9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196
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- Alberto Rojo Suárez
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1 PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) c) d) ) 37 b 11 b b) c) 40 b b d) b b
2 Clcul l medid de los ángulos desconocidos. ) b) ^ 55 ^ C^ E^ D^ F^ G^ 65 X^ Z^ Y^ Pág. ) D F 55 C G E b) X 65 Y Z Clcul los ángulos X, Y, Z en los siguientes polígonos regulres: ) b) Y^ Y^ X^ Z^ Z^ c) d) Y^ X^ Z^ Y^ X^ X^ Z^ ) X es un ángulo centrl del triángulo equilátero, por lo que X Z^ Y^ Y^ X^ Y^ Y + Y + X 180 Y 180 X 60 Z
3 b) X ; Y 90 ; Z c) X Pág. 3 Y^ Y^ Y^ 60 Z^ Como el ldo y el rdio de un heágono son igules, el triángulo es equilátero. Por tnto, Y 60 8 Y 10 Z 360 Y 40 d) X ; Y 180 X 135 ; Z Indic cuánto miden los ángulos P y Q, sbiendo que O 70. P^ O Q^ P Q Cuánto miden los ángulos P, Q y R si O es un ángulo recto? P O Q R P Q R El triángulo C es isósceles, C. Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? O C ; C '
4 8 Dibuj un triángulo C inscrito en un circunferenci, de modo que los vértices y sen etremos de un diámetro y el rco C ) se l set prte de l circunferenci. Cuánto miden sus ángulos? OC C C C C 60 O Pág. 4 Semejnz 9 Un fotogrfí de 15 cm de ncho y 10 cm de lto tiene lrededor un mrco de cm de ncho. Son semejntes los rectángulos interior y eterior del mrco? Responde rzondmente. 15 cm 19 cm 10 cm 14 cm 15? 10 8 No son semejntes. (Sus ldos no son proporcionles) PÁGIN Hemos dividido en cutro prtes igules el ldo myor del rectángulo CD y en tres prtes igules el ldo menor. D C ) Es semejnte cd uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicil? b) Si dividimos los dos ldos en tres prtes igules, obtendrímos rectángulos semejntes?
5 ) 4m? 3n 8 No son semejntes los rectángulos n Ò m y 3n Ò m n 4m. n 3n Pág. 5 m 4m b) 3m 3n 8 Sí son semejntes. L rzón m n de semejnz serí 3. n 3n m 3m 11 En un mp cuy escl es 1: , l distnci entre dos ciuddes es de 3,5 cm. ) Cuál es l distnci rel ntre ells? b) Cuál será l distnci en ese mp entre dos ciuddes cuy distnci rel es 50 km? ) Distnci rel 3, cm 5,5 km b) Distnci en el mp 50 : , km 16,67 cm 1 En un oficin de vent de pisos hn hecho este plno escl 1:50: SLÓN COMEDOR ) Clcul ls dimensiones reles del slón y hll su áre. b) Hll ls dimensiones de l mes y del sillón. Te precen rzonbles? Es posible que los vendedores hyn dibujdo los muebles pr dr l sensción de que l hbitción es más grnde de lo que relmente es? ) En el dibujo el slón mide, proimdmente, 6 cm Ò 4 cm. Por tnto, en l relidd medirá 6 50 cm Ò 4 50 cm 300 cm Ò 00 cm 3 m Ò m. El áre del slón rel será 3 6 m b) Ls dimensiones de l mes en el dibujo son 0,8 cm Ò 1,6 cm. En l relidd: 0,8 50 cm Ò 1,6 50 cm 40 cm Ò 80 cm. Ls dimensiones del sillón en el dibjo son 0,7 cm Ò 0,7 cm. En l relidd: 0,7 50 cm Ò 0,7 50 cm 35 cm Ò 35 cm. Ls dimensiones de l mes y del sillón son bsurdmente pequeñs. Los vendedores, sin dud, hn dibujdo los muebles pr dr l sensción de que l hbitción es más grnde de lo que relmente es.
