ÁLGEBRA LINEAL. 1. Matrices. Matriz rectangular: es la que tiene distinto número de filas que de columnas. Ej: las matrices 2 3

Transcripción

1 ÁLGEBR LINEL 1. Mtrices Def: Se llm mtriz de orden n m culquier conjunto de n m números reles o complejos, ordendos en n fils y m columns. ( ) 1 i n; 1 j m ij =... m m n1 n2 nm Def: dos mtrices y B son igules si son del mismo orden y b i, j ij ij Tipos de Mtrices Mtriz fil: es l formd por un sol fil. Es de l form 1 m. Ej: = (1,-,-5) 1 Mtriz column: es l que tiene un sol column. Es de l form n 1. Ej: 2 25 Mtriz rectngulr: es l que tiene distinto número de fils que de columns. Ej: ls mtrices 2 Mtriz cudrd: tiene el mismo número de fils que de columns: En un mtriz cudrd el conjunto de elementos de l form ii se llm digonl principl. Mtriz digonl: es un mtriz cudrd, en l que los elementos no pertenecientes l digonl principl son nulos. Ejs: Mtriz tringulr: es un mtriz cudrd en l que todos los elementos por encim(por debjo) de l digonl son nulos. Ls mtrices: B son respectivmente tringulr superior y tringulr inferior. Mtriz cero o mtriz nul nul: un mtriz cero o mtriz nul es un mtriz con todos sus elementos igules cero. Se representn por O. Ejmplo: O 2 x mxn 0 0 Mtriz unidd o identidd: es un mtriz digonl en l que todos los elementos de l digonl principl son unos. Será el elemento neutro de l multiplicción de mtrices cudrds; y se representrá por I. Mtriz trspuest de un mtriz es l mtriz t que result l convertir ordendmente ls fils de en columns y ls columns en fils. Si ( ) entonces ( ) ij mn t ji n m 1

2 2 1 Ej: t Mtriz simétric es un mtriz cudrd que coincide con su trspuest; o se i, j 1 2 Ej: Y finlmente un mtriz es ntisimétric si = t En un mtriz cudrd los elementos ij con i=j formn l digonl principl mientrs que se llm digonl secundri l formd por los elementos ij tles que i+j=n+1. Operciones con Mtrices t ij ji Sum de Mtrices L sum de dos mtrices ( ij ) y B ( bij ) del mismo orden es otr mtriz C ( c ij ) del mimo orden cuyo término genérico es cij ij bij.ej: Propieddes : M nm 1.- L sum es un operción intern 2. Es conmuttiv.- Es socitiv, es un grupo belino, en efecto: 4.- Existe elemento neutro : l mtriz cero que es l que está formd sólo por ceros 5.- Tod mtriz ( ij ) tiene simétrico que es l mtriz ( ) ( ij ) - Si denotmos por M nm l conjunto de mtrices de orden n m, el conjunto de ls mtrices con l sum es un grupo belino. Espcio vectoril de ls mtrices: El producto de un mtriz ( ij ) por un número rel k es otr mtriz B ( b ij ) del mismo orden b ij tl que cd elemento b ij de B se obtiene multiplicndo ij por k: k ij Ejemplo: = Propieddes del producto por un esclr: 1.- Es un operción extern: R M M nm 2.- (k+h) =k+h, k,hîr,"îm nm.- K(+B)=k+kB 4.- (kh)=k(h) nm ( k, ) ( k) =, Not: El 1 es el elemento neutro de l multiplicción de los números reles. - De est form el conjunto de ls mtrices de orden n m con l sum y el producto por un esclr :,, es un espcio vectoril sobre R M n m 2

