Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
|
|
- María del Rosario Torregrosa Chávez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción de Guss. 8. Epresión mtricil de un sistem. Clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. Ddo el sistem de m ecuciones lineles con n incógnits:. n n b. n n b. m m. mn n bm Se l mtri de los coeficientes B l mtri mplid con los términos independientes. m m n n mn B m m n n mn b b bm Por lo tnto: XB Discutir un sistem es estudir tods ls soluciones que pueden presentrse en él, dependiendo del número de ecuciones, del número de incógnits de ls relciones eistentes entre uns otrs. Según ls soluciones se tienen los siguientes sistems: Los sistems que tienen solución se llmn comptibles. Si l solución es únic, el sistem es comptible determindo. Si tiene más de un solución, el sistem es comptible indetermindo. Se puede firmr en este cso que tiene infinits soluciones. Los sistems que no tienen ningun solución se llmn incomptibles. Ejemplo Epres el siguiente sistem en form mtricil resuélvelo utilindo l mtri invers: Epresmos el sistem en form mtricil: Sistems de ecuciones
2 puntes de. Cbñó Mtem C X C X ; ; átics II Sistems de ecuciones : eiste si pr ver Clculmos Eiste Clcul l invers de : ( ) ( ) ( ) 7 7 t dj dj ( ) ( ) 7 t dj Despejmos X: C X C X C X 7 X Por tnto, l solución del sistem es:,, 8. El teorem de RouchéFrobenius. L condición necesri suficiente pr que un sistem de ecuciones lineles teng solución es que el rngo de l mtri de los coeficientes el rngo de l mtri mplid sen igules. Si el rngo de mbs mtrices es igul l número de incógnits, l solución es únic. Si el rngo es menor que el número de incógnits, h infinits soluciones. Esquemáticmente: rg()rg(b) > S.C. rg() rg(b) < n > S.C.I rg() rg(b) n > S.C.D. rg() rg(b) > S.I. * Resolución de sistems de ecuciones lineles. Estudido un sistem de ecuciones lineles por medio del teorem de RouchéFrobenius, si result comptible podemos hllr su solución. Si el sistem tiene igul número de ecuciones que de incógnits, l mtri de los coeficientes será cudrd el sistem será comptible determindo cundo det. Se dice, en est cso, que es un sistem de Crmer.
3 puntes de. Cbñó Mtemátics II El vlor de cd incógnit viene ddo por un frcción cuo denomindor es el determinnte de los coeficientes cuo numerdor es el determinnte de l mtri que result de sustituir en l mtri de los coeficientes l column de los coeficientes de l incógnit por los términos independientes. En el cso generl de m ecuciones con n incógnits, si rg()rg(b)h, podemos suponer que un menor principl está constituido por ls h primers fils ls h primers columns, que un cmbio en el orden de ls ecuciones en el orden de sus incógnits no modific l nturle del sistem ni sus soluciones. Ls h primers ecuciones, cuos coeficientes se corresponden con ls fils del menor, se llmn ecuciones principles ls incógnits cuos coeficientes se corresponden con ls columns del menor, se llmn incógnits principles. Respecto de ls incógnits principles este sistem es de Crmer. Ests incógnits se obtienen en función de ls nh restntes, que pueden tomr vlores rbitrrios. Ejemplo Discute el siguiente sistem, resuélvelo cundo se posible, en función del prámetro : ( ) Estudimos el rngo de l mtri de los coeficientes: pr culquier vlor de. ( ) Como, entonces rn Estudimos el rngo de l mtri mplid: ( ) pr culquier vlor de. ' ( ) Por tnto, rn ('). Como rn () rn (') < n o incógnits, el sistem es comptible indetermindo pr culquier vlor de. Podemos prescindir de l ecución, pues es combinción linel de ls dos primers. Lo resolveremos psndo l o l miembro: Hcemos λ Ls soluciones del sistem serín: λ; λ; λ, con λ R. * Sistems homogéneos. Sistems de ecuciones