6 13 Dos triángulos C y ''C' son semejntes y su rzón de semejnz es 1,. Clcul los ldos del triángulo ''C' sbiendo que: 16 cm C 5 cm C 39 cm '' 1, 16 19, cm 'C' 1, 5 30 cm 'C' 1, 39 46,8 cm Pág Hll ls longitudes de los ldos y b sbiendo que estos dos triángulos tienen sus ldos prlelos: 10 m 4 m b 3,5 m 15 m Como todos sus ldos son prlelos, sus ángulos son igules, por lo que los dos triángulos son semejntes. sí: ,5 15 b ,5 m 15 3,5 8 10b b 13 m b Teorem de Pitágors 15 Clcul el vlor de en estos polígonos: ) b) 6 m 6 m 8 cm 6 m c) d) 10 dm 15 cm 4 dm 8 m ) 3 m 6 m , m b) cm
7 c) 1 dm 5 dm dm Pág. 7 d) ,3 m 16 Clcul en cd cso: ) b) c) 8 m 9 m d) e) 45 6 cm cm 1 dm ) Como dos de sus ángulos miden 60, el otro tmbién medirá 60. Como tiene los tres ángulos igules, el triángulo es equilátero. Si medio ldo mide, el ldo entero medirá. 9 m () , m b) El triángulo es l mitd de un triángulo equilátero. Por tnto, utilizndo el mismo rzonmiento que en el prtdo ), el ldo que no mide ni 1 cm ni, es l mitd de 1 cm, es decir, 6 cm. Por tnto: ,4 cm c) Como es un heágono, el rdio es igul que el ldo. Por eso: ,9 m 8 m 4 m d) Como es un triángulo rectángulo con un ángulo de 45, el otro tendrá que medir 45 tmbién, por lo que sbemos que el triángulo es isósceles. sí: ,5 cm e) ,5 dm
8 17 L digonl de un rectángulo mide 37 cm, y uno de sus ldos, 1 cm. Clcul su perímetro y su áre. l 8 ldo que flt l cm Perímetro cm Áre cm Pág En un triángulo rectángulo, los ctetos miden 9 cm y 1 cm. En otro triángulo rectángulo, un cteto mide 14,4 cm, y l hipotenus, 15 cm. Cuál de los dos tiene myor perímetro? En el primer triángulo rectángulo, l hipotenus mide: h cm. Por tnto: Perímetro cm En el otro triángulo rectángulo, el cteto que flt mide: 15 14,4 17,64 4, cm. Por tnto: Perímetro 4, ,4 33,6 cm El primer triángulo tiene myor perímetro. 19 L digonl de un rectángulo de ldos 7 cm y 4 cm mide igul que el ldo de un cudrdo. Hll l digonl de ese cudrdo. d D ,36 cm 7 cm 4 cm d D d 0 Clcul en estos trpecios y hll su áre: 5 cm 0 cm 13 cm 10 cm 1 cm 4 cm 10 cm ) plicmos el teorem de Pitágors en el triángulo: 13 cm 5 cm (0 ) cm, 8 cm 0 cm 0 L solución 3 cm no tiene sentido, y que < 0. Por tnto, 8 cm. sí: (0 + 8) 5 70 cm
9 Pág. 9 b) 1 cm cm 10 cm 6 cm 6 cm 4 cm 10 cm sí: (4 + 1) cm 1 Clsific en rectángulos, cutángulos u obtusángulos los triángulos de ldos: ) 11 m, 13 m, 0 m. b) 0 m, 1 m, 9 m. c) 5 m, 9 m, 36 m. d) 7 m, 4 m, 5 m. ) ; Como 0 > , el triángulo es obtusángulo. b) ; Como , el triángulo es rectángulo. c) ; Como 36 < 5 +9, el triángulo es cutángulo. d) ; 5 65 Como , el triángulo es rectángulo. PÁGIN 198 Lugres geométricos y cónics Cuál es el lugr geométrico de los puntos cuy distnci un rect r es de cm? Dibújlo. cm cm s r t Ls rects s y t son el lugr geométrico de los puntos cuy distnci l rect r es de cm. Ls rects s y t son prlels r, cd un un ldo de est y cm de distnci de r. 3 Cuál es el lugr geométrico de los puntos P del plno tles que el ángulo P es recto? P P P L circunferenci de centro el punto medio de (eceptundo los puntos y ) es el lugr geométrico de los puntos P del plno tles que el ángulo P es recto.