3 Producto de mtrices Dos mtrices son multiplicbles si el número de columns de l primer es igul l número de fils de l segund. Def. Dds dos mtrices ( ) B ( b ) definimos el producto de por B como l mtriz : ij n p ij pq C= B, C ( c ij ) n q donde c b p ij ik kj k Ejemplo: SYMBOL 18 \f "Symbol" \s 10 \h Propieddes: 1.- En mtrices cudrds (sólo en ells) es un operción intern 2.- No es conmuttiv ) En mtrices cudrds B¹B ; pero b) En mtrices no cudrds y no se puede hcer el producto de ls dos forms: 2 B 4 C24, pero B y no se puede multiplicr..- Es socitiv (B C)=( B) C 4.- El producto es distributivo respecto l sum: (B+C)= B+ C 5.- En mtrices cudrds existe elemento neutro (l mtriz unidd): I=I = 6.- En generl no existe simétrico respecto l multiplicción. El nillo de ls mtrices cudrds: M,, es un nillo unitrio no conmuttivo: nn Determinnte de un mtriz cudrd M nn, grupo belino M nn, semigrupo (intern y socitiv) El producto es distributivo respecto l sum 2. DETERMINNTES Def.- Dd un mtriz cudrd de orden dos det( ) plicndo l definición de determinnte result que : - El determinnte de l mtriz nul es cero. - El determinnte de l mtriz unidd de orden 2 es se llm determinnte de l número rel - El determinnte de l mtriz digonl o tringulr es igul l producto de los elementos de l digonl principl.

4 Def.- Dd un mtriz cudrd de orden rel det( ) IES SC se llm determinnte de l número P1 P P2 Regl de Srrus: P2 P1 P P P2 P P P2 P1 P2 P1 P P1 P P2 Def.- Se llm menor complementrio de un elemento ij de un mtriz cudrd y se represent por ij l determinnte que se obtiene l suprimir de l mtriz originl l fil i y l column j. 1 0 Ej Def.- Se llm djunto del elemento ij l número: i j ij ( 1) En el elemplo nterior: ij 12 7 Def.- Se llm djunt de un mtriz cudrd =( ij ) l mtriz cuyos elementos son los djuntos de los ij : d =( ij ) Teorem 1.- El determinnte de un mtriz cudrd de orden n, se puede obtener como sum de los productos de los elementos de un fil o column por sus correspondientes djuntos: i ó i1 i1 i2 i2 in in j 1j 1j 2 j 2 j nj nj Ejercicio: Compruéblo pr un determinnte de orden. Teorem 2.- L sum de los productos de los djuntos de un fil o column por los elementos de un prlel es cero. Ejercicio: Compruéblo pr un determinnte de orden. 4

5 Propieddes de los determinntes. 1.- El determinnte de un mtriz cudrd coincide con el de su trspuest: t Demostrción (pr mtrices de orden 2): Según est propiedd lo que sirve pr fils sirve pr columns. 2.- Si los elementos de un fil o column son ceros el determinnte es cero. Demostrción: Si se multiplicn los elementos de un fil o column por un número, el determinnte qued multiplicdo por ese número. k Demostrción: k k k k Si se intercmbin entre sí dos fils o columns el determinnte cmbi de signo. Demostrción: ,intercmbindo fils: Si hy dos fils o columns igules, el determinnte vle cero. Demostrción: Si un fil o column es múltiplo de otr, el determinnte vle cero. Demostrción: k 11 k 12 k k p p5 7.- Si cd elemento de un line de un mtriz cudrd se escribe como sum de dos sumndos, el determinnte de dich mtriz es igul l sum de dos determinntes que tienen igules tods ls lines, excepto l line de l descomposición, en l que el primer determinnte tiene el primer sumndo de cd elemento inicil y el segundo determinnte tiene el segundo sumndo. k b h c d c b k d c h d 8.- Si un líne (fil o column ) es combinción linel de ls demás el determinnte vle cero. b c d e f ; 0 d b e c f 9.- Si un líne se le sum un combinción linel de ls demás el determinnte no vrí. c b d kc b kd B, c d B 10.- El determinnte del producto de dos mtrices cudrds igul l producto de los determinntes de mbs: B B t 5

