Tema 4A. Ecuaciones y sistemas

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1 Tem 4A Ecuciones y sistems Ecuciones de primer grdo Son de l form + b = 0, donde l incógnit está elevd l eponente ; debe ser un número distinto de cero b Pr resolverl bst con despejr l Así: + b = 0 = b = Con frecuenci, l ecución precerá con más términos pero por trnsposición siempre se puede llegr l form nterior más simple Si precen denomindores y préntesis, primero se resuelven los préntesis, continución se quitn denomindores; después se trsponen términos; por último, se despej l incógnit 5 + Pr resolver l ecución + = () Se quitn denomindores Pr ello se multiplic por = 6 6 () Se oper = + () Se trsponen términos 8 = 9 9 (4) Se despej = 8 Ecuciones de segundo grdo Son de l form + b + c = 0, 0 b ± b 4c Su solución viene dd por l fórmul: = Pueden tener dos, un o ningun solución rel, dependiendo del vlor que tome b 4c L ecución = 0 tiene dos soluciones: = y = (Compruébese) Ests soluciones permiten descomponer fctoril l epresión: = ( + )( ) L ecución = 0 sólo tiene un solución doble, = Con esto: = ( + ) L ecución = 0 no tiene soluciones reles L ecución + p + 9 = 0 tendrá dos soluciones si p 6 > 0 ; esto es, si p < 6 o p > 6 No tendrá soluciones reles cundo 6 < p < 6 Tendrá un solución doble si p = 6 o p = 6 Ecuciones incomplets Son de l form: + b = 0 o + c = 0 Pr resolverls no es necesrio plicr l fórmul dd: en l primer se sc fctor común; en l segund, se despej + 4 = 0 ( + 4) = 0 Sus soluciones son: = 0, = 4 9 = 0 ( )( + ) = 0 Sus soluciones son: =, = = = 0 = ± no tiene soluciones reles = = = = = ±,

2 Ecuciones de tercer grdo Son ecuciones de l form + b + c + d = 0,, b, c, d son números reles; 0 Pr resolver ecuciones de tercero o grdo superior no hy fórmuls elementles; sólo puede plicrse un propiedd que d resultdo cundo hy lgun solución enter En este cso, dich solución será un número divisor del término independiente, d Ls demás soluciones pueden hllrse descomponiendo en fctores l ecución inicil Observción: Si un ecución, culquier que se su grdo, viene dd como producto de fctores iguldos 0, ls soluciones de es ecución son ls de cd uno de los fctores iguldos cero Ls soluciones de l ecución ( )(4 )( + 8) = 0 son ls de: 4 = 0 = = 0 = = ± / = 8 = = Si l ecución tuviese lgun solución enter será lguno de los divisores de 8, que son: ±, ±, ±4 o ±8 Probndo se ve que = es un solución, pues = 0 Dividiendo el polinomio por, se tiene: = ( )( + 4) = 0 Como el segundo fctor, ( + 4), es irreducible, no hy más soluciones reles En consecuenci, l ecución dd sólo tiene un solución rel, = Este proceso es inmedito si flt el término independiente, como en el cso = 0, pues bst con scr fctor común: = (4 + 4 ) = 0 Un solución es = 0; ls otrs dos soluciones posibles son ls de l ecución = 0, que son = y = L ecución + + = 0 no tiene ningun solución enter, pues ni ni, los únicos dos divisores del término independiente, lo son Por tnto, en este cso no es posible dr l solución Pr que l ecución + p = 0 teng un solución enter puede drse p el vlor (sí l solución serí = ); tmbién podrí hcerse p = 9, siendo entonces l solución = En los dos csos el vlor de p se h obtenido posteriori, decidiendo ntes l solución y deduciendo su vlor pr que efectivmente lo se Así, si se dese que = se un solución, debe cumplirse que + p = 0 p = ; nálogmente, pr que l solución se = es necesrio que + p = 0 p = 9 Pr el cso p =, l ecución serí = + 0 ( )( ) = 0 Resolviendo el segundo fctor se observ que l ecución inicil tiene otrs dos soluciones reles Pr el cso p = 9, l ecución serí 9 = 0 ( )( + + ) = 0 Resolviendo el segundo fctor se observ que l ecución inicil no tiene más soluciones reles Como complemento de esto: qué ps cundo p = 0?