10 4 Define como lugr geométrico un circunferenci de centro O y rdio 5 cm. L circunferenci de centro O y rdio 5 cm es el lugr geométrico de los puntos P cuy distnci O es 5 cm: OP 5 cm Pág Utiliz un trm como l siguiente (puedes scrl del CD-ROM) pr dibujr: ) Dos elipses de focos F y F' y constntes d 16 y d 0, respectivmente (tommos como unidd l distnci entre dos circunferencis consecutivs). b) Dos hipérbols de focos F y F' y constntes d y d 7. F' F F F'
11 6 Us un trm como l siguiente (puedes scrl del CD-ROM) pr dibujr: ) Un prábol de foco F y directriz d 1. b) Un prábol de foco F y directriz d. Pág. 11 d 1 d F d 1 d F
12 Áres Pág. 1 7 Hll el áre de ls figurs coloreds. ) b) 17 cm 10 cm 16 cm 1 m 1 m c) d) 13 m 9 m m 41 m e) C 93 m H 5 m f) DK 3 m H K C 8 cm D 8 cm 0 cm ) 8 cm 17 cm d cm cm b) 10 cm ,1 cm 7,1 50 cm c) 1 m m 5 m 13 m m m d) 1 m 9 m 0 m 41 m m m
13 e) TRIÁNGULO C m TRIÁNGULO CD ,5 m Pág. 13 TOTL , ,5 m f) CUDRDO cm TRIÁNGULO cm PRTE COLORED cm 8 Clcul el áre de ls figurs coloreds. ) b) E F G D C D C 17 m DC 16 m G 4,5 m EF 3, m c) d) 10 cm E F G G 8,4 m CD 1 m D C C 8 m EF 5,6 m 0 cm e) f) 10 cm 6 cm 1 cm ) TRIÁNGULO DE 17 3, 7, m TRIÁNGULO C 17 4,5 38,5 m D 17 m 17 m 8 m 16 m C m TRIÁNGULO DC m TOTL 7, + 38, ,45 m
14 b) D C + Pág. 14 CD m TRIÁNGULO DE 35 5,6 98 m TRIÁNGULO CD m TRIÁNGULO C 8 8,4 117,6 m TOTL ,6 509,6 m c) Como sbemos, el ldo del heágono es igul l rdio de l circunferenci circunscrit él. Por eso, del triángulo (que sbemos que es rectángulo) conocemos ls siguientes medids: 0 cm 10 cm hipotenus 10 0 cm un cteto 10 cm ,3 cm TRIÁNGULO 10 17,3 86,6 cm d) 0 cm 0 cm ,8 cm rdio 14,14 cm CÍRCULO π 14,14 68,13 cm CUDRDO cm TOTL 68, ,13 cm e) 1 cm r r 1 3 cm 4 CUDRDO cm CÍRCULO π 3 8,7 cm PRTE COLORED ,7 30,9 cm f) El diámetro del círculo grnde mide cm. Su rdio medirá 3 16 cm. CÍRCULO GRNDE π ,5 cm CÍRCULO MEDINO π ,16 cm CÍRCULO PEQUEÑO π 6 113,1 cm PRTE COLORED 804,5 314,16 113,1 377 cm
15 9 Hll el áre de l zon colored en cd figur: ) b) 1 cm 1 cm Pág cm 18 cm ) Áre del segmento de prábol: cm 3 Áre de l zon colored cm b) Áre de l zon colored SEGMENTO DE PRÁOL TRIÁNGULO 1 cm / 18 cm 18 cm PÁGIN Ls digonles del rombo inscrito en l elipse miden 16 cm y 30 cm. Hll el áre de l prte colored. ELIPSE π cm ROMO cm PRTE COLORED cm ' ' 31 En un circunferenci de 56,5 cm de longitud, dibuj los cudrdos circunscrito e inscrito. Clcul el áre y el perímetro de cd cudrdo (tom π 3,14). 56,5 π r 8 r 56,5 9 cm π El rdio de l circunferenci es 9 cm ,5 6,364 cm. 9 cm Ldo cudrdo grnde 9 18 cm CUDRDO GRNDE cm Ldo cudrdo pequeño 1,73 cm CUDRDO PEQUEÑO 1,73 1,73 16,1 cm P CUDRDO GRNDE cm P CUDRDO PEQUEÑO 4 1,73 50,9 cm