4 puntes de. Cbñó Mtemátics II Se llm sí los sistems de ecuciones lineles en los que son nulos los términos independientes de cd un de ls ecuciones. Este sistem siempre dmite l solución trivil. El teorem de RouchéFrobenius plicdo un sistem linel homogéneo dice: Si el rngo de l mtri de los coeficientes es igul l número de incógnits, el sistem sólo dmite l solución trivil, si el rngo de es menor que el número de incógnits, el sistem tiene infinits soluciones. Si l mtri de los coeficientes es cudrd, el sistem tendrá sólo l solución trivil si sólo si det tendrá infinits soluciones si sólo si det. Ejemplo Discute el siguiente sistem homogéneo según los diferentes vlores del prámetro λ. Resuélvelo en los csos en los que resulte ser comptible indetermindo: λ ( λ ) ( λ ) Por trtrse de un sistem homogéneo, siempre tiene l solución trivil (,, ). Vemos si tiene, en lgún cso, más soluciones. Estudimos el rngo de l mtri de los coeficientes: λ λ λ Pr λ λ Pr λ, qued: λ 7λ El sistem λ λ solo tiene l solución trivil (,, ). Como, rn ( ) rn ( ' ). El sistem serí comptible indetermindo.pr resolverlo, psmos l o miembro: Hcemos µ Ls soluciones serín: µ; µ; µ, con µ R / / Pr λ, qued : / Sistems de ecuciones
5 puntes de. Cbñó Mtemátics II ( ) ( ). ', 9 8 Como rn rn El sistem serí comptible indetermindo. Pr resolverlo, psmos l o miembro: µ R µ µ µ con, ; ; serín: soluciones Ls 8. Método de eliminción de Guss Si en un sistem de ecuciones se sustitue un ecución por el resultdo de sumrl miembro miembro (previmente multiplicd por un número distinto de cero) con otr u otrs ecuciones multiplicds por números culesquier, result un sistem equivlente l ddo. En el resultdo nterior se fund el método de Guss o reducción, pr resolver un sistem de ecuciones lineles. Si l plicr el método de Guss result lgun ecución bsurd, de primer miembro nulo el segundo miembro distinto de cero, el sistem es incomptible. Si l plicr Guss no result ningun ecución bsurd, el sistem es comptible. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de otrs nos quedrá un sistem de h ecuciones con n incógnits que es equivlente l ddo. hn el sistem es comptible determindo. h<n el sistem es comptible indetermindo Ejemplo: Resolver los sistems ) b) 9 8 c) d) e) 9 t t t Los sistems homogéneos siempre tienen l solución. n llmd solución trivil. Pueden o no tener otrs soluciones distints de l trivil. los sistems homogéneos se les puede plicr el método de Guss. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de otrs nos quedrá un sistem de h ecuciones con n incógnits, equivlente l ddo. hn el sistem es comptible determindo. (Solución trivil) h<n el sistem es comptible indetermindo. (Infinits soluciones) Sistems de ecuciones
6 puntes de. Cbñó Mtemátics II Ejemplo: Resolver 9 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. PROBLEMS. º Resolver el sistem de Crmer: 9 º Discutir resolver según los vlores de m el sistem: m º Discutir resolver el siguiente sistem, que depende del prámetro k k º Discutir resolver los sistems siguientes: ) b) c) d) º Discutir el siguiente sistem según los vlores del prámetro k resolverlo cundo se comptible. 9 k º Discutir resolver el sistem siguiente según los vlores del prámetro Sistems de ecuciones
7 7º Discutir resolver: 8º Discutir el sistem: m m (m ) m m m t m m t m mt m mt m puntes de. Cbñó Mtemátics II 9º Discutir resolver según los vlores del prámetro el siguiente sistem º Estudir el siguiente sistem º Estudir el sistem º Estudir según los vlores de m 8 m ) 7 b) ( ) º Discutir resolver m m m 7 Sistems de ecuciones
8 º Estudir el sistem º Estudir el sistem t ( ) ( ) puntes de. Cbñó Mtemátics II º Estudir el sistem 7º Discutir el sistem según los vlores de los prámetros b b b b b α 8º Eliminr los prámetros α α β β 9º Eliminr los prámetros α β α β α β t α β PROBLEMS RESUELTOS. m ºDdo el sistem de ecuciones: m ) Hcer un estudio de él según los diferentes vlores del prámetro m. b) Resolver el sistem en los csos en que es posible. Sol: ) m, m8 S.C. b) m8 8 8 Sistems de ecuciones
9 m puntes de. Cbñó Mtemátics II ºDeterminr, si eisten, los vlores del prámetro pr que el sistem se comptible pero indetermindo. Sol: ºEncontrr tods ls soluciones del siguiente sistem según los vlores del prámetro α : α λ λ( α ) Sol: (,, λ ) ºEstudir el sistem en función de los prámetros,b,c. b. c ºHllr t pr que el siguiente sistem teng solución distint de l trivil: t ( t) (t) Sol: t 88t 9t ºEstudir resolver el sistem: m m m m Sol: m 7ºDiscutir resolver el sistem: (λ,λ, λ ) m S.I.m (k k k ) (k ) k m ( m m, m m, m ) Como será l discusión si los términos independientes fuesen nulos?. λ Sol: ) K S.I. K (,, λ ) K S.I. λ K k k (,, ) k(k ) k b)k 9 (,,) K ( λ,, λ ) Sistems de ecuciones