3 4 Ecuciones bicudrds 4 Ls ecuciones de curto grdo de l form + b + c = 0, se llmn bicudrds Se resuelven emplendo l fórmul de l ecución de segundo grdo, pues hciendo = t, qued: 4 + b + c = 0 t + bt + c = 0 t puede tomr dos, uno o ningún vlor rel Un vez encontrdo t, los vlores de serán = ± t, siempre que eist t L ecución 4 = + 0 t t + = 0 t =, t = = ± y = ± L ecución = + 0 t + 5t 6 = 0 t = 4, t = 9 = ± y = ± 9, que no eiste Si l ecución es bicudrd reducid es todví más fácil Por ejemplo: 4 = 0 ( ) = 0 = 0 ; = 0 = 0 y = ± 5 Ecuciones con epresiones rdicles En ls ecuciones con rdicles hy que islr l ríz cudrd; después se elevrán l cudrdo los dos miembros de l ecución y se resolverá l ecución resultnte En l nuev ecución pueden slir soluciones no válids que hbrá que desechr Pr resolver = 6, se procede sí: = 6 = + 6 = + 6 = 0 = 9, = 4 De ls dos soluciones sólo es válid l primer, = 9 OJO: Un error frecuente es el siguiente: = 6 ( ) = 6 6 ( 6) = ( ) = 6 = = = ( + ) = = = + 0 = 5, que no tiene sentido, y = = y = (L solución = sólo es válid si se consider el resultdo negtivo de l ríz En generl se descrt) 6 Ecuciones rcionles P( ) Son de l form = k, donde P() y Q () son epresiones polinómics y k un constnte Q( ) Se resuelven eliminndo denomindores y psndo un ecución que respond lguno de los tipos estudidos con nterioridd En ests ecuciones hy que comprobr que ls soluciones obtenids son válids, pues l quitr denomindores pueden precer soluciones etrñs Pr resolver l ecución: + + = + + ( + ) + Se sumn los términos del primer miembro, resultndo: = + Multiplicndo en cruz se tiene + ( + ) = ( + )( + ) + + = = = + =

4 4 7 Ecuciones con vlores bsolutos Ests ecuciones pueden presentrse socids culquier epresión Por ejemplo: 4 = = 0 = = Se resuelven tods teniendo en cuent el significdo de vlor bsoluto: E ( ) = c E ( ) = c o E( ) = c Esto implic que cd ecución d lugr dos ecuciones 4 = 0 ) = = o = = ó = b) L ecución = d lugr = y =, equivlentes su vez = 0 y + = 0, cuys soluciones son: =, =, = y = d) 4 = 0 es más fácil Sus soluciones son = 0 y 4 = 0 = 0 o = 4 e) L ecución = =, que su vez define dos ecuciones: =, que es imposible; y =, cuy solución es = 8 Ecuciones eponenciles y logrítmics Ls ecuciones eponenciles son quells en ls que l incógnit prece en el eponente Algunos ejemplos son: 4 = 6 ; = 8 ; = 0 ; = 0 Observción: L bse de l potenci debe ser siempre un número positivo En ls ecuciones logrítmics l incógnit v ligd con lgún logritmo Algunos ejemplos son: log = ; + log( + 0) = 5 ; log( + 5) log( 4) = Observción: L epresión englobd en el logritmo debe tomr siempre vlores positivos Suelen resolverse plicndo ls propieddes de ls potencis y de los logritmos, demás de ls operciones lgebrics usules En lgún momento del proceso suele plicrse lgun de ls propieddes: f ( ) g( ) A = A f ( ) = g( ) log ( f ( ) ) = log ( g( ) ) f ( ) = g( ) L ecución 4 = 6 es inmedit: = Pr resolver = 8, hy que epresrl en l form = = L ecución log = es inmedit, pues, por l definición de logritmo: log = = 0 = 000

