). Teorem 4: Se f: E F y se V un subespcio vectoril de F siendo: f -1 (V ) = {x E / f(x) V }. Corolrio: Ker(f) es subespcio vectoril. En efecto pues Ker(f) = f -1 (0 F ). Definición: Rngo de un plicción linel es l dimensión de l imgen o se rg(f) = dim(im(f)) = dim(f(e)). Teorem de ls dimensiones.- Se f: E F un plicción linel se verific que: dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)). Se n = dim E y se {x 1, x 2,, x r } bse de Ker(f), por el teorem de l mplición de l bse podemos encontrr n-r vectores x r+1, x r+2,,x n de form que {x 1,x 2,,x n } sen bse de E. ) {f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x n )} es un sistem generdor de f(e) = Im(f), en efecto, si y Im(f) x E / f(x) = y como x E x = α 1 x 1 + α 2 x α n x n f(x) = n i=1α i f(x i ) y = n i=1α i f(x i ) {f(x 1 ),,f(x n )} es sistem generdor de Im(f). b) Se puede suprimir f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x h ) pues son 0. Vemos que {f(x r+1 ),,f(x n )} es un sistem l.i. o se dim(im(f)) = n r con lo que quedrá demostrdo el teorem pues dim E = h dim f(e) = n h. Probemos pues que {f(x r+1 ),f(x r+2 ),,f(x n )} son l.i. Se α r+1 f(x r+1 ) + + α n f(x n ) = 0 F f( i=r+1 n α i x i ) = 0 F n r+1α i x i N(f) n r+1α i x i = β 1 x β r x r β 1 x 1 + β 2 x 2 ++ β r x r α r+1 x r α n x n = 0 E ( como {x 1,x 1,,x n } bse de E) β 1 =β 2 =β r =α r+1 = =α n =0 {f(x i )} n i=r+1 es l.i. Por tnto {f(x i )} n i=h+1 es bse de Im(f) con lo que qued demostrdo el teorem. Teorems 5: Si f: E F plic. linel entonces: f inyectiv N(f) ={0 E } Se x N(f) f(x) = 0 F como f(0 E ) = 0 F f(x) = f(0 E ) x = 0 E Si x N(f) x = 0 E ( por hipótesis hor). Se f(x) = f(y) f(x-y) = 0 F x y Ker(f) x y = 0 E x = y f inyectiv. 4/8
5 Aplicciones lineles Teorem 6: Se f: E F, f es supryectiv rngo f dim F Corolrio 1.- Si dim E = dim F entonces: f supryectiv f inyectiv En efecto, por el tª. de ls dimensiones: dim E = dim Ker(f) + dim(im(f)) y como f supryectiv dim(im(f)) = dim F dim Ker(f) = 0 f inyectiv. f inyectiv dim Ker(f) = 0 dim Im(f) = dim E = dim F f supryectiv. Corolrio 2.- Dos espcios isomorfos tienen igules dimensiones. En efecto si E F E f inyectiv y supryectiv. f inyectiv dim Ker(f) = {0} como f es supryectiv dim Im(f) = dim F } dim E = dim(ker(f)) + dim(im(f)) dim E = 0 + dim (Im(f)) = dim F c.q.d Teorem 7: Si f es supryectiv rngo(f) = dim V Teorem 8: Si dim V = n V K n 3.- APLICACIONES LINEALES Y COMBINACIONES LINEALES. PROPIEDADES. Teorem 1: Si {g 1,g 2,,g n } son generdores de E {f(g 1 ),f(g 2 ),,f(g n ) es un sistem de generdores de f(e). Se y f(e) E x E / f(x) = y, donde x = n i=1α i g i plico f f(x) = n i=1α i f(g i ) y = n i=1α i f(g i ) es decir {f(g i ),,f(g n )} es un sistem generdor de f(e). Teorem 2: Si {x 1,x 2,,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Se α 1 f(x 1 ) + + α n f(x n ) = 0 F q.d. α i 0 pr cierto i. Pero como x i son l.d. i / α i 0, n i=1α i x i = 0 f( n i=1α i x i )= n i=1α i f(x i )) = f(0) = 0 F. Teorem 3: Se f inyectiv, si {x 1,x 2, x n } es l.i. {f(x 1 ),,f(x n )} es l.i.. Se n i=1α i f(x i ) = 0 F f( n i=1α i x i ) = 0 F n i=1α i x i Ker(f) y como si f es inyectiv Ker(f)={ 0 E } n i=1α i x i = 0 E y como los {x i } son l.i. entonces α i = 0 i, c.q.d. 5/8