16 3 Hll, en cd cso, el áre y el perímetro de un sector circulr de un círculo de 15 cm de rdio y cuy mplitud es: ) 90 b) 10 c) 65 d) 140 ) π ,71 cm b) π ,6 cm c) π ,63 cm d) π ,89 cm Pág Ejercicio resuelto Clculr el áre de un segmento circulr de 60 de mplitud en un círculo de 1 cm de rdio. El áre del segmento circulr se hll restndo, del áre del sector, el áre del triángulo. Áre del sector: π ,4 cm 360 Áre del triángulo. Observ que es equilátero, y que O O y ltur: h ,4 cm Áre: 1 10,41 6,4 cm Clcul el áre del segmento circulr. El áre del segmento circulr es: SECTOR TRIÁNGULO 75,4 6,4 3 cm h 60 1 cm O O Clcul el áre de un segmento circulr de 90 de mplitud en un círculo de 18 cm de rdio. SECTOR π ,47 cm 18 cm 360 TRIÁNGULO cm SEGMENTO CIRCULR 54, ,47 cm 18 cm
17 35 Clcul el áre de l prte colored de cd uno de estos cudrdos de 1 m de ldo: C Pág. 17 D E F CUDRDO m 1 m 6 m 1/4 CÍRCULO 1 π 6 113,1 m 4 4 PRTE COLORED ,1 30,9 m 4 d ,97 m d rdio de circunferencis d 1 m 8,49 m 1/4 CIRCUNFERENCI π 8,49 56,61 m 1 m 4 PRTE COLORED ,61 36,78 m C 1/ CÍRCULO π 6 113,1 m 6 m PRTE COLORED 144 1/ CÍRCULO ,1 30,9 m 1 m D 1/4 CÍRCULO π 1 113,1 m ,1 30,9 m 1 m 1 m1 m PRTE COLORED 30,9 61,8 m E Áre de prte colored en prtdo c) 30,9 m 30,9 15,45 m PRTE COLORED ,45 8, m
18 f) Áre prte colored en prtdo ) 30,9 m 6 m 30,9 m CÍRCULO π 6 113,1 m PRTE COLORED 113,1 30,9 8, m Pág. 18 P IENS Y RESUELVE 36 Se llm triángulo heronino l que tiene ldos enteros y áre enter. Triángulos rectángulos con ldos y áre enteros y se conocín mucho ntes de l époc de Herón, pero él se tribuye el descubrimiento del triángulo de ldos 13, 14, 15 y áre 84 (no es rectángulo, pero tiene ldos y áre enteros). El nombre de triángulos heroninos es un homenje Herón por este descubrimiento. plic l fórmul de Herón pr hllr el áre de cd uno de estos triángulos de los que conocemos sus ldos: ) 13 cm, 14 cm, 15 cm (comprueb que es 84 cm ). b) 5 m, 5 m, 6 m. c) 13 dm, 0 dm, 1 dm. d) 5 cm, 34 cm, 39 cm. Fórmul de Herón: s (s )(s b)(s c ) donde, b y c son los ldos del triángulo y s es l mitd de su perímetro. ) s cm 1(1 13)(1 14)(1 15) cm b) s m 8(8 5)(8 5)(8 6) m c) s dm 7(7 13)(7 0)(7 1) dm d) s cm 49(49 5)(49 34)(49 39) cm