5 5 9 Algunos csos fáciles de ecuciones ligds eponenciles y logritmos Ls ecuciones resuelts en los ejemplos nteriores son prácticmente inmedits y, demás, suelen ser los csos más frecuentes Esquemáticmente, estos csos sencillos son los siguientes: = b log = b log b = log = b Observ que en ningún cso hy sumndos Se resuelven emplendo l definición de logritmo y/o l clculdor Ecución = b (Es necesrio que y b sen positivos) Se resuelven plicndo logritmos = 0 log = log0 log0,477 log = log0 = = =,0959 log 0,477 p+ q Si preciese un número multiplicndo l epresión eponencil o l eponente, k = b hbrí que despejr ntes o después log 0,00 5 = 00 = 0 log = log 0 log = log 0 = = = 4, 9 log 0,00 Un error hubiese sido escribir: 5 = 00 0 = 00 = 5 = 5 log5 = log5,76 log5 ( ) log5 = log5 = = =, 686 log5 0,6990 =, 686 0,4 7 = 7 = = 7, 5 log = log7, 5 log = log7, 5 0,4 log7,5 = =, 06 log Ecución log b = Se resuelve emplendo l definición de logritmo y lgun propiedd de l potencición log =, = 0, = 58,945 (Tmbién: = ntilog,) log =, =, = 0,9740 ln =,5 = ntiln,5 = e,5 = 4, Observción: Recuerd, el ntilogritmo de un número, ntilog, es el número k que cumple que log k = Por ejemplo, ntilog = 00, pues log 00 = Con l clculdor se obtiene plicndo sucesivmente ls tecls: SHIFT log o SHIFT log, dependiendo del modelo Si preciese lgún número multiplicndo o sumndo hbrí que despejr ntes o después Serí q el cso k log ( p ) b =

6 6 log = (despejndo) log = = ntilog =,544 L ecución log = es idéntic l nterior, pues log = log log = 5 = nti log5 = = / ln + = ln( + ) = ln( + ) = ln ( + ) = 4 Ecución log b = = e 4 + = e 4 Si ls bses son 0 o e se resuelven directmente con l clculdor; en culquier otro cso hy que plicr l definición de logritmo (O plicr l fórmul del cmbio de bse) Observción: Recuerd, pr clculr el logritmo en culquier bse no deciml puede utilizrse l logb fórmul log b = log log,6 = =,5 log / 4 = = 4 = = log 4 log 4 = = =, 898 log Si preciese lgún número multiplicndo o dividiendo podrí psrse l primer miembro Serí el cso log b = k 5 + log 7 log 7 = 5 = 5 + log 7 = =, 95 Ecución log = b Aplicndo l definición de logritmo se trnsform en otr ecución y vist, pues: b / b log = b = = log 000 = 5 5 = 000 = 000 /5 =,9807 log 8 = = 9 Observción: ls ecuciones b = y = b, no son ni eponenciles ni logrítmics, pero, veces, el uso de ls técnics nteriores fcilit su resolución L ecución b =, es un ejercicio común de potencición Slvo en csos inmeditos, se resuelve con l clculdor, Pr hllr 4 = se us l clculdor, sí: 4 ^, = 7, = 7,566947