6 Aplicciones lineles 4.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN HOMOMORFISMO. MATRIZ DE UN HOMOMORFISMO. Se f un plicción linel de V n V n y sen dos bses B n = {ē 1,ē 2,,ē n } de V n y B n = {ē 1,,ē m} bse de V m. Se x V n pretendemos hllr f(x) V m (su expresión nlític) Si x V n sus coordends le llmmos x = n i=1α i ē i, su imgen le llmmos f(x) = n j=1α jē j Vemos: x V m, x = n i=1α i ē i f(x) = n i=1α i f(ē i ) o se que conociendo los trnsformdos de un bse de V m tenemos l imgen de culquier vector xєv n. Supongmos, pues que nos dn ls coordends de ls imágenes de un bse de V n : f(ē 1 ) = 11 ē ē m ē m f(ē 2 ) = 21 ē ē m ē m f(ē n ) = n1 ē 1 + n2 ē nm ē m f(ē i ) = m j=1 ij ē j, i=1, n. Entonces ddo x V n f(x) = n i=1α i f(ē i ) = n i=1 α i ( m j=1 ij ē j) = (α α α n n1 )ē 1+(α α α n n2 )ē (α 1 1m +α 2 2m + +α n nm )ē m. Pero como llmmos ntes f(x) = m j=1α jē j y ls coordends son únics tenemos Ecuciones prmétrics del homomorfismo f, respecto de ls bses {ē i } n i=1 {ē i} m i=1 α 1 = α α α n n1 α 2 = α α α n n2 α n = α 1 1m +α 2 2m + +α n nm donde (f(x)) B = (α 1,α 2,,α m), x B = (α 1,α 2,,α n ) y { ij } son ls coordends de f(ē i ) respecto de {ē i}. Se puede poner tmbién en form mtricil de l form: (α 1,α 2,,α m) = (α 1,α 2,,α n ) n n2.. donde cd fil es l imgen de los vectores {e i } En form simplificd un plicción linel es : Y = X. M(f) Siendo Y l imgen de X y M(f) es l mtriz de f respecto de l bses elegids en E y F. 1m nm 6/8
7 Aplicciones lineles Not.- Tmbién se puede expresr en form de column:.. (f(x)) t = (M(f)) t x 5. - ESTRUCTURAS DE LAS APLICACIONES LINEALES. Teorem 1: El conjunto de ls plicciones lineles de E en F con l sum de funciones y producto por un esclr tiene estructur de Espcio Vectoril. Se L(E,F;K) = {plicciones lineles E F, e.v. sobre K} Definimos l l.c.i. (f,g) f +g. L(E,F;K) x L(E,F;k) L(E,F;K) (f+g)(x) = f(x) + g(x) x E llmd sum. ) Es l.c.i. (f+g) L(E,F;K) (f+g)(αx+βy) α(f+g)(x) + β(f+g)(y). b) Propieddes: Asocitiv. Elemento neutro: f(x)=0 F x E, f L(E,F;K). Elemento simétrico: f L(E,F;K) f L(E,F;K) / f+(-f) 0 Conmuttiv: f+g g+f Por tnto: (L(E,F;K),+,. K ) es un grupo belino. Definimos l l.c.e. ( producto por un esclr): K x L(E,F;K) L(E,F;K) α f es l plicción definid: Es ley de composición extern: 1. (α+β) f α f + β f 2. α (f+g) = α f + α g 3. α (β f) = (α β) f 4. 1 f f 5. O se (L(E,F;K),+,.K) es un espcio vectoril. (α,f) α f x E (α f)(x) = α f(x) Teorem 2: Los endomorfismos de un K-espcio vectoril E tienen estructur de Álgebr. 7/8
8 Aplicciones lineles Se E un K-e.v. y sen tods plicciones de E en si mismo f: E E. End(E)={f: E E / f plicción linel}. Por el teorem 1 tenemos que (End(E),+, k) es Espcio Vectoril. Dotmos l conjunto End(E) de l l.c.i. gof definid: f g E E E (gof)(x) = g(f(x)) E x E (End(E),o) es semigrupo 1. gof End(E) pues (gof)(αx+βy) = g(αf(x)+βf(y)) = α(gof)(x) + β(gof)(x) x,y E, α,β k 2. Asocitiv por serlo l composición de plicciones. 3. Elemento unidd I(x) = x f o I = I o f = f f End(E) Por tnto: (End(E),o) es semigrupo. Además se d l propiedd distributiv: f o (g+h) = (f o g) + (f o h) f,g,h End(E)). Por ello (End(E),+,o) es un nillo y (End(E),+,. K ) es un espcio vectoril A ( End(E),+,. K,o) se le dice que tiene estructur de Álgebr. 8/8
Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detalles4 Aplicaciones Lineales
Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)
Más detallesAPLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.
Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción
Más detallesAplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Más detalles4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)
Más detallesvectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:
.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)
Más detallesPrimer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Más detalles1. APLICACIONES LINEALES
1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij
Más detalles4 Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6
ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,
Más detallesDados V y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo, una aplicación f: V V se dice que es una aplicación lineal si verifica:
FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) PRÁCTICA Nº 7 Aplicciones lineles. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción linel sí como el cálculo
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesExamen de Admisión a la Maestría 1 de Julio de 2015
Exmen de Admisión l Mestrí 1 de Julio de 215 Nombre: Instrucciones: En cd rectivo seleccione l respuest correct encerrndo en un círculo l letr correspondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones lineales
Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales
Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detallesTEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA
TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no
Más detalles3. OPERACIONES CON FUNCIONES.
3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos
Más detallesCBC EXACTAS INGENIERÍA PRÁCTICA 5
Ing. José Luis Unmuno & Asoc. Tel.: 455-544 CBC EXACTAS INGENIERÍA PRÁCTICA 5 TRANSFORMACIONES LINEALES (EN ESTE APUNTE TRANSCRIBIREMOS LA INTRODUCCIÓN TEÓRICA Y LOS TEXTOS DE LOS EJERCICIOS TOMADOS DEL
Más detallesSolución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)
ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin
Más detallesVectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero
Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd
Más detalleses una matriz de orden 2 x 3.
TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesCalcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de
Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detalles1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesDETERMINANTES. Se denomina determinante de una matriz cuadrada, A, de orden, 3, y se denota,, A al número
DETERMINNTES CPR. JORGE JUN Xuvi-Nrón Se mtriz cudrd de orden, n. Formdos todos los productos posibles de, n elementos, tomdos entre los, n 2 elementos, de l mtriz,, de modo que en cd producto hy un fctor
Más detallesEstructuras algebraicas
Tema 1 Estructuras algebraicas 1.1 Álgebras binarias Sea A un conjunto no vacío, una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación *: A A A (x, y) x * y es decir, una regla que a cada
Más detallesTema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción
Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones
Más detallesProblema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).
Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid
Más detallesClase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal
Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos
Más detallesResumen y algunas demostraciones del tema de aplicaciones lineales
Resumen y algunas demostraciones del tema de aplicaciones lineales Juan Medina Molina 4 de diciembre de 2003 Introducción En este tema estudiaremos las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Más detallesTema 1. Funciones y matrices básico
Tem Funciones y mtrices básico FUENTE Y REFERENCIAS Funciones Introducción ls funciones Cuestiones repsr Funciones y tipos de funciones Mtriz cudrd Mtriz digonl Mtriz identidd Trz de un mtriz Mtriz trnspuest
Más detallesTema 2. Aplicaciones lineales y matrices.
Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................
Más detalles4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-
Más detallesAPLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones
Más detallesDETERMINANTES. Matemática I Lic. en Geología Lic. en Paleontología
Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí DETERMINNTES En un mtriz cudrd hy vrios spectos que el determnte yud esclrecer: Existirá un mtriz B tl que.b = I? Es decir, tendrá mtriz vers? De ls columns
Más detallesÁlgebra II. Tijani Pakhrou
Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................
