Álgebra. Ingeniería Industrial. Curso 2008/2009 Primer Parcial. Primera parte de la convocatoria de Febrero

Transcripción

1 Álger. Ingenierí Industril. Curso 8/9 Primer Prcil. Primer prte de l convoctori de Ferero Ejercicio (I) (.) [ puntos] Hllr l prte rel e imginri de z siendo z = ³ + 7 ³ i + i 7. (.) [ puntos] Expresr en form inómic ls soluciones de l ecución iz =. (II) Se T : R R un trnsformción linel que verific: pide: =,T = + + y (.) [ puntos] Hllr l mtriz A socidlplicciónt. (.4) [ puntos] Discutir pr qué vlores de el vector v = = + + de A. (.5) [ puntos] Pr =, hllr los vlores de R pr que el vector w = l espcio nulo de A. SOLUCIÓN: (.) Trjremos en form exponencil, y que precen potencis., con R. Se pertenece l espcio column pertenezc + i = e iπ/. i = e iπ/.

2 Por tnto, z = = ³ + 7 ³ i + i ³e iπ/ 7 + ³e iπ/ 7 7 = 7 e i7π/ + 7 e i7π/ = 7 e i9π + e i9π = 7 (cos (9π)+isen (9π)+cos( 9π)+isen ( 9π)) = 7 (cos (9π)+isen (9π)+cos(9π) isen (9π)) = 7 cos(9π) = 8 cos (π) = 8. De quí, Re(z) = 8 e Im(z) =. (.) Despejmos z en l ecución dd, iz = ; z = /i = i/i( i) = i/i = i/( ) = i. z = i. Luego, tenemos que clculr ls ríces cúics de i. i = e iπ/. i = e i π/+kπ,k=,,. Pr k =,z = e iπ/6 = i. π Pr k =,z = e i( 6 + π ) = e i π = i. π Pr k =,z = e i( 6 + 4π ) = e i 7π 6 = i. (.) L mtriz socid l plicción linel viene dd por un mtriz de orden cuys columns son los trnsformdos de los vectores cnónicos de R, es decir, A =[T (e ) T (e ) T (e )] = T

3 Teniendo en cuent los dtos del prolem tenemos y l primer column de l mtriz. Con el resto de dtos plnteremos un sistem vectoril pr otener ls otrs dos columns. Por tnto, = + + T (e )+T (e )= = + + T (e )= + + = = T (e ) = T (e )+T(e )+T(e )= = + + De quí, A = Antes de proseguir con los siguientes prtdos deemos compror el resultdo. Pr ello, deemos verificr que efectivmente se stisfcen los dtos del prolem utilizndo l mtriz A. Esto es, = A = = A = A = = (.4) Notr que el vector v pertenecerá l espcio column de A si el sistem de mtriz mplid [A ] es comptile, es decir, l plicr l eliminción de Guss dich mtriz, l column de terminos independientes no es pivote. Aplicmos, pues, el método de Guss l siguiente mtriz: F F F F Si =, tenemos,

4 que ovimente es un sistem comptile. Si 6=,entonces F + F, que será comptile si = ( )(+) =. Teniendo en cuent que estmos estudindo pr 6= entonces =. Concluimos de todo lo nterior que el vector v pertenece l espcio column de A si y sólo si = ó =. (.5) Por definición un vector x R pertenece l espcio nulo de l mtriz A si Ax =. Por tnto, dee ocurrir que =, pr =,setiene De donde deducimos que =. = Ejercicio (.) Encontrr l ecución de l práol cuyo foco es F =(, ) y que tiene su vértice en el punto V =(, ). Hllr l ecución del eje de simetrí y de l directriz. Clculr los puntos de intersección de l práol con los ejes coordendos y relizr un diujo esquemático de l mism. (.) Determinr, según los vlores de R, el tipo de cuádric que corresponde l ecución + x +( ) y +( ) z =. (.) Reducir sum de cudrdos l form cudrátic dd por Q (x,x,x )=( ) x +4x + x +x x x x x x, yclsificrl según los vlores de R. SOLUCIÓN: (.) L rect que ps por el vértice V y el foco F de l práol es su eje de simetrí. En este ejercicio, l ser V =(, ) y F =(, ), el eje de simetrí es l rect verticl x =. Por tnto, teniendo esto en cuent l ecución será de l form (x α) =q(y β) donde q/ =yf yv = =, portntosetienequeq = y siendo ls coordends del vértice α =y β =. L ecución qued finlmente (x ) = 4(y ), que corresponde un práol verticl que se re hci jo. L ecución de l rect directriz es y = β q/, sedeciry = ( )/ =. L intersección con el eje y l clculmos hciendo x =en l ecución de l práol y despejndo y. Oteniendo el punto (, 5/4). Pr clculr 4