10 K,(λ, λ,λ ),K,( λ,,) puntes de. Cbñó Mtemátics II 8º) Discutir pr los distintos vlores del prámetro m el siguiente sistem de ecuciones lineles: m m m m b) Resolver el sistem pr m. c) Interpretr geométricmente el prtdo ). Sol: )m SCD, m SI, m S.C.I. b) 9ºDiscutir resolver el sistem según los vlores del prámetro m ºDdo el sistem de ecuciones: m m (m ) m Sol: m S.C.D. m S.I. m ) Estudirlo según los vlores del prámetro. b) Resolverlo en los csos que se comptible. c) Qué se puede decir, según los vlores de, sobre l posición reltiv de los plnos cus ecuciones son ls tres que formn el sistem?. Sol: S.C. S.I. ºDiscutir resolver en su cso, según los vlores de los prámetros el siguiente sistem de ecuciones lineles: µ λ Sol: µ λ SCI 9α µ α SI 8 α λ SCD ºEliminr los prámetros en el siguiente sistem: Sistems de ecuciones
11 λ µ λ µ λ µ Sol: 97 puntes de. Cbñó Mtemátics II ºSe consider el sistem: m m Discutir el sistem, según los vlores de m. Resolverlo pr m. Sol: Si m,,m solo tiene l solución trivil 7 Si m ó m /7 S.C.I. Si m l solución generl (7λ,8λ,λ ). º Discute, según los vlores de los prámetros, los siguientes sistems: ) b) c) Sol: ) S.C.I.; S.I.; S.C.D.; b) S.C.I.; S.I.; c) S.C.D.; S.I. ºEstudi resuelve: ) b) c) Sol: ) S.I.; b) S.C.I.; λ; ; λ; c) S.C.D.,, ºEstudi resuelve: Sistems de ecuciones
12 puntes de. Cbñó Mtemátics II ) b) c) Sol: ) S.C.D.,, ; b) S.C.I.; λ; λ; λ; c) S.C.I. λ,, λ Sistems de ecuciones
Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )
Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri
Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales
Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por
Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión
1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
BLOQUE II: ÁLGEBRA =... son números reales, el primer índice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra el elemento.
BLOQUE II: ÁLGEBR Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto - DEFINICIONES: Un mtriz viene dd por 2 = m 2 22 m2 3 23 m3 n 2n mn donde son números reles, el primer índice indic l fil y el segundo l column en
Problemas Tema 8 Solución a problemas sobre Determinantes - Hoja 08 - Todos resueltos
Problems Tem 8: Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos págin /9 Problems Tem 8 Solución problems sobre Determinntes - Hoj 8 - Todos resueltos Hoj 8. Problem. Se M un mtriz cudrd
BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z
Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):
Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol:
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij
TEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/ e I =
IES "Jándul" RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 996/97 º Consider ls mtrices A e I Clcul un mtri X tl que A AX I, clcul, si eiste, l invers de X º Estudi el
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Álgebr UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Resolver, con el método de Guss, los sistems siguientes: ) b) 9 c) 9 8.- Resuelve utilindo l regl de Crmer: ) 7 b).- Anlir l comptibilidd del sistem siguiente:.-
, que, como está triangularizado, se observa que es
MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II PRUEB ESCRIT. BLOQUE: ÁLGEBR ECH: DE ENERO DE Prte I. Sistems de ecuciones lineles. Mtrices. Ejercicio. Resuelv el siguiente sistem de ecuciones, utilindo, si es
CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
CSTILL Y LEÓN / JUNIO. LOGSE / MTEMÁTICS II / EXMEN COMPLETO Se proponen dos pruebs, B. Cd un de ells const de dos problems, PR- PR-, de cutro cuestiones, C-, C-, C- C-4. Cd problem tendrá un puntución
Matrices ... Columna 2
Mtrices Mtrices de números reles Definiciones Def Consideremos el cuerpo cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumr, restr, multiplicr dividir) de los números reles R Un mtri de números reles
DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.
DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)
Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
TEMA 7 DETERMINANTES 7.1 DETERMINANTES DE ORDEN DETERMINANTES DE ORDEN 3
TEMA 7 DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA 7 DETERMINANTES 7.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2 7.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente
a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
Relación 3. Sistemas de ecuaciones
Relción. Sistes de ecuciones Ejercicio. Consider el siste de ecuciones ) Eiste un solución del iso en l que? ) Resuelve el siste hoogéneo socido l siste ddo. c) H un interpretción geoétric tnto del siste
ÁLGEBRA LINEAL. 1. Matrices. Matriz rectangular: es la que tiene distinto número de filas que de columnas. Ej: las matrices 2 3
ÁLGEBR LINEL 1. Mtrices Def: Se llm mtriz de orden n m culquier conjunto de n m números reles o complejos, ordendos en n fils y m columns. ( ) 1 i n; 1 j m ij 11 12 1 21 22 2 =... m m n1 n2 nm Def: dos
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2001 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A Area Area
IES Fco Ayl de Grnd Sobrntes del (Modelo ) GermánJesús Rubio Lun OPCIÓN A Ejercicio de l Opción A del Modelo de sobrntes de. Se quiere dividir l región encerrd entre l prábol y x y l rect y en dos regiones
- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Dí: CURSO 5-6 Opción A.- ) [ punto] Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A+B)
3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro)
UNIDD 8.- Determinntes (tem del libro). DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó,
Determinantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de
Tema 3. DETERMINANTES
Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de
Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:
UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente
I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Clasificación y resolución de sistemas por métodos elementales. 1. Resuelve utilizando el método de de reducción de Gauss Jordan, los sistemas:
Álgebr: Sistems José Mrí Mrtíne Medino MATEMÁTICAS II TEMA Sistems de ecuciones lineles: Problems propuestos Clsificción resolución de sistems por métodos elementles Resuelve utilindo el método de de reducción
SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits,,,, n es un conjunto de m igulddes de l form: n n n n m m mn n m ij son los coeficientes i los
a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
MATRICES Y DETERMINANTES
MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio
0 x+2y=1. x+(a+4)y+(a+1)z=0 -(a+2)y +(a 2 +3a+2)z=a+4. a+1 a 2 +3a ± ±2
JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible: x+ x+(+4)+(+)z (+) +( +3+)z+4 (3 PUNTOS) Aplicmos el método
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
ÁLGEBRA. e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A
Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd ÁLGEBRA Junio 94. Comprueb que el determinnte es nulo sin desrrollrlo. Explic el proceso que sigues. [,5 puntos] Junio 94.. Considerr l mtriz A. Probr que ls
DETERMINANTES. Se denomina determinante de una matriz cuadrada, A, de orden, 3, y se denota,, A al número
DETERMINNTES CPR. JORGE JUN Xuvi-Nrón Se mtriz cudrd de orden, n. Formdos todos los productos posibles de, n elementos, tomdos entre los, n 2 elementos, de l mtriz,, de modo que en cd producto hy un fctor
Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA
Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo
Álgebra Selectividad
Álgebr Selectividd 4-11 1 Cundo el ño 18 Beethoven escribe su primer Sinfoní, su edd es diez veces mor que l del jovencito Frnz Schubert. Ps el tiempo es Schubert quien compone su célebre Sinfoní Incomplet.