7 7 L ecución = b puede resolverse directmente con l clculdor si tenemos en cuent que: / = b = b = b Tmbién se resuelven plicndo logritmos (O ntilogritmos) 4, L ecución = 4, puede resolverse de dos forms: 4, / 4, 0,80958 Despejndo: = 4, = 4, = 4, =, , 4, Aplicndo logritmos: = 4, log = log 4, 4,log = log 4, log 4, 0, log = = = 0, = ntilog 0, =, , 4, 0 Otrs ecuciones logrítmics y eponenciles Además de ls ecuciones y vists, pueden plnterse otrs en ls que intervengn sums o productos En todos los cso result imprescindible conocer y mnejr con destrez ls propieddes de l potencición y de los logritmos En el cso de ls eponenciles, lgun vez, suele dr resultdo el cmbio de vrible = t A continución se indicn lgunos ejemplos Pr resolver = 0 se hce el cmbio = t, con lo cul: = 0 ( ) 5 4 = 0 t 5t 4 = 0 L últim ecución, que es de segundo grdo, tiene por soluciones t y t = Pr t, se tiene = t = Pr t =, = t =, que es imposible En consecuenci, l solución es = L ecución 5 = 5 = 6 5 = 9 = 9 = + + L ecución + + = = 4 ( + + 4) = 4 4 = = = 5 7 e e = 0 ( ) e = 0 = 0 = (Recuérdese que e > 0, pr todo ) L ecución log(9 + 7) = log( + ) puede resolverse plicndo l propiedd n n log A = log A En efecto: log(9 + 7) = log( + ) = log( 9 + 7) = log( + ) = = ( + ) = = = (En l líne nterior se h plicdo l propiedd ( ) = ( ) = 9 ) Pr resolver l ecución log( + 5) + log( 5) = log puede plicrse l propiedd del logritmo de un sum Así: log( + 5) + log( 5) = log log (( + 5)( 5) ) = log log( 5) = log 5 = = 6 = 6 (L solución = 6 hy que descrtrl, pues drí lugr un epresión inicil sin sentido)

8 8 Sistems de dos ecuciones con dos incógnits Ecuciones de primer grdo con dos incógnits Son epresiones de l form + by = c Ls incógnits son e y, mientrs que, b y c son números (Ests ecuciones se llmn lineles porque ls incógnits están fectds por el eponente : no hy cudrdos ni ríces, ni se multiplicn entre ells) L solución de ests ecuciones son pres de vlores (uno pr y otro pr y) que cumplen l ecución Un ecución con dos incógnits tiene infinitos pres de soluciones Esos pres se corresponden con los puntos de un rect Si se consider l ecución 4 y, el pr = e y = es solución, pues 4 Tmbién es solución el pr = e y = El pr = 5 e y = no es solución de es ecución, pues 4 5 = 4 8 L ecución + y = tiene por soluciones = e y = 5; = e y =, e infinitos pres más El pr = e y = no es solución de ell Sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits +by = c Su form más simple es +b y = c L solución de un sistem es el pr de vlores de e y que cumple ls dos ecuciones l vez Ls dos ecuciones del ejemplo nterior determinn el sistem 4 y + y = Su solución es = e y =, y que ese pr es solución de cd un de ls ecuciones Como puede verse, los vlores solución, = e y =, se corresponden con ls coordends del punto (, ), que es el de corte de ls rects socids cd un de ls ecuciones Hy vrios métodos de resolución: sustitución, igulción, reducción Sustitución: Se despej un incógnit en un de ls ecuciones y su vlor se sustituye en l otr ecución Se obtiene un nuev ecución, cuy solución permite hllr l del sistem Igulción: Se despej l mism incógnit en ls dos ecuciones Igulndo mbs incógnits se obtiene otr ecución L solución de est nuev ecución permite hllr l solución del sistem Reducción: Se multiplic cd ecución por un número distinto de 0, con el fin de que los coeficientes de un de ls incógnits sen igules (u opuestos) Restndo (o sumndo) mbs ecuciones se obtiene un nuev ecución cuy solución permite hllr l del sistem Pr resolver por sustitución el sistem 4 y se procede sí: + y = () Se despej y en l segund ecución ( y = ) () Se llev (se sustituye) su vlor l primer ecución: 4 ( ) () Se resuelve l nuev ecución: 4 ( ) = 0 = (4) El vlor = se llev l ecución despejd: y = = L solución del sistem es: = e y =