5 . y V F x.5 Figure : ls intersecciones con el eje x, hcemos y =y resolvemos respecto x, oteniendo x =y x =5 que corresponde ls intersecciones (, ) y (5, ). Utilizndo todos los dtos nteriores, diujmos culittivmente l práol de l figur. (.) El tipo de cuádric depende de los signos de los coeficientes cudráticos (positivos, negtivos ó nulos) y del signo del término independiente. Oservmos que: el coeficiente de x, +, es positivo pr todo R el coeficiente de y, es negtivo cundo >, nulo cundo =y positivo cundo <; el coeficiente de z,, es negtivo cundo <, nulo cundo =y positivo cundo >; el término independiente,, es negtivo cundo <, nulo cundo =ypositivo>. Aprecen, por tnto, ls siete situciones siguientes (indicmos los signos de los coeficientes de x, y, z ydel término independiente, este último entre préntesis, en cd cso): i) <: (-) se trt de un hiperoloide elíptico o hiperoloide de dos hojs, cuyo eje es el OZ. ii) =: + - (-), tenemos un cilindro hiperólico cuyo eje es el OY, de ecución x z =. iii) <<: (-), que cmindo el signo de tod l ecución es equivlente (+) un hiperoloide hiperólico o de un hoj, cuyo eje es el OX. iv) =: (), se trt de un cono de ecución 5x y z =yejeox. v) <<: (+), equivlente (-), se trt de un hiperoloide elíptico o hiperoloide de dos hojs, cuyo eje es el OX. vi) =: + - (+), se trt de un cilindro hiperólico, cuyo eje es el OZ, de ecución x y =. vii) >: (+), se trt de un hiperoloide hiperólico o de un hoj, cuyo eje es el OY. (.) Pr escriir l form cudrátic como sum de cudrdos es conveniente elegir, en cd pso, el término cudrático puro cuyo coeficiente se el más sencillo. Siempre que se posile, 5

6 es preferile dejr los prámetros pr el finl pr evitr posiles discusiones de csos que l finl pueden ser irrelevntes. De ese modo comenzmos completndo cudrdos en l vrile x. Agrupndo todos los términos que contienen x y poniéndolos entre corchetes tenemos Si tenemos en cuent que Q (x,x,x )=( ) x +4x +x x + x x x x x. (x + x x ) = x + x + x +x x x x x x, el término entre corchetes result ser igul x x x x x =(x + x x ) x + x +x x, y sustituyendolo en l form cudrátic originl otenemos Q (x,x,x ) = ( ) x +4x +x x +(x + x x ) x x x x = = ( ) x +x +(x + x x ). Un vez completdo cudrdos, simplemente qued el cmio, y = x, y = x, y = x + x x, pr otener un form cnónic de l form cudrátic: Q (y,y,y )=( ) y +y + y. Clrmente los signos de y y y son positivos pr culquier vlor de R. Mientrsqueelsigno del coeficiente de y será positivo pr >, nulopr =y negtivo pr <. Por tnto, se tiene que l form cudrátic es definid positiv pr >, essemidefinid positiv pr =e indefinid pr <. Ejercicio (I) Considerr, pr cd α, β R, lmtriz A = β α α+ β α (.) [ puntos] Discutir los vlores de α, β R pr los que existe fctorizción LU de A. (.) [ puntos] Pr β =, determinr los vlores de α R pr los que A es invertile y en esos csos clculr el determinnte de l mtriz A. (.) [ puntos] Pr β =, otener los vlores de α R, tlqueelsistemax = se comptile determindo pr culquier vector en R. (.4) [ puntos] Pr α =, clculr los determinntes de ls mtrices A, A y A. (II) Indicr si ls siguientes firmciones son verdders o flss, justificándols rzondmente en cso firmtivo y dndo un ejemplo en cso contrrio: 6

7 (.5) [punto]siexistelu de un mtriz A entonces A es invertile. (.6) [ punto] Si un mtriz A es invertile entonces existe LU de A. SOLUCIÓN: (.) L mtriz A se trnsform medinte ls trnsformciones lineles F ( α) y F ( ) en l mtriz A = β β αβ α β De es mtriz se deduce l siguiente discusión sore l existenci de l descomposición LU: Si β =y α =, l mtriz qued esclond y existe LU. Si β =y α 6=, no es posile ontener esclonmiento sin intercmio de fils y no existe LU. Si β 6=, siempre es posile y existe LU pr culquier vlor rel de α. (.) Si β =el determinnte de A es : +(α ). Puesto que α es rel, el determinnte es siempre distinto de cero y por tnto, l mtriz es invertile pr culquier vlor rel de α. Además, por ls propieddes de los determinntes: det(a )=. +(α ) (.) El sistem es comptile determindo si y sólo si el vector no es l últim column pivote del sistem mplido. Esclonndo el sistem mplido pr el cso β =, otenemos l mtriz: A = α α de donde se deduce que el sistem es comptile determindo pr todo vector =(,, ) t sólo pr el cso α 6=. (.4) Pr este cso, det(a) =β( β); det(a )=β ( β) y det(a) = β( β). (.5) Si existe LU de un mtriz A entonces A es invertile. Flso. Pr un ejemplo st considerr el cso β =y α =en l mtriz A del prolem nterior. A = tiene descomposición LU y no tiene invers. (.6) Si un mtriz A es invertile entonces existe LU de A. Flso. Pr un ejemplo st considerr el cso β =y α 6= en l mtriz A del prolem nterior, l cul, tiene invers pero no LU: 7

8 . A = 8