PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.

Transcripción

1 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB BC AD CD Como AB BC AD CD 5 ˆ ABCD es un cudrdo. LQQD

2 Cpítulo. SISTEMA DE COORDENADAS Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (,) B (,). Hllr ls coordends del tercer vértice. (Dos csos). Solución Se C (,) BC AC el tercer vértice. ( ) ( ) ( ) ( ) " BC AB ( ) ( ) 6 De " ± ˆ C (,± ) Ddos los puntos P (, ) P (,) punto que diste doble de P que P. Solución encontrr sobre P P el Se P (,) el punto pedido. PP r P P r r ( ) 0 0 0

3 r r PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA () ˆ P (,) 0, El ldo de un rombo es igul 5 0 dos de sus vértices opuestos son los puntos P (,9) Q (,) Solución. Clculr el áre de este rombo. PQ ( 5 0 ) Luego D d A A 50 m

4 Cpítulo. SISTEMA DE COORDENADAS Determinr ls coordends de los etremos A B del segmento que es dividido en tres prtes igules por los puntos P (,) (,5) Solución Q. Cálculo de A (, ) AP r PQ 5 ˆ A (, ) Cálculo de B (, ) PQ r QB ˆ B ( 0,8) L longitud del segmento MN es igul ; su origen está en el punto (, ) M ; l proección sobre el eje de bsciss es igul. Hllr ls coordends del otro etremo del segmento, si form con el eje de ordends un ángulo ddo.

5 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Solución Si AB 9 Si MN ( ) ( ) 7 ˆ N (,) ( 9, 7) Tres de los vértices de un prlelogrmo son A (,), B (, ) C ( 6,) Solución. Si l ordend del curto vértice es 6. Cuál es su bscis? Se D (,6) el punto pedido. AD BC ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) 5

6 Cpítulo. SISTEMA DE COORDENADAS Efectundo operciones 0 6 Luego D (,6) D (,6) El punto medio de cierto segmento es el punto M (,) uno de sus etremos es el punto N (,5). Hllr ls coordends del otro etremo. Solución Se P (,) el punto pedido. M N M N 5 ˆ P (,) (, ) Los vértices de un triángulo ABC son A (, ), B (,7) ( 8,0) Clculr ls coordends del bricentro de dicho triángulo. Solución Sbemos que C. 6

7 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ˆ G (,) (,) A Hst qué punto debe prolongrse el segmento que une los puntos (, ) (,5) Solución B en l dirección AB, pr que su longitud se triplique? Se P (,) el punto pedido. Sbemos AB BP BP AB 7

8 8 Cpítulo. SISTEMA DE COORDENADAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " Efectundo operciones 5 5 AP BP AB Tmbién Efectundo operciones 5 5 ( ) ( ) 0,7, P 7 ; 7 0 ; De ˆ "

9 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Discutir grficr ls curvs, cus ecuciones son 6 0 Solución ( ) 6 0 E, º. Intercepciones con los ejes Eje Eje X Y O ( 0,0) 9

10 Cpítulo. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS º. Simetrí Eje X Eje Y Origen E ( ) E(,) E, E(,) E(,) (, ) E(,) Curv simétric sólo con el eje X º. Etensión De 6 ; ú º. Asíntots No tiene síntots, ni horizontles ni verticles. 5º. Cudro de vlores º. Gráfico 0

11 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 0 Solución ( ) 0 E, º. Intercepciones con los ejes Eje X Eje Y 0 0 ; ò A (,0) intercepción con el eje X º. Simetrí Eje X Eje Y Origen E ( ) E(,) E, E(,) E(,) (, ) E(,) Curv no simétric ni con los ejes ni con el origen º. Etensión De 0 ; 0 º. Asíntots De ; 0 0 5º. Cudro de vlores

12 Cpítulo. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 6º. Gráfico 0 Solución ( ) 0 E, º. Intercepciones con los ejes Eje X Eje Y 0 0.6; ; B A ( 0,) (.6,0) º. Simetrí Eje X Eje Y Origen E ( ) E(,) E, E(,) E(,) (, ) E(,) Curv no simétric ni con los ejes ni con el origen