19 37 Ciert finc tiene l form y ls dimensiones indicds en l figur. Clcul su áre. 36 m Pág m 9 m 5 m 4 m 36 m 9 m 9 m 5 m 4 m s m plicmos l fórmul de Herón: s m 50(50 9) (50 4) m 45(45 9)(45 36)(45 5) m FINC m 38 El triángulo C es un triángulo rectángulo, y H es l ltur sobre l hipotenus. ) Demuestr que los triángulos H y HC son semejntes. b) Clcul ls longitudes H y HC. C 15 m 8 m H ) Los triángulos C y H son semejntes porque tienen el ángulo en común y son rectángulos. Los triángulos C y HC son semejntes porque tienen el ángulo C en común y son rectángulos. Por tnto, los triángulos H y HC tmbién son semejntes. b) plicndo el teorem de Pitágors hllmos el ldo C. C m Por ser H semejnte C: H 8 H ,76 cm C C Por ser HC semejnte C: HC C 8 HC C ,4 cm C C C 17 17
20 39 En un triángulo C, l bse mide 5,7 m y l ltur reltiv es bse mide 9,5 m. Cuánto mide el áre de otro triángulo semejnte C en el que '' 4,14 m? C Por semejnz de triángulos: 5,7 9,5 8 9,5 4,14 C' 6,9 m 4,14 5,7 ''C' 4,14 6,9 14,8 m 9,5 m Pág. 0 5,7 m ' 4,14 m ' 40 Si D es prlelo E, y C 15 cm, CE 11 cm, D 6,4 cm, E 18 cm: E ) Clcul CD y C. b) Si 37 y C 80, clcul E, y D. 37 D 80 C Por semejnz de triángulos: ) CD 11 6,4 3,9 cm 6,4 CD , C 15 6,4 5,33 cm C 18 b) E D E 63 PÁGIN ) Por qué son semejntes los triángulos PQ y C? b) Clcul Q. 5 cm Q 3 cm P 7 cm C ) Son semejntes porque tienen el ángulo en común y son los dos rectángulos. Como tienen dos ángulos igules, el tercero tmbién es igul.
21 b) Clculmos P por Pitágors: P Por semejnz de triángulos: C ,75 cm P Q 4 5 Pág. 1 4 Si DF 4 cm, cuál es el áre y el perímetro del trpecio EFC? D E C 4 cm F 4 cm 10 cm D E C Por el teorem de Pitágors: C cm Vemos que el ángulo C es igul l ángulo DEF, y como los triángulos C y DEF son rectángulos, entonces son semejntes. Por semejnz de triángulos, podemos decir que: 4 DE 8 DE 9,6 cm 10 4 Por el teorem de Pitágors: FE 4 + 9,6 108,16 10,4 cm Por tnto: F cm EC 4 9,6 14,4 cm Entonces: TRPECIO ,6 100,8 cm P TRPECIO ,4 + 10, ,8 cm 43 Cuál es l ltur de un cs que proyect un sombr de 68 m, l mismo tiempo que un person de 1,65 m de ltur proyect un sombr de m? F 4 cm 10 cm Los dos triángulos son semejntes, por tnto: ,1 m 1,65 1,65 m 68 m m
22 44 Pr clculr l ltur de un árbol, Edurdo ve l cop reflejd en un chrco y tom ls medids que indic el dibujo. Cuál es l ltur del árbol? 16 cm 1, m 4 m Pág. Por semejnz de triángulos: 4 8 5,4 m 1, 1,6 1,6 m 1, m 4 m 45 Cuál es l profundidd de un pozo, si su nchur es 1,5 m y lejándote 0,5 m del borde, desde un ltur de 1,7 m, ves que l visul une el borde del pozo con l líne del fondo? 1,7 m 0,5 m Por semejnz de triángulos: 1,5 8 5,1 m 0,5 1,7 1,5 m 46 Clcul l ltur del triángulo siguiente, plicndo el teorem de Pitágors los dos triángulos rectángulos que precen. Después, hll su áre: 5 cm 17 cm 8 cm 5 cm 17 cm h 8 h + 17 (8 ) +h cm 8 8 cm h 15 cm