SELECTIVIDAD DETERMINANTES
SELECTIVIDAD DETERMINANTES Junio 8: Dds ls mtrices A = 5, B = y M = b, clcúlese y b pr que se verifiquen MA =, M + B =, donde se está usndo l notción hbitul (con brrs verticles) pr denotr l determinnte
MATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002
MTEMÁTICS (II) JUNIO El emen present dos opciones, B. El lumno deberá elegir UN Y SÓLO UN de ells resolver los cutro ejercicios de que const. No se permite el usó de clculdors con cpcidd de representción
lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 10. Matrices y determinantes (2) Matemáticas II 2º Bachillerato 2 3 a
Resuelve ls siguientes ecuciones: 4 5 = 0 0 + 6 = 0 0 + 0 = 0 = 0 Hll el vlor de los siguientes determinntes de orden 4: 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 4 0 0 6 0 5 Clcul el vlor de los siguientes determinntes: 0
3 Sistemas de ecuaciones lineales
Solucionrio Sistems de ecuciones lineles CTIVIDDES INICILES.I. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones. ) c) 6 ), λ, λλ R, c) Sistem incomptible,.ii. En cd cso, escribe un sistem de ecuciones cu solución
DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistems de ecuciones lineles º) L sum de ls tres cifrs de un número es 8, siendo l cifr de ls decens igul l medi de ls otrs dos. Si se cmbi l cifr de ls uniddes por l de ls centens, el número ument en
Colegio San Agustín (Santander) Página 1
Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+
Tema 8: Teorema de Rouché-Frobenius
www.selectividd-cgrnd.co Te : Teore de Rouché-Froenius Se lln ecuciones lineles ls ecuciones en ls que ls incógnits precen tods con grdo ; no están elevds ningun potenci ni jo ningún rdicl ni ultiplicds
MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
lím 1 si x=0 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π/2: sen x y = arc tg 1+cos x
CURSO 4-5. de myo de 5. ) Clcul los siguientes ites: (+e ) / sen(/) ) Estudi l continuidd de l siguiente función: +e/ f() -e / si si ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l siguiente función en
c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x
1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Vamos a estudiar la existencia de soluciones, nº de soluciones y cómo calcular las soluciones de un sistema lineal.
Te 3 Sistes de ecuciones lineles. 3. Sistes lineles notciones triciles y vectoriles. 3. Teore de Rouché-Froenius. Sistes lineles hoogéneos. 3.3 Resolución de sistes de ecuciones. 3.4 Discusión de sistes
según los valores del parámetro a.
Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ángel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Hoj : Mtrices Operciones: Ejercicio : Encontrr ls mtrices X e Y tles que: 3 X + Y 4 5 X 3Y 7 Ejercicio : 3 5 Dds ls mtrices
MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina
MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm
ESTUDIO DE SISTEMAS { } = . Resuélvelo cuando m = Discute según los valores de m, el sistema. Solución:
STUDIO D SISTS. Discute según los vlores de, el siste. Resuélvelo cundo. l siste se define edinte ls trices: tri de coeficientes tri plid l estudio de sistes se puede hcer de dos fors diferentes: - por
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES
SELECTIVIDAD: SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO. El siste es coptible deterindo. ) Si se suprie un de ls ecuciones Cóo es el siste resultnte? Depende l respuest de l ecución supriid? b) Qué ecución h que
TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es:
TEMA : ECUACIONES ECUACIONES DE º GRADO Ls ecuciones de º grdo son de l form +b+c=0 y su solución es: b b 4c Cundo b=o o c=0 son incomplets y se resuelven de l siguiente form. Cso b=0, por ejemplo: 6 7=0
MATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006
Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente
Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1
Estudios J.Conch ( funddo en 200) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Deprtmento Bchillerto MATEMATICAS 2º BACHILLERATO Profesores Jvier Conch y Rmiro Froilán TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto
3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch
1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MADRID JUNIO Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos OPCIÓN A
IES STELR BDJOZ PRUEB DE ESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE MDRID JUNIO MTEMÁTIS II Tiempo máimo: hor minutos El lumno contestrá los cutro ejercicios de un de ls dos opciones ( o B) que se le ofrecen Nunc deberá
Tema 3 Determinantes
Tem Determinntes. Cálculo de rngo de un mtriz. Hll el rngo de l siguiente mtriz: A 5 5 Pr resolver el problem tommos un menor de orden no nulo: por tnto porque y hy fils linelmente independientes. rn(
Tema 4A. Ecuaciones y sistemas
Tem 4A Ecuciones y sistems Ecuciones de primer grdo Son de l form + b = 0, donde l incógnit está elevd l eponente ; debe ser un número distinto de cero b Pr resolverl bst con despejr l Así: + b = 0 = b
sistema compatible determinado. Si a=3 sistema compatible Indeterminado. b) Para a=3 soluciones R
Págin de EJERCICIOS DE SELECTIVIDD / COMUNIDD DE MDRID MTERI: MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II UNIDD: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES.( SEPTIEMBRE / OPCIÓN / EJERCICIO ) Puntución máim puntos Se considern
3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
1. Definición de Determinante para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Un determinante es un número que se le asocia a toda matriz cuadrada.