13 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA º. Etensión De ± ; 0 º. Asíntots No tiene síntots, ni horizontles ni verticles. 5º. Cudro de vlores , º. Gráfico

14 Cpítulo. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Solución ( ) E, º. Intercepciones con los ejes Eje X 0 ± ; Eje Y 0 ± ; º. Simetrí A B ( ±,0) ( 0, ± ) Curv simétric con los ejes con el origen. º. Etensión De ±,, [,] º. Asíntots De ± 0 ± ± 0 ± 5º. Cudro de vlores 0 ± ± ± ± ± ± 0 ± 5...

15 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6º. Gráfico ( ) Solución ( ) ( ) E, º. Intercepciones con los ejes Eje X Eje Y 0 0 ò ; intercepción con el eje A ( 0,) X º. Simetrí Curv simétric sólo con el eje Y. 5

16 Cpítulo. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS º. Etensión De 0; ú º. Asíntots De 0 ú ± 0 0 ( Eje X ) 5º. Cudro de vlores 0 ± ± ± º. Gráfico 6

17 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un rect ps por los dos puntos A (, ) B (,) de bscis 0 pertenece l rect. Cuál es su ordend? Solución. Si un punto Se C ( 0, ) el punto pedido. Ddo que AB BC AC ( ) ( 0 ) ( ) Efectundo operciones 5 Hllr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que l diferenci de los cudrdos de sus distncis los dos puntos A (, ) (,) Solución B es siempre igul. Se P (,) el punto pedido. Entonces de l condición del problem tenemos BP De donde AP ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, efectundo operciones 6 0 7

18 Cpítulo. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Un segmento rectilíneo de longitud se mueve de tl mner que uno de los puntos etremos permnece siempre sobre el eje X el otro permnece siempre sobre el eje Y. Hllr l ecución del lugr geométrico del punto medio del segmento. Solución De l condición PA PB ( ) ( ) ( ) ( ) Efectundo operciones 6 Hllr l ecución del lugr geométrico de un punto P (,), tl que l distnci de P l punto A ( 0,6) es igul l mitd de l distnci de P l eje X. Solución De l condición AP ( 6) Luego, efectundo operciones 8 0 8

19 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo LA LÍNEA RECTA Hllr l ecución de l rect que ps por los dos puntos A (,) B ( 5,7 ). Solución Se l rect buscd. Ddo que se conocen dos puntos de l rect, se puede conocer su pendiente. A B (,) ( 5,7 ) m m AB ˆ 5 9 ( ) "

20 Cpítulo. LA LÍNEA RECTA Clculr el áre del triángulo que form l rect 0 con los ejes coordendos. Solución 0 Luego Dividiendo b ˆ ( ) A " A 6u Los vértices de un triángulo son A ( 0,0 ), B (,) C (,6 ). Obtener ls ecuciones de ls rects que contienen los ldos del triángulo. Solución Ecución de AB AB A B ( 0,0 ) (,) m AB ˆ 0 ( 0) " 0 Ecución de BC BC B C (,) (,6 ) m BC 0 ˆ ( ) " 0

21 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Ecución de AC AC ˆ A B 0 ( 0,0 ) (,6 ) m AC ( 0) " 0 Encontrr l ecución de l rect que ps por (,8 ) intersección de ls rects 0, Solución A por l A (,8 ) Un punto de l rect B (,0) Luego Finlmente m 8 5 ( ) Si l rect b c 0 ecución en form de Donde m 0 8 ( ) " m ps por el punto P ( p,q) ) pendiente ordend en el origen. b) punto - pendiente. c) simétric. Solución AB 5, escribir un ) b c 0 b c b