Más detallesa 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
Más detallesCAPÍTULO II. 3 El grupo lineal
CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesDeterminantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detalles21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Más detallesEspacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
Más detallesMatemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales
Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector
Más detallesAlgebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012
Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012 5. Transformaciones lineales Una transformación lineal (TL es una función F : V V entre dos espacios vectoriales V,V sobre el mismo cuerpo K que satisface
Más detallesFUNCIONES EN R. Agosto 2007
FUNCIONES EN R Alexis Vera Pérez Instituto de Estadística & Sistemas Computarizados de Información Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras Agosto 2007 1 Definición y notación Definición 1 Una
Más detallesMATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
Más detallesFormas bilineales y cuadráticas.
Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesPráctica de Aplicaciones Lineales
practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales
Más detallesVectores. Dr. Rogerio Enríquez
Vectores Dr. Rogerio Enríquez Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc
Más detallesUnidad nº2. MATRICES Y DETERMINANTES. Esp.Liliana Eva Mata Algebra Lineal y Geometría 1
Unidd nº2. MATRICES Y DETERMINANTES. Esp.Lilin Ev Mt Algebr Linel y Geometrí 1 Contenidos Mtriz. Espcio Vectoril de mtrices de orden (m x n). Operciones. Anillo de mtrices cudrds. Mtrices Especiles. Operciones
Más detallesTEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l
Más detallesDETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
Más detallesMATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios
Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa
Más detallesEn este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.
Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición 4.1.1. Un espcio
Más detallesTema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.
Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal
Más detallesA modo de repaso. Preliminares
UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos
Más detallesTEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo
TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x
Más detallesCUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
1 CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. Pérez Dep. de Informática y Matemática Aplicada Universidad de Girona RESUMEN: Se va a desarrollar la
Más detallesDefinición 1 Un carrier para un juego v es una coalición T tal que para cualquier S, v(s) = v(s T ).
1 Valor de Shapley Definición 1 Un carrier para un juego v es una coalición T tal que para cualquier S, v(s) = v(s T ). Ejemplo 1 Sea v un juego de 3 jugadores, v({1, 2, 3}) = v({1, 2}) = 1, y v(s) = para
Más detallesNúmeros algebraicos. Cuerpos de números. Grado.
< Tema 5.- Números algebraicos. Cuerpos de números. Grado. 5.1 Cuerpo de fracciones de un dominio. Tratamos de generalizar la construcción de Q, a partir de Z. Sea A un dominio de integridad. En A (A \
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesa (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
Más detallesTEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
Más detallesEstructuras algebraicas. Departamento de Álgebra. Apuntes de teoría
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 2015/2016 Apuntes de teorí Autor: Jun González-Meneses. Revisión: Jvier Herrer y José Mrí Uch Tem 3: Anillos. Recordemos que un nillo es un tern (A,
Más detallesFundamentos algebraicos
Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detalles1 El espacio vectorial R n.
Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más
Más detallesFunciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < 9. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Funciones 1. Hallar Dominio y Recorrido de la función: x. Sea f : R R definida por: x + 5 si 9 < x x x si 9 x 9 x 4 si
Más detallesEspacios vectoriales con producto interno
Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.
Más detallesProblemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.
Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,
Más detallesLa aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una
Más detalles3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21
3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles
Más detallesE-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619
1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Más detallesTEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.
Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,
Más detallesOBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
. DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN
Más detallesAplicaciones Lineales
Capítulo 5 Aplicaciones Lineales 51 Definición y Propiedades Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K Definición 511 Se dice que una aplicación f : V W es una aplicación lineal o un
Más detalles4.1 El espacio dual de un espacio vectorial
Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo
Más detallesFunciones de varias variables
Capítulo 2 Funciones de varias variables 1. Definiciones básicas En este texto consideraremos funciones f : A R m, A R n. Dichas funciones son comúnmente denominadas como funciones de varias variables,
Más detallesAplicaciones Lineales
Capítulo 7 Aplicaciones Lineales 7.1 Definición y Propiedades Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Definición 7.1.1 Se dice que una aplicación f : V W es una aplicación lineal o
Más detallesMATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
TE trices TRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,...m; j,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n............ m m m...
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio
Más detallesAplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.
Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición
Más detallesESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA.
ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. Índice de contenido 1. Espacio vectorial....2 Estructura de espacio vectorial...2 Subespacios
Más detalles