y ) = 0; que resulta ser la

Transcripción

1 º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0 es l ecución de un cierto lugr geométrico si se verific lo siguiente: un punto P(x,) pertenece l lugr geométrico si sólo si f(x,)=0. A continución vmos estudir vrios lugres geométricos: meditriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, circunferenci, elipse, prábol, hipérbol (todos ellos del plno). Meditriz de un segmento.-l meditriz de un segmento AB es el lugr geométrico constituido por los puntos del plno que equidistn de los extremos A B del segmento. Es decir P(x,) pertenece l meditriz de AB si sólo si PA = PB. Si ls coordends de los extremos del segmento son A(x, ) B(x,, ). L meditriz tendrá por ecución: ( x x ) + ( ) = ( x x ) + ( ) Operndo se obtiene l siguiente ecución de l meditriz: x + x + ( x x )( x ) + ( )( ) = 0; que result ser l rect que es perpendiculr l vector AB =(x - x, ) que ps por el punto medio del segmento. Bisectriz de un ángulo.- Sen r s dos rects, que se cortn, de ecuciones: r : x = 0 s: x = 0 Ests dos rects formn dos ángulos suplementrios. El menor de ellos suele denominrse ángulo de ls rects r s. Se llmn bisectrices de ls rects r s l lugr geométrico constituido por los puntos del plno que equidistn de ls dos rects. Tmbién se denomin dicho lugr geométrico bisectrices de los ángulos que formn ls rects r s. Evidentemente P(x,) pertenecerá l citdo lugr geométrico si sólo si d(p, r) = d(p, s). En coordends l nterior condición se escribirá: x = x lo que equivle x = ± Así el lugr geométrico considerdo const de dos rects. Cd un de ells se denomin bisectriz. Es inmedito probr que son perpendiculres entre sí. Tmbién es evidente que ls citds rects dividen en dos ángulos igules los dos ángulos que formn ls rects dds (bisecn). Si los ángulos que determinn ls rects dds los denominmos A B, l bisectriz t bisec el ángulo A l bisectriz t bisec el ángulo B entonces diremos que t es l bisectriz del ángulo A que t es l bisectriz del ángulo B. x Cónics Teorí problems Pág

2 º BT Mt I CNS Cónics.- A continución vmos estudir l circunferenci, definiremos l elipse, l prábol l hipérbol. A ls nteriores curvs se ls denomin globlmente cónics que tods ells son lugres geométricos que se obtienen seccionndo un superficie cónic de revolución por un plno que no pse por el vértice de l citd superficie de revolución. Recuerd que un superficie cónic de revolución es l engendrd por un rect g, denomind genertriz, l girr lrededor de otr rect e, denomind eje, que se cort con g. El punto V de intersección de g e se denomin vértice de l superficie de revolución. Simbolizremos con α el ángulo de ls rects g e. Se β el ángulo que form el plno de l sección con el eje del cono. Se verific lo siguiente : Si β > α l cónic es un elipse (en prticulr, pr β=90º es un circunferenci). Si β = α l cónic es un prábol. Si β <α l cónic es un hipérbol. Ls cónics se crcterizn tmbién porque sus ecuciones respecto de un sistem de referenci crtesino en el plno son del tipo siguiente: Ax + B + Cx + Dx + E + F = 0 (A, B, C, D, E, F R). Según los vlores de los coeficientes l cónic será de un determindo tipo. El estudio que vmos relizr continución no se v bsr en ninguno de los enfoques nteriores sino en otrs propieddes de ls cónics. Cd un de ells constitue un lugr geométrico crcterizdo por lo expuesto o por uns propieddes equivlentes que iremos viendo continución. Evidentemente un desrrollo completo, que no relizremos, exigirí probr l equivlenci de ls propieddes que crcterizn cd un de ls cónics. Circunferenci.- Se llm circunferenci de centro C rdio r>0 l lugr geométrico constituido por los puntos P del plno cu distnci l punto C es r. Los puntos que distn de C más de r se denominn exteriores l circunferenci los que distn de C menos de r se denominn interiores l circunferenci. Utilizndo coordends del centro C(,b), P(x,), l nterior propiedd puede expresrse sí: P Circunferenci d( C, P) = ( x ) + ( b) = r Por tnto l circunferenci posee l siguiente ecución: (x-) + (-b) = r Relizndo ls operciones indicds llegmos un expresión de l form: x + + A x + B +C = 0, siendo coordends del centro (-A/, -B/) r = ( A /) + ( B / ) C Evidentemente si el centro es (0,0) l ecución qued: x + = r Un circunferenci qued determind de diferentes mners: por el centro el rdio, por tres puntos que pertenecen ell, por el centro un punto perteneciente ell por dos puntos el rdio (en este cso puede hber dos soluciones, un o ningun) por el centro un rect tngente (un solo punto de corte, lo veremos más delnte), Cónics Teorí problems Pág