22 Cpítulo. LA LÍNEA RECTA b ) b c 0; Donde d m ; P ( p,q) q b ( p) b c ) b c 0 b c c c b Encontrr l ecución de un rect que tiene intercepciones igules que ps por el punto A ( 8, 6) Solución Se Pero A ( 8, 6) Luego 8 6 ˆ " 0 Desde el punto M 0 (, ) se h dirigido hci el eje OX un ro de luz con un inclinción de un ángulo α, se sbe que tg α. El ro se h reflejdo del eje OX. Hllr ls ecuciones de ls rects en ls que están los ros incidente reflejdo. Solución Ecución del ro incidente pendiente m tgα ( ) " 9 0

23 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Ecución del ro reflejdo Si 0 ; pendiente 0 m tg P0 ( 80º α) (,0) tgα ( ) " 9 0 Ddos los puntos M (,) N ( 5, ) punto P de modo que en el ángulo Solución. Hllr en el eje de bsciss un M Pˆ N se recto. Ddo que MP NP " m MP m 5 NP Efectundo operciones ˆ P ( 6,0 ); P (,0 )

24 Cpítulo. LA LÍNEA RECTA Los puntos ( ), A, ( ), B ( ) C,5 son los vértices de un triángulo. Demostrr que l rect que ps por los puntos medios de los ldos AB CD es prlelo l bse BC del triángulo. Solución ( ) ( ) 0, M 0, M Cálculo de, 7 M 7, M Cálculo de C A C A B A B A

25 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Sbemos que BC* M M " m m " BC M M 7 7 Luego efectivmente BC * M M LQQD Clculr l distnci entre ls rects prlels Solución Ddo que Hllmos un punto culesquier P, de l rect Pr Luego 0 ˆ P ( 0, ). ˆ d ()() 0 ()( ) " d

26 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo LA CIRCUNFERENCIA Encontrr l ecución de l circunferenci sbiendo que sus etremos de un diámetro son los puntos A (, ) B (, ). Solución C ( h,k) Luego es punto medio de h k r C AB (,) 5 AB r ˆ C ( h) ( k) ( ) ( ) r C 6 0 7

27 Cpítulo. LA CIRCUNFERENCIA Obtener l ecución de l circunferenci tngente los dos ejes, rdio 6, en el segundo cudrnte. Solución Del gráfico, se deduce que C ( h,k) ( 6,6) es el centro de l circunferenci su rdio r 6. ˆ C C ( h) ( k) ( 6) ( 6) r Dd l ecución de l circunferenci 7 0, encontrr el centro el rdio. Solución Completndo cudrdos ; De d donde h 0, k 8 ˆ C 0, ; r 5

28 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Hllr l ecución de l circunferenci cuo centro es el punto C (, ) que es tngente l rect 0. Solución Se Luego r Distnci de C 0 r ()( ) ()( ) 6 6 r 5 ˆ C ( h) ( k) r Reemplzndo C ( ) ( ) 5 Hllr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A (,0), B ( 0,) C (, ) Solución Se C. D E F 0 A B C (,0) ( 0,) (, ) C C C 6 D F 0 9 E F 0 D E F 8 # " Luego, de #," 9 D ; E 5 ; F 9

29 Cpítulo. LA CIRCUNFERENCIA En ˆ C C Hllr l ecución de l circunferenci de rdio 0, tngente en el eje X, cuo centro está sobre l rect. Solución Primer cso C pero C ( h,0) h 0 ; C ( 0,0) ( h) ( k) r ( 0) ( 0)

30 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Segundo cso C pero C ( h, 0) h 0 ; C ( 0, 0) ( h) ( k) r ( 0) ( 0) L ecución de un circunferenci es 50. El punto medio de un cuerd de est circunferenci es el punto P (,). Hllr l ecución de l cuerd. Solución Se l rect que contiene l cuerd referid l rect que ps por el punto P el centro de l circunferenci. Pendiente de m 0 0 Luego " " ( ) m " m m m Luego ( ) 0 0

31 Cpítulo. LA CIRCUNFERENCIA Encontrr l ecución de l circunferenci con centro en (, ) que ps por Q (, ) Solución. C De los dtos, tenemos C ( h) ( k) ( ) ( ) Q r r (, ) C ( ) r r 89 9 ˆ C ( ) 89 9 Hllr el áre del círculo cu ecución es Solución Tenemos l ecución de l circunferenci C Despejndo el términoindependiente completndo cudrdos C ( 8 6) ( ) ( ) Donde r 5 ˆ A πr π 5 " A 5πu

