EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función

Transcripción

1 Unidd 3 Funciones Cudrátics EJERCICI0S PARA ENTRENARSE 4 Represent en los mismos ejes ls siguientes funciones: )) y y -. )) y 0,5 y - 0,5. c)) y 6 y - 6. Hcemos un tl de vlores y después representmos l función )) y y )) y 0,5 y -0,5-3 4,5-4, / - / / - / - 3 4,5-4,5

2 Unidd 3 Funciones Cudrátics c)) y 6 y Son simétrics respecto del eje horizontl, OX o de sciss. 8 Hll el número de puntos de corte con el eje que tienen ls siguientes práols: )) y - 3 )) y - c)) y d)) y e)) y 5 El que un función cudrátic y c, teng uno, dos o ningún punto de corte con el eje horizontl depende del discriminnte 4c, si es negtivo, no hy, si es cero hy un solo punto de corte y si es myor que cero, hrá dos. )) 4c () < 0, no hy puntos de corte con OX. )) 4c () , hy un punto de corte con OX c)) 4c (-) < 0, no hy puntos de corte con OX d)) 4c (7) 4 3 (-3) > 0, hy dos puntos de corte con OX e)) 4c (-5) > 0, hy dos puntos de corte con OX

3 Unidd 3 Funciones Cudrátics 3 0 Represent ls siguientes funciones: )) y )) y - 6 c)) y 3-5 d)) Y ( - 3) e)) y 3 ( - ) )) y Puntos de corte 8) (i) Con el eje verticl ( de ordends), f(0) -8, luego el punto de corte con OY es (0,- (ii) Con el eje horizontl ( de sciss) y 0, resolvemos l ecución: ± 4c 7 ± ( 7) 4 ( 8) los puntos de corte con OX son ( -,0) y ( 9,0). 7 ± 7 ± 9 Vértice y eje 7 7 Vértice( v, y v ), en donde v, y v (3,5) 3,5 7 3,5 8-30,5, luego el vértice tiene ls coordends ( 3,5, - 30,5). El eje es l rect 3,5 Tl y representción y )) y - 6 Puntos de corte

4 Unidd 3 Funciones Cudrátics 4 (i) Con el eje verticl ( de ordends), f(0) 0, luego el punto de corte con OY es (0,0) (ii) Con el eje horizontl ( de sciss) y 0, resolvemos l ecución: ( 6) los puntos de corte con OX son ( 0,0) y ( 6,0). Vértice y eje 6 Vértice( v, y v ), en donde v 3, y v (3) , luego el vértice tiene ls coordends ( 3, - 9). El eje es l rect 3 Tl y representción y c)) y 3 5 Puntos de corte (i) Con el eje verticl ( de ordends), f(0) -5, luego el punto de corte con OY es (0,-5) (ii) Con el eje horizontl ( de sciss) y 0, resolvemos l ecución: 3 ± 5 0 () 3 los puntos de corte con OX son ( -5/3,0) y (,0). 4 3 ( 5) ± 6 64 ± Vértice y eje

5 Unidd 3 Funciones Cudrátics 5 Vértice( v, y v ), en donde v, y v (-/3) -4, luego el vértice tiene ls 3 3 coordends ( -/3, - 4). El eje es l rect -/3. Tl y representción y d)) Y ( - 3) Puntos de corte (i) Con el eje verticl ( de ordends), f(0) 9, luego el punto de corte con OY es (0,9) (ii) Con el eje horizontl ( de sciss) y 0, resolvemos l ecución: 4 0 ± ( 0) 4 los puntos de corte con OX son ( /,0) y ( 9/,0) ± ± Vértice y eje 0 5 Vértice( v, y v ), en donde v, y v (5/) 4(5/) 0 (5/) 9-6, luego el 4 vértice tiene ls coordends ( 5/, - 6). El eje es l rect 5/ Tl y representción

6 Unidd 3 Funciones Cudrátics 6 y e)) y 3 ( - ) Puntos de corte (i) Con el eje verticl ( de ordends), f(0) -6, luego el punto de corte con OY es (0,-6) (ii) Con el eje horizontl ( de sciss) y 0, resolvemos l ecución: 3 ± ( 3) 4 3 ( 6) los puntos de corte con OX son ( -,0) y (,0). Vértice y eje 3 ± 8 3 ± Vértice( v, y v ), en donde coordends ( /, - 6,75). 3 v, y v (/) -6,75 luego el vértice tiene ls 3 El eje es l rect / Tl y representción y

