0 x+2y=1. x+(a+4)y+(a+1)z=0 -(a+2)y +(a 2 +3a+2)z=a+4. a+1 a 2 +3a ± ±2

Transcripción

1 JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible: x+ x+(+4)+(+)z (+) +( +3+)z+4 (3 PUNTOS) Aplicmos el método de Guss: +4 (+) ~ + (+) ~ + 4± 6 4± Estudimos los distintos csos: º) Si 3, el sistem es comptible indetermindo l solución depende de un prámetro: x+ z x+4z+4z z º) Si, el sistem es incomptible: ~4 3º) Si, el sistem es incomptible: x+4α α zα 4º) En los demás csos el sistem es comptible determindo: x+ (+)+(+)z (+3)(+)z+3 z +3 (+3)(+) z + (+) (+)z (+) + + x x + ªfªf. 3ªf+ªf. 3 Como no se puede dividir por cero, tenemos que clculr los vlores del prámetro que nuln los coeficientes de ls incógnits que despejremos luego (cso 4º). 4 3ªfªf.

2 JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Sen los puntos P(7,4,), Q(,,) R(,,3). Uno de ellos es el centro de un rombo, los otros dos, dos vértices. Hll los otros dos vértices restntes. ( PUNTOS) Clculmos los vectores: [PQ ](6,,4), [PR ](5,3,5) [QR ](,, ) Es fácil ver que [PQ ] [QR ] son ortogonles: [PQ ] [QR ]6++4 Por tnto, Q es el centro del rombo: R(,,3) P(7,4,) Q T S Si S(x,,z), como Q(,,) es el punto medio del segmento RS: +x, + 3+z, x, 3, z S(,3,) Si T(x,,z), como Q(,,) es el punto medio del segmento PT: 7+x, 4+ +z, x5,, z6 T(5,,6)

3 JUNIO DE 8. PROBLEMA A3. Clcul ls siguientes integrles indefinids: ) ecos(3x) sen(3x) dx sen(x) +cos (x) dx ecos(3x) sen(3x) dx 3 et dt 3 et + C 3 3 ecos(3x) + C Comprobción: b) ( PUNTOS) 3 ' ecos(3x) 3 ecos(3x) (cos(3x)) ' 3 ecos(3x) (3 sen(3x)) e cos(3x) sen(3x) sen(x) + cos (x) dx 4 +t dt 5 rc tg t + C rc tg cos(x)+ C Comprobción: rc tg cos(x) ' + cos (x) (cos(x))' sen(x) + cos (x) ( sen(x)) + cos (x) Hcemos el cmbio de vrible cos(3x) t 3 sen(3x) dx dt. L integrl es inmedit de tipo exponencil. 3 Deshcemos el cmbio. 4 Hcemos el cmbio cos(x) t sen(x) dx dt. 5 L integrl es inmedit de tipo rco tngente. 3

4 JUNIO DE 8. PROBLEMA A4. Hll ls síntots (no es necesrio hcer el estudio de l posición de l curv respecto x ells) los extremos reltivos de l función f(x) +6 x. (3 PUNTOS) ASÍNTOTAS: L rect x es un síntot verticl: lím x x> x f(x) lím +6 x x 8 x> + + ; lím x x< x f(x) lím +6 x x 8 x< L rect x+ es síntot oblicu de l función en + en. Pr verlo, se puede seguir uno de los dos métodos siguientes: PRIMER MÉTODO: k lím f(x) lím m lím f(x) x lím b lím [f(x)mx] lím SEGUNDO MÉTODO: x +6 x lím x +6 x x lím x +6 x x x lím (x)± x x lím x lím x lím x lím x +6x +x x+6 x lím x 3 Como se trt de un función rcionl (cociente de polinomios), puede hllrse l síntot oblicu del siguiente modo: x f(x) +6 x 4 x++ x +6 x x +x x+ x+6 x+ 8 8 x lím [f(x)(x+)] lím 8 x 8 ± EXTREMOS RELATIVOS: º) Derivmos l función: x f(x) +6 x f'(x) 4x(x)(x +6) (x) 4x 4xx 6 x (x) 4x6 (x) 5 (x+)(x3) (x) x +6~x x~x en + en. x +6~x x x~x en + en. 3 x+6~x x~x en + en. 4 Y que el dividendo es igul l divisor por el cociente más el resto. 5 Hemos clculdo ls ríces del numerdor lo hemos descompuesto en fctores. 4

5 º) Estudimos el signo de l derivd: º) Por el criterio de l vrición del signo de l primer derivd: En x l función tiene un máximo reltivo que vle 4. En x3 l función tiene un mínimo reltivo que vle. 5

6 JUNIO DE 8. PROBLEMA B. Dd l mtriz A tl que A, clcul el determinnte de l mtriz A Bt : x z A b c B x b cz x z + b c ( puntos) Clculmos el determinnte de l mtriz A B t : x x + x A Bt A B t A B () B B b b b z c z cz c 6 x x z 3 b c + b c b c z 7 x x 4 + b b b z c c 5 c A z El determinnte de un producto de dos mtrices cudrds es el producto de los determinntes de ls mtrices fctores. Pr clculr el determinnte de A plicmos lo dicho en l not nterior. Pr clculr B t recordemos que el determinnte de un mtriz cudrd coincide con el determinnte de su trspuest. 3 ªf+ªf. 4 Dividimos l segund fil por multiplicmos l determinnte por. 5 3ªfªf. 6 Al cmbir entre sí l primer fil l últim, el determinnte cmbi de signo. 7 Al multiplicr l primer fil por, el determinnte cmbi de signo. 6

7 JUNIO DE 8. PROBLEMA B. Hll l ecución continu de l rect que ps por el punto P(4,,5) cort ls rects r x++z x s x++ 3 z (3 PUNTOS) Sen X e Y los puntos de corte de l rect buscd con r s, respectivmente: X r x++z x++ P(4,,5) Y π x s 3 z x+α 3+α zα El punto P l rect r determinn el plno π. Como este plno pertenece l hz de plnos de rist l rect r, tiene por ecución: π (x++z)+b(x++) Como el punto P(4,,5) está en el plno π, stisfce su ecución: Por tnto: (4++5)+b(4++) 3b b π x++z Como el punto Y está en l rect s: Y(+α,3+α,α) Como el punto Y está en el plno π, stisfce su ecución: +α+3+α+α 4α+4 4α4 α Y(,,) [PY x+4 ](4,,6) XY z5 3 Otrs forms de hcer este ejercicio pueden verse, por ejemplo, en el problem B del exmen de selectividd de junio de 7. Otr form de obtener l ecución de este plno consiste en hllr un punto un vector direccionl de l rect r. 7

8 JUNIO DE 8. PROBLEMA B3. Demuestr que existe α (,3) tl que f(α)3/, siendo f(x)cos(πx) 3 x 3 x. Mencion los resultdos teóricos empledos justific su uso. ( Puntos) PRIMER MÉTODO: Como l función f cumple ls condiciones de l propiedd de Drboux, existe α en (,3) tl que f(α)3/. En efecto: ª) f(3)<3/<f(): f()cos(π) (). f(3)cos(3π). ª) f es continu en [,3]: [,3] Dom(f)R. Si [,3]: lím x f(x)lím ( cos(πx) 3 x ) x 3 x cos(π) 3 3 f() SEGUNDO MÉTODO: Como l función g(x)f(x)+3/ cumple ls condiciones del teorem de Bolzno, existe α en (,3) tl que g(α). Ahor bien: En efecto: ª) g() g(3)<: g()+3//> g(3)+3//< ª) g es continu en [,3]: g(α) f(α)+3/ f(α)3/ [,3] Dom(g)Dom(f)R. Si [,3]: lím x g(x)lím x cos(πx) 3 x 3 x 3 + cos(π) g() Si h que probr que existe α tl que f(α)3/, es decir, tl que f(α)+3/, h que considerr un función que se nule en xα. Es función es g(x)f(x)+3/. 8

9 JUNIO DE 8. PROBLEMA B4. Encuentr los dos puntos en que se cortn ls gráfics de ls funciones f g. Clcul el áre de l región del plno encerrd entre mbs gráfics: x/ si x f(x)x +3x g(x) 3x si x> (3 Puntos) º) Resolvemos el sistem que formn ls funciones que limitn por rrib por bjo el recinto cu áre queremos hllr: Si x : x +3x x/ Si x>: x x +3x x +6xx x 5x x(x5) x x5/ x +3x 3x x +3x 3x x 4x+3 x 4± 6 4± x3 x Por tnto, los puntos de corte son x ( ) x3 (3>). º) Averigumos entre entre 3 qué función está por encim qué función está por debjo: x 5/ f(x) g(x) / 5/4 / 3º) Clculmos el áre: A (x +3xx/) dx+ 3 (x +3x3+x) dx x 5 + x dx+ 3 (x +4x3) dx x x + x x 3x (9+89) g O f 9