32 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 5 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Por un trslción de ejes, trnsformr l ecución 0 en otr que crezc de términos de primer grdo. Solución Completndo cudrdos 0 ( 9) ( ) ( 7) ( ) 7 Siendo N 7 N N N

33 Cpítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Simplificr l ecución por un trslción de los ejes coordendos. Solución Completndo cudrdos ( ) Siendo N N N N Por un trslción de ejes, simplificr l ecución 8 0 Solución Completndo cudrdos en l epresión, se tiene ( 8 6) ( ) ( ) ( ) 7 6 Siendo N N N N 7

34 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Por medio de un trslción de ejes, eliminr los términos de primer grdo de l ecución 0 Solución 0 " N h N k # # en " ( N h)( N k) ( N h) ( N k) N N kn kn hk N h N k N N ( k ) N ( h ) N hk h k 0 De donde k 0 h 0 h k Luego en N N 0 N N 7 0 Por un rotción de los ejes coordendos, trnsformr l ecución en otr que crezc del término en. Solución " Luego N cosθ N senθ N senθ N cosθ # 5

35 Cpítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Ahor # en " ( 6cos θ senθcosθ 9sen θ) N ( 6sen θ senθcosθ 9cos θ) N ( cos θ senθcosθ sen θ 8senθcosθ) 5 Ncosθ 5 Nsenθ 0 N N Luego pr eliminr el término N e N. cos θ senθcos θ sen θ 8senθcos θ 0 cos θ sen θ senθcos θ 0 ( θ sen θ) cos senθcos θ 0 cos θ 7 senθcos θ 0 cos θ 7senθ 0 Dividiendo cos θ 7 tgθ 0 tgθ 7 Luego de l figur cosθ 7 5 Además senθ cosθ senθ 5 cosθ cosθ cosθ 5 6

36 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA ( ) ( ) sen 5 cos 5 cos sen sen cos En θ θ θ θ θ θ N N N N N N N N N N N N N N Simplificr l ecución por trnsformción de coordends. Solución ( ) ( ) 0 k 0h 0hk k 0h k 0 0k h 0 k 0h 0 k k 0hk 0h 0k 0 h h en k h Luego N N N N N N N N N N N N N N N N " # # " k 0 ; h 0 0h k 0 0 0k h debe cumplirse que ; e los términos Pr eliminr N N

37 Cpítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS En N N N N 0N N 0 0N N 0... Pero N NN cosθ NN senθ N NN senθ NN cosθ... $ $ en NN cos θ NN NN senθcosθ NN NN NN senθcosθ NN cos θ 0 NN sen θ NN sen senθcosθ θ 0 NN NN cos θ 0 NN NN senθ 0 NN ( cos θ sen θ 0senθcosθ) NN ( sen θ cos θ 0senθcosθ) NN ( senθcosθ senθcosθ 0cos θ 0sen θ) ( 0senθcosθ) NN ( 0senθcosθ) ( 0cos θ 0sen θ) NNNN 0 senθcosθ 0 NN... NN NN 0 Ahorpr eliminr el término NNNN 0cos θ 0sen θ 0 ( θ sen θ) 0 cos 0 cos θ sen θ 0 cosθ 0 8

38 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Además senθ cos θ cos θ cosθ Reemplzndo en 0 0 NN 0 NN ( 5) NN ( 5) NN 0 NN 6NN 0 Dividiendo NN NN 6 0 Un punto P se mueve de tl modo que l diferenci de sus distncis los dos puntos A (,) B (,) es siempre igul. Hllr l ecución del lugr geométrico simplificrl por trnsformción de coordends. Solución Se P (,) el punto que se mueve. De l condición AP BP ( ) ( ) ( ) ( ) 9