7 Unidd 3 Funciones Cudrátics 7 Un función cudrátic tiene un epresión de l form y y ps por el punto (, 9). Clcul el vlor de. Si ps por el punto cumple l ecución, sustituimos por e y por 9 y despejmos : 9 ; 9 ; 8; 8/ 4. Se se que l función cudrátic de ecución y c ps por los puntos (, ), (0, 0) y ( -, ), Clcul, y c. Sustituimos los tres puntos y tenemos un sistem de tres ecuciones con tres incógnits: 0, c,) ( 0 c (0,0) c (,), c 0 3 Un práol tiene su vértice en el punto V(, ) Y ps por el punto (O, ). Hll su ecución. Al ser un práol su ecución será un función cudrátic de l form: y c Ls tres ecuciones son: ls que se otienen l sustituir los dos punto y l v. 0 0 c 0 c c (0,) c (,) en3ª ª v L ecución de l práol es: y 0 4 Hll los intervlos en los que l función y es positiv o negtiv. En qué puntos se nul? Pr ser en dónde es positiv, hemos de hllr primero en dónde se nul: ± ± ) (

8 Unidd 3 Funciones Cudrátics 8 Hy tres intervlos: ( -, ), (, 4) y ( 4, ). Estudimos el signo en cd intervlo: Como 6 8 ( ) ( 4), ( ) es positivo pr vlores > y ( 4) es positivo pr > 4, luego : En el intervlo( -, ) < 0 ( )( 4) 4 < ( ) ( ) ( ) En el intervlo (, 4) > 0 ( )( 4) 4 < ( ) ( ) ( ) > 0 En el intervlo(4, ) ( )( 4) 6 8 ( ) ( ) ( ) 4 > 0 Tmién podemos ser el signo sustituyendo en l función un número de cd intervlo: En el intervlo( -, ) ; > 0 En el intervlo (, 4) ; < 0 En el intervlo(4, ) ; >0 PROBLEMAS PARA APLICAR 5 Epres el áre del triángulo equilátero en función del ldo. Qué función se otiene? Represent dich función. se ltur AC DB h El áre del triángulo es A Tenemos que escriir l ltur en función de l longitud del ldo(), pr lo cul usmos el teorem de Pitágors plicdo l triángulo rectángulo BDC ( mitd del equilátero): DC DB h despejndo l ltur: BC h, luego el áre es: A uc 4

9 Unidd 3 Funciones Cudrátics 9 6 En un monte hy disperss csets de gurd; cd un está unid ls restntes por un cmino distinto. Epres el número de cminos en función de ls csets. Represent dich función. Cuál es su dominio? Es continu est función? Se trt de hllr ls digonles de un polígono de ldos: n(n ) d L representción es: ( ) Aunque el dominio mtemático es R, como no tiene sentido un número de cminos negtivo ( o nulo), su dominio es el de los números enteros positivos. No es continu y que sólo tiene sentido vlores enteros y positivos. 7 Estudi el áre de un triángulo isósceles rectángulo en función del cteto. Represent l función que otienes. se ltur AB BC A Representción:

10 Unidd 3 Funciones Cudrátics 0 8 Hll l función que epres el áre de los rectángulos que tienen un perímetro constnte e igul 0 uniddes. Represent dich función. Si el perímetro es 0 y llmmos l longitud de uno de los ldos, el otro medirá 5, luego el áre del rectángulo será: Áre se ltur ( 5 ) - 5, que representd: 9 Un piscin rectngulr tiene de dimensiones 40 metros por 5 metros y está roded por un pseo de nchur constnte. Si el áre del pseo es 504 m, encuentr l nchur del pseo. Como vemos en l figur, el áre del pseo áre del rectángulo EFGH áre del rectángulo ABCD ( 40 ) ( 5 ) , que iguldo l áre que se nos d, form un ecución de º grdo de donde despejmos : 30 ± ( 504) 30 ± 58 3, ,No válid Anchur del pseo 3,5 m.

11 Unidd 3 Funciones Cudrátics 0 Un trozo de lmre de 0 m de lrgo se cort en dos trozos, de mner que l sum de los cudrdos de ls longitudes de cd trozo es igul 0 m. Encuentr l longitud de cd trozo. (Primer trozo) (º trozo) 0 (0-) 0; ; ; , ecución que resolvemos: 0 ± ( 0) ± Ls longitudes de los trozos son 9 m y m. 9 Comproción: m De todos los rectángulos con perímetro igul 00 m, encuentr ls dimensiones del que teng áre máim. (Aclrción: Se trt de hllr el vértice de l función cudrátic que epres el áre.) Si el perímetro mide 00 m, l mitd 50 m es lo que miden l se y l ltur, si llmmos l se, l ltur es 50 y su áre (50 ) Vértice 5 m, como cí esperr el ( ) rectángulo de áre máim es el cudrdo de ldo l 5 m. Altur Bse 50 Áre Otr form es representr l función áre y ver su máimo:

