UNIDAD 9 Aplicaciones de las derivadas

Transcripción

1 Pág. 1 de 6 1 El perímetro de l ventn del diujo mide 6 metros. Los dos ldos superiores formn entre sí un ángulo de 90. Clcul l longitud de los ldos y pr que el áre de l ventn se máim. L función que hy que mimizr es S = Áre triángulo + Áre rectángulo Por ser rectángulo el triángulo, = 8 = 8 = Por tnto: S = + 1 Perímetro = + + = 6 8 = Sustituyendo en 1, S = Pr que eist un máimo, h de ser S' = 0: S' = ; S' = 0 ï = = 1, Como S'', = ,57 1,1 < 0, los vlores hlldos corresponden un máimo. Clcul ls dimensiones de un triángulo isóceles de 60 cm de perímetro pr que su áre se máim. Áre = Si el áre es máim, su cudrdo tmién lo es. Por tnto, hemos de hllr el máimo de est función: 60 0 f = 0 [ 0 ] f = f' = = = f' = 0 ï = 0, = 0 L solución = 0 no es válid porque no pertenece l dominio de definición de l función. El máimo se otiene pr = 0 cm. El triángulo es equilátero.

2 Pág. de 6 Un cj con tp y se cudrd dee tener un volumen de 160 cm. El precio del mteril utilizdo pr l se es de euros por centímetro cudrdo, y el utilizdo pr ls crs lterles y l tp, de euros por centímetro cudrdo. Clcul ls dimensiones de l cj pr que resulte lo más económic posile. L función que hy que hcer mínim es el coste del mteril: C = + + 8y = 5 + 8y 1 V CAJA = 160 = y ò y = 160 Sustituimos en 1: C = = 5 + Pr que eist un mínimo, h de ser C' = C' = 10 ; C' = 0 ï 10 = 1 80 ò = 18 = 560 C'' = Como C'' > 0, = corresponde un mínimo. y Ls dimensiones de l cj son: =, y = = = Se dispone de un trozo cudrdo de crtón cuyo ldo mide 10 cm. De sus esquins se quitn cutro cudrdos igules pr hcer con el crtón restnte un cj sin tp, cuyo volumen se quiere mimizr. Clcul ls dimensiones de l cj que verific dichs condiciones. Hemos de mimizr l función V = A se Ò ltur; V = 10 = Buscmos un punto en el que V' = 0: V' = ; 10 V' = 0 ï = 0 8 = 60 o = 0 El único vlor posile es = 0 cm con = 60 cm no hrí cj, y ls dimensiones son: Ldo de l se = 10 0 = 80 cm Altur = 0 cm

3 Pág. de 6 5 Pr l fricción de determindo producto, se necesit invertir dinero en contrtr empledos y comprr máquins. El dueño de l fáric h estimdo que si compr máquins y contrt y empledos, el número de uniddes de producto que podrí fricr vendrí ddo por l función: f, y = 90y. Cd máquin le supone un inversión de euros y cd contrto de un nuevo empledo, otr de euros. Si el empresrio solo dispone de un presupuesto de euros pr este fin, determin el número de oreros que dee contrtr y el número de máquins que dee comprr pr mimizr l producción. Llmmos = n.º de máquins; y = n.º de empledos Hemos de mimizr l función f, y = 90y. Imponemos ls restricciones del enuncido: y = y = 5 8 y = f = = Pr que eist un máimo, h de ser f' = 0: 5 5 f' = 750 = 8 y = ; f' = 0 ï = 9 8 y = 0 f'' = 500 < 0 8 Hy un máimo en =. f'' = f''9 = 500 > 0 8 Hy un mínimo en = 9. Pr mimizr l producción, se deen contrtr 10 empledos y comprr máquins. 6 Se quiere unir el punto M, situdo en un ldo de un clle de m de nch, con el punto N, situdo l otro ldo y 9 m más jo, medinte dos cles rectos: el primero unirá M con un punto P, situdo l otro ldo de l clle, y el segundo unirá P con N, siguiendo el mismo ldo de l clle, según el esquem siguiente: M m P 9 m N El coste de l instlción del cle MOP es de 1 euros por metro, y el del cle PN, de 6 euros por metro. Qué punto P se hrá de elegir de mner que l coneión de M con N se lo más económic posile? Cuál será ese coste mínimo? L función que hy que minimizr es el coste del cle utilizdo: C = 1 MP + 6 PN

4 Pág. de 6 M m MP = +9; PN = 9 C = P 9 m 9 N C' = 1 6 = C' = 0 ï 1 6 = 0 ï = ï 9 = 0 ï = ± Pr =, el coste es mínimo, pues C'' = > Su vlor es C = , / 7 Epres el número 60 como sum de tres enteros positivos de form que el segundo se dole del primero y su producto se máimo. Determin el vlor de dicho producto. Llmmos, y, z los tres números. + y + z = 60 y = z = 60 Su producto es P = 60 = 10 6, que h de ser máimo. P' = 0 18 ; P' = 0 ï 0 18 = 0 ï = 0 o = 0/ = 0/ corresponde un máimo, pero no es entero. P P < 0 P > 0 P < 0 DECRECE 0 CRECE 0 DECRECE Como 0/ é [1, 1], uno de los etremos de este intervlo nos drá el vlor máimo pr el producto: P1 = 7 098; P1 = Los tres números pedidos son: = 1, y = = 6, z = 60 = 1 El producto es P1 = =

5 Pág. 5 de 6 8 Un solr rectngulr de m se divide en tres zons rectngulres igules como muestr l figur pr venderlo. Se vll el orde del cmpo y l seprción de ls zons. Clcul ls dimensiones del solr pr que l longitud de vll utilizd se mínim. L función que hy que hcer mínim es L = 6 + y. 750 Áre del solr: S = y = ò y = y L = 6 + Clculmos l primer derivd y ponemos l condición necesri pr que se mínim, L' = 0: L' = 6 ; L' = 0 ï = 0 ï = 500 ï = 50 m, y = 75 m L'' = > 0 pr el dominio de definición. Por tnto, los vlores = 150 m, y = 75 m hcen mínim l función L. 9 Se h de construir un grn depósito cilíndrico de 81π m de volumen. L superficie lterl h de ser construid con un mteril que cuest 0 /m, y ls dos ses con un mteril que cuest 5 /m. Determin l relción que hy entre el rdio, r, de ls ses circulres y l ltur, h, del cilindro, y d el coste, Cr, del mteril necesrio pr construir este depósito en función de r. Qué dimensiones rdio y ltur h de tener el depósito pr que el coste de los mteriles necesrios pr construirlo se el mínimo posile? c Cuál será, en este cso, el coste del mteril? V = πr h; 81π = πr h ò h = C r = πrh 0 + πr 81 5 = π60r + 90r 860 = π +90r r r 860 C'r = π + 180r ; C'r = 0 ï r = 0 ï r = 7 ò r = m, h = 9 m Compromos que es un mínimo clculndo C'': 860 r C''r = π + 180, C'' > 0 r r 81 r Pr r = m, h = 9 m, hy un mínimo. 860 c El coste del mteril es C = π = 0π = 7 6,07 r h

6 Pág. 6 de 6 10 Un número más el cudrdo de otro número sumn 8. Hll mos números pr que su producto se máimo. + y = 8 = 8 y Llmmos e y los números uscdos 8 P = y P y= 8y y Buscmos el máimo de l función P y: P'y = 8 y ; P'y = 0 ï y = 8 ï y = 16 ï y = ±, = P''y = 6y, P'' = > 0 8 Mínimo en =, y = P'' = < 0 8 Máimo en =, y =, que es l solución uscd.