39 Cpítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Efectundo operciones se tiene " Pero N h N k # Luego ( 0 8k) N ( 8h) N 8N N 0h k 8h k 9 0 Ahor pr eliminr los términos N e N 0 8k 0 8h 0 h 5 ; k # en 5 5 8N N N N N N 9 0 0

40 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 6 LA PARÁBOLA Obtener l ecución de l prábol con vértice en el origen cu directriz es. Solución Del gráfico, se tiene p p En 8

41 Cpítulo 6. LA PARÁBOLA Hllr l ecución de l prábol cu directriz es l rect 6 su foco es F ( 0,0). Solución Del gráfico ( k) p( h) Como V (,0) p FV En ( ) 6 Clculr el rdio focl del punto M de l prábol 0 si l bscis del punto M es igul 7. Solución 0 De de donde F M ( 7, ) p 0 p 5 ( 5,0) En 0 M () 7 ( 7, ± 0) ± 0 Por lo tnto FM ( 0 0) ( 7 5) FM

42 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Dd l ecución de l prábol 8 7. Hllr el vértice, eje, foco directriz. Trzr l curv. Solución 8 7 Completndo cudrdos ( ) 8 8 ( ) 8( ) Luego, ls coordends del vértice de l prábol V ( h,k) (,) Seguidmente p 8 p Ahor, ls coordends del foco F ( h,k p) (, ) Ecución del eje Ecución de l directriz

43 Cpítulo 6. LA PARÁBOLA Encontrr l ecución de l prábol, cuo vértice es el punto V (,) el foco es F (,). Solución ( k) p( h) Ddo que se conoce el vértice el foco p Reemplzndo los vlores en VF ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 Obtener l ecución de l prábol con foco en F (,) cu ecución de l directriz es 6. Solución Del gráfico FP Distnci de P ( definición) ( ) ( ) 6 Efectundo operciones 6 6 0

44 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Determinr l longitud del segmento determindo por l ecución con l rect de ecución. Solución, Tenemos " De P " obtenemoslos puntos P intersección de ls dos gráfics P P (,) ( 9,6) Luego P P ( 9 ) ( 6 ) 6 6 " P P 5 8, 9 5

45 Cpítulo 6. LA PARÁBOLA Determinr l ecución de un circunferenci que tiene por diámetro l cuerd norml de l prábol, cu ecución es 6. Solución 6 se deduce que el vértice V ( h,k) ( 0,0) Tmbien é De CN r Siendo C F Por lo tnto FP C F ( ) ( h p,k) (,0) Luego,l cuerd norml C " C P P PF 8 " (,0) 6 ( ldo recto) " (,8 ) (, 8) r 6 centro de l circunferenci " C Un rect que ps por el foco de un prábol con el vértice en el origen con el eje horizontl, cort l directriz en el punto A (,8 ). Clculr ls coordends de los puntos de intersección de l prábol l rect. Solución su vértice V p ( h,k ) ( 0,0 ) 6

46 Además " en p PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA " $ A F (,8) ( h p,k) (,0) m m AF 0 m ( ) De $ # ( ) P " 0 0 " P P # (,) (, ) 7

47 Cpítulo 6. LA PARÁBOLA Ls dos torres de suspensión de un puente colgnte distn entre sí 00 m. se etienden 80 m por encim de l clzd. Si el cble (que tiene l form de un prábol) es tngente l clzd en el centro del puente, determinr l ltur del cble por encim de l pist 50 m tmbién 00 m del centro del puente. (Asumir que l pist es horizontl). Solución Del gráfico, se observ que p P ( 50,80) p ( 80) " p 75 5 En Luego 75 5 P ( 50,) ,88 m. 9 8 P ( 00, ) ,55 m. 9

48 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 7 LA ELIPSE Hllr l ecución de l elipse cu longitud de l cuerd norml (ldo recto) es 5 vértices ( ± 0,0). Solución Sbemos õ b Luego del enuncido CN b 5 " b Por lo tnto en õ