12 Unidd 3 Funciones Cudrátics Un lrdor quiere construir un cerc rectngulr pr su perro; pr ello dispone de 0 m de tel metálic. Qué dimensiones hrá de tener l cerc pr conseguir que el áre se máim? Si puede provechr uno de los ldos de l cerc construyéndol lido del grje, qué dimensiones hrá de tener l cerc pr que el áre se máim? Áre se ltur (5 ) - 5. Pr hllr el máimo clculmos l del vértice: m ( ) H de ser un cudrdo de ldo.5 m Si en uno de los ldos no necesit poner tel metálic porque us l pred del grje, y llmmos l ldo menor ( ver diujo djunto), l se medirá 0 y el áre : Áre se ltur (0 ) - 0 Clculmos él vértice: m ( ) 4 L ltur será l mism pero l se h de medir m, el dole de l ltur, luego hor dee construir un rectángulo de 5 m.5 m pr tener áre máim. 3 Un vionet vuel entre Cádiz y Ceut. Su ltur de vuelo viene dd por l siguiente fórmul: h(t) 800 t 30t donde h(t) es l ltur de l vionet en metros los t minutos de her despegdo de Cádiz. Represent l gráfic pr determinr: )) Altur l que l vionet inici el descenso. )) Cuánto dur el vuelo? ) Se nos pide l h correspondiente l vértice: t v 0 min, luego h(0) ( 30) 60 m.

13 Unidd 3 Funciones Cudrátics 3 ) Ahor se trt de hllr cunto vle el tiempo pr el cul h 0 ( está en el suelo y no está volndo), pr lo cul sustituimos h por cero y resolvemos l ecución de º grdo incomplet resultnte: 800t 30t 0; t( t) 0 t t 0 30t 800 t min 6,7 min 3 Es decir se hll en el suelo, cundo despeg ( tiempo t 0) y cundo terriz después de 6,7 min. CUESTIONES PARA ACLARARSE 4 Escrie l ecución de un práol que teng el vértice en el punto V(4, -). Evidentemente hy infinits práols con vértice en un punto ddo. L ecución de un práol es l función cudrátic de l form: y c que tiene tres incógnits (,, c), pr l cul disponemos de dos ecuciones, lo que nos d un sistem comptile pero indetermindo: V(4, ) 6 4 c Si fijmos un prámetro, llmndo c λ, y resolvemos el sistem v en función de ese prámetro tendremos l infinits soluciones: 6 4 λ 6 4 λ λ λ 6 λ l solución es pues: λ λ,, c λ y dndo vlores l prámetro vmos oteniendo ls infinits 6 práols que tiene el vértice en V(4, -). Como se nos pide un: c λ 4,, - 8, que serí y Escrie l ecución de un práol que teng por eje de simetrí l rect - 3.

14 Unidd 3 Funciones Cudrátics 4 Hy tmién infinits práols, ls que cumplen por ejemplo y y c culquier, 6 De ls siguientes funciones, indic, sin hcer ningún cálculo, ls que están ierts hci rri y ls que están ierts hci jo: )) y 3( ) 3 )) y - ½ c)) y - ( 3) - d)) Y 3 En un práol de ecución y c, si < 0, está iert hci jo y si > 0, está iert hci rri. )) y 3( 4 4) 3 3 5,como 3 >0, práol. )) y - ½, - ½, práol. c)) y -( 6 9) , como - < 0, práol. d)) y 3, > 0, práol. 7 Dds ls funciones cudrátics de ecución: )) y 3 )) y ½ ( - ) c)) y 3 - d)) Y - 5 Ordénls de más menos ierts. L ertur depende inversmente del orden del coeficiente : / < < 3 <, luego el orden serí )) > )) > c)) > d)). 8 Sin necesidd de relizr ningún cálculo, indic cuál es el punto de corte con el eje de ordends de ls siguientes práols: )) y 3 )) y / ( - ) c)) y 3 - d)) Y - 5

15 Unidd 3 Funciones Cudrátics 5 El punto de corte con el eje verticl ( ordends) es 0 e y f(0): )) ( 0, f(0)) (0, 3). )) y ½ ( ) ½ 5/, el punto de corte es (0, 5/). c)) (0, - ). d)) (0, ). 9 De ls siguientes práols, indic cuál tiene el coeficiente de menor y cuál myor. L ertur es ) > ) luego el orden de los coeficientes de es el ) menor que el de ). 3 0 Diuj tres práols que corten en dos, uno o ningún punto l eje de sciss. y 5 6 cort l eje de sciss en dos, y lo cort en y en ninguno y que sus discriminntes son respectivmente > 0, 0, < 0.

16 Unidd 3 Funciones Cudrátics 6 3 Escrie l ecución de ls siguientes práols, siendo que el coeficiente de es l unidd, ) y c, como tenemos dos incógnits necesitmos dos ecuciones, V(-, -) luego 4 y como, 4 y sustituyendo ls coordends del vértice tenemos c, (-) c, c 5, l ecución de l práol ) es y 4 5. ) y c, como tenemos dos incógnits necesitmos dos ecuciones, V(3, -) luego 3-6 y como, -6 y sustituyendo ls coordends del vértice tenemos c, c, c 7, l ecución de l práol ) es y