23 5 cm 9Soluciones los ejercicios y problems 47 Hll l ltur del trpecio siguiente. Después, clcul su áre. 1 m 5 m 17 m h h 40 m 1 m 5 m 17 m Pág h + 5 h + (8 ) 8 cm m h 15 cm 48 ) Clcul el rdio de est circunferenci: b) Cuál será l longitud de un cuerd cuy distnci l centro es,9 cm? 7, cm 1,5 cm O ) 3,6 cm r 1,5 cm O r 3,6 + 1,5 15,1 3,9 cm b),9 cm O 3,9 cm 3,9,9 6,8,6 cm L longitud de l cuerd será,6 5, cm 49 En un círculo de 5 cm de diámetro se trz un cuerd 10 cm del centro. Hll el áre del cudrilátero que se form uniendo los etremos de l cuerd con los del diámetro prlelo ell cm CUDRILÁTERO (TRPECIO) (48 + 5) cm
24 50 Ejercicio resuelto Hllr el rdio de un rco de 100,48 m de longitud y 7 de pertur (π 3,14). Clculmos l longitud de l circunferenci: l 100,48 8 l 50,4 m Hllmos el rdio: πr 50,4 m πr 50,4 8 r 50,4 π 79,96 m Pág Clcul l medid, en grdos, de un rco que mide 31,4 cm correspondiente un circunferenci de 471 cm de longitud (π 3,14). l CIRCUNFERENCI π r r cm π l RCO π 75 (PERTUR) 31,4 8 PERTUR El áre de un coron circulr es 0π cm, y l circunferenci intern mide 8π cm. Clcul el rdio de l circunferenci etern. r r 1 8π π r 1 8 r 1 8π 4 cm π 0π π r π 4 8 r 36 6 cm 53 Clcul: ) L longitud de PT. b) El áre de l prte colored. T 8 cm 60 O 16 cm P ) PT ,86 cm
25 b) SECTOR CIRCULR π ,51 cm 360 TRIÁNGULO 8 13,86 54,4 cm PRTE COLORED 54,4 33,51 0,73 cm Pág Clcul el áre del triángulo curvilíneo comprendido entre tres circunferencis tngentes y cuyo rdio mide 5 cm. Como es un triángulo equilátero, sus ángulos son de 60. SECTOR 60 π ,09 cm cm plicmos l fórmul de Herón pr hllr el áre del triángulo de ldo 10 cm: s TRIÁNGULO 15 (5) 3 43,3 cm PRTE COLORED 43,3 3 13,09 4,09 cm 55 ) un cudrdo de 1 dm de ldo le cortmos tringulitos isósceles en ls cutro esquins. Clcul pr que el octógono resultnte se regulr. b) Clcul el áre de un octógono regulr de 8 cm de ldo. ) 1 Ä ( + ) 1 8 0,35 dm + b) ,66 cm Ldo del cudrdo 5, ,3 cm Áre del octógono: CUDRDO (19,3) 373,6 cm TRIÁNGULO (5,66) 16,0 cm OCTÓGONO 373,6 4 16,0 309,18 cm O bien: OCTÓGONO Perímetro potem 8 8 (19,3 : ) 309,1 cm (L potem del octógono es l mitd del ldo del cudrdo).