49 Cpítulo 7. LA ELIPSE Hllr l ecución de l elipse, cuo eje es coincidente con, (,5) C, F (,8) ; sum de ls distncis focles de un punto de l elipse es. Solución Del enuncido deducimos õ ( h) ( k) b Pero " 6 " 6 Luego c CF " c 9 Sbemos b c " b " b 7 Por lo tnto õ ( ) ( 5)

50 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Reducir l ecución l form ordinri de l ecución de un elipse determinr ls coordends del centro, vértices focos, ls longitudes de los ejes mor menor, l cuerd norml; l ecentricidd. Solución Completndo cudrdos pr e V ( 6 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De l ecución tenemos C ( h ±,k) ( ±, ) 9 6 ( h,k) (, ) Luego los vértices de l elipse se obtienen de õ V V ( 5, ) (, ) Tmbién ± b b ± b c c c c ± Eje mor Eje menor b Cuerd Norml CN b Ecentricidd e c < 5

51 Cpítulo 7. LA ELIPSE Por el foco de l elipse 5 5 se h trzdo un perpendiculr su eje mor. Determinr ls distncis de los puntos de intersección de est perpendiculr con l elipse hst los focos. Solución Tenemos l ecución de l elipse õ 5 5 Sbemos b c c b c ± 5 5 ± 0 Luego, los focos de l elipse son F ( ± c,0) F ( ± 0,0) L ecución de l perpendiculr trzd en el primer foco es 0 " 5

52 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA De De quí " C (,) ( 0,) 9 ± Por lo tnto F C ( 0 0 ) ( 0 ) FC ( 0 0 ) ( 0 ) 7 Búsquese l ecución de l elipse que teng como centro C (,) se tngente los dos ejes de coordends. Solución Se õ ( h) ( k) b Pr este cso Distnci de C l eje X 6 b Distnci de C l eje Y b b õ ( ) ( ) 6 5

53 Cpítulo 7. LA ELIPSE Hllr l ecución cnónic de l elipse, si uno de los vértices está en V ( 5,0) ps por el punto (,) Solución P. õ b Ddo que V ( 5,0) 5 5 Luego õ 5 b Como P (,) õ 5 b b 75 7 Por lo tnto õ õ 7 75 L bse de un uditorio es de form elíptic, tiene 0 m. de longitud 6 m de ncho. Si ce un guj sobre un foco el ruido que produce se escuch clrmente cerc del otro foco. A qué distnci está un foco del otro foco? Solución Segúnlos dtosdel del enuncido 0 b 8 b 00 6 De donde b c c 6 c ± 6 Por lo lo tnto F F c 5

54 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Usndo l definición de elipse, obtener l ecución de l elipse con focos en F (,) ( 5,) F eje mor. Solución Se P (,) el punto que se mueve. Por l definición de elipse, se tiene que F P FP De donde ( ) ( ) ( 5) ( ) Efectundo operciones õ

55 Cpítulo 7. LA ELIPSE Demostrr que pr todo elipse que teng su centro en el origen, l distnci de culquier de los etremos del eje menor culquier de los focos es l mitd de l longitud del eje mor. Solución Se õ b l elipse con vértice en el origen. Probr que BF V V Luego, de l figur BF c b pero, sbemos por definición que c b Por lo tnto BF 56

56 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un punto se mueve de tl modo que l sum de ls distncis de los puntos A (,0) B (,6) geométrico de P. es 8. Hllr l ecución del lugr Solución Se P (,) el punto que se mueve. Por l condición del problem AP BP 8 De donde ( ) ( ) ( 6) 8 Efectundo operciones, se tiene õ õ ( ) ( ) 7 6 L órbit que describe l Tierr lrededor del Sol es proimdmente un elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mor de l órbit elíptic es de km. l ecentricidd es de 0, 07 proimdmente. Hllr l distnci máim mínim de l Tierr l Sol. Solución De los dtos según el gráfico, tenemos que Del vlor e c proimdo de l ecentricidd de l elipse 0,07 c 0,07 0, c

57 Cpítulo 7. LA ELIPSE Luego Máimo c c 5550 Minimo c c

58 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 8 LA HIPÉRBOLA Hllr l ecución de l hipérbol que ps por el punto A (,), tiene su centro en el origen, su eje trnsverso está sobre el eje Y, un de sus síntots es l rect 7 0. Solución Sen Si Luego H Pero A síntots de l hipérbol 7 0 ( 7)( 7) (,) H k 7 0 H H 7 k 6 8 k k 8. En H 7 8 H

59 Cpítulo 8. LA HIPÉRBOLA Hllr l ecución de l hipérbol, con vértices en V ( 0, ± 7) Solución e. De los dtos se deduce Si V ( 0, ± 7) ( 0, ± ) H b ± 7 Además e c c c 78 9 Luego Por lo tnto 78 b c 9 9 H 9 9 b 9 H 9 7 Dd l ecución de l hipérbol, hllr ls coordends de los vértices focos, ls longitudes de los ejes trnsverso conjugdo, l ecentricidd l longitud de l cuerd norml (ldo recto). Solución Sbemos H De donde ± b c b 5 c ± 5 H b ± Vértices V Focos F ( ±,0) ( ±,0) ( ± c,0) ( ± 5,0) 60 Ecentricidd e c e 5

60 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cuerd Norml CN b Eje Trnsverso Eje Conjugdo b Encontrr l ecución de l hipérbol de focos F (,) F ( 5,) un vértice en V ( 0,). Solución 6

61 Cpítulo 8. LA HIPÉRBOLA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 b k h lo tnto Por 5 b b 9 b c CV Ahor, C k h h,k C 9 c c 6 c F F Sbemos H H Determinr l ecución de l hipérbol, sbiendo que sus focos son los puntos ( ), F ( ), F su ecentricidd es igul. Solución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 9 b h k lo tnto Por 7 b 9 9 c b Sbemos que 9 c e Además CF F C c Luego, C k h h,k C H H

62 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Hllr l ecución de l hipérbol, cuos focos están en los vértices de l elipse Y ls directrices psn por los focos de est elipse. Solución En l elipse õ ± 0 b 6 b ± 8 b c c b c ± 6 De donde F ( ± c,0) ( ± 6,0) En l hipérbol H b Por condición del problem, obtenemos el vlor de prtir del vlor de en l elipse. c ± 0 c 00 c en l hipérbol 6

63 Cpítulo 8. LA HIPÉRBOLA L ecución de l directriz de l hipérbol ± c c ± 0 ± e Por condición del problem c ; donde c es un vlor obtenido en l elipse. Luego en 60 Seguido b c b b 0 Por lo tnto H b H

64 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Dd l ecución de l hipérbol ( ) 6 8, encontrr ls coordends del centro, vértices focos; l ecentricidd; ls ecuciones de ls directrices síntots; l longitud de l cuerd norml (ldo recto). Solución Si H ( ) se deduce que 6 8 C ( h,k) (,0) Además 6 ± b 8 b ± 8 c b 6 8 c ± Vértice s Focos V F ( h ±,k) ( ±,0) ( h ± c,k) ( ±,0) V V F F ( 8,0 ) ( 0,0 ) ( 6,0 ) ( 8,0 ) Ecuciones de ls directrices h ± e ± 6 8 Ecuciones de ls síntots ; en 8 ( ) [ ( ) ] ( ) 8 k [ ] ( ) ( )

65 Cpítulo 8. LA HIPÉRBOLA Cuerd Norml CN b

66 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Hllr l ecución de l hipérbol que ps por los puntos A (, ) B ( 7,6) eje X. Solución, tiene su centro en el origen el eje trnsverso coincide con el H b A (, ) H 9 b B ( 7,6) H 9 6 b " De " ; b 6 5 Luego H 6 5 H 5 6 Un observdor estciondo en el punto P oe el estmpido de un rifle el golpe de l bl sobre el objetivo en el mismo instnte. Demostrr que el lugr geométrico de P es un hipérbol. Solución Sen Vb Vs Velocidd de l bl Velocidd del sonido Además e v t t e v 67