Unidd : DETERMINNTES.. Deinición de Determinnte pr mtrices cudrds de orden y de orden. Un determinnte es un número que se le soci tod mtriz cudrd. Determinnte de un mtriz cudrd de orden : El es producto
y B = + Qué valores han de tener "x" e "y" para que las dos matrices sean iguales?
DP. - AS - Mtemátics ISSN: - X www.ulmtemtic.com. Actividd propuest Sen ls mtrices A B Qué vlores hn de tener "" e "" pr que ls dos mtrices sen igules? Aplicndo l definición de iguldd de mtrices, ésts
el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES
el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,
Matemática DETERMINANTES. Introducción:
Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.
FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
18 de Septiembre de 2017 FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ingenierí Industril Ingenierí Informátic Fcultd de Ingenierí Universidd Ctólic Andrés Bello Progrmción Linel José Luis Quintero 1 Puntos trtr
ACTIVIDADES INICIALES
Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,
UNIDAD IV ÁLGEBRA MATRICIAL
Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Licencitur en dministrción Mención Gerenci y Mercdeo Unidd urriculr: Mtemátic II UNIDD IV ÁLGER MTRIIL Elordo por: Ing. Ronny ltuve, Esp. iudd Ojed,
MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
Álgebra Lineal XXIII: Determinantes de Matrices Transpuestas. Expansión de un Determinante por Columnas.
Álgebr Linel XXIII: Determinntes de Mtrices Trnspuests Expnsión de un Determinnte por Columns José Mrí Rico Mrtínez Deprtmento de Ingenierí Mecánic Fcultd de Ingenierí Mecánic Eléctric y Electrónic Universidd
4. PRUEBA DE SELECTIVIDAD-MODELO
Pruebs de Selectividd de Ciencis PRUEB DE SELECTIVIDD-MODELO-- OPCIÓN : ) Hll l longitud de los ldos del triángulo isósceles de áre máim cuo perímetro se m Perímetro b h h re h ( ) Derivmos : bse crece
POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES
Mtrices. . DEFINICIÓN Y CLSIFICCIÓN DE MTRICES Ls mtrices son utilizds por primer vez hci el ño por Jmes Joseph Sylvester. El desrrollo inicil de l teorí mtricil se debe l mtemático británico Willim Rown
ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?
ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni
TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l
Nos aproximamos al método de Gauss
http://mtemtics-tic.wikispces.com Lmberto Cortár Vinues 7 http://lumnosdelmberto.wikispces.com SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS. TEMAS WIKI Nos proimmos l método de Guss Hst hor hemos resuelto sistems de dos
TEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES.
TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES. º BCH(CN) TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES..-INTRODUCCIÓN. L resoluió de sistems de euioes está ligd l estudio
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documento es de distriución grtuit y lleg grcis Cienci temátic www.ciencimtemtic.com El myor portl de recursos eductivos tu servicio! www.ciencimtemtic.com ATRICES Definición: Un mtriz A, es un rreglo
Área Académica: Algebra Lineal. Profesor(a): Mtro. Joel Alejandro Domínguez Narváez. Periodo: Enero 2012 Junio 2012
Áre Acdémic: Algebr Linel Profesor(): Mtro. Joel Alejndro Domínguez Nrváez Periodo: Enero 212 Junio 212 . Abstrct The liner lgebr is generliztion of the stright line. Is brnch of mthemtics tht studies
2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3
º BACHILLERATO A TEMA. DETERMINANTES..Clcul los determinntes de ests mtrices:. Determin el vlor de x 4 x 3 3 = b x 5 = 3. Clcul los siguientes determinntes: A = ( 3 5 5 4 B = ( 3 4 b 3 9 3 c 4 3 d 3 3
REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)
TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución
ECUACIONES (4º ESO Op B)
ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +
Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de ecuaciones:
S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S. M É T O D O D E G A U S S. S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S Un sistem de tres ecuciones
MATRICES. Es la ordenación de elementos en filas y columnas de la siguiente forma:
Álgebr Educguí.com Es l ordención de elementos en fils y columns de l siguiente form: m m m n n mn Est mtriz tiene m fils y n columns llmándose l número de fils y columns dimensión y designándose dich
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
TE trices TRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,...m; j,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n............ m m m...
AX = B. X es la matriz columna de las variables:
ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo: