a) Falsa. Los números decimales no periódicos no se pueden poner como fracción.

Transcripción

1 Bloque I. Aritmétic álgebr Autoevlución Págin 00 Eplic si es verdder o fls cd un de ests frses: Todo número deciml se puede epresr como frcción. b L sum de dos números irrcionles es irrcionl. c H números irrcionles que no son reles. d El producto de dos números irrcionles puede ser un número rcionl. Fls. Los números decimles no periódicos no se pueden poner como frcción. b Fls: π (π 0 c Fls. Lo snúmeros reles contienen los números rcionles tmbién los irrcionles. d Verdder: Ddos los intervlos A [, 6 B (, ], epres como intervlo A B A B. A B (, 6; A B [, ] Efectú ls siguientes operciones simplific: 6 b ( ( 6 c d b c d 6 ( ( 6 ( Epres el resultdo de l siguiente operción con tres cifrs significtivs d un cot del error bsoluto otr del error reltivo cometido:,70 0 ( 0 (, 0 : (, 0 7 Error bsoluto < 0, Error reltivo < 0 7, 0 0, 0

2 Bloque I. Aritmétic álgebr Si log k, clcul el vlor de ests epresiones: log k b log k c log k 00 log k log l o k (,, 9 b log log l o ( k lo log k 0,, c log k log l o k log 00,, 00 6 Clcul plicndo l definición de logritmo: log b ln log c m b ln e/ / e e 7 Escribe los vlores que puede tomr pr que sen válids ls siguientes epresiones: b < Soluciones: ; ; ; b 7 Soluciones: ; 7 Escribe el curto término del desrrollo de e o. El curto término del desrrollo de e o! 0 ( f pe o c m 67c 7 m 9!! es: 7

3 Bloque I. Aritmétic álgebr 9 Clcul el término generl de cd un de ests sucesiones; hll después l sum de los 0 primeros términos, si es posible, clcul l sum de sus infinitos términos:,,,, 7 b,,, 0, 7 c, 6,,, d, 6,,, 9 Progresión ritmétic de diferenci d. n (n c m ( 9 0 c m m c m S 0 0 b No es progresión. b n (n n Usmos l fórmul de l sum de los cudrdos de los n primeros números nturles. Pr l sum que nos piden, tenemos que sumr desde hst (n. Pr eso, summos los cudrdos de los n primeros números nturles le restmos. S0 e ( 0 ( 0 ( 6 o S0 c c m m c Progresión geométric de rzón r. c ( n 9 ( n n n c c S d Progresión geométric de rzón r dn c m d0 c c m n S

4 Bloque I. Aritmétic álgebr 0 Clcul l sum de los doce primeros términos de un progresión ritmétic con. Epresmos ls condiciones medinte un sistem de ecuciones pr clculr el término generl de l sucesión: Z Z d d ] ] [ d [ d [ d,, 6] ] ] \ \ 6 n 6 (n ( ( 7 n S 7 S 6 6 Si l comienzo de cd ño ingresmos 00 en un bnco l % nul, cuánto dinero tendremos l finl del quinto ño?. er ño.º ño. er ño.º ño.º ño 00 00, , , , ,0 Cpitl El cpitl disponible l finl del.º ño es l sum de los primeros términos de un progresión geométric con 00,0 rzón r,0:, S r r , , 6, 9 r 0, Estudi el comportmiento de ls siguientes sucesiones pr términos vnzdos e indic su límite: n n d n b c d e n n b n c n n n n e n n n f n n ( n n n n n ; , 000 ; 000 0, lm ím n n 0 n 0 ;, n b 00,9 9 9; b lm ím n n 00 n n ;, n c 00 00, 0 ; c lm ím n n ; d n n n n ; e 000, 99 n n, 96 ; d 000, 997 lm ím n n 000 lm ím n n n

5 Bloque I. Aritmétic álgebr n ( n fn ; f n n n 000 0, 996; f00 0, 996 Los términos pres se cercn los impres, luego no tiene límite. Simplific l epresión del término generl de l siguiente sucesión e indic su límite: n n n n n n Sum de,,,, n es S n n n n n n n n n nn n lím n n lm n n Simplific: b ( ( ( ( ( ( ( ( ( b Resuelve ls siguientes ecuciones: ( 7 ( b c d ( 0 Soluciones: 0, b Hcemos el cmbio de vrible. ± ± / Soluciones:, c Solución: ( ( ( ; d ( ( ( ( Soluciones: 0; ; ; no válid

6 Bloque I. Aritmétic álgebr 6 Resuelve los siguientes sistems: * 0 b > ( ( Soluciones: (0, (, > > b 9 0 Soluciones: (, ] 7 Oper simplific: e : o ( ( ( ( e : o ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Resuelve: 7 b 6 c / d 6 0 e log ( log f ln ln 7 7 ( ( ( ( b Solución: ( 6 ( (( 6 ( 6 9 ( 6 Solución: 9 0 ( ( c Soluciones:, 6

7 Bloque I. Aritmétic álgebr d ( 6 0 t t 6 0 cmbio t ( t 0 t Solución: e log ( l og log Solución: 9 f ln ln ln ln e ln ln e ln Solución: e 9 Resuelve los siguientes sistems: e e ( ( e 0 0 no válid; e * log ( l og b * z c * z d z 0 * z z 9z 7 0 log ( l og Solución: 9, b * Hcemos el siguiente cmbio de vrible: t ; z c d t z z t * *, t z z t t t t t no válid t z t 7 Solución:, _ z b (.ª z ` z z 0 b Solución:,, z _ z 7 b (.ª z ` 9z z 0 b (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª _ z b z ` 7 7 b _ z 7 b 7 z 9 ` z b z L últim ecución es imposible, luego no tiene solución. (.ª (.ª (.ª (.ª _ z 7 b 7 z 9 ` 0 b 7

8 Bloque I. Aritmétic álgebr 0 Resuelve: 0 b ( ( ( ( 0 (@, (, (, ( ( ( ( ( ( Solución: [, ] b 6 0 El numerdor nunc vle cero. (@, (, 6 6 Solución: Los intervlos son biertos porque el denomindor no puede ser 0. Un pstelerí vendió 7 trts. El número de ls de chocolte duplicó l de trts de nt entre mbs ecedieron en ls vents de trts de queso. Cuánts se vendieron de cd tipo? n.º de trts de chocolte n.º de trts de nt z n.º de trts de queso Epresmos ls condiciones medinte ls siguientes ecuciones: Z z 7 ] [ 0,, z ] z \ Vendió 0 trts de chocolte, trts de nt trts de queso.

9 Bloque II. Trigonometrí números complejos Autoevlución Págin 66 Hll el ldo de un pentágono regulr inscrito en un circunferenci de rdio cm. El ángulo centrl del pentágono regulr es Si l represent l ldo: sen 6 l/ l 6 sen 6 9, cm Clcul los ldos los ángulos del triángulo ABC. cos 0 AB 67, cm AB cos 0 B tg 0 BD BD tg 0, cm 7 cm DC, 7 DC 7, 60, cm AC 6, 0 90, cm sen C^ BD BC, 0, 7 A 0 cm D C C^ 0 ' 9'' B^ ' 9'' 99 6' 0'' Un globo erostático está sujeto l suelo en dos puntos que distn entre sí 0 m. El cble más corto mide 7 m el más lrgo form un ángulo de con el suelo. Hll l ltur l que se encuentr el globo l longitud del cble más lrgo. 7 m 0 m Llmemos h l ltur del globo l distnci desde l bse de es ltur hst el cble más corto. tg h h tg ( 0 h 070, ( h, 07, 0 h 7 * (, 0, 7 7, 9, 9 6, 7 0, que d lugr un solución válid, 9,7 m. L ltur del globo es h, 0,7 9,7,9 m L longitud del cble más lrgo es ( 0 9, 7 9,, 6 m

10 Bloque II. Trigonometrí números complejos % En un triángulo ABC conocemos AC m, BC m ABC. Clcul los demás elementos del triángulo. Podemos segurr que AB > AC? B A C sen sen A^ sen 0, A^ 9 ' 7'' senwa C^ 0 ( 9 ' 7'' 7 ' '' AB AB senc X, 7 m sen senc X sen Sí podemos segurrlo porque los ángulos opuestos respectivos cumplen que C^ > B^. Justific si eiste lgún ángulo α tl que tg α sen α. tg sen cos sen cos sen cos c m c m 6 No se stisfce l identidd fundmentl, luego no eiste tl ángulo. 6 Ls digonles de un prlelogrmo miden 6 cm cm formn un ángulo de. Clcul el perímetro el áre de dicho prlelogrmo. A h O cm cm B Utilizmos el teorem del coseno en los triángulos BOC AOB. D C BC AB cos BC 09, cm cos ( 0 AB 0, cm Perímetro (0,9 0, 6, cm Pr hllr el áre, necesitmos conocer un ángulo del prlelogrmo. Hllmos el ángulo A^ del triángulo AOB. 0, ' '' senbao sen senbao \ sen \ BAO 0 7 \ 0, En el triángulo ACD, hllmos l ltur. \ BAO \ ACD sen 0 ' 7'' h h, cm 6,, Áre 0, cm

11 Bloque II. Trigonometrí números complejos 7 Busc, en cd cso, un ángulo del primer cudrnte que teng un rzón trigonométric igul que el ángulo ddo di cuál es es rzón. 97 b c 00 d π cos 97 cos 6 b 60 7 ; 7 0 ; sen sen c ; ; tg (00 tg 0 d π π π ; π π π ; sen π sen π Si tg α cos α > 0, hll: cos α b sen b π l c sen d tg b π l tg cos > 0, está en el primer cudrnte. tg cos cos cos cos sen tg sen sen cos / cos cos sen e o e o b π sen b l cos ( / c sen cos 0 tg π tg d tg bπ l tg π tg 9 Asoci cd gráfic un de ests fórmuls: tg b sen c cos b π l d sen b π l I II π π π π π π π III IV π π π π π π π IV b III c I d II

12 Bloque II. Trigonometrí números complejos 0 Demuestr ls siguientes identiddes: cos sen cos b tg cos sen tg cos sen ( cos sen ( cos sen cos sen cos ( cos cos b tg cos sen tg cos sen tg tgcos sen tg sen cos cos sen tg Resuelve ls ecuciones siguientes: sen cos b sen cos 0 sen cos ( sen ( cos sen cos cos ± cos 6 cos 0 cos 0 cos cos / cos 0 60 k; k Vle. cos 6 ' '' 60 k, k 7' '' Novle. Vle. Hemos comprobdo ls soluciones en l ecución dd. b sen cos 0 cos cos sen 0 cos cos ( cos 0 cos cos 0 cos ( cos 0 cos k; k * cos 0 60 k Ddo el número complejo z 60, epres en form polr el conjugdo, el opuesto el inverso. z z c m c m z Simplific: 0 7 i i i 0 7 i i i i ; i i i i i i ( i i i i0 i7 ( i i ( i( i i i i i i i i i ( i( i ( ( i Escribe un ecución de segundo grdo cus soluciones sen i i. [ ( i][ ( i] 0 0

13 Bloque II. Trigonometrí números complejos Un cudrdo cuo centro es el origen de coordends tiene un vértice en el fijo del número complejo i. Determin los otros vértices l medid del ldo del cudrdo. A i Hcemos giros de 90. Pr ello, multiplicmos por 90 : B 90 A i 60 B C D D AB AB u C 6 Clcul b pr que se verifique est iguldd: i b i i i b i ( i ( b i( i 0i b bi i i i b 0i b ( b i *, b 7 0 b 7 Resuelve l ecución z 0. z 0 z z ± ± i z i; z i Represent gráficmente: Re (z b z < c z z i b c Si z bi z z bi ( bi bi z z i Por tnto: bi i b

14 Bloque III. Geometrí Autoevlución Págin Ddos los vectores uc c, m v (0,, clcul: u b u v c u : ( v uc c, m v (0, u c m ( b u v c c, m (0, (, (0, 6 (, c u : ( v ( (u v c 0 ( m ( ( m Determin el vlor de k pr que los vectores (, b(6, k sen ortogonles. b ï b 0 b (, (6, k 6 k 0 k Ddos los vectores u(, 0 v (, : Clcul pro v u. b Clcul el ángulo que formn u v. c D ls coordends del vector w (, 6 en l bse B (u, v. v ( u v pro u v v cos u v u v u \ b cos ( u, v u v ( \ u, v rc cos e o 6 ' '' u v k k s c w ku s v (, 6 k (, 0 s (, ( k s, s, k s 6 w u v Determin el vlor de pr que los puntos A(0,, B (, C (, estén linedos. Pr que A, B C estén linedos, AB BC deben tener l mism dirección, es decir, deben ser proporcionles. AB (, BC (, Hll ls coordends del vértice D del prlelogrmo ABCD, donde A(,, B (, C (,. D (, El vector DC AB en un prlelogrmo. AB (, ; DC (, * D (,

15 Bloque III. Geometrí 6 Hll en ls forms prmétric e implícit l ecución de l rect que ps por P (0, es perpendiculr l rect s :. s :. Vector dirección de s : v (, Un vector perpendiculr v es u(,. Buscmos un rect r que ps por Ecuciones prmétrics: t * t t t 0 t Ecución implícit: 0 P(0, tiene como vector dirección u(, : 7 Se considern ls rects r : 0 s : k 0. Determin k en cd uno de los siguientes csos: r s son prlels. b r s se cortn en el punto P (,. c r s son perpendiculres. r : 0 s : k 0 r s son prlels si sus vectores de dirección u(, v (k,, lo son: v t u (k, t (, k t t t, k b Comprobmos que P(, es un punto de r 0 Buscmos hor el vlor de k pr el que P tmbién pertenece s : k ( 0 k 0 k c Vectores de dirección de ls rects: d r (,, r d s (, k Pr que sen perpendiculres, el producto esclr de sus vectores de dirección tiene que ser cero. d r d s (, (, k k 0 k Hll l distnci entre ls rects r s. r : s : t t Vectores de dirección de ls rects: d r (,, d s (,, luego son prlels. Se P és, por ejemplo, P (0,. r : 0 dist ( r, s dist (P, r (

16 Bloque III. Geometrí 9 Obtén l epresión nlític del hz de rects l que pertenecen r : 0 s : 0. Hll l rect de ese hz que ps por P (,. Epresión nlític del hz: k ( t ( 0 Como l rect que buscmos h de psr por el punto (,, k ( t( 0 k k t 0 Culquier pr de vlores de k t que cumpln l iguldd nterior dn lugr l mism rect. Tommos, por ejemplo, k t. Así: ( ( es l rect del hz que ps por el punto (,. 0 Solo un de ests ecuciones corresponde un circunferenci. Justific cuál es determin su centro su rdio: C : C : C : 0 C : r 9 6 Circunferenci de centro O (, rdio r. C No es un circunferenci porque tiene término en. C : r < 0 No es circunferenci porque r < 0. Escribe l ecución de un elipse de centro (0, 0 focos en el eje de bsciss, sbiendo que su ecentricidd es igul / que uno de sus focos es F (, 0. L ecución debe ser de l form b b c F (, 0 ( c, 0 c ec c ec c 0 F (, 0 ( c, 0 b c b c c Por tnto, l ecución buscd es: 00 6 Sin resolver el sistem formdo por sus ecuciones, estudi l posición reltiv de l circunferenci de ecución C : ( ( l rect r : 0. Clculmos l distnci de l rect l centro de l circunferenci, C (, : dist ( r, C ( ( 0 Est distnci coincide con el rdio de l circunferenci. Por tnto, son tngentes. Determin ls coordends de un vector unitrio (, sbiendo que form un ángulo de 60 con el vector u(, 0. u u cos 60 ± Eisten, por tnto, dos soluciones: e, o ' e, o

17 Bloque III. Geometrí Sen (, b(,. Epres como sum de dos vectores, uno con l mism dirección que b otro perpendiculr b. Los vectores prlelos b son de l form k (,, k é. Los vectores perpendiculres b son de l form s (,, s é. (, k (, s (, k k s s s, k k s Por tnto, (, 6 (, Hll el simétrico del punto A(0, 0 respecto l rect r : 0. Buscmos l ecución de l rect s que ps por A es perpendiculr r : s : 0 Punto de intersección de r s : 0 0 M (, El punto A' (, que buscmos es el simétrico de A respecto M: e 0 0, o (, A' (, s A(0, 0 A'(, M (, X r 6 Hll l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ls rects r : 0 s : form un ángulo de con l rect r. Hllmos el punto de intersección de r s : 0 Resolviendo el sistem obtenemos el punto P (,. L pendiente de r es. tg m m H dos soluciones: t : ( t' : ( m m m m m m m m

18 Bloque III. Geometrí 7 Hll los puntos de l rect 0 que distn uniddes de l rect 0. Los puntos de l rect 0 son de l form P (, 0, é. r : 0 dist ( P, r 0 H dos puntos que cumplen l condición pedid: P(, 0 P' (, 0. En el triángulo ABC de l figur, clcul: El ortocentro. b El áre del triángulo. A X B C Ortocentro: R ha h B h C, donde h A, h B h C son ls lturs del triángulo desde C,, respectivmente. A, B A(, B(, C (, Clculmos ls ecuciones de dos de ls lturs: h A BC (,0 0 ( 0, h A A(, é h : * * t t A h : A b AC (, b (, t t h B * hb: * B(, é h t B t 7 0 t h B : 7 0 Clculmos hor h A h B : R h A h B c, m b Áre del triángulo ABC BC AM, donde M h A r BC ldo BC. h : r A BC : h A h r BC (, M r BC r es l rect que contiene l BC (, 0 BC AM (0, AM Áre del triángulo ABC 6 u

19 Bloque III. Geometrí 9 Consider el triángulo formdo por l bisectriz del primer cudrnte, b, el eje de bsciss l rect r :. Obtén: L meditriz del ldo contenido en l rect r. b L bisectriz del ángulo que formn r el eje c L medin reltiv l ldo contenido en b. Ldo AB, eje de bsciss: 0 Ldo BC,, bisectriz del primer cudrnte: Ldo AC,, rect r : OX. b A n A C M AC m b B M BC A 6 7 r X Vértices: A *, 0 A (, 0 0 B C * 0, 0 B (0, 0 0 *, C (, L meditriz ps por M AC es perpendiculr AC (, M AC (, Luego m b : b Se X (, un punto genérico de l bisectriz, entonces cumple: Z ] ( 0 ] [ ] ( 0 \ L bisectriz del ángulo A es b A : ( 0 porque debe tener pendiente negtiv como se observ en el dibujo. c L medin ps por A M BC. M BC (, M BC A (, Luego n A : 6

20 Bloque III. Geometrí 0 Identific ls siguientes cónics, clcul sus elementos crcterísticos dibújls: 0 b 6 c 00 d ( ( Es un prábol. Foco F c, 0 m; rect directriz r : Vértice (0, 0 F b 6 Es un circunferenci. Centro (0, 0 Rdio r c 00 Es un elipse con los focos en el eje. b ; b ; Focos: F (0, F' (0, F F' Semieje mor: Semieje menor: Ecentricidd: ec c 09 0, d ( ( 6 9 Es un hipérbol. Centro: (, Semiejes: ; b, c c ec c, Z ] r : ( Asíntots: [ r' ] : ( \ Focos: F (6, F' (, O X F' F 7

21 Bloque III. Geometrí Hll l ecución de l prábol de vértice V(, ( directriz r :. Puesto que el vértice tiene que equidistr del foco de l directriz, h de ser F (,. Los puntos P (, de l prábol hn de cumplir: dist ( P, F dist ( P, d ( ( Elevmos l cudrdo mbos miembros: ( 6 9 ( ( ( L ecución de l prábol es ( (. Ddo un segmento AB de longitud, hll l ecución del lugr geométrico de los puntos P del plno que verificn: AP BP Tom como eje X l rect que contiene l segmento, como eje l meditriz de AB. Tommos como eje X l rect que contiene l segmento En este cso, será A(, 0, B (, 0. Se P (, un punto genérico del plno que verific: AP BP ( k ( k ( ( L ecución pedid es: 6 0. AB, como eje,, l medintriz de AB. A B X

22 Bloque IV. Análisis Autoevlución Págin Observ l gráfic de l función f ( prtir de ell responde: X Cuál es su dominio de definición? su recorrido? b Represent gráficmente: f ( ; f ( ; f ( c Represent l función invers de f (. Su dominio es el intervlo (, ]. Su recorrido es (, 0]. b L gráfic de f ( es l de f ( desplzd dos uniddes l izquierd. X L gráfic de f ( es l de f ( desplzd un unidd hci rrib. L gráfic de f ( es l simétric de f ( respecto del eje OX. X X c L gráfic de l función invers de f ( es simétric de l de f ( respecto l rect : X

23 Bloque IV. Análisis Represent ls funciones: b log (. Estudimos l prábol : 0, Cortes con los ejes 0 0 Vértice ( ( Su representción es: X X Así, los vlores positivos quedn igul, pr los negtivos tommos sus opuestos. b log ( Dom (, Hllmos lgunos puntos lm í " log ( Su gráfic es: 0 vemos que: X Un prque de trcciones está bierto l público entre ls 0 ls 0 hors. El número de visitntes viene ddo por l función N (t t 60t c, donde t es l hor de visit. Sbiendo que ls 7 h se lcnz el máimo de 00 visitntes, hll c represent l función. Como l gráfic de l función N (t es un prábol, el máimo se lcnz en su vértice, luego: N (t 0t 60t c ( Como ls 7 h el prque tiene 00 visitntes, se tiene que: c c 0 L función es N (t 0t 60t 0

24 Bloque IV. Análisis Pr representr l función clculmos N (0 N (0. El vértice estos dos puntos son suficientes pr construir l gráfic. N(t t Represent l función hll su función invers. c m Por tnto, se trt de un función eponencil con bse menor que. Su gráfic es como l de desplzd unidd hci l derech uniddes hci bjo. c m X Un poblción de insectos crece según l función 0, e 0, ( tiempo, en dís; número de insectos, en miles. Cuál es l poblción inicil? b Clcul cuánto trd en llegr insectos. 0 0, e 0, Poblción inicil: 00 insectos. b 0 0 0, e 0, Trd entre 7 dís. 9 e 0, 0, ln 0, ln 7, 0, 6 A prtir de ls funciones f ( e ; g ( sen ; h(, hemos obtenido, por composición, ls funciones: p ( sen ; q ( e sen ; r ( e Eplic el procedimiento seguido. p ( sen p ( g [h(] p g h q ( e sen q ( f [g (] q f g r ( e r ( h [f (] r h f

25 Bloque IV. Análisis 7 Clcul los límites siguientes: lm í " b lm í e " c lm í " lm í 0 porque el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. " b lm í e " lm í " e e 0 c lm í " lm í " c0 m Indeterminción. 0 ( lm í lm í " ( ( " 0 En l función: b si < f ( * si 9 si > Clcul b pr que teng límite en. b Después de hllr b, eplic si f es continu en. b si < f ( * si 9 si > Pr que teng límite en, debe cumplirse: lm í " lm í f ( b 6 b 6 b b lm í f ( 9 b Pr que se continu en, debe ser lm í f ( f (. lm í f ( " f ( " " Como f ( lm í f (, f no es continu en. f ( lm í f ( " 9 Prueb, utilizndo l definición, que l función derivd de f ( f ( h f ( f '( lm í h " 0 h f ( ( h f ( h f ( h f ( h h f ( h f ( h : h h f '( lm í h " 0 es f ' (.

26 Bloque IV. Análisis 0 Hll l rect tngente l curv que es prlel l rect 0. Pendiente de 0: m El vlor de l derivd en el punto de tngenci debe ser igul. f ( f' ( f( Punto de tngenci: P (, 6 6 Ecución de l rect tngente buscd: 6 ( 9 Hll los puntos singulres de f (. Con ud de ls rms infinits, di si son máimos o mínimos represent l función. f ( f ' ( 6 f ' ( ( 0 Los puntos singulres son (0,, (, (,. 0 f( 0 f( 6 f( 6 Rms infinits: * lm í ( lm í ( Máimos: (, (, Mínimo: (0, 0 X Hll l función derivd de ls siguientes funciones: f ( tg b f ( ln c f ( rc tg d f ( e π e f ( f ' ( c f ' ( e f ' ( rc sen tg tg f f ( g f ( ln ( e b f ' ( d f ' ( 0 f f '( g f '( c e m e h f '( ln ln 6 ( h f ( ln

27 Bloque IV. Análisis Determin los intervlos de crecimiento de decrecimiento de ls funciones siguientes: b f ( f '( ; 0 Estudimos el signo de f ' pr sber dónde crece dónde decrece l función: f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 f crece en (, (,. f decrece en (,. b f ( f '( f '( 0 0 No tiene solución. f ' es positiv pr culquier vlor de. f es creciente en todo su dominio: Á {0}. En l función estudi: Ls síntots l posición de l curv con respecto ells. b Los máimos los mínimos reltivos. c Represent su gráfic. Asíntots verticles: 0, Z ] lm ] í " Posición de [ lm í ] " \ Posición de Asíntot horizontl: f( * f( lm í " ± f( > Posición: * f( < b Máimos mínimos: f ' ( ( ( 6 ( ( f ' ( / f (0 0 P (0, 0 es un mínimo reltivo. f c m Q c, m es un máimo reltivo. 6

28 Bloque IV. Análisis c X Cuál de ests funciones tiene síntot oblicu? b c Hálll sitú l curv con respecto ell. Tiene síntot oblicu L síntot es. curv>síntot Posición: * curv < síntot 6 Clcul b de modo que l función b teng un punto singulr en (,. Si b tiene un punto singulr en (,, l curv ps por ese punto su derivd es igul 0 en él. (, é (, f ( b b 7 f ' ( 0 en f ' ( 0 0 b 7 *, b 7 0 L función es 7. 7 Est es l gráfic de f ', l función derivd de f. X Di pr qué vlores de es f creciente pr cuáles f es decreciente. b Tiene f lgún punto de tngente horizontl? Justifíclo. f es creciente cundo f ' > 0 f crece si < decrece si >. b Tiene un punto de tngente horizontl en, porque en ese punto f ' 0. 7

29 Bloque IV. Análisis Estudi l continuidd l derivbilidd de est función: si f ( * si > Llmmos f ( f ( Ambs funciones son continus. f( Como coinciden, l función es continu en. f ( Por tnto, l función es continu en todo Á. f' ( f' ( Como son distintos, l función no es derivble en. f' ( f ' ( si < L función derivd es f '( * si > 9 Clcul el siguiente límite: ln ( e e lm í " 0 sen ln ( e e lm í " 0 sen c0 m lm í 0 " 0 e e cos e 0 De todos los rectángulos de 60 m de áre, cuáles son ls dimensiones del que tiene el menor perímetro? Supongmos que e son l bse l ltur del rectángulo, respectivmente. Como el áre es igul 60 m, se tiene que El perímetro del rectángulo es P 60 0 Buscmos el rectángulo de perímetro mínimo: P' L únic solución válid es. Comprobmos que el vlor obtenido es un mínimo de l función P : P' < 0 P' > 0 Por tnto, ls medids son m, 60 m el perímetro mínimo es m.