67 Cpítulo 8. LA HIPÉRBOLA Por condición del problem RP V s BR V b BP V s De RP V s BP V s RP BP V BR V s b BR V b k RP BP k ( Definición de hipérbol ) LQQD 68

68 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 9 CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trzr l curv potencil, cu ecución es. Solución ± ± ; 0 Cudro de vlores ± ±.8 ±

69 Cpítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trzr l curv logrítmic, cu ecución es Solución log0 log0 ; > 0 Cudro de vlores

70 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Trzr l curv eponencil, cu ecución es e Solución e ; Cudro de vlores ú

71 Cpítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trzr l curv, cu ecución es cos. Solución Cudro de vlores 0 π π π π 5π π L le de Bole - Mriotte estblece que un tempertur constnte de presión p el volumen v de un gs stisfcen l ecución p v c, pr lgún número rel fijo c. Un cierto gs por debjo de un presión de 0 librs por pulgd cudrd tiene un volumen de 00 pulgds cúbics. Hllr c de l ecución p v c Solución p v c c 0 00 c 6000 Luego p v 6000 v 6000 p ; p 0 7

72 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cudro de vlores

73 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo 0 0 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS Pr qué vlor de h estrá el punto P ( h, ) por A (, ) B (,7)? Rpt. en l rect determind Demostrr que el triángulo cuos vértices son A ( 0,5), (,) ( 6, 5) C es rectángulo. Hllr el áre. Rpt. 9 u B Si A ( 5,) es el punto medio del segmento BC B ( 7, ) Cuáles son ls coordends de C? Rpt. C ( 7,7). Discutir grficr ls curvs, cus ecuciones son b ) 0 ) ( ) 0 75

74 Cpítulo 0. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS Hllr l ecución del lugr geométrico de un punto cu distnci de A ( 6,0) es dos veces su distnci de B ( 6,0). Trzr l curv. Rpt Hllr l ecución de l rect que ps por P ( 5,) su X-interceptor es 0. Rpt Hllr l ecución de l rect que ps por el punto P ( 7,) form un ángulo de 0º con l prte positiv del eje X. Rpt. 7 0 Hllr ls ecuciones de ls rects que psn por el punto de intersección de ls rects 0 0, tl que formn con el primer cudrnte un triángulo de áre Rpt. 5 u. 0 0, Los puntos X (, ), Y (,) Z (,5 ) son los vértices de un triángulo. Hllr l ecución de l rect perpendiculr l ldo XZ que ps por Y. Rpt Hllr l ecución de l circunferenci tngente mbos ejes, su centro está en el curto cudrnte. Rpt. ( ) ( ) 76

75 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA L ecución de l circunferenci es 0 8. Hllr l ecución de l rect tngente l circunferenci en el punto A (,7). Rpt. 7 0 Hllr l ecución de l circunferenci que ps por ls intersecciones de ls circunferencis 0 0 por el punto P (,0 ). Rpt. 0 0 Por un trslción de ejes, simplificr l ecución 7 0 Rpt. 6N 8N 5 L prábol A ( 8,8) p tiene un etremo de l cuerd focl en el punto. Hllr ls coordends del otro etremo. Rpt., Un cble suspendido se crg de tl mner que tom l form de un prábol. Los etremos tienen un seprción de 00 pies tienen un ltur de 00 pies del centro. Hllr l ltur del cble 50 pies desde el centro. Rpt. 6.5 pies 77

76 Cpítulo 0. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS Hllr l ecución de l elipse con focos en F ( 0,7) F ( 0,) vértice en V ( 0,6). Rpt. 6 ( 9 ) 69, un Hllr l ecución de l elipse con centro en el origen, eje menor sobre el eje Y, e 5, cuerd norml (ldo recto) 8 5. Rpt. 6 Hllr l ecución de l hipérbol con centro en el origen, eje principl (rel) sobre el eje X; ps por los puntos S (,) ( 9,5 ) T. Rpt. 6 Hllr l ecución de l hipérbol con centro en C (,8), con vértice en V (,8), e. Rpt. ( ) ( 8) 6 8 Trzr l curv, cu ecución es e 78