3 º BT Mt I CNS Elipse.- Se llm elipse l lugr geométrico constituido por los puntos P del plno cu sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. Sen F F' los puntos fijos l constnte. Se verificrá que: P elipse determind por (F,F', ) PF + PF' =. Ecución ().(Notción: MN = d (M,N)) L distnci FF' se denomin distnci focl es igul c. El punto medio del segmento FF' se denomin centro. Es el centro de simetrí de l elipse. Se llm eje focl o eje mor l rect FF'. Est rect cort l elipse en los puntos A A'. A l distnci AA' se l denomin longitud del eje mor. Se verific, por l simetrí de l figur, que AA' =. = AF + AF' = AF + AF + FF' = AF + FF' + FA' = AA A l rect perpendiculr FF' por O se l llm eje menor. Este eje cort l elipse en los puntos B B'. A l distnci BB' se l denomin longitud del eje menor se l suele simbolizr con b. Por l simetrí de l figur es evidente que = FB = F'B Por tnto, plicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo FOB, result que: = b +c operndo l Ecución () x c) ( x c) = x llegmos l ecución reducid de l elipse: + =. b ( Prábol.- Se llm prábol l lugr geométrico constituido por los puntos P del plno que equidistn de un punto, llmdo foco de un rect, denomind directriz. Se F el foco d l directriz se verificrá que: P prábol determind por (F,d) d(p,f) = d(p,d). Ecución () Ecución de l directriz d x+c = 0. Se llm prámetro de l prábol l distnci del foco l directriz. Lo llmremos p. A l rect perpendiculr l directriz que ps por el foco se l llm eje de l prábol es eje de simetrí de l mism. El punto del eje que pertenece l prábol se llm vértice. Operndo l Ecución () ( x c) + = x llegmos = px denomind ecución reducid de l prábol en l que c = p/. Hipérbol.-Se llm hipérbol l lugr geométrico constituido por los puntos P del plno cu diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. Sen F F' los dos puntos fijos l constnte. Se verificrá que: P hipérbol determind por (F,F',) PF - PF =.Ecución (3) es decir d(p,f) - d(p,f ) = Cónics Teorí problems Pág 3

4 º BT Mt I CNS L distnci FF se denomin distnci focl es c. El punto medio del segmento FF se denomin centro. Es el centro de simetrí de l hipérbol. Se llm eje focl l rect FF' es eje de simetrí de l hipérbol. Est rect cort l hipérbol en los puntos A A', que se llmn vértices. Se verific, por l simetrí de l figur que AA =. = AF - AF = AA + A F' - AF = AA + A F' - AF = AA A l rect perpendiculr FF' por O se l llm eje secundrio. Este eje no cort l hipérbol es eje de simetrí de ést. El triángulo OAB es rectángulo en A es d(o,a) = OB = c. L longitud AB l denotremos b, es decir AB = b. Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo OAB, se obtiene: c =. operndo l Ecución 3 ( x ) + ( x c) + = llegmos x b = que se denomin ecución reducid de l hipérbol. Cónics Teorí problems Pág 4

5 º BT Mt I CNS CÓNICAS.- Ddos A(-,3) B(5,6), encuentr l ecución de l meditriz del segmento AB..-Dds ls rects r 3x+4-=0 s 4x-3+=0 hllr: ) el ángulo que formn, b) ecuciones de ls bisectrices Los ldos AB, BC AC de un triángulo están respectivmente, en ls rects = x ; 6 3 x = t x+ 7 = Clcul : ) Ls coordends de los vértices A, B C. b) L ecución de = 3 + 7t l meditriz del ldo AB. c) Ecución de l bisectriz del ángulo B. 4.-Hll l ecución de l circunferenci que ps por los puntos: A(,), B(3,4), C(-,5). 5.-Hllr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (6,0) (0,4) que tiene el centro en l rect x- = Hll l ecución de l circunferenci de rdio 6 u. que es concéntric con l siguiente circunferenci: x + - 4x = Hllr l ecución de l circunferenci que tiene centro (,4) es tngente l rect 3x+ 4-4= Determinr el centro el rdio de l circunferenci que ps por los puntos (0,0), (0,) (,4). 9.- Hllr l posición reltiv (exterior, tngente o secnte) de l circunferenci de ecución x + =4 l rect x- + =0 según los vlores de. 0.-Encontrr el lugr geométrico de los puntos del plno cu diferenci de distncis los puntos A(-4,0), B(4,0) es 4. Cómo se llm est curv? Está en form reducid l ecución obtenid?.-encontrr el lugr geométrico de los puntos del plno cu sum de distncis los puntos A(-5,0), B(5,0) es. Cómo se llm est curv? Está en form reducid l ecución obtenid?.- Hll los focos, vértices, clsific ls siguientes cónics: x = 6 9 ; x -00 = 00 ; x + = 6 9 ; x + 4x + 6 = 0 =5x Hll dos puntos de cd un. 3.-Hllr l ecución del lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn del punto (0,6) del eje de bsciss. Cómo se llm est figur? 4.-Hllr, en función del prámetro positivo, l posición reltiv de l circunferenci de ecución (x-) + = l rect de ecución =x. 5.-Hllr l ecución de l circunferenci que es tngente l eje OX en el punto (4,0) ps por el punto (8/5,6/5), Hllr l ecución de l otr tngente est circunferenci que ps por el origen de coordends. 6.- Hll rzondmente l ecución de los centros de ls circunferencis que pssn por los puntos (,0) (0,). 7.- Hll rzondmente l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (0, ) (0,-) es tngente l rect =3x Hll rzondmente l ecución del lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de l rect x =-4 del punto (3,0) 9.- Se l cónic = x. Indic sus elementos crcterísticos. De qué cónic se trt?. Consider el conjunto de ls rects que psn por el punto P(,) tienen pendiente m. Estudi según los vlores de m l posición reltiv de r l cónic.. 0.-Se l cónic x - += 0 De que cónic se trt? Indic sus elementos crcterísticos, hll l posición reltiv de l cónic con l rect = x+b. Cónics Teorí problems Pág 5