6 Rngo de un mtriz. plicciones de los determinntes Def.- Se un mtriz de orden mn, se llm menor de orden h de l mtriz l determinnte de l mtriz cudrd de orden h, que se obtiene l suprimir m-h fils y n-h columns de l mtriz Ejemplo: Dd l mtriz No hy ningún menor de orden Los menores de orden son: ; ; , lgunos menores de orden 2 son: ; 0 ; - Cd elemento de es un menor de orden 1 de Def: Dd un mtriz, y elegido en ell un menor de orden k, se entenderá por orlr dicho menor el formr un determinnte de orden k+1 ñdiendo l menor los elementos de un fil y un column que no formn prte del menor ddo. Teorem.- Si un menor de orden h de un mtriz es distinto de cero y todos los menores de orden h+1 que pueden formrse orlndo éste con un ciert fil p de l mtriz y cd un de ls columns que no figurn en el menor son nulos, entonces dich fil p es combinción linel de l fils de l mtriz que intervienen en el menor Ejemplo: Consideremos l mtriz , el menor 4, es distinto de cero, y orlndo este menor con los elementos de l tercer fil y los de ls columns tercer y curt, respectivmente, se obtiene: , y de donde se deduce que l tercer fil es combinción linel de ls dos primers. Def.- Dd un mtriz se dice que el rngo o crcterístic de es h si tiene lgún menor de orden h distinto de cero, y todos los menores de orden superior h son nulos. - sí el rngo de l mtriz del ejemplo nterior es 2. - los menores de orden h no nulos, en un mtriz de orden h se les denomin menores principles de orden h, y ls línes de esos menores línes principles. Not: el rngo de un mtriz coincide con el número de vectores fil linelmente independientes (rngo por fils), y con el número de vectores column linelmente independientes (rngo por columns). Cálculo del rngo de un mtriz 1. Si hy línes de ceros o combinción linel de ls de sus prlels se suprimen. 2. Se elige un elemento de l mtriz distinto de cero, con lo cul el rngo es uno.. Se empiez por k=2, y se reliz el proceso que describimos pr un etp k culquier. 4. Se busc un menor de orden k distinto de cero, y entonces el rngo será myor o igul que k. 5. Se orl ese menor con los elementos de un fil i culquier, si todos esos menores son nulos, l fil i es combinción linel de ls k fils del menor no nulo, y puede suprimirse. 6

7 6. Si todos los menores orldos de orden k+1 son nulos el rngo es k, si lguno de los menores de orden k+1 es distinto de cero, el rngo será myor o igul que k+1 y se repite el proceso pr el orden k Ejemplos: , como el menor 1 2 0,rg()2. Se ñde un fil y un column Se prueb con l mism fil y otr column: , luego l tercer fil es combinción linel de ls dos primers, por lo tnto se suprime. estos efectos l mtriz es equivlente l mtriz : Se formn hor menores orlndo con l otr fil el menor principl de orden 2: , luego rg()=rg( )= Obtención del rngo por el método de Guss El rngo de un mtriz no vrí si: Se permutn dos línes prlels de l mtriz (fils o columns) Se multiplicn o dividen todos los términos de un líne por un número rel distinto de cero un líne se le sum o rest otr líne prlel ell Se suprimen línes cuyos elementos sen todos ceros Se suprime un líne (fil o column) proporcionl otr prlel Se suprime un líne (fil o column) que se combinción linel de otrs prlels ell Bsándonos en ests trnsformciones describiremos el método de Guss pr el cálculo del rngo de un mtriz. Describiendo el método por fils, hy que decir que const de m-1 etps, siendo m el número de fils. Método de Guss En un etp i culquier (se empiez por i=1, es decir por l primer fil; y el último pso será i=m-1), medinte trnsformciones elementles se hcen ceros todos los elementos que estén por debjo de ii en su mism column. Si el elemento ii fuer cero, se intercmbi es fil con otr por debjo de ell y, si no es posible, se cmbi l column con lgun de derech, hst conseguir que ii se distinto de cero. (trnsformr l mtriz en un tringulr superior) Finlmente, el rngo es el número de fils con lgún elemento no nulo. Ejemplo: Clculr el rngo de ls mtrice y B = F2 F2 F ; rg()= F F 2F B= F 2F F F F F ;rg(b)=2 0 7

8 Invers de un mtriz cudrd Def: un mtriz cudrd es regulr si su determinnte es distinto de cero. Def: Se llm mtriz invers de un mtriz regulr, un mtriz cudrd del mismo orden ( -1 ), que verific: -1 = -1 =I, siendo I l mtriz unidd del mismo orden. Condición necesri y suficiente pr l existenci de invers: (**) Teorem: Un mtriz tiene invers (es inversible) El determinnte de es distinto de cero (es regulr) Demostrción: Si es inversible, existe -1 / -1 = -1 =I -1 = -1 =10 d Si 0, comprobremos que 1 t 1 es l invers n 11 / 21 / n 1 /... n / / n / / / / n1 n2 nn I n 2n nn Not: los elementos de digonl vlen 1 por el teorem 1, y los demás vlen cero por el teorem 2. Propieddes de l mtriz invers 1.- L invers de -1 es : 1 1 (propiedd involutiv) 2.- L invers de un producto de dos mtrices es el producto de ls inverss de ess mtrices en orden inverso B B, B ;, B regulres.- L invers de, si existe, es únic. Ejercicio: Demostrr ls propieddes 2 y. nxn 8

9 Procederemos de l siguiente form: Clculo de l mtriz invers d 1. Medinte l fórmul: 1 djunt d trspuest d t se divide por d d t Ejercicio: comprueb que -1 es l invers de. 2. Método de Guss pr hllr l invers de un mtriz d t t / 5 1 / / 5 / 5 Pr hllr l invers, -1, de un mtriz, impondremos l mtriz unidd I, los mismos cmbios los que hy que someter l mtriz pr obtener l unidd. TRNSFORMCIONES 1 I I Se coloc l mtriz y su derech I. Relizmos ls trnsformciones necesris pr que se trnsforme en I, de est form I se trnsform en -1. Ls trnsformciones son idéntics ls que utilizmos en el método de Guss, si en l prte izquierd prece un fil de ceros, no tiene invers. Ejemplo: ª 5 2ª 2ª ª ª ª: 2ª: ª ª 1ª /12 / / 4 / 4 Se puede comprobr que -1=I. 4. Sistems de Ecuciones Lineles Def.- Un ecución de l form 1x1 2x2 nxn b es un ecución linel. En ell, ls x i son ls incógnits, y son susceptibles de tomr culquier vlor rel. los i los llmremos, coeficientes, y son números reles fijos pr cd ecución. El número b es el término independiente de l ecución. Si b=0 l ecución linel se llm homogéne. Def.- Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits, es un expresión de l form: 9

10 11x1 12x2 1nx n b1 21x1 22x2 2nxn b2 (S1): m1x1 m2x2 mnx n bm Resolver un sistem de ecuciones es encontrr, si existen, los vlores de ls incógnits que verifiquen simultánemente tods ls ecuciones. Un solución del sistem es culquier vector s ( s1, s2,..., s n ) que verific ls m ecuciones. Def:- Dos sistems de ecuciones son equivlentes, cundo tod solución del primer sistem lo es del segundo y recíprocmente. Teorem.- Si en un sistem de ecuciones lineles, se sustituye l ecución i-ésim por un combinción linel de l ecución i-ésim y de ls restntes (el coeficiente de l i-ésim distinto de cero), se obtiene otro sistem equivlente l primero. Ejemplo: Los sistems siguientes son equivlentes: x 2y z 2 x 2y z 2 x y z x y z El segundo sistem lo obtuvimos sustituyendo l 2x y z 4 z 9 tercer fil por l que result de sumrle l tercer fil ls dos primers. Teorem.- Si en un sistem de ecuciones lineles l ecución i-ésim es combinción linel de ls otrs, podemos suprimirl, y se obtiene un sistem equivlente. Ejemplo: los siguientes sistems son equivlentes: x 2y z 2 x y z x z En el primer sistem l tercer ecución es x z x y z combinción linel de ls dos primers (ªE=1ªE+2 2ªE). Sistems Homogéneos Un sistem de ecuciones lineles cuyos términos independientes son todos nulos se denomin sistem linel homogéneo. Form mtricil de un sistem de ecuciones lineles El sistem nterior (S1), se puede escribir en form mtricil de l form: n x1 b n x2 b2 m1 m2 mn xn bm C X B n b n b2 ; m1 m2 mn b m Donde C es l mtriz formd por los coeficientes, X es l mtriz de ls incógnits, B es l mtriz formd por los términos independientes, es l mtriz mplid con los términos independientes. Según est notción mtricil el sistem nterior se puede escribir: Ejemplo: El sistem: C X=B 10

11 2x y x 0 x z y ; escrito en form mtricil será : y 4z z 7 Clsificción de los sistems En relción con sus soluciones los sistems de ecuciones lineles pueden ser: - Sistems comptibles: son los que dmiten lgun solución. Si ést es únic se llm comptible determindo, y si dmite infinits soluciones se llm comptible indetermindo. -Sistems incomptibles: son los que no dmiten ningun solución. Incomptibles(no tienen solución) S.I. Sistems Deter min dossolución únic Comptibles( tienen solución) In det er min dosinf S.C.D. initssoluciónes S.C.D. 4. Discusión y resolución de sistems de ecuciones lineles Regl de Crmer Def.- Se llmn sistems de Crmer quellos sistems de ecuciones lineles que cumplen ls dos condiciones siguientes: ) El número de ecuciones es igul l número de incógnits: m=n b) El determinnte de l mtriz de los coeficientes es distinto de cero: C 0. Regl de Crmer.- Todo sistem de Crmer es comptible determindo, y su solución únic viene dd por: x i Ci ;i 1,...,n C donde C i es l mtriz que se obtiene prtir de l mtriz de los coeficientes, cmbindo l column i por l column de los términos independientes, y C es l mtriz de los coeficientes. Deducción de l regl de Crmer : Se un sistem de Crmer de n ecuciones con n incógnits: 11x1 12x2... 1n xn b1 21x1 22x2... 2nxn b2... n1x1 n2x2... nnxn bn 11

12 En form mtricil podemos escribir C X=B, como el sistem es de Crmer: C 0 C, multiplicndo por C : C C X C B es decir X C B donde l desrrollr se tiene: x i b11 b22 b C i i n ni, donde l column i es l de los términos independientes. x n1 b1 x n 2 b2 C.. x b n b b I 1n 2n nn n n n. b C n1 n2 n nn Ejemplo: 2x y z 7 El sistem: x z 4 x 2y z 2 de incógnits: es de Crmer y que tiene el mismo número de ecuciones que , ls soluciones son: x 1 y 2 z Teorem de Rouché-Fröbenius(**) L regl de Crmer no es plicble en el cso de que el determinnte de l mtriz de los coeficientes se cero, ni tmpoco en el cso de que el número de ecuciones se distinto del número de incógnits. Estudiremos hor el cso de un sistem ms generl: m ecuciones con n incógnits (S1). Teorem de Rouché-Fröbenius: L condición necesri y suficiente pr que un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits, se comptible, es que el rngo de l mtriz de los coeficientes se igul l rngo de l mtriz mplid. Vemos un doble rzonmiento que justifique ls dos condiciones del teorem:, Si el sistem es comptible dmite l menos un solución, se s ( s1, s2,..., s n ) un de ells que verificrá ls m ecuciones del sistem S1(pg. 1), es decir: 12

13 s s nsn b s s nsn b... 1s1 2s2 b m m mn m sustituyendo b 1,b 2,,b m en l mtriz mplid (vése l form mtricil), result n 11s1 12s2 1n sn n s s nsn s s s m1 m2 mn m1 1 m2 2 mn n L últim column es combinción linel de ls nteriores, entonces clrmente rg(c)=rg(). Recíprocmente, si rg(c)=rg(), existe l menos un menor de C de orden h distinto de cero. Supongmos que el menor que el menor que nos proporcion el rngo es: h h h1 h2 hh Como el rngo es h ls m-h ecuciones restntes pueden suprimirse por ser combinción linel de ls h ecuciones siguientes: 0 11x1 12x2 1h xh b1 1h 1xh 1 1n xn 21x1 22x2 2 x b2 2 1x 1 2 x 1x1 2x2 x b 1x 1 x h h h h n n h h hh h h hh h hn n Considerndo ls h incógnits x 1, x 2,...x h como incógnits principles, y ls n-h incógnits restntes: x h+1, x h+2,...x n como prámetros, este sistem puede considerrse como un sistem de Crmer, luego es sistem es comptible. Clsificción y discusión del sistem según el teorem de R-F Si rg(c)=rg()=h, el sistem es comptible, y pr encontrr l solución se eliminn ls m-h ecuciones que no formn prte del menor que nos d el rngo. Pudiendo ocurrir: ) rg(c)=rg()=h=n (número de incógnits); el sistem es comptible determindo, y su solución únic se obtiene plicndo l regl de Crmer l sistem principl que nos dio el rngo. Ejemplos: 1.- 2x y z 7 x z 4 rg(c) = rg() =, el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer: x =1,y = 2,z = x 2y z

14 2x y 2z 2 x y z 0 rg(c) = rg() =, el sistem es comptible determindo x 2y z 8 2x 2y 6 Si cogemos el menor que nos dá el rngo el sistem principl estrá formdo por ls tres ecuciones y se resolverí por Crmer usndo ess tres ecuciones, y tiene como solución x=1,y=-2, z=. b) rg(c)=rg()=h<n (número de incógnits); el sistem es comptible indetermindo, y sus infinits soluciones se obtienen: 1º Elimindo ls m-h ecuciones que no formn prte del menor que nos dio el rngo. 2º Psndo l segundo miembro ls n-h incógnits no principles (que serán prámetros), y se consider que formn un único termino junto con el término independiente. Ejemplo: x y z u 1 x y z u 0 rg(c)=rg()=2, consideremos como menor que nos dá el rngo: x 5y z 5u , entonces: 1 1 1º Se elimin l últim ecución por ser combinción linel de ls dos primers. 2º Se psn l segundo miembro ls incognits no principles, el sistem principl está formdo por: 1 z u 1 x y 1 z u donde resolviendo por Crmer: z u 1 1 z x y z u x 2, z u 1 y z u 1 u Si rg(c)rg() El sistem es incomptible y no tiene solución. Ejemplo: 6x y z 6 6x 8y 10 rg(c) = 2 rg() = sistem incomptible. 2x 5y z 4 Discusión pr sistems homogéneos - Por tnto, según el teorem de Rouché-Fröbenius, un sistem homogéneo será siempre comptible, conforme esto l discusión de un sistem linel homogéneo será como sigue: 1. Si rg(c)=n, el sistem sólo dmite l solución trivil (0,0,...,0). 2. Si rg(c)<n (número de incógnits), el sistem es comptible indetermindo y, dmite infinits soluciones. 14

15 Resolución de sistems por el método de Guss. x + 2y - 6z = 0 Un sistem de l form: 2y + z = 1 es un sistem esclondo, se comprueb 2z 2 fácilmente que ls soluciones son x=2, y=0,z=1. El método de Guss consiste en hcer trnsformciones en un sistem de ecuciones hst convertirlo en uno esclondo. Pr conseguirlo se efectún, según conveng ls siguientes trnsformciones: 1. Multiplicr un ecución por un número distinto de cero. 2. Sumr un ecución otr multiplicd por un número distinto de cero.. Intercmbir ecuciones. 4. Cmbir el orden de ls incógnits. 5. Suprimir ls ecuciones que sen combinción linel de ls restntes y ls ecuciones de l form 0=0 (identiddes). Ejemplo: x 5y z 7 Intentemos resolver el sistem: 2x y z 11 Pr eso hremos trnsformciones sólo en 4x 7 4z l mtriz mplid hst convertir el sistem en uno esclondo b c

16 Estrtegis pr hcer ceros. Si el elemento de l digonl principl que tommos como bse pr hcer ceros en el resto de l column es y 0, se cmbi es ecución con un de ls siguientes. Ejemplo: x 2y 2z 2 x 2y z x y * Entonces z=-1, y=1, x=2. L trnsformción *, h consistido en cmbir de orden dos ecuciones. veces pr provechr ceros que y hy, conviene cmbir de orden ls incógnits, en este cso debemos de dejr constnci dónde h ido prr cd un de ells. Ejemplo: x 2y 5z 1 x y 2 x y L solución es (-1,1,-2/5). x y z z x y z x y Discusión de un sistem prtir del método de Guss. Si se prte de un sistem de m ecuciones con n incógnits. Después de plicr ls trnsformciones oportuns, se convierte en sistem esclondo. Supongmos que después de eliminr ls ecuciones de l form 0=0 (identiddes), qued de k ecuciones con n incógnits. Los criterios que se plicn son los siguientes: 1. Si prece lgun ecución de l form 0=b, (b0), el sistem es incomptible Ejemplo : Si no hy ecuciones de l form 0=b y demás k=n, el sistem es comptible determindo y tiene solución únic. 16

17 Ejemplo: x 2y 5z 1 x y 2 Que hemos visto nteriormente que tiene por solución: (-1,1,-2/5). x y 4. Si no hy ecuciones de l form 0=b y demás k<n, el sistem es comptible indetermindo, y tiene infinits soluciones. En este cso l últim ecución tiene vris incógnits y se debe despejr un de ells en función de ls demás que cturán como prámetros, y sustituir l incógnit despejd en el resto de ls ecuciones. Ejemplo: Si después de hcer trnsformciones llegmos un sistem de l form: x y 10 7z El sistem qued sí: L solución es: 7y 21 17z 2 x 1 7 y 17 7 z Que tmbién se puede escribir sí: ( 1 2, 17, 7 ) más cómod, pues no tiene frcciones. 4. Finlmente, si k>n, es decir, si el número de ecuciones es myor que el número de incógnits, se deben de eliminr ls proporcionles o ls de l form 0=0, y nos encontrremos en uno de los tres csos nteriores. 17