9 9 4 y Por reducción En el mismo sistem,, si se multiplic l segund ecución por, qued: + y = 4 y Sumndo mbs ecuciones, término término, se obtiene 0 = 0 = 6 + y = Ese vlor = se sustituye en culquier de ls ecuciones; se obtiene y = Clsificción de sistems Los sistems que tienen un únic solución, como el estudido en el ejemplo nterior, se llmn comptibles determindos (SCD) Cundo un sistem no tiene solución recibe el nombre de incomptible (SI); gráficmente, ls ecuciones estrín representds por dos rects prlels; y lgebricmente, l trnsformr ls igulddes se llegrí un bsurdo, como por ejemplo, = 7 o = /0 Por último, cundo un sistem tiene infinits soluciones recibe el nombre de comptible indetermindo (SCI); gráficmente, ls ecuciones drín lugr l mism rect; y lgebricmente, l trnsformr ls igulddes se llegrí l iguldd 0 = 0, que es tn ciert como inútil y = El sistem es clrmente incomptible: l mism cos, y, no puede ser l y = 0 y = vez igul y 0 Es fácil observr que l trnsformrlo; por ejemplo, sí:, E E 0 = que es bsurdo y = El sistem es comptible indetermindo, como puede verse observndo que l 4 y = 6 segund ecución es el doble de l primer y = m El sistem puede clsificrse resolviéndolo en función de m Se tendrí: + my = 0 y = m y = m m m y = = + my = 0 E E ( m + ) y = m m + m + El resultdo es válido y único siempre que m (SCD); serí bsurdo cundo m = (SCI) Sistems comptibles indetermindos Al resolver un sistem es posible que desprezc un de ls ecuciones; por ejemplo, cundo están repetids En ese cso, ls soluciones (que suelen ser infinits) deben drse dependiendo de un de ls incógnits (que ps considerrse un prámetro), y reciben el nombre de soluciones o ecuciones prmétrics 4 y 4 y El sistem ls dos ecuciones son idéntics Por + y = 4 E 4 y tnto, es equivlente l sistem { 4 y, cuy solución se obtiene despejndo y: { y = 4 + [dndo vlores se obtienen ls distints soluciones del sistem; por ejemplo: (0, 4); (, ); (, 0), que obvimente son puntos de un rect] Pero lo norml es escribir l = λ solución en form prmétric Así: ; se h hecho = λ y = 4 + λ

10 0 Sistems no lineles Son quellos en los que lgun de ls ecuciones que lo formn no es linel Aquí se considerrán y = + 6 sólo los sistems con dos ecuciones y con dos incógnits Por ejemplo, + = y Su solución son los pres de vlores (, y) que cumplen mbs ecuciones Pr resolverlos, suele emplerse el método de sustitución; unque vle culquier otro método Es frecuente l trducción gráfic de estos sistems como medio pr interpretr los resultdos y = + 6 Pr resolver el sistem:, puede despejrse (y lo está) + = y l incógnit y de l primer ecución Sustituyendo en l segund: + = ( + 6) + = + = 9 = ± Pr mbos vlores de, se tiene que: y = = 5 Ls soluciones son: (, 5) y (, 5) L interpretción gráfic se d en l figur djunt y + = 60 El mismo procedimiento serí efectivo con el sistem y + = y En cmbio, pr resolver el sistem, es más conveniente y = ( + ) empler el método de igulción, pues de mner inmedit se obtiene + = ( + ) =± Sustituyendo esos vlores de en l primer ecución, se obtiene: pr =, y = 6; y pr =, y = Ls soluciones del sistem son los puntos (, 6) y (, )