TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

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Cristina Romero Rojo
hace 6 años
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1 Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l mtriz. Los subíndices de ij indicn que este elemento está en l fil "i" y en l column "j". Dos mtrices son igules si tienen el mismo orden y demás coinciden término término. Mtemátics II Tem. Mtrices TIPOS DE MTRICES. Un mtriz es cudrd si tiene el mismo número de fils que de columns. En cso contrrio se dice que l mtriz es rectngulr. Mtriz fil es l de orden xn. Mtriz column es tod mtriz de orden mx. Se llm mtriz digonl l mtriz cudrd tl que todos los elementos que no están en l digonl principl son. (L digonl principl está formd por los elementos de l form ii ). Un mtriz digonl es esclr cundo todos los elementos de l digonl principl son igules. Se llm mtriz unidd l mtriz esclr tl que todos los elementos de l digonl principl son. Se represent I n. Un mtriz es tringulr cundo es cudrd y son nulos todos los elementos que están por encim (o por debjo) de l digonl principl. Dd un mtriz culquier de orden mxn. Se llm mtriz trspuest de ( y se denot t ) l mtriz de orden nxm obtenid intercmbindo en ls fils por ls columns. L trspuest cumple ls siguientes propieddes:. (+) t = t + t. (k ) t = k t (siendo k un número rel). ( t ) t =. ( ) t = t t Un mtriz es simétric si coincide con su trspuest, es decir si = t. En este cso l mtriz h de ser cudrd y pr todos los subíndices i y j. ij ji

2 Deprtmento de Mtemátics Un mtriz es hemisimétric o ntisimétric si su trspuest coincide con su opuest, si t = -. En este cso l mtriz h de ser cudrd y ij ji pr todos los subíndices i y j; y los elementos de l digonl principl son todos. OPERCIONES CON MTRICES Sum de mtrices. Pr que dos mtrices puedn sumrse es necesrio que tengn l mism dimensión. En tl cso l sum se obtiene sumndo los elementos que están situdos en el mismo lugr. Si = ( ij ) y =(b ij ), entonces + = ( ij +b ij ) L sum de mtrices es: ) socitiv b) Conmuttiv c) Existe elemento neutro (l mtriz nul) d) Cd mtriz tiene su opuest ( Si = ( ij ),entonces - = (- ij )). Producto de un número rel por un mtriz. El producto de un número rel, k, por un mtriz se obtiene multiplicndo todos los elementos de por k. Si = ( ij ), entonces k = (k ij ) Este producto cumple ls siguientes propieddes:. k (k ) = (k k ). k (+) = k +k. (k+k ) = k +k. = Producto de mtrices. Pr que dos mtrices, y, puedn multiplicrse, es necesrio que el número de columns de coincid con el número de fils de. Si es de orden mxn y lo es de orden nxr, el producto será de orden mxr. El elemento ij de se obtiene sumndo los productos de los elementos de l fil "i" de por los correspondientes de l column "j" de. c ij b j b bnj j i i in i b j i b j in bnj n k ik b kj El producto de mtrices tiene ls siguientes propieddes:. NO es conmuttivo.. Producto de trspuests ( ) t = t t. socitiv ( ) C = ( C). Distributiv (+) C = C+ C (+C) = + C. socitiv mixt (k) = k ( ) Mtemátics II Tem. Mtrices

3 Deprtmento de Mtemátics Mtemátics II Tem. Mtrices EJERCICIOS. Dds ls mtrices, 7 y C, hll +, -, t + t,, (+C) y ( C).. Dds ls mtrices, y C, hll +-C,, t - t,, (+C) y ( C).. Dds y, hll +, - y T T.. Dds ls mtrices y, hll, y T T.. Un mtriz es idempotente cundo ² =. Demuestr que l siguiente mtriz es idempotente. =. Prueb que l mtriz = cumple que ³= I. 6. Dd l mtriz =, determin un mtriz tl que + =. 7. Dd l mtriz =, clcul un mtriz, distint de l mtriz nul y de l mtriz unidd tl que =. 8. Cómo son tods ls mtrices que conmutn con =? 9. Resuelve el sistem Y X X Y donde = y =.

4 Deprtmento de Mtemátics. Hll l potenci n-ésim de ls mtrices: = = E = F = G = C = H = b b D = J = L = M = N P. ) Clcul siendo = 99 b) Clcul, siendo = c) Hll donde d) Dd l mtriz, hll. 6 e) Se l mtriz. Clcul. x. Hll el vlor de x pr que l mtriz cumpl 6 9 I. x. Dd l mtriz, hll. usc un mtriz tl que, siendo. Mtemátics II Tem. Mtrices

5 Deprtmento de Mtemátics. Se considern ls mtrices y ecución mtricil X.. Resuelve l 6. Hll tods ls mtrices que conmutn con EJERCICIOS TEÓRICOS.. Dds tres mtrices, y C. Se sbe que C es de orden x y que C es de orden x. Cuál es el orden de?. Dds ls mtrices, y C de órdenes x, x y x, respectivmente, nliz si existe cd un de ls siguientes expresiones: +C, +C, +C t y t +C t.. Se un mtriz de orden n que cumple que =. Definimos l mtriz =-I. Demuestr que =I.. Se un mtriz cudrd culquier. Demuestr que + t es un mtriz simétric y que - t es un mtriz ntisimétric.. Si,, C son tres mtrices tles que existe l mtriz +C t, nliz si existen ls siguientes mtrices: ) C+ t. b) C + t. 6. Si,, M, N son mtrices tles que (+M) ( t +N t ) existe y es un mtriz cudrd, qué podemos decir de ls dimensiones de,, M, N? 7. Se un mtriz de orden n tl que =. Definimos l mtriz =I-. Demostrr que: ) =. b) = =. t C C 8. Demuestr que dd un mtriz cudrd culquier C, l mtriz es t C C simétric y l mtriz es ntisimétric; y demás se puede descomponer en un sum de un mtriz simétric y otr ntisimétric. 7 plíclo pr descomponer l mtriz C = 9 6 Mtemátics II Tem. Mtrices

6 Deprtmento de Mtemátics Mtemátics II Tem. Mtrices PEU. Hállense ls mtrices cudrds de orden que verifiquen l iguldd: (septiembre ). Se un mtriz cudrd tl que ²-=-I ( siendo I l mtriz identidd). Probr que dmite invers y utilizr l iguldd dd pr expresr - en función de. (septiembre ). Se M un mtriz cudrd que cumple l ecución M²- M= I, donde I denot l mtriz identidd. ) Estudir si existe l mtriz invers de M. en cso firmtivo expresr M - en términos de M e I.. b) Hllr tods ls mtrices M de l form b b que cumpln l ecución M²- M= I. (junio ). Sen ls mtrices, C y.clculr mtrices C t, t C y C. (junio ). Clculr ls mtices y tles que y 9 (septiembre ) 6. Sen y. ) Estudir si y tienen invers y clculrl cundo se posible. b) Determinr X tl que X = + I, siendo I (junio 7) 7. ) Se M. Estudir, en función del prámetro, cundo M posee invers. b)siendo 7 clculr ² y -. (septiembre 7) 8.

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