26 PÁGIN 01 Pág. 6 R EFLEXION SORE L TEORÍ 56 Qué se puede firmr de un triángulo si uno de los ldos coincide con el diámetro de su circunferenci circunscrit? C El ángulo está inscrito en un semicircunferenci. brc un rco de 180. Por tnto, su medi es de 90, es decir, es recto. Por ello, se puede firmr que todo triángulo que teng un ldo que coincid con el diámetro de su circunferenci circunscrit es rectángulo. 57 Justific por qué los triángulos M y CDM tienen los ángulos igules. Cómo son esos triángulos? Los ángulos M y DMC son opuestos por el vértice, y por tnto son igules. Los ángulos C y DC brcn el mismo rco y mbos están inscritos en l circunferenci, por M C lo que son igules. D Como los triángulos M y CDM tienen dos ángulos igules, sbemos que tienen los tres ángulos igules. Por ello, sbemos que son semejntes. 58 Cómo se llm el lugr geométrico de los puntos desde los cules se ve un segmento bjo un ángulo de 60? El lugr geométrico de los puntos desde los cules se ve un segmento bjo un ángulo de 60 se llm rco cpz pr de Cuál es el lugr geométrico de los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos es 6 cm? Cómo se llmn los dos puntos fijos? El lugr geométrico de los puntos cuy sum de distncis otros dos puntos fijos es 6 cm es un elipse. Los dos puntos fijos se llmn focos. 60 Cuál es el lugr geométrico de los puntos cuy diferenci de distncis otros dos puntos fijos es 4 cm? Cómo se llmn los dos puntos fijos? El lugr geométrico de los puntos cuy diferenci de distncis otros dos puntos fijos es 4 cm es un hipérbol. Los dos puntos fijos se llmn focos. 61 Cuál es el lugr geométrico de los puntos que equidistn de un punto fijo y de un rect dd? Cómo se llmn el punto fijo y l rect? El lugr geométrico de los puntos que equidistn de un punto fijo y de un rect dd es l prábol. El punto fijo se llm foco, y l rect, directriz.
27 P ROFUNDIZ Pág. 7 6 Observ l primer figur en form de huevo (compuest por un semicírculo, un semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro), y l segund figur en form de corzón (compuest por dos semicírculos, un semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro): 14 cm 7 cm 10 cm 10 cm Hll los rdios, e y, de los dos semicírculos de l segund figur pr que l superficie del corzón se el 80% de l superficie del huevo (con los dos circulitos incluidos en ls dos figurs). Ten en cuent que + y 14 cm. 1. FIGUR 1/ ELIPSE + 1/ CÍRCULO GRNDE + CÍRCULO PEQUEÑO 1/ ELIPSE π ,96 cm 10 cm 1/ CÍRCULO GRNDE π 7 76,97 cm 14 cm CÍRCULO PEQUEÑO π 0,5 0,79 cm 1. FIGUR 109, ,97 + 0,79 188,51 cm. FIGUR 1/ ELIPSE + 1/ CÍRCULO GRNDE + 1/ CÍRCULO MEDINO + CÍRCULO PEQUEÑO 7 cm 1/ ELIPSE 109,96 cm π y 1/ CÍRCULO MEDINO 10 cm 1/ CÍRCULO GRNDE π CÍRCULO PEQUEÑO 0,79 cm. FIGUR 0,8 188,51 150,81 cm Por tnto, sbemos que: 150,81 109,96 + π π y + + 0,79 y demás sbemos que: +y 14 Resolvemos el sistem y nos qued 3, y 4 o 4, y 3. Solución: los rdios de los dos semicírculos miden 3 cm y 4 cm.
28 63 El cudrilátero CD está inscrito en un circunferenci. Observ este rzonmiento: ) ) ) D C, CD, C + D + CD ) Comprueb de igul form que + D 180. C Est es l condición que debe cumplir un cudrilátero pr que pued inscribirse en un circunferenci. Eprésl con plbrs. ) ) ) ) DC, D C 8 + D DC + C 180 D L condición que debe cumplir un cudrilátero pr que pued inscribirse en un circunferenci es que cd dos ángulos no contiguos del cudrilátero sumen 180. Pág Clcul los ángulos y D. (Ten en cuent el problem nterior). 130 C D D 65 Se llm ecentricidd de un elipse o de un hipérbol l resultdo de dividir l distnci focl (distnci entre sus focos) entre el eje myor: F' F F' F c c ecentricidd c En l circunferenci, los focos coinciden con el centro; por tnto, su ecentricidd es 0. L ecetricidd de l prábol es 1. Rzon, mirndo los dibujos nteriores, que l ecentricidd de un elipse es un número comprendido entre 0 y 1; y que l de un hipérbol es myor que 1. En un elipse, c <. Por tnto, l ecentricidd, c, siempre v ser un número menor que 1 y myor que 0 porque tnto c como son números positivos. En l hipérbol, < c siempre. Por tnto, l ecentricidd, c, siempre v ser un número myor que 1. c
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